高考空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問題專項(xiàng)突破復(fù)習(xí)

PAGEPAGE32013屆高考球體問題專項(xiàng)突破復(fù)習(xí)例1球面上有三點(diǎn)、、組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形三個(gè)頂點(diǎn)，其中，、，球心到這個(gè)截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積．分析：求球的表面積的關(guān)鍵是求球的半徑，本題的條件涉及球的截面，是截面的內(nèi)接三角形，由此可利用三角形求截面圓的半徑，球心到截面的距離為球半徑的一半，從而可由關(guān)系式求出球半徑．解：∵，，，∴，是以為斜邊的直角三角形．∴的外接圓的半徑為，即截面圓的半徑，又球心到截面的距離為，∴，得．∴球的表面積為．說明：涉及到球的截面的問題，總是使用關(guān)系式解題，我們可以通過兩個(gè)量求第三個(gè)量，也可能是抓三個(gè)量之間的其它關(guān)系，求三個(gè)量．例2．自半徑為的球面上一點(diǎn)，引球的三條兩兩垂直的弦，求的值．分析：此題欲計(jì)算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個(gè)封閉的圖形內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián)．解：以為從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，則另外四個(gè)頂點(diǎn)必在球面上，故長方體是球的內(nèi)接長方體，則長方體的對角線長是球的直徑．=．說明：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中體積計(jì)算．1、一個(gè)四棱柱的底面是正方形,側(cè)棱與底面垂直,其長度為4,棱柱的體積為16,棱柱的各頂點(diǎn)在一個(gè)球面上,則這個(gè)球的表面積是()A.16π B.20π C.24π D.32π答案:C解:由題意知,該棱柱是一個(gè)長方體,其長、寬、高分別為2,2,4.所以其外接球的半徑R==.所以球的表面積是S=4πR2=24π.2、一個(gè)正四面體的所有棱長都為,四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則此球的表面積為()A.3π B.4π C.3π D.6π答案:A以四面體的棱長為正方體的面對角線構(gòu)造正方體,則正方體內(nèi)接于球,正方體棱長為1,則體對角線長等于球的直徑,即2R=,所以S球=4πR2=3π.3.在半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體,試求這個(gè)半球的體積與正方體的體積之比.解：將半球補(bǔ)成整個(gè)的球（見題中的圖）,同時(shí)把原半球的內(nèi)接正方體再補(bǔ)接一個(gè)同樣的正方體,構(gòu)成的長方體剛好是這個(gè)球的內(nèi)接長方體,那么這個(gè)長方體的體對角線便是它的外接球的直徑.設(shè)原正方體棱長為a,球的半徑為R,則根據(jù)長方體的對角線性質(zhì),得(2R)2=a2+a2+(2a)2,即4R2=6a所以R=a.從而V半球=R3==a3,V正方體=a3.因此V半球∶V正方體=a3∶a3=π∶2.4.一個(gè)正四面體的所有棱長都為,四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則此球的表面積為()A.3π B.4π C.3π D.6π答案:A解析:以PA,PB,PC為棱作長方體,則該長方體的外接球就是三棱錐P-ABC的外接球,所以球的半徑R==2,所以球的表面積是S=4πR2=16π.5.過球表面上一點(diǎn)引三條長度相等的弦、、，且兩兩夾角都為，若球半徑為，求弦的長度．解：由條件可抓住是正四面體，、、、為球上四點(diǎn)，則球心在正四面體中心，設(shè)，則截面與球心的距離，過點(diǎn)、、的截面圓半徑，所以得．6.一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（B）A．B．C．D．7.直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于。解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑，故此球的表面積為.8．正三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，若兩點(diǎn)的球面距離為，則正三棱柱的體積為．答案89.表面積為的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為A．B．C．D．答案A【解析】此正八面體是每個(gè)面的邊長均為的正三角形，所以由知，，則此球的直徑為，故選A。10.已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于（D）A.2B.C.D.11.正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為(C)A.1∶B.1∶3C.1∶3D.1∶912.一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面．已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，則這個(gè)球的體積為．()13.一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為．ABCPDEF14.一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長為1ABCPDEF15.如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐，則此正六棱錐的側(cè)面積是________．16.棱長為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是.16.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（C） A． B．C． D．以上都不對 17.設(shè)正方體的棱長為EQ\f(2\r(3),3)，則它的外接球的表面積為（C） A．B．2πC．4π D．18．（2012新課標(biāo)理）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的求面上,是邊長為的正三角形,