高三物理專題一：曲線運動

專題一：曲線運動

這一章是在前邊幾章的學習基礎(chǔ)之上，研究一種更為復雜的運動方式：曲線運動。這也

是運動學中更為重要的一部分內(nèi)容，本章的重難點就在于拋體運動、圓周運動。

【課標解讀】

1.本節(jié)知識點及要求

曲線運動、拋體運動、圓周運動。.本節(jié)知識點及要求

2.重點與難點

（1）對所學知識要知道其含義，并能在有關(guān)的問題中識別并直接運用，相當于課程標準中

的“了解”和“認識，，。

（2）能夠理解所學知識的確切含義以及和其他知識的聯(lián)系，能夠解釋，在實際問題的分析、

綜合、推理、和判斷等過程中加以運用，相當于課程標準的“理解”，"應用

知識構(gòu)建：

線速度

勻速Ml牌運動

曲找話功曲線正花的速度方向

T2心力.心和速席

運務(wù)的八成邈被包'

運正的分X、

（近*彳勻速網(wǎng)網(wǎng)運動

行渾舊癡涼的實例分析

國?,運動

南心現(xiàn)堂‘愜物體的與動?痛誦知律

離心運動面而止翱應用&我應m

【自主學習】

一、曲線運動

?曲線運動

1、定義：物體的運動軌跡不是直線的運動稱為曲線運動。

2.物體做曲線運動的條件

(1)當物體所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直線上時，這個合力總能產(chǎn)生一個改變

速度方向的效果，物體就一定做曲線運動。

(2)當物體做曲線運動時，它的合力所產(chǎn)生的加速度的方向與速度方向也不在同一直線上。

(3)物體的運動狀態(tài)是由其受力條件及初始運動狀態(tài)共同確定的.

2、曲線運動的特點:質(zhì)點在某一點的速度方向，就是通過該點的曲線的切線方向.質(zhì)點的速度

方向時刻在改變，所以曲線運動一定是變速運動。

物體運動的性質(zhì)由加速度決定(加速度為零時物體靜止或做勻速運動；加速度恒定時物體做

勻變速運動；加速度變化時物體做變加速運動)。

3、曲線運動的速度方向

(1)在曲線運動中，運動質(zhì)點在某一點的瞬時速度方向，就是通過這一點的曲線切線的方

向。

(2)曲線運動的速度方向時刻改變，無論速度的大小變或不變，運動的速度總是變化的，

故曲線運動是一種變速運動。4、曲線運動的軌跡:作曲線運動的物體，其軌跡向合外力所

指向的一方彎曲，若已知物體的運動軌跡，可判斷出物體所受合外力的大致方向，如平拋運

動的軌跡向下彎曲，圓周運動的軌跡總是向圓心彎曲等。

?曲線運動常見的類型：

(1)a=0：勻速直線運動或靜止。

(2)a恒定：性質(zhì)為勻變速運動，分為：

①v、a同向，勻加速直線運動；

②v、a反向，勻減速直線運動；

③v、a成角度，勻變速曲線運動(軌跡在v、a之間，和速度v的方向相切，方向逐漸向a

的方向接近，但不可能達到。)

（3）a變化：性質(zhì)為變加速運動。如簡諧運動，加速度大小、方向都隨時間變化。

練習1：一質(zhì)點在某段時間內(nèi)做曲線運動，則在這段時間內(nèi)（）

A.速度一定在不斷地改變,加速度也一定不斷地改變B.速度一定在不斷地改變,加速度可以

不變

C.速度可以不變,加速度一定不斷地改變D,速度可以不變,加速度也可以不變

練習2下列說法正確的是

A、物體在恒力作用下不可能做曲線運動；B、物體在變力作用下有可能作曲線運動；

C、作曲線運動的物體，速度方向與加速度方向不在同一直線上：

D、物體在變力作用下不可能作直線運動；

練習3—物體在三個共點力作用下做勻速直線運動，若突然撤去其中一個力，其余兩個力

不變，此物體可能做（）

A、勻加速直線運動B、勻減速直線運動C、類似于平拋運動D、勻速圓周

運動

練習4關(guān)于做曲線運動的物體，下列說法正確的是（）

A.它所受的合力一定不為零

B.有可能處于平衡狀態(tài)

C.速度方向一定時刻改變

D.受的合外力方向有可能與速度方向在同一條直線上

練習5質(zhì)點做曲線運動，它的軌跡如圖所示，由A向C運動，關(guān)于它通過B點時的速度v

練習6某質(zhì)點在恒力廠作用下，尸從A點沿下圖中曲線運動到8點，到達8點

后，質(zhì)點受到的力大小仍為F,但方向相反，則它從8點開始的運動軌

跡可能是圖中的哪條曲線？（）<

A.曲線aB.直線AC.曲線cD.三條曲線均有可能7

二、質(zhì)點在平面內(nèi)的運動

?合運動和分運動

當物體實際發(fā)生的運動較復雜時，我們可將其等效為同時參與幾個簡單的運動，前者一一實

際發(fā)生的運動稱作合運動，后者則稱作物體實際運動的分運動.

?運動的合成和分解

已知分運動求合運動，叫做運動的合成；已知合運動求分運動，叫做運動的分解，這種雙向

的等效操作過程，是研究復雜運動的重要萬法.1、合運動與分運動的關(guān)系:等時性；獨立

性；等效性。2、運動的合成與分解的法則:平行四邊形定則3、分解原則:根據(jù)運動的實際

效果分解，物體的實際運動為合運動。

其運動規(guī)律為:

(1)水平方向：ax=O,vx=vO,x=vOto

(2)豎直方向:ay=g,vy=gt,y=gt2/2o

⑶合運動：a=g,匕=寸匕+">0vt與vO方向夾角為0,tanO=gt/vO,

s與x方向夾角為a,tana=gt/2v0.

平拋運動中飛行時間僅由拋出點與落地點的豎直高度來決定，即g,與vO無關(guān)。水

平射程s=vOVg.

?運動的合成和分解的應用

(1)進行運動的合成與分解，就是對描述運動的各物理量如位移、速度、加速度等矢量用

平行四邊形定則求和或求差.運動的合成與分解遵循如下原理：

①獨立性原理：構(gòu)成一個合運動的幾個分運動是彼此獨立、互不相干的，物體的任意一個分

運動，都按其自身規(guī)律進行，不會因有其他分運動的存在而發(fā)生改變.

②等時性原理：合運動是同一物體在同一時間內(nèi)同時完成幾個分運動的結(jié)果，對同一物體同

時參與的幾個運動進行合成才有意義.

③矢量性原理：描述運動狀態(tài)的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，對運動進行合成與

分解時應按矢量法則，即平行四邊形定則作上述物理量的運算.

(2)合運動的性質(zhì)可由分運動的性質(zhì)決定：兩個勻速直線運動的合成仍是勻速直線運動；

勻速直線運動與勻變速直線運動的合運動為勻變速運動；兩個勻變速直線運動的合運動是勻

變速運動.

(3)過河問題

若用vl表示水速，v2表示船速，則：

①過河時間僅由v2的垂直于岸的分量V，決定，即，與vl無關(guān)，所以當v2,岸時，過河所

用時間最短，最短時間為也與vl無關(guān)。

②過河路程由實際運動軌跡的方向決定。

(4)連帶運動問題

指物拉繩（桿）或繩（桿）拉物問題。由于高中研究的繩都是不可伸長的，桿都是不可伸長

和壓縮的，即繩或桿的長度不會改變，所以解題原則是：把物體的實際速度分解為垂直于繩

（桿）和平行于繩（桿）兩個分量，根據(jù)沿繩（桿）方向的分速度大小相同求解。

練習1關(guān)于運動的合成與分解的說法中，正確的是（）

A、合運動的位移為分運動的位移的矢量和.B、合運動的速度一定比其中一個分速度

大.

C、合運動的時間為分運動時間之和.D、合運動的時間與各分運動時間相等.

練習2關(guān)于運動的合成，下列說法中正確的是（）

A.合運動的速度一定比分運動的速度大B.兩個勻速直線運動的合運動不一定是勻速直線

運動

C.兩個勻變速直線運動的合運動不一定是勻變速直線運動D.合運動的兩個分運動時間不

一定相等

練習3一艘小船在200m寬的河中橫渡到對岸，已知水流速度是2m/s船在靜水中的速度

是4m/s,求：①當船頭始終正對著對岸時，小船多長時間到達對岸，小船實際運行了多遠？

②如果小船的路徑要與河岸垂直，應如何行駛？消耗的時間是多少？

③如果小船要用最短時間過河，應如何？船行最短時間為多少？

練習4如圖所示，汽車以速度v勻速行駛，當汽車到達p點時，繩子與水平方向的夾角為

0,此時物體M的速度大小為多少？

練習5人在岸上以速度v勻速拉河中的船靠岸，在船靠岸的過

LMJ

程中，下列說法正確的是

A、船勻速靠岸B、船加速靠岸C、船減速靠岸D、以上三種情況

都可能

三、平拋運動的規(guī)律

?特點

（1）具有水平方向的初速度

（2）只受重力作用，是加速度為重力加速度g的勻變速曲線運動。

?運動規(guī)律

平拋運動可以分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動。建立直角坐標系

(一般以拋出點為坐標原點0,以初速度V。方向為X軸正方向，豎直向下為y軸正方向)。

由兩個分運動規(guī)律來處理。

(1)水平方向上：VX=Vo；X=Vot

y=1gt2

(2)豎直方向上：%=gt；.

2.2ta邸=7=gt/v

(3)任意時刻的速度：v=v￡+4；、0

?有關(guān)公式

①速度公式

水平分速度:vx=vO；豎直分速度:vy=gt.

T時刻平拋物體的速度大小和方向：

Vt=Y*>,tana=匕=gt/vO

②位移公式(位置坐標):水平分位移：x=vOt；豎直分位移:y=gt2/2

___}

t時間內(nèi)合位移的大小和方向:1=J,+y2;tanO=X=2叼

由于tana=2tan9,vt的反向延長線與x軸的交點為水平位移的中點。

③軌跡方程:平拋物體在任意時刻的位置坐標x和y所滿足的方程，叫軌跡方程，由位移公式

消去t可得：

g2片

y=2vox2或x2=g

練習1做平拋運動的物體，每秒的速度增量總是（）

A.大小相等，方向相同B.大小不等，方向不同C.大小相等，方向不同D.大小不等，方

向相同

練習2決定一個平拋運動的總時間的因素（）

A拋出時的初速度B拋出時的豎直高度C拋出時的豎直高度和初速度D物體的質(zhì)量有

關(guān)

練習2一個物體以初速度V。水平拋出，經(jīng)時間t,其豎直方向速度大小與Vo大小相等，那

么t為（）

AVo/gB2V0/gCVo/2gD41V（）/g

練習3物體以初速度Vo水平拋出，當拋出后豎直位移是水平位移的2倍時，則物體拋出的

時間是

A1：1B2：1C3：1D4：1

練習5如圖，以9.8m/s的水平初速度拋出的物體，飛行一段時間后，垂直地撞在傾角為0

=30°的斜面上，則物體的飛行時間為多少？

練習6在傾角為。的斜面頂端A處以速度叫水平拋出一小球，落在斜面上的某一點

B處，設(shè)空氣阻力不計，求：（1）小球從A運動到B處所需的時間和位移。

（2）從拋出開始計時，經(jīng)過多長時間小球離斜面的距離達到最大？

練習7

從某一高度平拋一物體，當拋出2s后它的速度方向與水平方向成45°角，落地"產(chǎn)

時速度方向與水平方向成60°角，求：（g=10m/s2）

（1）拋出時的速度。（2）落地時的速度。（3）拋出點距地面的高度。（4）水平射程。

四、實驗：研究平拋運動

（1）處理平拋運動問題，要把握手拋運動的特點，將其分解成兩個直線運動，在水平方向利

用勻速直線運動的規(guī)律，在豎直方向則利用初速為零的勻加速直線運動的規(guī)律.例如:

①勻變速直線運動中間時刻的瞬時速度V中.

②任意兩個連續(xù)相等時間間隔AT內(nèi)位移差：sn-sI=sHI-sn=As=aAT2

③速為零的勻加速直線運動，前1，2,…n個等時間間隔內(nèi)位移之比：

si：s2：s3：............：sn=l：4：...：n2

第1,2,...N個等時間間隔內(nèi)位移之比：

sI：sII：.......sN=l：3：...：(2n—1)

(2)當平拋物體的落點在水平面上時，物體在空中運動的時間由自由落體分運動的下落高

度h決定，與初速度vO大小無關(guān)：t而物體的水平射程則由高度與初速度兩者共同決定。

⑶一個有用的推論

平拋物體任意時刻瞬時時速度方向的反向延長線與初速度延長線的交點到拋出點的距離都

等于水平位移的一半。

練習1“探究平拋運動的運動規(guī)律”實驗中，可以描繪出小球平拋運動的軌跡，實驗簡要

步驟如下：

A.讓小球多次從位置上滾下，在一張印有小方格的紙記下小球碰到鉛筆筆尖

的一系列位置，如右下圖中a、b、c、d所示。

B.按圖安裝好器材，注意，記下平拋初位置。點和過。點的豎直線。

C.取下白紙以。為原點，以豎直線為y軸建立坐標系，用平滑曲線畫平拋運動物體的軌跡。

⑴完成上述步驟，將正確的答案填在橫線上。

⑵上述實驗步驟的合理順序是。

⑶已知圖中小方格的邊長1.25cm,則小球

平拋的初速度為vo=(用L、g表示),

其值是(取g=9.8m/s2),小球在b點的速率。

練習2如圖所示為一小球作平拋運動的閃光照片的一部分，圖中背景方

格的邊長均為5cm,g=10fflZs:,那么：

⑴閃光頻率為Hz；

⑵小球運動的初速度的大小是m/s；

⑶小球經(jīng)過B點時的速度大小為m/s。

五、圓周運動（下一章知識難點重點講明）

K當堂達標X

1.關(guān)于運動的性質(zhì)，以下說法中正確的是（）

A.曲線運動一定是變速運動

B.變速運動一定是曲線運動

C.曲線運動一定是變加速運動

D.物體加速度大小、速度大小都不變的運動一定是直線運動

2.關(guān)于運動的合成和分解，下列說法正確的是（）

A,合運動的時間等于兩個分運動的時間之和

B.勻變速運動的軌跡可以是直線，也可以是曲線

C.曲線運動的加速度方向可能與速度在同一直線上

3.關(guān)于從同一高度以不同初速度水平拋出的物體，比較它們落到水平地面上的時間（不

計空氣阻力），以下說法正確的是（）

A.速度大的時間長B.速度小的時間長

C.一樣長D.質(zhì)量大的時間長

4.做平拋運動的物體，每秒的速度增量總是（）

A.大小相等，方向相同B.大小不等，方向不同

C.大小相等，方向不同D.大小不等，方向相同

5.甲、乙兩物體都做勻速圓周運動，其質(zhì)量之比為1：2,轉(zhuǎn)動半徑之比為1：2,在

相等時間里甲轉(zhuǎn)過60。，乙轉(zhuǎn)過45。，則它們所受外力的合力之比為（）

A.I：4B.2：3C.4：9D.9：16

6.如圖所示，在不計滑輪摩擦和繩子質(zhì)量的條件下，當小車勻速向右運動時，物體A

的受力情況是（）

A.繩的拉力大于A的重力

B.繩的拉力等于A的重力

（第10題）

C.繩的拉力小于A的重力

D.繩的拉力先大于A的重力，后變?yōu)樾∮谥亓?/p>

7.如圖所示，有一質(zhì)量為仞的大圓環(huán)，半徑為R,被一輕桿固定后懸掛在。點，有兩

個質(zhì)量為〃?的小環(huán)（可視為質(zhì)點），同時從大環(huán)兩側(cè)的對稱位置由靜止滑下。兩小環(huán)

同時滑到大環(huán)底部時，速度都為v,則此時大環(huán)對輕桿的拉力大小為（）

A.（2nz+2M）g

B.Mg—2m/，R

C.2,〃（g+//R）+Mg

D.2;M（v2//?—g）+Mg

8.下列各種運動中，屬于勻變速運動的有（）

A.勻速直線運動B.勻速圓周運動C.平拋運動D.豎直上拋運動

9.水滴自高處由靜止開始下落，至落地前的過程中遇到水平方向吹來的風，則（）

A.風速越大，水滴下落的時間越長

B.風速越大，水滴落地時的瞬時速度越大

C.水滴著地時的瞬時速度與風速無關(guān)

D.水滴下落的時間與風速無關(guān)

10.在寬度為d的河中，水流速度為也，船在靜水中速度為VI（且q>V2），方向可以

選擇，現(xiàn)讓該船開始渡河，則該船（）

A.可能的最短渡河時間為色

V2

B.可能的最短渡河位移為d

C.只有當船頭垂直河岸渡河時，渡河時間才和水速無關(guān)

D.不管船頭與河岸夾角是多少，渡河時間和水速均無關(guān)

11.關(guān)于勻速圓周運動的向心力，下列說法正確的是（）

A.向心力是指向圓心方向的合力，是根據(jù)力的作用效果命名的

B.向心力可以是多個力的合力，也可以是其中一個力或一個力的分力

C.對穩(wěn)定的圓周運動，向心力是一個恒力

D.向心力的效果是改變質(zhì)點的線速度大小

答案ABCACACCDBDBDAB

知識精解難點之一圓周運動的實例分析

一、難點形成的原因

1、對向心力和向心加速度的定義把握不牢固，解題時不能靈活的應用。

2、圓周運動線速度與角速度的關(guān)系及速度的合成與分解的綜合知識應用不熟練，只是了

解大概，在解題過程中不能靈活應用；

3、圓周運動有一些要求思維長度較長的題目，受力分析不按照一定的步驟，漏掉重力或

其它力，因為一點小失誤，導致全盤皆錯。

4、圓周運動的周期性把握不準。

5、缺少生活經(jīng)驗，缺少仔細觀察事物的經(jīng)歷，很多實例知道大概卻不能理解本質(zhì)，更不

能把物理知識與生活實例很好的聯(lián)系起來。

二、難點突破

(1)勻速圓周運動與非勻速圓周運動

a.圓周運動是變速運動，因為物體的運動方向(即速度方向)在不斷變化。圓周運動也

不可能是勻變速運動，因為即使是勻速圓周運動，其加速度方向也是時刻變化的。

b.最常見的圓周運動有：①天體(包括人造天體)在萬有引力作用下的運動；②核外電

子在庫侖力作用下繞原子核的運動;③帶電粒子在垂直勻強磁場的平面里在磁場力作用下的

運動；④物體在各種外力(重力、彈力、摩擦力、電場力、磁場力等)作用下的圓周運動。

c.勻速圓周運動只是速度方向改變，而速度大小不變。做勻速圓周運動的物體，它所受

的所有力的合力提供向心力，其方向一定指向圓心。非勻速圓周運動的物體所受的合外力沿

著半徑指向圓心的分力，提供向心力，產(chǎn)生向心加速度；合外力沿切線方向的分力，產(chǎn)生切

向加速度，其效果是改變速度的大小。

例1：如圖3-1所示，兩根輕繩同系一個質(zhì)量m=0.1kg的小球，兩繩的另一端分別固定在軸

上的A、B兩處，上面繩AC長L=2m,當兩繩都拉直時，與軸的夾角分別為30°和45°,求

當小球隨軸一起在水平面內(nèi)做勻速圓周運動角速度為s=4rad/s時，上下兩輕繩拉力各為多

少？

【審題】兩繩張緊時，小球受的力由0逐漸增大時，3可能出現(xiàn)兩個臨界值。

【解析】如圖3T所示，當BC剛好被拉直，但其拉力”恰為零，設(shè)此時角速度為3“

AC繩上拉力設(shè)為T”對小球有：4

(cos30°=mg①\r,

Isin3O。=m(o；LABsin3(m\

要使BC繩有拉力，應有3>31,當AC繩恰被拉直，但其拉力「恰

為零，設(shè)此時角速度為32,BC繩拉力為則有

(cos45°=，咫③

T2sin450L?：sin30°④

代入數(shù)據(jù)得：32=3.16rad/s。要使AC繩有拉力，必須3〈32,依題意s=4rad/s>32

故AC繩已無拉力，AC繩是松馳狀態(tài)，BC繩與桿的夾角。>45°,對小球有:

T-,cosff=mg

T2cos0=m<o2Lncsin0⑤

而Lcsin30°=Lecsin45o

LBC=V2m⑥

由⑤、⑥可解得

T2=2.3N,7；=0

【總結(jié)】當物體做勻速圓周運動時，所受合外力一定指向圓心，在圓周的切線方向上和

垂直圓周平面的方向上的合外力必然為零。

(2)同軸裝置與皮帶傳動裝置

在考查皮帶轉(zhuǎn)動現(xiàn)象的問題中，要注意以下兩點：

a、同一轉(zhuǎn)動軸上的各點角速度相等；

b、和同一皮帶接觸的各點線速度大小相等，這兩點往往是我們解決皮帶傳動的基本方

法。

例2：如圖3-2所示為一皮帶傳動裝置，右輪的半徑為r,a是它

邊緣上的一點，左側(cè)是一輪軸，大輪半徑為4r,小輪半徑為2r,

b點在小輪上，到小輪中心距離為r,c點和d點分別位于小輪和---------

大輪的邊緣上，若在傳動過程中，皮帶不打滑，則

A.a點與b點線速度大小相等---------

B.a點與c點角速度大小相等

C.a點與d點向心加速度大小相等圖31

D.a、b、c、d四點，加速度最小的是b點

【審題】分析本題的關(guān)鍵有兩點：其一是同一輪軸上的各點角速度相同；其二是皮帶

不打滑時，與皮帶接觸的各點線速度大小相同。這兩點抓住了，然后再根據(jù)描述圓周運動的

各物理量之間的關(guān)系就不難得出正確的結(jié)論。

【解析】由圖3-2可知，a點和c點是與皮帶接觸的兩個點，所以在傳動過程中二者的

線速度大小相等，ERva=vc,又V=G)R,所以war=?2r,即3a=230.而b、c、d

三點在同一輪軸上，它們的角速度相等，則3b=3c=3d=L3a,所以選項B錯.又Vb=

2

222

Wb?r=—<0^=-?->所以選項A也錯.向心加速度：aa=war；ab=Wb,r=(-r~)r

222

lol22/I、

=-coar=—aa；M=3C?2r=(—?2r=—war=—aH；ad=,4r=(-coa)

'?4r=3：r=a..所以選項C、D均正確。

【總結(jié)】該題除了同軸角速度相等和同皮帶線速度大小相等的關(guān)系外，在皮帶傳動裝置

中，從動輪的轉(zhuǎn)動是靜摩擦力作用的結(jié)果.從動輪受到的摩擦力帶動輪子轉(zhuǎn)動，故輪子受到

的摩擦力方向沿從動輪的切線與輪的轉(zhuǎn)動方向相同；主動輪靠摩擦力帶動皮帶，故主動輪所

受摩擦力方向沿輪的切線與輪的轉(zhuǎn)動方向相反。是不是

所有

的題目都要是例1這種類型的呢？當然

圖3-3

不是，當輪與輪之間不是依靠皮帶相連轉(zhuǎn)動，而是依靠摩擦力的作用或者是齒輪的嚙合，如

圖3-3所示，同樣符合例1的條件。

（3）向心力的來源

a.向心力是根據(jù)力的效果命名的.在分析做圓周運動的質(zhì)點受力情況時，切記在物體的作

用力（重力、彈力、摩擦力等）以外不要再添加一個向心力。

b.對于勻速圓周運動的問題，一般可按如下步驟進行分析：

①確定做勻速圓周運動的物體作為研究對象。

②明確運動情況，包括搞清運動速率v,軌跡半徑R及軌跡圓心0的位置等。只有明確了上

述幾點后，才能知道運動物體在運動過程中所需的向心力大?。╩v2/R）和向心力方向（指

向圓心）。

③分析受力情況，對物體實際受力情況做出正確的分析，畫出受力圖，確定指向圓心的合外

力F（即提供向心力）。

④選用公式F=mt'=mR3；!=mR（'^）解得結(jié)果。

c.圓周運動中向心力的特點：

①勻速圓周運動：由于勻速圓周運動僅是速度方向變化而速度大小不變，故只存在向心加速

度，物體受到外力的合力就是向心力?？梢?，合外力大小不變，方向始終與速度方向垂直且

指向圓心，是物體做勻速圓周運動的條件。

②變速圓周運動：速度大小發(fā)生變化，向心加速度和向心力都會相應變化。求物體在某一點

受到的向心力時，應使用該點的瞬時速度，在變速圓周運動中，合外力不僅大小隨時間改變,

其方向也不沿半徑指向圓心。合外力沿半徑方向的分力（或所有外力沿半徑方向的分力的矢

量和）提供向心力，使物體產(chǎn)生向心加速度，改變速度的方向；合外力沿軌道切線方向的分

力，使物體產(chǎn)生切向加速度，改變速度的大小。

③當物體所受的合外力F小于所需要提供的向心力mv2/R時，物體做離心運動。

例3：如圖3-4所示，半徑為R的半球形碗內(nèi)，有一個具有一定質(zhì)量的物體A,,

A與碗壁間的動摩擦因數(shù)為u,當碗繞豎直軸00勻速轉(zhuǎn)動時，物體A剛好能!

緊貼在碗口附近隨碗一起勻速轉(zhuǎn)動而不發(fā)生相對滑動，求碗轉(zhuǎn)動的角速度.J

【審題】物體A隨碗一起轉(zhuǎn)動而不發(fā)生相對滑動，則物體做勻速圓周運\

動的角速度3就等于碗轉(zhuǎn)動的角速度3。物體A做勻速圓周運動所需的向心\

力方向指向球心0,故此向心力不是由重力而是由碗壁對物體的彈力提供，此

時物體所受的摩擦力與重力平衡。

【解析】物體A做勻速圓周運動，向心力：Fn-mco'R圖3_

而摩擦力與重力平衡，則有："Fn=mg

即：工=整

由以上兩式可得：mG）-R=^~

即碗勻速轉(zhuǎn)動的角速度為：0=

【總結(jié)】分析受力時一定要明確向心力的來源，即搞清楚什么力充當向心力.本題還考

查了摩擦力的有關(guān)知識：水平方向的彈力為提供摩擦力的正壓力，若在剛好緊貼碗口的基礎(chǔ)

上，角速度再大，此后摩擦力為靜摩擦力，摩擦力大小不變，正壓力變大。

例4：如圖3-5所示，在電機距軸0為r處固定一質(zhì)量為m的鐵塊.電機啟動后，/〒

鐵塊以角速度3繞軸0勻速轉(zhuǎn)動.則電機對地面的最大壓力和最小壓力之差為/mH

【審題】鐵塊在豎直面內(nèi)做勻速圓周運動，其向心力是重力mg與輪對它的弋冷

力F的合力.由圓周運動的規(guī)律可知：當m轉(zhuǎn)到最低點時F最大，當m轉(zhuǎn)到最/

高點時F最小。

【解析】設(shè)鐵塊在最高點和最低點時，電機對其作用力分別為R和%,且

都指向軸心，根據(jù)牛頓第二定律有：圖34

在最高點：mg+Fi=i1132r①

2

在最低點：F2—mg=mwr②

電機對地面的最大壓力和最小壓力分別出現(xiàn)在鐵塊m位于最低點和最高點時，且壓力差的大

小為：

AFN=F2+FI③

由①②③式可解得：AFs=2m3、

【總結(jié)】

(1)若m在最高點時突然與電機脫離，它將如何運動？

(2)當角速度3為何值時，鐵塊在最高點與電機恰無作用力？

(3)本題也可認為是一電動打夯機的原理示意圖。若電機的質(zhì)量為M,則3多大時，電機

可以“跳”起來?此情況下，對地面的最大壓力是多少？

解：(1)做初速度沿圓周切線方向，只受重力的平拋運動。

(2)電機對鐵塊無作用力時;重力提供鐵塊的向心力，則

mg=m3,2r

(3)鐵塊在最高點時，鐵塊與電動機的相互做用力大小為R,則

2

Fi+mg=mw2r

Fi—Mg

即當a?當、(加土r遮時,電動機可以跳起來，當3k、(M+心時,鐵塊在最低點時

電機對地面壓力最大，則

F2-mg=n1322r

FN=F2+Mg

解得電機對地面的最大壓力為F、=2(M+m)g

(4)圓周運動的周期性

利用圓周運動的周期性把另一種運動(例如勻速直線運動、平拋運動)聯(lián)系起來。圓周

運動是一個獨立的運動，而另一個運動通常也是獨立的，分別明確兩個運動過程，注意用時

間相等來聯(lián)系。

在這類問題中，要注意尋找兩種運動之間的聯(lián)系，往往是通過時間相等來建

立聯(lián)系的。同時，要注意圓周運動具有周期性，因此往往有多個答案。?乎

例5：如圖3-6所示，半徑為R的圓盤繞垂直于盤面的中心軸勻速轉(zhuǎn)動，其正

圖3-6

上方h處沿OB方向水平拋出一個小球，要使球與盤只碰一次，且落點為B,則小球的初速

度丫=,圓盤轉(zhuǎn)動的角速度3=。

【審題】小球做的是平拋運動，在小球做平拋運動的這段時間內(nèi)，圓盤做了一定角度的

圓周運動。

【解析】①小球做平拋運動，在豎直方向上：

h=-gt2

2

則運動時間

又因為水平位移為R

所以球的速度

②在時間t內(nèi)，盤轉(zhuǎn)過的角度?=n?2n,又因為。=3t

則轉(zhuǎn)盤角速度：

【總結(jié)】上題中涉及圓周運動和平拋運動這兩種不同的運動，這兩種不同運動規(guī)律在解

決同一問題時，常常用“時間”這一物理量把兩種運動聯(lián)系起來。

例6：如圖3-7所示，小球Q在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運動，當Q球轉(zhuǎn)到圖示位置時，P]]

有另一小球P在距圓周最高點為h處開始自由下落.要使兩球在圓周最高點相碰，則QI?

?h

球的角速度3應滿足什么條件？

【審題】下落的小球P做的是自由落體運動，小球Q做的是圓周運動，若要想碰，

必須滿足時間相等這個條件。(olX

【解析】設(shè)P球自由落體到圓周最高點的時間為t,由自由落體可得

igt2=h圖3-7

Q球由圖示位置轉(zhuǎn)至最高點的時間也是t,但做勻速圓周運動，周期為T,有

t=(4n+l)—(n=0,1,2,3...)

4

兩式聯(lián)立再由T=@得(4n+l)@=，伊

0)CD\g

所以3二巴(4n+l)(n=0,1,2,3)

2

【總結(jié)】由于圓周運動每個周期會重復經(jīng)過同一個位置，故具有重復性。在做這類題目

時，應該考慮圓周運動的周期性。

（5）豎直平面內(nèi)圓周運動的臨界問題

圓周運動的臨界問題：

（1）如上圖3-8所示，沒有物體支撐的小球，在繩和軌道的約束下，在豎直平面做圓周運

動過最高點的情況：

2

①臨界條件：繩子或軌道對小球沒有力的做用：mg=mL=>v臨界=J而。

②能過最高點的條件：V》歷，當v>瘋時，繩對球產(chǎn)生拉力，軌道對球產(chǎn)生壓力。

③不能過最高點的條件：vVv臨弊（實際上球還沒到最高點時就脫離了軌道）

（2）如圖3-9球過最高點時，輕質(zhì)桿對球產(chǎn)生的彈力情況：

①當v=0時，F(xiàn)N=mg（F、為支持力）。

②當0<v<J而時，R隨v增大而減小，且mg>F、>0,3為支持力。

③當v=J^時，R=0。

圖3-9

④當v>J而時，R為拉力，F(xiàn)、隨v的增大而增大

如圖所示3-10的小球在軌道的最高點時，如果V》而此時將脫離

,777777V77777

軌道做平拋運動，因為軌道對小球不能產(chǎn)生拉力。圖3-10

例7：半徑為R的光滑半圓球固定在水平面上，如圖3T1所示。頂部有

一小物體甲，今給它一個水平初速度%=質(zhì)，則物體甲將（）

A.沿球面下滑至M點

B.先沿球面下滑至某點N,然后便離開球面作斜下拋運動

C.按半徑大于R的新的圓弧軌道作圓周運動

D.立即離開半圓球作平拋運動

【審題】物體在初始位置受豎直向下的重力，因為所以，球面支持力為零,

又因為物體在豎直方向向下運動，所以運動速率將逐漸增大，若假設(shè)物體能夠沿球面或某一

大于R的新的圓弧做圓周運動，則所需的向心力應不斷增大。而重力沿半徑方向的分力逐漸

減少，對以上兩種情況又不能提供其他相應的指向圓心的力的作用，故不能提供不斷增大的

向心力，所以不能維持圓周運動。

【解析】物體應該立即離開半圓球做平拋運動，故選D。

【總結(jié)】當物體到達最高點，速度等于歷時，半圓對物體的支持力等于零，所以接

下來物體的運動不會沿著半圓面，而是做平拋運動。

（6）圓周運動的應用

a.定量分析火車轉(zhuǎn)彎的最佳情況。

①受力分析：如圖所示3-12火車受到的支持力和重力的合力水平指向圓

心，成為使火車拐彎的向心力。

②動力學方程：根據(jù)牛頓第二定律得

mgtan0=m—

圖3-12

其中r是轉(zhuǎn)彎處軌道的半徑，％是使內(nèi)外軌均不受側(cè)向力的最佳速度。

③分析結(jié)論：解上述方程可知

=rgtan0

可見，最佳情況是由打、r、?共同決定的。

當火車實際速度為v時，可有三種可能，

當v=%時，內(nèi)外軌均不受側(cè)向擠壓的力；

當v>%時，外軌受到側(cè)向擠壓的力（這時向心力增大，外軌提供一部分力）；

當v<%時，內(nèi)軌受到側(cè)向擠壓的力（這時向心力減少，內(nèi)軌抵消一部分力）。

還有一些實例和這一模型相同，如自行車轉(zhuǎn)彎，高速公路上汽車轉(zhuǎn)彎等等

我們討論的火車轉(zhuǎn)彎問題，實質(zhì)是物體在水平面的勻速圓周運動，從力的角度看其特點

是：合外力的方向一定在水平方向上，由于重力方向在豎直方向，因此物體除了重力外，至

少再受到一個力，才有可能使物體產(chǎn)生在水平面做勻速圓周運動的向心力.

實際在修筑鐵路時,要根據(jù)轉(zhuǎn)彎處的半徑r和規(guī)定的行駛速度v。,適當選擇內(nèi)外軌的高度差,

使轉(zhuǎn)彎時所需的向心力完全由重力G和支持力R的合力來提供，如上圖3-12所示.必須注

意，雖然內(nèi)外軌有一定的高度差，但火車仍在水平面內(nèi)做圓周運動，因此向心力是沿水平方

向的，而不是沿"斜面"向上，F(xiàn)=Gtg0=mgtg0,故mgtgQ=m型。

r

b.汽車過拱橋

汽車靜止在橋頂與通過橋頂是否同種狀態(tài)？不是的，汽車靜止在橋頂、或通過橋頂，雖

然都受到重力和支持力。但前者這兩個力的合力為零，后者合力不為零。

汽車過拱橋橋頂?shù)南蛐牧θ绾萎a(chǎn)生？方向如何？汽車在橋頂受到重力和支持力，如圖

A3-13所示，向心力由二者的合力提供，方向豎直向下。

圖3-13

運動有什么特點？①動力學方程:

由牛頓第二定律

G—F1=m—

92

VV

解得F,=G—m—=irg-m—

rr

②汽車處于失重狀態(tài)

汽車具有豎直向下的加速度，G<mg,對橋的壓力小于重力.這也是為什么橋一般做

成拱形的原因.

③汽車在橋頂運動的最大速度為

根據(jù)動力學方程可知，當汽車行駛速度越大，汽車和橋面的壓力越小，當汽車的速度為

加時，壓力為零，這是汽車保持在橋頂運動的最大速度，超過這個速度，汽車將飛出橋

頂，做平拋運動。

另：

c.人騎自行車轉(zhuǎn)彎

由于速度較大，人、車要向圓心處傾斜，與豎直方向成。角，如圖3-14

所示，人、車的重力mg與地面的作用力F的合力作為向心力.地面的作用

力是地面對人、車的支持力F、與地面的摩擦力的合力，實際上仍是地面的

摩擦力作為向心力。

由圖知，F(xiàn)in^mgtan4>=m--

圖3-14

2.圓錐擺

擺線張力與擺球重力的合力提供擺球做勻速圓周運動的向心力.如圖3-15所

示,質(zhì)量為m的小球用長為L的細線連接著，使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動.細

線與豎直方向夾角為a,試分析其角速度3的大小。

對小球而言，只受兩個力：重力mg和線的拉力T.這兩個力的合力mgtana

提供向心力，半徑r=Lsina,所以由F=mr32得，mgtana=mLsina?w2

mg

整理得

可見，角速度越大，角a也越大。圖3-15

3.雜技節(jié)目“水流星”

表演時.，用一根繩子兩端各拴一個盛水的杯子，演員掄起杯子在豎直面內(nèi)

做圓周運動，在最高點杯口朝下，但水不會流下，如圖所示，這是為什么？

圖3-16

分析：以杯中之水為研究對象進行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律可知：F,=—,此時重

l；mr

力G與FN的合力充當了向心力即F向=6+&

v2

故：G+R=m—

r

由上式可知V減小，F(xiàn)減小，當時=0時，V有最小值為病

討論：

①當mg=m上,即時,水恰能過最高點不灑出，這就是水能過最高點的臨界條件;

②當即v<J7時，水不能過最高點而不灑出；

r

③當即v>病時，水能過最高點不灑出，這時水的重力和杯對水的壓力提供

r

向心力。

例8：繩系著裝有水的水桶，在豎直面內(nèi)做圓周運動，水的質(zhì)量m=0.5kg,繩長L=60cm,

求：

①最高點水不流出的最小速率。

②水在最高點速率v=3m/s時，水對桶底的壓力。

【審題】當v產(chǎn)南時，水恰好不流出，要求水對桶底的壓力和判斷是否能通過最高

點，也要和這個速度v比較，v>Vo時，有壓力；V=V0時，恰好無壓力；VWVQ時，不能到達

最高點。

【解析】①水在最高點不流出的條件是重力不大于水做圓周運動所需要的向心力即mg

mv

<L,

則最小速度v0=J/=2.42m/s。

②當水在最高點的速率大于V。時，只靠重力提供向心力已不足，此時水桶底對水有一向下

的壓力，設(shè)為F,由牛頓第二定律

V2

F+mg=m工■得：F=2.6N。

由牛頓第三定律知，水對水桶的作用力F'=-F=-2.6N,即方向豎直向上。

【總結(jié)】當速度大于臨界速率時，重力已不足以提供向心力，所缺部分由桶底提供，因

此桶底對水產(chǎn)生向下的壓力。

例2：汽車質(zhì)量m為1.5X10'kg,以不變的速率先后駛過凹

圖3-17

形路面和凸形路面，路面圓弧半徑均為15m,如圖3T7所示.如果路面承受的最大壓力不

得超過2X105N,汽車允許的最大速率是多少？汽車以此速率駛過路面的最小壓力是多少？

【審題】首先要確定汽車在何位置時對路面的壓力最大，汽車經(jīng)過凹形路面時，向心加

速度方向向上，汽車處于超重狀態(tài)；經(jīng)過凸形路面時，向心加速度向下，汽車處于失重狀態(tài),

所以汽車經(jīng)過凹形路面最低點時，汽車對路面的壓力最大。

【解析】當汽車經(jīng)過凹形路面最低點時，設(shè)路面支持力為鼠，受力情況如圖3-18所示,

由牛頓第二定律，

V2

有FM—mg=m—

R

要求FMW2X105N

解得允許的最大速率VM=7.07m/s

由上面分析知，汽車經(jīng)過凸形路面頂點時對路面壓力最小，設(shè)為F、z,如圖3T9所示，由牛

頓第二定律有

、_mVm

mg—FM=———

R

解得FN2=1X10'5NO

【總結(jié)】汽車過拱橋時，一定要按照實際情況受力分析，沿加速度方向列式。

(7)離心運動

離心現(xiàn)象條件分析

①做圓周運動的物體，由于本身具有慣性，總是想沿著切線方向運動，只是由于向心力作用，

使它不能沿切線方向飛出，而被限制著沿圓周運動，如圖3-20中B所示。

②當產(chǎn)生向心力的合外力消失，F(xiàn)=0,物體便沿所在位置的切線方向飛出去，如圖3-20中

A所示。

③當提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于應當具有的向心力，，即合外力不足以提

供所需的向心力的情況下，物體沿切線與圓周之間的一條曲線運動，如圖3-20所示。

.viF=0A

…奔A"~~c

V2//AF-mr(^2

C

圖3-20

在實際中，有一些利用離心運動的機械，這些機械叫做離心機械。離心機械的種類很多，

應用也很廣。例如，離心干燥（脫水）器，離心分離器，離心水泵。

例9：一把雨傘邊緣的半徑為r,且高出水平地面h.當雨傘以角速度3旋轉(zhuǎn)時，雨滴自邊

緣甩出落在地面上成一個大圓周.這個大圓的半徑為______。

【審題】想象著實際情況，當以一定速度旋轉(zhuǎn)雨傘時，雨滴甩/,

形成一個大圓。—尸廠\

【解析】雨滴離開雨傘的速度為v0=3rI）

雨滴做平拋運動的時間為t=—'―'

*8圖3-21

雨滴的水平位移為s=vot=3rj[—2h

雨滴落在地上形成的大圓的半徑為

【總結(jié)】通過題目的分析，雨滴從傘邊緣沿切線方向，以一定的初速度飛出，豎直方向

上是自由落體運動，雨滴做的是平拋運動，把示意圖畫出來，通過示意圖就可以求出大圓半

徑。

（8）難點突破⑧一一圓周運動的功和能

應用圓周運動的規(guī)律解決實際生活中的問題，由于較多知識交織在一起，所以分析問題

時利用能量守恒定律和機械能守恒定律的特點作為解題的切入點，可能大大降低難度。

例9：使一小球沿半徑為R的圓形軌道從最低點上升，那么需給它最小速度為多大時，才能

使它達到軌道的最高點？

【審題】小球到達最高點A時的速度V"不能為零，否則小球早在到達A點之前就離開

了圓形軌道。要使小球到達A點（自然不脫離圓形軌道），則小球在A點的速度必須滿足

Mg+N產(chǎn)m?,式中，N.為圓形軌道對小球的彈力。上式表示小球在A點作圓周運動所需要

R

的向心力由軌道對它的彈力和它本身的重力共同提供。當NA=O時，VA最小，上底.這就

是說，要使小球到達A點,則應該使小球在A點具有的速度VA2J或。

【解析】以小球為研究對象。小球在軌道最高點時，受重力和軌道給的彈力。

小球在圓形軌道最高點A時滿足方程

吸

mg+NA=m—（1）

根據(jù)機械能守恒，小球在圓形軌道最低點B時的速度滿足方程

1,1,

-mv；+mg2R=-mVe（2）

解（1）,（2）方程組得

[R

VB=5gR+盍小

當NA