人教A版必修第二冊8621直線與平面垂直的判定學(xué)案

8.6.2直線與平面垂直

新課程標(biāo)準(zhǔn)新學(xué)法解讀

1.直線與平面垂直是直線與平面

相交的特殊狀況，對于這種特殊關(guān)

系的熟悉，既可以從直線與平面相

借助長方體，通過直觀感知、了解

交所成的角為90。的角度來爭論，

空間中直線與平面垂直的判定定

又可以從的線線垂直關(guān)系動身進(jìn)

理與性質(zhì)定理.

行推理論證.

2.對于線面垂直的判定定理和性

質(zhì)定理的把握，應(yīng)特殊留意條件.

課前篇咱主梳理穩(wěn)固根底

［筆記教材］

學(xué)問點1直線與平面垂直

一般地，假設(shè)直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們

就說直線/與平面a相互垂直，記作La.直線/叫做平面a的垂線，

平面a叫做直線/的垂面.直線與平面垂直時，它們唯一的公共點尸

叫做垂足.

畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊

形的一邊垂直.

位置

定理符號表示圖形表示

關(guān)系

如果一條直線aUa,bUa

I

與一個平面內(nèi)an〃=o

判心卜

的兩條相交直

定

線垂直，那么Z_La

該直線與此平山

線面

面垂直今11a

垂直

ab

垂直于同一個a_La\

性

質(zhì)平面的兩條直〃J_aIL

線平行*〃力1

學(xué)問點2直線與平面所成的角

如下圖，一條直線/與一個平面a相交，但不與這個平面垂直,

這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足.過斜

線上斜足以外的一點P向平面a引垂線PO,過垂足0和斜足A的直

線A0叫做斜線在這個平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上

的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.直線與平面所

成的角6的取值范圍是0。＜?；?0。.

學(xué)問點3空間點、線、面的距離

過一點作垂直于平面的直線，那么該點與垂足間的線段叫做這

個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.

一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面

的距離叫做這條直線到這個平面的距離.

假設(shè)兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個

平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離.

第一課時直線與平面垂直的判定

［重點理解］

(1)定義中的“任意.二條直線”這一詞語與“全部直線〃是同

義語，與“很多條直線“不是同義語.

(2)直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情形.

(3)由直線與平面垂直的定義可得，假設(shè)一條直線垂直于一個平

面，那么這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線.這是推斷兩條直

線垂直的一種重要方法.

不能用“一條直線與平面內(nèi)的兩條平行直線垂直來推斷此直線

與平面垂直”.實際上，由根本領(lǐng)實4可知，平行具有“傳遞性〃，

因此一條直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，那么它與這個平面內(nèi)平行于

這條直線的全部直線都垂直，但不能保證與其他直線平行.

直線與平面垂直的判定定理表達(dá)了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，即將

線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直.

(1)對斜線和平面所成的角的定義的理解

斜線和平面所成的角定義說明斜線和平面所成的角是通過斜線

在平面內(nèi)的射影而轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角.

(2)推斷方法

首先，推斷直線和平面的位置，假設(shè)直線在平面內(nèi)或與平面平

行，此時直線與平面所成的角為0。的角；假設(shè)直線與平面垂直，此時

直線與平面所成的角為90。.

其次，假設(shè)直線與平面斜交，可在斜線上任取一點作平面的垂

線（實際操作過程中，這一點的選取要有利于求角），找出直線在平面

內(nèi)的射影，從而確定出直線和平面所成的角，一般轉(zhuǎn)化到直角三角形、

等邊三角形中求解.

［自我排查］

1.（多項選擇）以下說法中，正確的選項是（）

/與平面a內(nèi)的一條直線垂直，那么/_La

/與平面a內(nèi)的兩條直線垂直，那么

/與平面a內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么

/與平面a內(nèi)的任意一條直線垂直，那么/±ot

答案：CD

解析：對于A,B,不能判定該直線與平面垂直，該直線與平

面可能平行，也可能斜交，也可能在平面內(nèi)，所以是錯誤的.C,D

是正確的，應(yīng)選CD.

OA,OB,0C兩兩垂直，那么直線0A垂直于（）

OABB.平面OAC

OBCD.平面ABC

答案：C

解析：由線面垂直的判定定理知0A垂直于平面03c.應(yīng)選C.

3.假設(shè)一條直線和三角形的兩邊同時垂直，那么這條直線和三

角形的第三邊的位置關(guān)系是（）

A.平行B.垂直

C.相交不垂直D.不確定

答案：B

解析：一條直線和三角形的兩邊同時垂直，那么其垂直三角形

所在平面，從而垂直第三邊.應(yīng)選B.

ABCD-MBxCxDx中，直線ABi與平面ABCD所成的角等于

答案：45°

解析：如下圖，由于正方體43。一4囪。1。1中，3i8_L平面

ABCD,所以A3即為AB在平面4BCD中的射影，NBA3即為直線

ABi與平面A3CQ所成的角.由題意知，ZBiAB=45°,故所求角為

45°.

課堂篇?重點難點研習(xí)突破

研習(xí)1線面垂直概念的理解

［典例1］(鏈接教材第151頁例3)以下命題中，正確的序號是

①假設(shè)直線/與平面a內(nèi)的很多條直線垂直，那么LLa；

②假設(shè)直線/不垂直于平面a,那么a內(nèi)沒有與/垂直的直線；

③假設(shè)直線/不垂直于平面a,那么a內(nèi)也可以有很多條直線與

/垂直；

④過一點和平面垂直的直線有且只有一條.

I答案］③④

［解析］當(dāng)直線/與平面a內(nèi)的很多條直線垂直時，/與a不肯

定垂直，所以①不正確；當(dāng)/與a不垂直時，/可能與a內(nèi)的很多條

平行直線垂直，所以②不正確，③正確；過一點有且只有一條直線垂

直于平面，所以④正確.

［巧歸納］直線與平面垂直定義的“雙向〃作用

(1)證明線面垂直：假設(shè)一條直線與一個平面內(nèi)任意一條直線都

垂直，那么該直線與平面垂直.即線線垂直二線面垂直；

(2)證明線線垂直：假設(shè)一條直線與一個平面垂直，那么該直線

與平面內(nèi)任意一條直線垂直.即線面垂直今線線垂直.

［練習(xí)1］假設(shè)一條直線垂直于一個平面內(nèi)的：①三角形的兩

邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊.能保證該

直線與平面垂直的是(填序號).

答案：①③④

解析：依據(jù)直線與平面垂直的判定定理，平面內(nèi)這兩條直線必

需是相交的，①③④中給定的兩直線肯定相交，能保證直線與平面垂

直，而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們相互平行，不滿意定理

條件.

研習(xí)2直線與平面垂直的判定

［典例2］（鏈接教材第152頁練習(xí)2題）如下圖，直角△ABC所

在的平面外一點S,SA=SB=SC,點。為斜邊4C的中點.求證：直

線SQJ_平面A3C.

［證明］.:SA=SC,點。為斜邊AC的中點,

：.SD±AC.

如圖，連接3Q,在RtZL4BC中，AD=DC=BD,

NADS=NBDS,

「.SO_L3D又ACG8D=O,

二.S。J■平面ABC

［母題探究］（變條件）在本例中，假設(shè)AB=BC,其他條件不變,

那么BD與平面5AC的位置關(guān)系是什么？

解：點O為斜邊AC的中點，

：.BDLAC.

又由例題知SZ5_L8D.

于是BD垂直于平面SAC內(nèi)的兩條相交直線，

故30,平面SAC.

［巧歸納］線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化

線線

義

直的定

線線面垂面

垂垂

定定理

宜的判

宜紋而垂走

一

么另外

直，那

面垂

個平

與一

立線

一條

線中的

條平行

如果兩

立

平面垂

也與此

條立線

D

C,A

面AB

A_L平

°,S

B=90

ZAC

中，

△ABC

如圖，

2］

［練習(xí)

C

面SB

，平

：A。

,求證

于Q

_LSC

C.

C_LA

所以3

90。，

C3=

于NA

：由

證明

3c.

SA_L

,所以

ABC

L平面

又SA_

SAC

_平面

以3CJ

-4,所

GSA

又AC

D

C_LA

所以3

AC,

平面S

AQU

由于

C,

BC=

SS

UQ,

又SC

BC.

平面S

AC

所以

角

成的

面所

與平

直線

研習(xí)2

中，斜

MC

口△5

圖，在

4）如下

頁例

第152

教材

（鏈接

3］

［典例

C

,求M

=60°

MBC

4,Z

長為

影A3

的射

BC上

平面A

它在

=5,

邊BM

弦值.

角的正

B所成

面CA

與平

影,

上的射

ABC

平面

M在

知A是

由題意

［解］

8C,

平面A

.

為AC

的射影

AB上

面C

在平

.■.MC

角.

所成的

CAB

平面

C與

線M

為直

A即

ZMC