浙江省2024年高中數(shù)學1月學業(yè)水平考試試題

PAGE24-浙江省2024年中學數(shù)學1月學業(yè)水平考試試題一、選擇題（本大題共18小題，每小題3分，共54分.每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)集合的并集運算,即可求解.【詳解】因為集合,由集合的并集定義可知故選:D【點睛】本題考查了集合的并集運算,屬于基礎(chǔ)題.2.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)誘導公式,化簡即可求解.【詳解】由誘導公式可知故選:A【點睛】本題考查了誘導公式的簡潔應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3.（）A.0 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)對數(shù)的運算及常數(shù)對數(shù)的值即可求解.【詳解】依據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可知故選:B【點睛】本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)的簡潔應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4.圓的半徑是（）A.2 B.3 C.6 D.9【答案】B【解析】分析】將圓的一般方程化為標準方程,即可求得圓的半徑.【詳解】因為圓化為標準方程可得所以圓的半徑為3故選:B【點睛】本題考查了圓的一般方程與標準方程的轉(zhuǎn)化,圓的標準方程的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.5.不等式（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】依據(jù)肯定值不等式,分類探討解不等式即可求解.【詳解】不等式當時,不等式可化為,即.所以當時,不等式可化為,即.所以綜上可知,不等式的解集為,即故選:A【點睛】本題考查了肯定值不等式的解法,分類探討解肯定值不等式,屬于基礎(chǔ)題.6.橢圓的焦點坐標是（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】【分析】依據(jù)橢圓的標準方程,先推斷出焦點位置并求得.再依據(jù)橢圓中的關(guān)系即可求得焦點坐標.【詳解】橢圓所以為焦點在軸上,且由橢圓中可得因而所以焦點坐標為,故選:C【點睛】本題考查了橢圓的標準方程及簡潔性質(zhì),橢圓中的關(guān)系及焦點坐標求法,屬于基礎(chǔ)題.7.若實數(shù)，滿意不等式組，則的最大值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】分析】依據(jù)不等式組,畫出可行域,由可行域即可求得線性目標函數(shù)的最大值.詳解】依據(jù)所給不等式組,畫出可行域如下圖所示:將平移即可得目標函數(shù)因而當經(jīng)過點時,目標函數(shù)的截距最大此時所以的最大值是故選:D【點睛】本題考查了線性規(guī)劃的簡潔應(yīng)用,線性目標函數(shù)的最值求法,屬于基礎(chǔ)題.8.已知直線和平面，若，，則過點且平行于的直線（）A.只有一條，不在平面內(nèi) B.只有一條，且在平面內(nèi)C.有多數(shù)條，肯定在平面內(nèi) D.有多數(shù)條，不肯定在平面內(nèi)【答案】B【解析】【分析】假設(shè)m是過點P且平行于l的直線，n也是過點P且平行于l的直線，則與平行公理得出的結(jié)論沖突，進而得出答案.【詳解】假設(shè)過點P且平行于l的直線有兩條m與n，則m∥l且n∥l由平行公理得m∥n，這與兩條直線m與n相交與點P相沖突，故過點且平行于的直線只有一條，又因為點P在平面內(nèi)，所以過點P且平行于l的直線只有一條且在平面內(nèi)．故選B【點睛】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，空間中直線與平面的位置關(guān)系．過一點有且只有一條直線與已知直線平行．9.過點且與直線垂直的直線方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)直線垂直時的斜率關(guān)系,先求得直線的斜率.再由點斜式即可求得直線方程,進而化為一般式可得解.【詳解】因為直線可化為當直線垂直時的斜率乘積為1,所以因為經(jīng)過點由點斜式可知直線方程為化簡可得故選:D【點睛】本題考查了垂直直線的斜率關(guān)系,點斜式方程的用法,將方程化為一般式的方法,屬于基礎(chǔ)題.10.在中，角，，所對的邊分別是，，，若，，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)正弦定理,即可求得的值.【詳解】在中,角,,所對的邊分別是,,若,,由正弦定理可知代入可得解得故選:D【點睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的簡潔應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性及特別值,可推斷函數(shù)的圖像.【詳解】因為而為偶函數(shù),為奇函數(shù),所以為奇函數(shù),所以解除C,D.當時,,,所以,所以解除B選項.故選:A【點睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式推斷函數(shù)圖像,利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和特別值,可解除選項,屬于基礎(chǔ)題.12.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）是（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】依據(jù)三視圖,還原出空間幾何體,即可求得該幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體為三棱錐,其空間結(jié)構(gòu)體如下圖所示:則由三視圖中的線段長度可知則故選:B【點睛】本題考查了三視圖的簡潔應(yīng)用,依據(jù)三視圖還原空間幾何體,棱錐的體積求法,屬于基礎(chǔ)題.13.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】依據(jù)立方和公式,結(jié)合充分必要條件的推斷即可得解.【詳解】因為當時,,所以.即“”是“”的充分條件.當時,由于成立,所以,即“”是“”的必要條件.綜上可知,“”是“”的充要條件故選:C【點睛】本題考查了立方和公式的用法,充分必要關(guān)系的推斷,屬于基礎(chǔ)題.14.設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點.若雙曲線上存在一點，使得，且，則該雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的定義及,用表示出,再在三角形中由余弦定理求得的關(guān)系,進而求得離心率.【詳解】,分別是雙曲線左、右焦點,且雙曲線上的點滿意所以,解得因為,所以在三角形中由余弦定理可得,代入可得化簡可得,即所以故選:B【點睛】本題考查了雙曲線的定義,利用余弦定理解三角形,雙曲線離心率的求法,屬于基礎(chǔ)題.15.點P從O動身,按逆時針方向沿周長為的圖形運動一周,點O、P的距離（）與點P走過的路程()的函數(shù)關(guān)系如圖所示.那么點P所走過的圖形是圖中的().A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】易知,選項(A)、(B)的圖像是若干條線段組成的折線;選項(D)中當點P走過的路程為時，OP不是最大值(過點P作OP的垂線交橢圓于點P′,明顯,OP′>OP);選項(C)中,其圖像如圖.選C.16.設(shè)數(shù)列滿意，，，，則滿意的的最大值是（）A.7 B.9 C.12 D.14【答案】C【解析】【分析】依據(jù)數(shù)列滿意的條件,探討n的奇偶性,即可求得解析式.依據(jù)解析式解肯定值不等式即可求得滿意條件的的最大值.【詳解】數(shù)列滿意,,則則當奇數(shù)時,所以,代入可得,解不等式可得而,所以此時的最大值是9則當偶數(shù)時,所以若,代入可得,解不等式可得而,所以此時的最大值是12綜上可知,的最大值是12故選:C【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式求法,對奇偶項分類探討數(shù)列的性質(zhì),肯定值不等式的解法,屬于中檔題.17.設(shè)點，的坐標分別為，，，分別是曲線和上的動點，記，.（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意,由向量數(shù)量積和投影的定義,結(jié)合平面對量共線的性質(zhì)即可推斷選項.【詳解】依據(jù)題意,在直線上取,且.過分別作直線的垂線,交曲線于和交于.在曲線上取點,使.如下圖所示:若,則若,則即可.此時可以與重合,與重合,滿意題意,但是不成立,且所以A、B錯誤;對于C,若,則,此時必有與對應(yīng)(或與),所以滿意,所以C正確;對于D,對于點,滿意,但此時在直線上的投影不在處,因而不滿意,即,所以D錯誤綜上可知,C為正確選項故選:C【點睛】本題考查了平面對量數(shù)量積的意義及向量投影的應(yīng)用,向量共線的特征和性質(zhì),綜合性強,較為困難,屬于難題.18.如圖，在圓錐中，，是上的動點，是的直徑，，是的兩個三等分點，，記二面角，的平面角分別為，，若，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)底面圓的半徑為,,以所在直線為軸,以垂直于所在直線為軸,以所在直線為軸建立空間直角坐標系,寫出各個點的坐標.利用法向量求得二面角與夾角的余弦值.結(jié)合即可求得的取值范圍,即可得的最大值.【詳解】設(shè)底面圓的半徑為,,以所在直線為軸,以垂直于所在直線為軸,以所在直線為軸建立空間直角坐標系,如下圖所示:則由可得,,是的兩個三等分點則所以設(shè)平面的法向量為則,代入可得化簡可得令,解得所以平面的法向量為由圖可知,二面角的平面角為銳二面角,所以二面角的平面角滿意設(shè)二面角的法向量為則代入可得化簡可得令,解得所以平面的法向量為由圖可知,二面角的平面角為銳二面角,所以二面角的平面角滿意由二面角的范圍可知結(jié)合余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知即化簡可得,且所以所以的最大值是故選:B【點睛】本題考查了空間直角坐標系在求二面角中的綜合應(yīng)用,依據(jù)題意建立合適的空間直角坐標系,求得平面的法向量,即可求解.本題含參數(shù)較多,化簡較為困難,屬于難題.二、填空題（本大題共4小題，每空3分，共15分）19.設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，，則______，______.【答案】(1).1(2).15【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列的通項公式,可求得與.再求得,即可求得的值.【詳解】因為數(shù)列為等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項公式可知而,所以,解方程組可得所以所以故答案為:;【點睛】本題考查了等比數(shù)列通項公式的簡潔應(yīng)用,前n項和的求法,屬于基礎(chǔ)題.20.設(shè)，分別是平面，的法向量，，.若，則實數(shù)______.【答案】4【解析】【分析】依據(jù)兩個平面平行時,其法向量也平行,即可求得參數(shù)m的值.【詳解】因為,且,分別是平面,的法向量則因為,所以存在,滿意則即解得所以故答案為:【點睛】本題考查了平面平行時法向量的關(guān)系,平行向量的坐標表示及關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.21.在中國古代數(shù)學著作《就長算術(shù)》中，鱉臑（biēnào）是指四個面都是直角三角形的四面體.如圖，在直角中，為斜邊上的高，，，現(xiàn)將沿翻折，使得四面體為一個鱉臑，則直線與平面所成角的余弦值是______.【答案】【解析】【分析】作于交于,可證明平面,則即為與平面的夾角.依據(jù)線段關(guān)系即可求解.【詳解】作于交于因為且所以平面而平面所以平面平面又因為平面平面,且所以平面則即為與平面的夾角因為直角中,,所以則所以在直角三角形中,故答案:【點睛】本題考查了空間幾何體中直線與平面的夾角求法,直線與平面垂直關(guān)系的判定,對空間想象實力和計算實力要求較高,屬于中檔題.22.已知函數(shù)，若存在，使得在上恰有兩個零點，則實數(shù)的最小值是______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)存在在上恰有兩個零點,則求得當時滿意條件的.再由當時取到零點,即可求得的值.【詳解】因為函數(shù),在上恰有兩個零點則必在與時恰好取到零點的邊界若時,的零點滿意解方程求得或當時,,滿意在上恰有兩個零點則,且解方程可得(舍)或(舍)當時,,滿意在上恰有兩個零點則,且解方程可得(舍)或綜上可知,當時滿意在上恰有兩個零點故答案為:【點睛】本題考查了含肯定值函數(shù)零點的分類探討,留意恰有兩個零點條件的應(yīng)用,依據(jù)邊界取等時能剛好取得,屬于中檔題.三、解答題（本大題共3小題，共31分）23.已知函數(shù)，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小正周期；（Ⅲ）求在上的值域.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）將代入解析式,即可求得的值.（Ⅱ）依據(jù)正弦的二倍角公式化簡后,即可求得的最小正周期.（Ⅲ）依據(jù)正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì),可求得在上的值域.【詳解】（Ⅰ）即（Ⅱ）因故的最小正周期（Ⅲ）當時,因此當,即時,當,即時,所以在上的值域為.【點睛】本題考查了正弦函數(shù)的求值,正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)簡潔應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.24.如圖，設(shè)拋物線與的公共點的橫坐標為，過且與相切的直線交于另一點，過且與相切的直線交于另一點，記為的面積.（Ⅰ）求的值（用表示）；（Ⅱ）若，求的取值范圍.注：若直線與拋物線有且只有一個公共點，且與拋物線的對稱軸不平行也不重合，則稱該直線與拋物線相切.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）將的橫坐標為代入拋物線解析式可得,再代入拋物線解析式,化簡即可用表示的值.（Ⅱ）設(shè)出點的坐標,結(jié)合M的坐標即可表示出直線的方程.聯(lián)立拋物線,依據(jù)相切時判別式可得,表示出直線的方程.利用兩點式表示出直線的斜率,即可用表示出點的坐標.同理可求得點的坐標.進而利用兩點間距離公式表示出,利用點到直線距離公式求得到直線的距離,即可表示出的面積.結(jié)合的取值范圍,即可求得的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）因點在拋物線:上,故又點在拋物線：上,故,則（Ⅱ）設(shè)點,直線的方程為聯(lián)立方程組消去,得則因此即直線的方程為則直線的斜率從而,即同理,直線的方程為,點因此點到直線：的距離故的面積即因為即解得.【點睛】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,利用韋達定理分析直線與拋物線的交點問題,兩點間距離公式及點到直線距離公式的應(yīng)用,綜合性強,屬于難題.25.設(shè)，函數(shù)，，.（I）若為偶函數(shù)，求的值；（Ⅱ）當時，若在上均單調(diào)遞增，求的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)，若對隨意，都有，求的最大值.【答案】（I）；（Ⅱ）；（Ⅲ）－15.【解析】【分析】（I）由題意函數(shù)為偶函數(shù)，