高中數(shù)學必修一《優(yōu)化方案》答案解析第一章

集合與函數(shù)概念

［犢微材破要點］

1.元素與集合

(1)元素與集合的定義：

一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集).

(2)集合中元素的性質(zhì)：

①確定性：即給定的集合，它的元素是確定的.

②互異性：即給定集合的元素是互不相同的.

③無序性.

(3)集合相等:

只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的,就稱這兩個集合是相等的.

(4)元素與集合的關系：

a是集合A的元素，記作表GA,。不是集合A的元素，記作演A.

2.集合的表示方法

除了用自然語言表示集合外，還可以用列舉法和描述法表示集合.

(1)列舉法：把集合中的元素一一列舉出來,并用花括號"{}”括起來表示集合的方法.

(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.

3.常用數(shù)集及其記法

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

記法NN*或N+ZQR

［不間做丈思維］

1.著名數(shù)學家能否構(gòu)成一個集合？

提示：不能，沒有一定的評定標準，故著名數(shù)學家是不確定的對象，所以不能構(gòu)成集合.

2.一個集合能表示成｛s,k,t,一嗎?

提示：不能，集合中的元素是互不相同的，任何兩個相同的對象在同一個集合中，只能

算作這個集合的一個元素.

3.集合｛-5,-8｝和｛(-5,-8)｝是同一集合嗎？

提示：不是同一集合.集合｛-5,—8｝中元素有2個，為數(shù).而集合｛(一5,—8)｝中有

一個元素為坐標(一5,—8).

［例1］下列每組對象能否構(gòu)成一個集合：

(1)某校2013年在校的所有高個子同學；

(2)不超過20的非負數(shù)；

(3)帥哥;

(4)直角坐標系平面內(nèi)第一象限的一些點；

(5小的近似值的全體.

［自主解答］“高個子”沒有明確的標準，因此(1)不能構(gòu)成集合.(2)任給一個實數(shù)x,

可以明確地判斷是不是"不超過20的非負數(shù)”，即“0WxW20”與“x>20或x<0"，兩者必

居其一，且僅居其一，故”不超過20的非負數(shù)”能構(gòu)成集合；(3)“師哥”沒有一個明確的

標準，不能構(gòu)成集合；(4)“一些點”無明確的標準，對于某個點是否在“一些點”中無法確

定，因此“直南坐標平面內(nèi)第一象限的一些點”不能構(gòu)成集合；(6)“小的近似值”不明確精

確到什么程度，因此很難判斷一個數(shù)如“2”是不是它的近似值，所以(5)不能構(gòu)成集合.

［方法?熱伸］____________________________

判斷指定的對象能不能構(gòu)成集合，關鍵在于能否找到一個明確標準，對于任何一個對象,

都能確定它是不是給定集合的元素，同時還要注意集合中元素的互異性、無序性.

||南式UH練

1.下列能構(gòu)成集合的是()

A.中央電視臺著名節(jié)目主持人

B.2013年沈陽全運會比賽的所有項目

C.2010年上海世博園中所有漂亮的展館

D.世界上的高樓

答案：B

集合中元素性質(zhì)的應用

［例2］已知集合『={4+2,（a+l）2,-+3a+3},若1WA,求實數(shù)〃的值.

［自主解答］若a+2=l,則。=-1,所以4=（1,0,1},與集合中元素的互異性矛盾，應

舍去；

若（。+1尸=1,則4=0或4=—2,

當a=0時，A={2,1,3},滿足題意.

當a=~2時，A={0,l,l},

與集合中元素的互異性矛盾，舍去；

若“2+3a+3=l,則a=—1或a=-2（均舍去）.

綜上可知，a=0.

例2中16A改為4WA,則結(jié)果如何？

解：若a+2=4,則4=2.

；.A={4,9,13}滿足題意.

若（。+1尸=4,則4=1或4=-3.

當a=l時，A={3,4,7},滿足題意.

當。=-3時，A={-1,3,4,}滿足題意.

若/+3a+3=4,

則a=一告"3,代入后都滿足題意，故a的值為a=1,a=2,或a=~3或a=-告"2

［方法，規(guī)制______________________________

1.這類問題既要用元素的確定性，又要利用互異性檢驗解的正確與否.初學者解題時易忽

略元素的互異性，學習中要高度重視.另外，本類問題往往涉及分類討論的數(shù)學思想.

2.一個集合中，元素之間沒有先后順序，只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，這兩個集

合就是同一個集合.

||理式訓練

2.含有兩個實數(shù)的集合A可以表示為{a—3,2a—1},求實數(shù)a的取值范圍.

解：：4={a-3,2a-l},

二由集合中元素的互異性可得a-3W2a-l.

：.a的取值范圍為“W-2.

集合的表示方法

［例3］用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

［x+y=3

(1)方程組-的解集；

口一)=5

(2)不等式2x—3>5的解集.

fx+y=3fx=4,

［自主解答］(1)集合用描述法表示為{(x,y)|').解方程組，得故集合

(x~y=5lj=-l

用列舉法表示為{(4,-1)}.

(2)由2x-3>5可得x>4,所以不等式2x-3>5的解集為{x［x>4,xCR}.

［t注?熱伸］___________________________

1.一個集合可以用不同的方法表示，需根據(jù)題意選擇適當?shù)姆椒?，同時注意列舉法和描

述法的適用范圍.

2.方程(或方程組)的解的個數(shù)較少，因此方程(或方程組)的解集一般用列舉法表示；不

等式(或不等式組)的解集一般用描述法表示.注意，當題目中要求求出“…的解集”或?qū)懗?/p>

“…的集合”時，一定要將最終結(jié)果寫成集合的形式.

IIB：訓練

3.有下面六種表示方法

①{x=—l,y=2}②，(x,y)|(=2|

③{-1,2}@(-l,2)⑤{(T,2)}⑥{x,)，|x=—1,或y=2}.

2r+y=0,

其中，能正確表示方程組，八的解集的是________(把所有正確答案的序號填在

X—y+3=0

空格上).

解析：

序號判斷原因分析

①中含兩個元素，且都是式子，而方程組的解集中只有一個元素，是一

?否

個點.

②能②代表元素是點的形式，且對應值與方程組解相同.

③否③中含兩個元素，是數(shù)集，而方程組的解集是點集，且只有一個元素.

④否④沒有用花括號“{}”括起來，不表示集合.

⑤能⑤中只含有一個元素，是點集且與方程組解對應相等.

⑥中代表元素與方程組解的一般形式不符，須加小括號（）,條件中

⑥否

“或”也要改為“且”.

答案：②⑤

審題要嚴，做題要細，一招不慎，滿盤皆輸，試

1____IIBM解題高手易錯題

試能否走出迷宮！

已知集合A中含有三個元素，1,0,x,若NGA,求實數(shù)x的值.

［錯解］Vx3eA,故f=0或一=1或J?=x,

若1=0,則x=0;

若j?=l,則x=l;

若J?=X,則X—1或x=0.

綜上所述：所求x的值為0或1.

［錯因］本題錯誤的原因有兩個，一是沒有考慮到元素的互異性，解出來的結(jié)果沒有代

入檢驗，得出了錯誤結(jié)果；二是解丁=工時漏掉了X=-l這個答案，也導致了錯誤的結(jié)果.

［正解］Vx3eA,

...f是集合4中的元素.

又?.?集合A中含有3個元素，，需分情況討論：

①若X3=（）,則x=0,此時集合A中有兩個元素0,不符合集合中元素的互異性，舍去；

②若d=l,則x=l,此時集合A中有兩個元素1,不符合集合中元素的互異性，舍去；

③若丁=X，則x=0、x=—1或x=l,當x=0、x=l時不符合集合中元素的互異性，都

舍去.當*=一1時，此時集合A中有三個元素1,0,-1,符合集合中元素的互異性；

綜上可知，X=—1.

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1.有下列各組對象:

①接近于0的數(shù)的全體;

②比較小的正整數(shù)的全體；

③平面上到點。的距離等于1的點的全體;

④正三角形的全體.

其中能構(gòu)成集合的個數(shù)是（）

A.2B.3

C.4D.5

解析：①不能構(gòu)成集合，“接近”的概念模糊，無明確標準.②不能構(gòu)成集合，“比較

小”也是不明確的，多小算小沒明確標準.③④均可構(gòu)成集合，因為任取一個元素是否是此

集合的元素有明確的標準可依.

答案：A

2.下面幾個命題中正確命題的個數(shù)是（）

①集合N*中最小的數(shù)是1；

②若一若N*,則aGN*；

③若“GN*,/7GN*,則a+匕最小值是2；

①￥+4=4*的解集是{2,2}.

A.0B.I

C.2D.3

解析：N*是正整數(shù)集，最小的正整數(shù)是1,故①正確；當“=0時，一科N",且演N*,

故②錯；若aGN’,則a的最小值是1,又bWN*,匕的最小值也是1,當“和6都取最小值

時，a+6取最小值2,故③正確；由集合元素的互異性知④是錯誤的.故①③正確.

答案：C

3.已知集合〃={3,且4WM,則實數(shù)，力等于（）

A.4B.3

C.2D.1

解析：：.4=m+\,：.m=3.

答案：B

4.已知①@|eQ③0={0}④睇N

@K6Q⑥-3GZ.正確的個數(shù)為.

解析：①②⑥是正確的：③④⑤是錯誤的.

答案：3

5.用適當?shù)姆柼羁眨杭褐?={巾=3%+2,左GZ},B^{x\x=6m-l,mSZ},則有：

17A；-5A；17B.

解析：令3k+2=17得，k=5CZ.

所以17GA.

令弘+2=—5得，Z=-3Z.

所以一5住A.

令6/n—l=17得，機=3￡Z,

所以17G/?.

答案:G,陣，G

6.用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

(1)一年中有31天的月份的全體；

(2)大于-3.5小于12.8的整數(shù)的全體；

(3)梯形的全體構(gòu)成的集合：

(4)所有非負偶數(shù)的集合；

(5)所有能被3整除的數(shù)的集合；

(6)方程。-1)。-2)=0的解集；

(7)不等式2x-l>5的解集.

解：(1)｛1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月｝.

(2)｛-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12).

(3)｛木是梯形｝或｛梯形｝.

(4)｛0,2,4,6,8,???).

⑸｛小=3〃，〃￡Z｝.

(6)｛1,2｝.

(7)｛x|2x-l>5｝.

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一、選擇題

1.下列給出的對象中，能組成集合的是()

A.一切很大的數(shù)B.高中數(shù)學的所有難題

C.美麗的小女孩D.方程,-1=0的實數(shù)根

解析：選項A,B,C中的對象都沒有明確的判斷標準，不滿足集合中元素的確定性,

故A,B,C中的對象都不能組成集合.

答案：D

2.下列命題不正確的有()

①很小的實數(shù)可以構(gòu)成集合；

②集合=/—1｝與集合｛(x,y)|y=/-1｝是同一個集合；

③1,|,I|-||,0.5這些數(shù)組成的集合有5個元素；

④集合｛(x,y)|xyW0,x,y^R｝是指第二和第四象限內(nèi)的點集.

A.1個B.2個

C.3個D.4個

解析:①錯的原因是元素不確定；②前者是數(shù)集，而后者是點集，種類不同

=0.5,有重復的元素，應該是3個元素；④該集合還包括坐標軸上的點.

答案：D

3.已知集合4={1,2,3,4,5},B={(x,y)\x^A,y&A,x-y&A},則8中所含元素的個

數(shù)為()

A.3B.6

C.8D.10

解析：列舉得集合8={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},

共含有10個元素.

答案：D

4.定義集合運算：A*B={z\z=xy,x&A,y^B}.設—={1,2},5=(0,2),則集合A*8

的所有元素之和為()

A.0B.2

C.3D.6

解析：依題意，4*5={0,2,4),其所有元素之和為6.

答案：D

二、填空題

5.集合A={(2,-2),(2,2)}中含有個元素.

解析：；(2,-2),(2,2)是兩個點，.?.有2個元素.

答案：2

6.已知集合A={(x,y)ly—2x+l),B—{(x,y)|y=x+3},a^AB.a^B,則。為.

解析：且“GB,

fy=2x+1

...a是方程組,,的解.

[y=x+3

%=2

解方程組，得,

[y=5

：.a為(2,5).

答案：(2,5)

7.用描述法表示方程雙一工一3的解集為.

解析：??5<—x—3,

??.總.

3

工解集為{加<—/}.

3

答案：{小v一]}

8.{(x,y)|(x+2)2+|y—3|=0,x,y《R}=.

解析：由(X+2)2+|)~3|=0,又(X+2)220,僅一3|一0,所以(*+2y=0,|y—3|=0,所以

x=~2,)，=3,所以{(x,^)|(x+2)2+|y-3|=0,x,y￡R}={(-2,3)}.

答案：{(-2,3)}

三、解答題

9.已知集合A含有兩個元素a—3和2a—1,

(1)若一3WA,試求實數(shù)a的值.

(2)若aGA,試求實數(shù)a的值.

解：(1)因為一3GA,

所以-3=a—3或一3=2a—1.

若一3=。-3,則a=0.

此時集合A含有兩個元素一3,-1,符合題意.

若一3=2a—1,

則a=—\.

此時集合A含有兩個元素一4,—3,符合題意，

綜上所述，滿足題意的實數(shù)a的值為0或一1.

(2)因為a&A,

所以a=a~3或a—2a~l.

當a=a—3時，有0=—3,不成立.

當a=2a—1時，有a=l,此時A中有兩個元素一2,1,符合題意.綜上知4=1.

10.已知集合4={x|丘2-8犬+16=0}只有一個元素，試求實數(shù)表的值，并用列舉法表示

集合A.

解：當k=0時，原方程變?yōu)橐?x+16=0,

所以x=2,此時集合A={2};

當上去0時，要使一元二次方程小一8尤+16=0有兩個相等實根，需1=64—64%=0,即

k=l.

此時方程的解為兩=e=4,集合4={4}.

［裱教材?裾要直］

1.子集的概念

文字語言符號語言圖形語言

集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就說這兩

A=8（或8。A）4^）或（?

個集合有包含關系,則稱集合A是集合B的子集

2.集合相等與真子集的概念

定義符號表示圖形表示

集合相等；如果4UB,且8UA,就說集合4與8相等A=B

如果集合AUB,但存在元素xGB,且依A,A伙或

真子集

則稱集合A是B的真子集BA）

3.空集

(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集.

(2)用符號表示為：0.

(3)規(guī)定：空集是任何集合的子集.

4.子集的有關性質(zhì)

(1)任何一個集合是它本身的子集,即AGA.

(2)對于集合4,B,C,如果且那么A=C.

［小問敢大思耀］

1.若4B,則AGB且對嗎？

提示：對.B,首先AQB,其中8中至少有一個元素不屬于A,即AWB.

2.任何集合都有真子集嗎？

提示：不是，空集。就沒有真子集.

3.{0}和。表示同一集合嗎？它們之間有什么關系？

提示：{0}和。不是同一個集合.{0}表示含有一個元素0的集合，。是不含任何元素的集

合，且。{0}.

t提類題通法

有限集合子集確定問題

［例1］寫出集合4={1,2,3}的所有子集和真子集.

［自主解答］由0個元素構(gòu)成的子集：。；

由1個元素構(gòu)成的子集：{I},{2},{3};

由2個元素構(gòu)成的子集：{1,2},{1,3},{2,3};

由3個元素構(gòu)成的子集：{1,2,3}.

由此得集合A的所有子集為。，{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3).

在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3},剩下的都是A的真子集.

［方法?規(guī)律］______________________________

1.求解有限集合的子集問題，關鍵有三點：

(1)確定所求集合；

(2)合理分類，按照子集所含元素的個數(shù)依次寫出；

(3)注意兩個特殊的集合，即空集和集合本身.

2.一般地，若集合A中有"個元素，則其子集有2"個，真子集有2"—1個，非空真子集

有2"一2個.

||竭武訓練

1.已知集合M滿足{2,3}1,2,3,4,5},求集合M及其個數(shù).

解：當M中含有兩個元素時，加為{2,3};

當M中含有三個元素時,M為{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5};

當M中含有四個元素時，M為{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5};

當M中含有五個元素時，M為{2,3,1,4,5}.

所以滿足條件的集合M為{2,3},{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5},

{2,3,1,4,5},集合M的個數(shù)為8.

■77集合間關系的判定

［例2］下列各式正確的是.

⑴{?《{4}；(2){1,2,3}={3,1,2}；(3)0￡{0};

(4){1}{巾W5}；(5){1,3}{3,4}.

［自主解答］

題號正誤原因

(1)V任何一個集合都是它本身的子集.

(2)V兩集合中的元素是一樣的，符合集合相等的定義.

(3)X元素0是集合{0}中的一個元素，故應為oe{o}.

VI<5,???1￡{x［x<5}.???{l}q{x|xW5}.又:{1}H{x|x<5},工

(4)V

{1}{x|xW5}.

(5)X,門6{1,3},但1陣{3,4},.\{l,3}o{3,4}.””是“真包含于”的意思

［答案］⑴⑵(4)

［t注?熱伸］___________________________

集合間關系的判定的步驟：

首先，判斷一個集合4中的任意元素是否屬于另一集合B,若是，則AQB,否則A至B；,

其次，判斷另一個集合8中的任意元素是否屬于第一個集合4,若是，則BQA,否則B堂A；,

最后，下結(jié)論：若A=B,BQA,則A=3；若A=B,B生A,則AB；若A生B,BQA,

則8A；若上述三種情況都不成立，則A至3,B至A.

I注意］有時一個集合可以看成另一個集合的元素，如{1}可以看成集合{{1},1,2,3)

中的元素，也可以看成子集，因此{1}G{{1},1,2,3}與{1}G{{1},1,2,3}都正確.

||國t訓練

2.集合M={x*+x-6=0},N={R2x+7>0},試判斷集合M和N的關系.

解：M={-3,2},A^=j.r|x>—

77

V—3>-2，2>—2，

又OWN,但04M,：.MN.

集合間關系的應用

［例3］已知集合4={乂-3或工忘4},B={x\2m~\<x<m+\］,且8=A.求實數(shù)的取值

范圍.

［自主解答］???BUA,

(1)當8=0時，〃?+lW2m—1,解得“22.

一3W2/M—1,

(2)當8W0時，有?"?+lW4,

2m_l</n+1

解得一I

綜上得—

［方法，規(guī)律］____________________________

(1)利用集合之間的關系時，首先要分析、簡化每個集合.

(2)此類問題通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù),

還要注意驗證端點值，做到準確無誤，一般含“=”用實點表示，不含“=”用虛點表示.

(3)此類問題還應注意“空集”這一“陷阱”，尤其是集合中含有字母參數(shù)時，初學者會

想當然認為非空集合而丟解，因此分類討論是必須的.

im：訓練

3.設集合A={1,3,a},B={\,cr-a+\},且4皂B,求a的值.

解：A^B,而/—o+1€B,/.a2—a+1GA.

,'.a2~a+1=3或a+1=a.

當a+l=3時，a=2或〃=—1.

(l)a=2時，A={1,3,2},B={1,3},這時滿足條件4NB;

(2)〃=-1時，4={l,3,-I},B={\,3},這時也滿足條件ANA

當/一a+l=a時，a—\,此時A={1,3,1},B={1,1),根據(jù)集合中元素的互異性，故舍

去a=1.

：.a的值為2或一1.

解題審題要嚴，做題要細，一招不慎，滿盤皆輸，試試能

易錯題

高手否走出迷宮！

已知用={小2—3x+2=0},N={x[x2-2x+a=0},若NUM,求實數(shù)”的取值范圍.

[錯解]VM={X|X2-3X+2=0}={1,2},

[1+1=2,

(1)當％={1}時，有.,??=1.

[1X1—a,

2+2=2

(2)當汽={2}時，有‘不成立.

,2X2=。，

[1+2=2,

⑶當N={1,2}時，有一c_不成立.

所以，a=l.

I錯因]空集是一個特殊的集合，是任何集合的子集，在解決集合關系問題時極易忽略。,

錯解中沒有考慮集合N為。的情況.

[正解],：M={X\X2-3X+2=0}={1,2},

叉NJM,:.N=0,或%={1},或竹⑵,或N={1,2}.

(1)當N=。時，方程x2-2x+a=0的判別式/=4-4“<0,即a>l.

1+1=2,

(2)當'={1}時，有,

[1X1=<7,

Cl=1.

2+2=2,

(3)當N={2}時，有'不成立.

2X2=。，

[1+2=2,

⑷當N={1,2}時，有不成立.

[1X2=a,

綜上可知實數(shù)。的取值范圍是

N0.1語堂強化熱身體臉，當堂鞏固所學！

1.下列命題中，正確的有（）

①空集是任何集合的真子集;

②若AB,BC,則AC；

③任何一個集合必有兩個或兩個以上的真子集；

④如果不屬于B的元素也不屬于A,則

A.①②B.②③

C.②④D.③④

解析：①空集只是空集的子集而非真子集，故①錯；②真子集具有傳遞性，故②正確;

③若一個集合是空集，則沒有真子集，故③錯；④由韋恩（Venn）圖易知④正確.

答案：C

2.設集合M={x|x>-2},則下列選項正確的是（）

A.{0}CMB.{0}GM

C.0GMD.OQM

解析：選項B、C中均是集合之間的關系，符號錯誤；選項D中是元素與集合之間的關

系，符號錯誤.

答案：A

3.已知集合4={x|x是平行四邊形},2={x|x是矩形},C={x|x是正方形},￡>={x|x是

菱形},則（）

A.AQBB.CQB

C.DQCD.AU。

解析：選項A錯，應當是選項B對，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形.選

項C錯，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形.選項D錯，應當是OG4.

答案：B

4.已知。{x|f—x+a=O},則實數(shù)a的取值范圍是.

解析：{x|x2—x+a=O}.

{x|f—x+a=O}W。.

即/一x+a=O有實根.

0]

答案：a/

5.若{〃,0/}={c,7,—1},貝lj。=,h=

11

解析--

WOO/

bP

答案：一1I0

6.已知集合人={-1,3,2〃?-1},集合B={3,〃/},若B=A,求實數(shù)機的值.

解：\-BQA,：.nT=~\,或機2=2%一］,當機2=—1時，顯然無實數(shù)根；當n^=2m

—1時，m=l..??實數(shù)m=l.

譚下檢測活頁作業(yè)，知能同步測控!

一、選擇題

1.已知集合用="￡冏-34忘1},則它的真子集的個數(shù)為（）

A.12B.14

C.15D.16

解析：：M={xWZ|-3<xWl}={-2,—1,0,1}共有4個元素，，它的真子集共有24一1

=15個.

答案：C

2.定義集合A*8=*|xGA,且遙8},若—={1,2,345},-={2,4,5},則4*8的子集個

數(shù)為（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：由題意知A*B={1,3},

：.A*B的子集個數(shù)為22=4個.

答案：D

3.已知集合M=國一小令〈小，xez）,則下列集合中為集合M子集的是（）

A.P={-3,0,1）

B.Q={-1,0,1,2}

C./?={y|-7t<y<-l,yGZ}

D.S={x||x|W小，xGN}

解析：先用列舉法表示集合，再觀察元素與集合的關系.集合M={-2,-1,0,1},集

合/?={-3,-2},5={0,1},不難發(fā)現(xiàn)集合P中的元素一36M,集合。中的元素2電W,集

合R中的元素一3由0，而S={0』}中的任意一個元素都在集合M中，所以S=M,且SM.

答案：D

4.已知集合AG{0,1,2),且集合A中至少含有一個偶數(shù)，則這樣的集合A的個數(shù)為()

A.6B.5

C.4D.3

解析：集合{0,1,2}的子集為：。，{0},{I},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2),其中含

有偶數(shù)的集合有6個.

答案：A

二、填空題

5.已知集合4={川”一1?X<。+2},B={x\3<x<5],則能使A2B成立的實數(shù)”的取值

范圍是?

a~1W3,

解析：

q+225,

a-135a+2*

...3Wa《4.

答案：3WaW4

6.設a,bGR,集合{0,%}={],a+b,a],則b—a=.

解析：由題意可知“NO,則a+〃=0,a=—h,所以與=—1,則a=-1,b=\,故b—a

=2.

答案：2

7.下列關系中正確的是.

①0G{0}；②0{0}；③{0』}￡{(0,1)}；

?{(?>b)}={(b,“)}.

解析：：。{0},...①錯誤；空集是任何非空集合的真子集，②正確，{(0,1))是含有一

個元素的點集，③錯誤；{(a,與}與{S,a)}是兩個不等的點集，④錯誤，故正確的是②.

答案：②

8.已知集合2={1,2},那么滿足QGP的集合的個數(shù)是.

解析：；P={1,2},QQP,

二集合。可以是0或{1}或{2}或{1,2}.

答案：4

三、解答題

9.由“2,a,b”三個元素構(gòu)成的集合與由“2a,2,廬，三個元素構(gòu)成的集合是同一個

集合，求a,b的值.

解：根據(jù)集合相等，有

a=2a,

b=b2或i，，=2a,

a=0,\a4,

再根據(jù)集合元素的互異性，得或《

b=\.1

10.設集合A={4r2-5x+6=0},B=M?-(2a+l)x+a2+a=0},若8QA,求a的值.

解：法一：4={劉/一5x+6=0}={2,3},由8UA得，8=0,或8={2},或B={3},

或8={2,3},由于/=(2a+1)2—4/-4a=l>0,

.?.8W0,且B含有兩個不同元素.

.”={2,3},需2a+1=5和J+a=6同時成立，

***a=2.

綜上所述：a=2.

法二：A={^|x2—5JT+6=0}={2,3},

B={x\Xi-(2a+l)x+a1+a^0]={x\(x-a)-

(jc—tz_1)=0}={a,a+I},

.?.當BGA時，只有a=2且a+l=3.

?*.a=2.

I.1.3集合的基本運算

第一課時并集與交集

［犢段材饃要點J

1.集合的并集與交集的定義

并集交集

自然由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素由屬于集合A且屬于集合B的所有元素

語言組成的集合組成的集合

符號

AUB={x|xJ或xGB}4nB={小邑且xCB}

語言

圖形

語言CZMD

2.并集與交集的運算性質(zhì)

并集的運算性質(zhì)交集的運算性質(zhì)

AUB=BUAAQB=BQA

AUA=AAQA=A

AU0=AAG0=g

AQB<^AUB=BAQB<^AQB=A

AH恒3,AG恒4

［小問散人思旗］

1.若4={1,2,3},B={3,4,5},那么AU8={1,2,3,3,4,5}對嗎？如何表示AU8和AnB?

提示：AUB={1,2,3,3,4,5}是不對的，因為不符合元素的互異性；AUB={1,2,3,4,5},ACB

={3}.

2.你認為并集概念中的“或”與我們?nèi)粘Ｉ钪小盎颉币饬x一致嗎？有什么區(qū)別？

提示：并集中的“或”與生活中“或”是不一樣的.生活用語中的“或”是“或此”“或

彼”只取其一，如“老師讓張明或李紅去開會”，意思是張明去也可以，李紅去也可以，但

不包括張明和李紅一起去這種情況；而并集中的“或”則是“或此”“或彼”“或彼此”.

3.若集合A與集合B沒有公共元素，能否說集合4與集合B沒有關系？

提示：當兩集合A與2沒有公共元素時，不能說集合4與B沒有關系，而是AC1B=0.

MINGSHIKBTANGYIDIANTONG

集合交并的簡單運算

I例1］已知集合4={x|(x—l)(x+2)=0},B={疝x+2)(x—3)=0},則集合AU8是()

A.{-1,2,3}B.{-1,-2,3)

C.{1,-2,3}D.［1,一2,-3)

［自主解答］A={x|(x-I)(x+2)=O}={1,-2}：B={x|(x+2)(x-3)=0}={-2,3),

/.AUB={1,-2}U{-2,3］={—2,1,3}.

1答案］C

［方法,規(guī)律］____________________________

解決此類問題首先應看清集合中元素的范圍，簡化集合，若是用列舉法表示的數(shù)集，可

以根據(jù)交集、并集的定義直接觀察或用Venn圖表示出集合運算的結(jié)果；若是用描述法表示

的數(shù)集，可借助數(shù)軸分析寫出結(jié)果，此時要注意當端點不在集合中時，應用“空心點”表示.

■酶^訓練

1.已知集合4={刃一1<XW3},B={x|xWO,或x2|},求AAB,AU8.

解：：A={x|-1VXW3},B={x|xWO,或x2|},

把集合A與8表示在數(shù)軸上，如圖.

----------1-L—<!>—I—I-II-------

-2-101253”

2

AnB={x\~1<xW3}n{xlxWO或x》|}

={x|—IVxWO或,WxW3};

AUB=閔一1VxW3}U{x|xWO或x>1}=R.

—已知集合交集、并集求參數(shù)

［例2］已知集合A={1,3,x},B={1,x2),AUB={1,3,x},求滿足條件的實數(shù)x的

值.

［自主解答］VAUB={1,3,x},A={1,3,x},8={1,x2},

：.AiJB=A,即BUA,

/.X2=3或x2=x.

①當f=3時，得x=±^§.

若》=小，則人={1,3,小},8={1,3},符合題意；

若》=一小，則4={1,3,一小},8={1,3},符合題意.

②當，=x時，則x=O或x=l.

若x=O,則4={1,3,0},8={1,0},符合題意；

若x=l,則—={1,3,1},B={1,1},不成立，舍去;

綜上可知，x=±>/5或尤=0.

［方法，規(guī)律］______________________________

(1)在利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時，常常會遇到AC8=A,AU8=8等這類問題，

解答時常借助于交、并集的定義及上節(jié)學習的集合間的關系去分析，如A

UB=B0AG8等，解答時應靈活處理.

(2)對于含有參數(shù)的問題要分類討論，同時要檢驗，利用好集合中元素的互異性.

||嗓t訓練

2.已知集合4={4,6},8={2,膽},AU8={2,4,6},則，〃的值為.

解析：：4={4,6},B=[2,m),

而AUB={2,4,6},

.'.m—4或=6.

答案：4或6

解題

II____妙解題同樣的結(jié)果，不一樣的過程，節(jié)省解題時間，也是得分!

圖手

集合4=國$-0%+°2—19=0},B={x*-5x+6=0},C={x*+2x—8=0}.

(1)若AnB=4UB,求〃的值；

(2)若。AC8,AOC=0,求a的值.

［巧思］(1)ACB=4UB0A=B；(2)04nB㈡ACB#。.

［妙解］由已知，得8={2,3},C={2,-4}.

(l)：4n8=4UB,；.A=8.于是2,3是一元二次方程￥一如+/—19=0的兩個根，由根

［2+3=a,

與系數(shù)之間的關系知：2解之得a=5.

［2X3=a-19

(2)由4CB00ACBW0,又ADC=0,得3^4,24A,一4€A.

由3GA得3z—3。+/—19=0,

解得a=5或a=-2.

當a=5時，A={x*—5x+6=0}={2,3},與24A矛盾；

當〃=-2時，A={X|X2+2A—15=0}={3,一5},符合題意.

ci=-2.

NO.r課堂強化熱身體驗，當堂鞏固所學！

1.已知集合知={123,4},N={-2,2},下列結(jié)論成立的是()

A.NUMB.MUN=M

C.MCN=ND.MAN={2}

解析：因為一2qM,可排除A;MUN={-2,1,2,3,4},可排除B;MA7V={2}.

答案：D

2.設A={xeN|l〈xW10},B={xeR*+x-6=0},則如圖中陰影部分表示的集合為

)

C.{-3,2}D.{-2,3}

解析：注意到集合A中的元素為自然數(shù)，因此易知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},而直接解

集合8中的方程可知8={-3,2},因此陰影部分顯然表示的是AClB={2}.

答案:A

3.設集合M={x|-3Wx<7},N={x\2x+k^0},若MCN