山東省臨沂市平邑縣、沂水縣2022年高三第一次模擬考試數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，，，，點，分別在線段，上，且，，則（）．A． B． C．4 D．92．設向量，滿足，，，則的取值范圍是A． B．C． D．3．阿基米德（公元前287年—公元前212年），偉大的古希臘哲學家、數(shù)學家和物理學家，他死后的墓碑上刻著一個“圓柱容球”的立體幾何圖形，為紀念他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的，且球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結論.已知某圓柱的軸截面為正方形，其表面積為，則該圓柱的內(nèi)切球體積為()A． B． C． D．4．閱讀如圖的程序框圖，若輸出的值為25，那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)可填寫的條件是（）A． B． C． D．5．已知為定義在上的奇函數(shù)，且滿足當時，，則（）A． B． C． D．6．把滿足條件（1），，（2），，使得的函數(shù)稱為“D函數(shù)”，下列函數(shù)是“D函數(shù)”的個數(shù)為（）①②③④⑤A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．設函數(shù)恰有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．8．在聲學中，聲強級（單位：）由公式給出，其中為聲強（單位：）.，，那么（）A． B． C． D．9．已知復數(shù)，滿足，則（）A．1 B． C． D．510．已知展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相等，，若，則的值為()A．1 B．－1 C．8l D．－8111．若與互為共軛復數(shù)，則（）A．0 B．3 C．－1 D．412．已知向量，，若，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知過點的直線與函數(shù)的圖象交于、兩點，點在線段上，過作軸的平行線交函數(shù)的圖象于點，當∥軸，點的橫坐標是14．已知雙曲線的兩條漸近線方程為，若頂點到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為．15．割圓術是估算圓周率的科學方法，由三國時期數(shù)學家劉徽創(chuàng)立，他用圓內(nèi)接正多邊形面積無限逼近圓面積，從而得出圓周率．現(xiàn)在半徑為1的圓內(nèi)任取一點，則該點取自其內(nèi)接正十二邊形內(nèi)部的概率為________．16．如圖，是一個四棱錐的平面展開圖，其中間是邊長為的正方形，上面三角形是等邊三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，則此四棱錐的體積為_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）一種游戲的規(guī)則為拋擲一枚硬幣，每次正面向上得2分，反面向上得1分.（1）設拋擲4次的得分為，求變量的分布列和數(shù)學期望.（2）當游戲得分為時，游戲停止，記得分的概率和為.①求；②當時，記，證明：數(shù)列為常數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列.18．（12分）在銳角中，，，分別是角，，所對的邊，的面積，且滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側面底面，為棱的中點，為棱上任意一點，且不與點、點重合．．（1）求證：平面平面；（2）是否存在點使得平面與平面所成的角的余弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由．20．（12分）如圖所示，在四棱錐中，∥，，點分別為的中點.（1）證明：∥面；（2）若，且，面面，求二面角的余弦值.21．（12分）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．22．（10分）已知，，（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，求邊上的高的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

根據(jù)題意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得結果.【詳解】根據(jù)題意，，則在中，又,則則則則故選：B【點睛】此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運算，掌握基本概念和公式即可解決，屬于簡單題目.2．B【解析】

由模長公式求解即可.【詳解】，當時取等號，所以本題答案為B.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，考查模長公式，準確計算是關鍵，是基礎題.3．D【解析】

設圓柱的底面半徑為,則其母線長為,由圓柱的表面積求出,代入圓柱的體積公式求出其體積,結合題中的結論即可求出該圓柱的內(nèi)切球體積.【詳解】設圓柱的底面半徑為,則其母線長為,因為圓柱的表面積公式為，所以,解得,因為圓柱的體積公式為,所以,由題知,圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的，所以所求圓柱內(nèi)切球的體積為.故選:D【點睛】本題考查圓柱的軸截面及表面積和體積公式;考查運算求解能力;熟練掌握圓柱的表面積和體積公式是求解本題的關鍵;屬于中檔題.4．C【解析】

根據(jù)循環(huán)結構的程序框圖，帶入依次計算可得輸出為25時的值，進而得判斷框內(nèi)容.【詳解】根據(jù)循環(huán)程序框圖可知，則，，，，，此時輸出，因而不符合條件框的內(nèi)容，但符合條件框內(nèi)容，結合選項可知C為正確選項，故選：C.【點睛】本題考查了循環(huán)結構程序框圖的簡單應用，完善程序框圖，屬于基礎題.5．C【解析】

由題設條件，可得函數(shù)的周期是，再結合函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)將轉化為函數(shù)值，即可得到結論.【詳解】由題意，，則函數(shù)的周期是，所以，，又函數(shù)為上的奇函數(shù)，且當時，，所以，.故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)的周期性，由題設得函數(shù)的周期是解答本題的關鍵，屬于基礎題.6．B【解析】

滿足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關于原點對稱，分別對所給函數(shù)進行驗證.【詳解】滿足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關于原點對稱，①不滿足（2）；②不滿足（1）；③不滿足（2）；④⑤均滿足（1）（2）.故選：B.【點睛】本題考查新定義函數(shù)的問題，涉及到函數(shù)的性質(zhì)，考查學生邏輯推理與分析能力，是一道容易題.7．C【解析】

恰有兩個極值點，則恰有兩個不同的解，求出可確定是它的一個解，另一個解由方程確定，令通過導數(shù)判斷函數(shù)值域求出方程有一個不是1的解時t應滿足的條件.【詳解】由題意知函數(shù)的定義域為，.因為恰有兩個極值點，所以恰有兩個不同的解，顯然是它的一個解，另一個解由方程確定，且這個解不等于1.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而，且.所以，當且時，恰有兩個極值點，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)與方程的應用，屬于中檔題.8．D【解析】

由得，分別算出和的值，從而得到的值.【詳解】∵，∴，∴，當時，，∴，當時，，∴，∴，故選：D.【點睛】本小題主要考查對數(shù)運算，屬于基礎題.9．A【解析】

首先根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算求出，求出的模即可．【詳解】解：，，故選：A【點睛】本題考查了復數(shù)求模問題，考查復數(shù)的除法運算，屬于基礎題．10．B【解析】

根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，可求得，再通過賦值求得以及結果即可.【詳解】因為展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相等，故可得，令，故可得，又因為，令，則，解得令，則.故選：B.【點睛】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，以及通過賦值法求系數(shù)之和，屬綜合基礎題.11．C【解析】

計算，由共軛復數(shù)的概念解得即可.【詳解】，又由共軛復數(shù)概念得：，.故選：C【點睛】本題主要考查了復數(shù)的運算，共軛復數(shù)的概念.12．B【解析】

直接利用向量的坐標運算得到向量的坐標，利用求得參數(shù)m，再用計算即可.【詳解】依題意，，而，即，解得，則.故選：B.【點睛】本題考查向量的坐標運算、向量數(shù)量積的應用，考查運算求解能力以及化歸與轉化思想.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

通過設出A點坐標，可得C點坐標，通過∥軸，可得B點坐標，于是再利用可得答案.【詳解】根據(jù)題意，可設點，則,由于∥軸，故，代入，可得，即，由于在線段上，故，即，解得.14．【解析】由已知，即，取雙曲線頂點及漸近線，則頂點到該漸近線的距離為，由題可知，所以，則所求雙曲線方程為.15．【解析】

求出圓內(nèi)接正十二邊形的面積和圓的面積，再用幾何概型公式求出即可．【詳解】半徑為1的圓內(nèi)接正十二邊形，可分割為12個頂角為，腰為1的等腰三角形，∴該正十二邊形的面積為，根據(jù)幾何概型公式，該點取自其內(nèi)接正十二邊形的概率為，故答案為：．【點睛】本小題主要考查面積型幾何概型的計算，屬于基礎題.16．【解析】

畫圖直觀圖可得該幾何體為棱錐,再計算高求解體積即可.【詳解】解：如圖,是一個四棱錐的平面展開圖,其中間是邊長為的正方形,上面三角形是等邊三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,此四棱錐中,是邊長為的正方形,是邊長為的等邊三角形,故,又,故平面平面,的高是四棱錐的高,此四棱錐的體積為:．故答案為：．【點睛】本題主要考查了四棱錐中的長度計算以及垂直的判定和體積計算等,需要根據(jù)題意三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）分布列見解析，數(shù)學期望為6；（2）①；②證明見解析【解析】

（1）變量的所有可能取值為4，5，6，7，8，分別求出對應的概率，進而可求出變量的分布列和數(shù)學期望；（2）①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上，分別求出兩種情況的概率，進而可求得；②得分分兩種情況，第一種為得分后拋擲一次正面向上，第二種為得分后拋擲一次反面向上，可知當且時，，結合，可推出，從而可證明數(shù)列為常數(shù)列；結合，可推出，進而可證明數(shù)列為等比數(shù)列.【詳解】（1）變量的所有可能取值為4，5，6，7，8.每次拋擲一次硬幣，正面向上的概率為，反面向上的概率也為，則，.所以變量的分布列為：45678故變量的數(shù)學期望為.（2）①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上，概率的和為.②得分分兩種情況，第一種為得分后拋擲一次正面向上，第二種為得分后拋擲一次反面向上，故且時，有，則時，，所以，故數(shù)列為常數(shù)列；又，，所以數(shù)列為等比數(shù)列.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望，考查常數(shù)列及等比數(shù)列的證明，考查學生的計算求解能力與推理論證能力，屬于中檔題.18．A【解析】

由正弦定理化簡得，解得，進而得到，利用正切的倍角公式求得，根據(jù)三角形的面積公式，求得，進而化簡，即可求解.【詳解】由題意，在銳角中，滿足，由正弦定理可得，即，可得，所以，即，所以，所以，則，所以，可得，又由的面積，所以，則.故選：A.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應用，以及三角形的面積公式和正切的倍角公式的綜合應用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.19．（1）證明見解析（2）存在，為中點【解析】

（1）證明面，即證明平面平面；（2）以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系．利用向量方法得，解得，所以為中點．【詳解】（1）由于為中點，．又，故，所以為直角三角形且，即．又因為面，面面，面面，故面，又面，所以面面．（2）由（1）知面，又四邊形為矩形，則兩兩垂直．以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系．則，設，則，設平面的法向量為，則有，令，則，則平面的一個法向量為，同理可得平面的一個法向量為，設平面與平面所成角為，則由題意可得，解得，所以點為中點．【點睛】本題主要考查空間幾何位置關系的證明，考查空間二面角的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.20．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)題意，連接交于，連接，利用三角形全等得，進而可得結論；（2）建立空間直角坐標系，利用向量求得平面的法向量，進而可得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接交于，連接，，≌，且，面面，面，（2）取中點，連，.由，面面面，又由，以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，，，，，，為面的一個法向量，設面的法向量為，依題意，即，令，解得，所以，平面的法向量，，又因二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【點睛】本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意中位線和向量法的合理運用，屬于基礎題.21．（1）；（2）當時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；當時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；當時,在上單調(diào)遞增；當時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【解析】

(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解即可.(2)易得函數(shù)定義域是,且.故分,和與四種情況,分別分析得極值點的關系進而求得原函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】（1）當時,,則切線的斜率為.又,則曲線在點的切線方程是,即.（2）的定義域是..①當時,,所以當時,；當時,,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；②當時,,所以當和時,；當時,,所以在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；③當時,,所以在上恒成立.所以在上單調(diào)遞增；④當時,,所以和時,；時,.所以在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上所述,當時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；當時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；當時,在上單調(diào)遞增；當時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義以及含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性討論,需要根據(jù)題意求函數(shù)的極值點,再根據(jù)極值點的大小關系分類討論即可.屬于?？碱}.22．（1）的最小正周期為：；函數(shù)單調(diào)