高一第二學(xué)期必修第二冊-平面向量單元綜合（解析版）

高一第二學(xué)期必修第二冊

鞏固提升篇一平面向量單元綜合

一、選擇題

1.已知點A(1,0),向量標=(3,-2)，若族=2亞，則點P的坐標為()

A.(6,-4)B.(7,-4)C.(-5,4)D.-1)

【答案】B

【解析】設(shè)點P(x,y),^B=(3,-2)，A(1，0),^p=(x-1,y),AP=2AB，

(x-1,y)=2(3,-2)=(6,-4),

???(xT=6,解得

ly=-4｛總

，P點坐標為(7,-4).

故選：B.

2.已知向量方=(O,l),向量B=1芋QJ,則汗-5與方的夾角為()

■兀c兀八2兀5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

【答案】B

【解析】

rr「豆

因為。―6=一千，設(shè)所求角度為巴

卜_八r1

則cosL又。?。，句，所以6=f

"a：-b\-^\1x123

故選:B.

3.已知向量萬=(T,2),B=(X,4),且］J_B，則|同=()

A.275B.473

C.475D.8

1

【答案】c

【解析】因為方=（T，2）,B=（X,4）,萬，B，.?.x=8,1=（8,4），W=4指

4.已知而，正是非零向量，（AB-2.AC）±AB,（AC-2.AB）±AC,則&45c的

形狀為（）

A.等腰（非等邊）三角形B.直角（非等腰）三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】V（AB-2AC）±AB,:.（AB-2AC）AB=Q,

即ABAB-2ACAB=0.

?.-(AC-2AB)±AC,(AC-2AB)-AC=0,

BPAC-AC-2AB-AC=0.

:.ABAB=ACAC=2ABAC,BP|AB|=|AC|.

--C°S&=橙器W'"60°'AABC為等邊三角豚

5.設(shè)￡,另為非零向量，則“|￡+?=同+忖”是“z與石共線”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

若K+q=MI+W，則）與石共線，且方向相同，充分性；

當(dāng)￡與石共線，方向相反時，K+4陽+艮故不必要.

故選：A.

【點睛】本題考查了向量共線，充分不必要條件，意在考查學(xué)生的推斷能力.

6.已知同=3,a與6的夾角為120。，則a在6方向上的投影向量的模為（）

A.-B.巫C.2D.2m

22

【答案】A

【解析】

,.?阿=3,a與6的夾角為120°,;.|a|cosl200=3x]-=在6方向上的投影

向量的模為3.

2

2

a+b+c

7.在中，A=60°,a=V13,則等于（

sinA+sinB+sinC)

2739C26b

A隨B.D.2V3

?333

【答案】B

abcV132V39

【解析】由正弦定理sinAsinBsinC3

2V39..j2V39.2V39.「

a=---sinA^b=---sinBn，c=---sinC

333

則a+b+c(sinA+sinB+sinC)

sinA+sinB+sinCsinA+sinB+sinC

2V39

3

故選B.

8?向量Q,上c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c=及+〃伙2,〃eR），則乙_（

A.2B.4C.5D.7

【答案】B

【解析】根據(jù)題意不妨取如圖所示的兩個互相垂直的單位向量4,電，則

a=-e1+e2,b=6e}+2e2,c=-et-3e2,因為c=及+〃伙X,〃eR),所以

J—A+6〃=—1

-ex-3e,=2(-%+e2)+〃(6q+2e,)=(-2+6//)^+(2+2//)e2,所以[2+2〃=-3解

3

9.在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,^.b2+c2=a2+bc^

sinB-sinC=sin2A,則AABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰

直角三角形

【答案】C

【解析】在△力/中，角4、B、。所對的邊分別為a、b、c,

JI

由于：0<NVn,故：.

由于:sin6sinC=sinM,利用正弦定理得：bc—d,

所以：Z）2+c2-2bc—^>,故：b—c,

所以：△力6。為等邊三角形.故選:C.

10.八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2所

示的正八邊形ABCDEFG7/,其中|&|=1，給出下列結(jié)論：

FE

AB

①（51與質(zhì)的夾角為?；②6D+6F=6E；③1&-。。1=與前1；④改在

JN

力上的投影向量為（其中1為與向同向的單位向量）.其中正確結(jié)論為

A.①B.②C.③D.④

【答案】C

【分析】

根據(jù)圖形的特征進行判斷即可.

【解析】

由圖：正八邊形ABCDEFGH,

因為&與質(zhì)的夾角為十，故①錯誤;

4

ffA歷f

因為OD+OE=±OE,故②錯誤；

2

因為|O4-0。|=|04|=5-|。〃|,故③正確；

因為&在ob上的投影向量與向量力反向，故④錯誤；

故選：c

【點睛】

本題主要考查向量的加減法及向量的投影向量等，屬于簡單題.

二、填空題

H.在△4?。中，若力=60。，a=4^3,b=4：y[2,則8等于.

【答案】45°

4鏡X聲「

.ARIL,r—4、abm.bsin/丫2\2「、，

[解析]由正弦定理知~-j——?/貝！Jsin夕==~~~r=-.又a）,,

sinAsinDa4g329

則給民所以方為銳角，故8=45°.

12.已知在平面直角坐標系中，A,B,。三點的坐標分別為（0,0）,（1,0）,

（2』），若品=亞，則點。的坐標為.

【答案】（U）

【分析】

設(shè)D（x,y）,求出面，而，即可根據(jù)向量相等求出點。的坐標.

【解析】

設(shè)D（x,y）,

則拓二（x,y）,前=（1,1）；

__X-1/、

因為配=詬，故=];即。（1,1）.

故答案為：（1,1）.

【點睛】本題考查向量的坐標表示，屬于基礎(chǔ)題.

13.已知向量I與石的夾角為120°,且同=忖=4,那么對3Z+B）的值為

5

【答案】-8

【分析】

先根據(jù)數(shù)量積的分配律將所求式子展開，再由平面向量數(shù)量積的運算法則即可得

【解析】

b-（3a+b^=3a-b+b=3x4x4xcos120°+42=-8.

故答案為：-8.

【點睛】本題考查數(shù)量積的計算，此類問題一般利用數(shù)量積的運算律和定義來

處理，本題屬于基礎(chǔ)題.

14.在△［阿中，角A,8,C所對的邊分別為a,b,c.若a=巾，A=60°,則sin

B=,c=.

【答案】手3

【解析】

由正弦定理號=段,得尊=告,

smAsmB組smB

2

所以sin^X紅.

7

由余弦定理，cosA~a

得；喑，

所以c=3.

15.在AABC中，內(nèi)角4B,。所對的邊分別是a,b,c,若

c-2a,bsmB-asmA--asmC,貝！Jcos3=.

【答案】-

4

【解析】

因為Z?sin3-asinA='asinC,所以由正弦定理可得b1-a1=—ac.又c=2a,所以

22

b2=a2-\--ac=2〃,所以cosB="十°——-=—.

2lac4

16.已知正方形/為⑦的邊長為2,點P滿足第=g（黑+淺），貝!J|防|=

ULIULIU

PBPD=

【答案】非;-1

【解析】

6

方法一如圖，由題意及平面向量的平行四邊形法則可知，點戶為理的中點,

,._UU1U1

在三角形分⑦中，|P0|=j5.cosZDPB=-cosZDPC=一一產(chǎn)，

uuruumuuruuw

/.PBPD=\PB\\PD\cosZDPB=lx

方法二以力為坐標原點，AB,助所在直線分別為x軸，y軸，建立如圖所示

的平面直角坐標系，則A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2)，

uuniuunuumuuw

/.AP=-(AB+AC)=(2,1),P(2,l),PD=(-2,1),

UULUUU1_ULULILUU

PB=(0,-1),PD[=區(qū)PBPD=(0,-1).(-2,1)=-1.

三、解答題

17.已知a=(1,2),b=(1,-1).

(i)若夕為2M+5與汗-B的夾角，求e的值;

(2)若2N+5與妨-B垂直，求左的值.

7T

【答案】(1)0=-.(2)k=0；

4

【分析】

7

(1)因為萬=(1,2),—)，求得2N+B=(3,3),萬—6=(0,3),根據(jù)

八（2M+B）?（萬一5）口口~r4/日生生

cos6=：二,即可求得答案；

|2a+b\\a-b\

（2）因為2N+5與妨-B垂直，可得（2M+5）?（依-5）=0,結(jié)合已知條件，即可

求得答案.

【解析】

（1）?=（1,2）,=（1,-1）,

2M+5=（3,3）,a—b=（0,3）>

.c°s*3+?m-5)9_41

|2a+b||a-b\3718-2

??.0G[0,7l\

.-.e=-.

4

(2)V?=(1,2),=(1,-1)

:.k@-B=(k—l,2k+l),2a+b=(3,3)

2a+b與ka-b垂直

（3,3）?（女一1,2左+1）=0,

?.3k—3+6k+3=0,

解得：k=0.

【點睛】

本題主要考查了求向量的夾角和根據(jù)向量垂直求參數(shù)，解題關(guān)鍵是掌握向量垂

直求參數(shù)的方法，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.已知向量彳=（1,2）,b=（-3,2）.

（1）求la+bl與la-bl；

（2）當(dāng)k為何值時,向量kZ+%與之+3］垂直?

（3）當(dāng)k為何值時，向量kZ+E與彳+3E平行？并確定此時它們是同向還是反

向？

8

【答案】(1)2掂，4；(2)-5；(3)1

3

【解答】(1)Va=(1,2),b=(-3,2),

|Z|2=5，|b|2=13>aeb=l；

.?,1+》=廳+2a，b+b2R5+2X]+13=2巡,

22=

bl=V；-2；-b+b^-2Xl+13=4；

(2)當(dāng)向量ka+b與a+3b垂直時,(ka+b)'(a+3b)=0，

.?.kJ(3k+l)3+3,=0,

即5k+(3k+l)Xl+3X13=0,

解得k=-5；

.,.當(dāng)k=-5時，向量小+E與之+3石垂直；

(3)當(dāng)向量kW+E與之+3芯平行時，

則存在入，使武+%=入(a+3b)成立，

于是[卜=入，解得k=工；

l3X=l3

當(dāng)k=3時，ka+b=-ia+b=4(喜3芯)，

333

.?.k=」時，向量kZ+E與；+3%平行且同向.

3

19.已知A、B、C為AABC的三內(nèi)角，且其對邊分別為。、b、c,若

acosC+(c+2Z?)cosA=0.

(1)求A.

(2)若。=2若，b+c=4,求AABC的面積.

9

【答案】(1)y;(2)

【解析】(1),.,^cosC+(c+2Z?)cosA=0,

由正弦定理可得：

sinAcosC+(sinC+2sinB)cosA=0,

sinAcosC+sinCcosA+2sinSeosA=0,

sin(A+C)+2sinBcosA=0,

sinB+2sinBcosA=0,

sinBw0,

/.cosA=-—,AG(0,^-),

(2)由〃=Z?+c=4,

由余弦定理得a?=b2+c2-2bccosA,

12=(Z?+c)2-2bc-2bccos—,

即有12=16-be,

/.be=4,

故AABC的面積為

?1...1..27r/-

S=—PCsinA=—x4xsin——=.

223

20.在A4BC中，角4B,C所對的邊分別為a”,c,已知向量而=(處8匕)與元=

(cos4sinB)平行.

(1)求角A的大??；

(2)若a=巾,b=2,求A4BC的面積.

【答案】(1).-.-41(2)在

X2

【解析】(1)???記〃元，asiziB—gbeosZ=0,

由正弦定理，得sinAsinB—y/3sinBcosA=0，

又sinBW0,??.tanA=V3?

io

由于力<；

0<TT,-J

(2)由余弦定理,得a?=b2+c2—2bccosA,

,：a=近,b=2,4=g，

7=4+c2-2c,即。2-2c-3=0,

解得c=3或—1,

vc>0,???c=3,???S^ABC=|besinA

1V33V3

=-x2nx3ox—=—.

222

21在AABC中，a,仇。分別是三個內(nèi)角A,3,C的對邊，若6=3,。=4,。=25,

且a】b.

(1)求cos5及〃的值；

(2)求cos[23+的值.

【答案】（1）cosB=~,a=~-（2）J’衣.

3318

【分析】

3