山西省大同市第一中學2021-2022學年高三第二次調研數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．以下兩個圖表是2019年初的4個月我國四大城市的居民消費價格指數(shù)（上一年同月）變化圖表，則以下說法錯誤的是（）（注：圖表一每個城市的條形圖從左到右依次是1、2、3、4月份；圖表二每個月份的條形圖從左到右四個城市依次是北京、天津、上海、重慶）A．3月份四個城市之間的居民消費價格指數(shù)與其它月份相比增長幅度較為平均B．4月份僅有三個城市居民消費價格指數(shù)超過102C．四個月的數(shù)據顯示北京市的居民消費價格指數(shù)增長幅度波動較小D．僅有天津市從年初開始居民消費價格指數(shù)的增長呈上升趨勢2．二項式展開式中，項的系數(shù)為（）A． B． C． D．3．設一個正三棱柱，每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面的某頂點出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行10次，仍然在上底面的概率為，則為（）A． B．C． D．4．如圖是二次函數(shù)的部分圖象，則函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A． B． C． D．5．為計算，設計了如圖所示的程序框圖，則空白框中應填入（）A． B． C． D．6．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線交橢圓于A，B兩點，交y軸于點M，若、M是線段AB的三等分點，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．7．設雙曲線（，）的一條漸近線與拋物線有且只有一個公共點，且橢圓的焦距為2，則雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．8．空氣質量指數(shù)是反映空氣狀況的指數(shù)，指數(shù)值趨小，表明空氣質量越好，下圖是某市10月1日-20日指數(shù)變化趨勢，下列敘述錯誤的是（）A．這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B．這20天中的中度污染及以上（指數(shù)）的天數(shù)占C．該市10月的前半個月的空氣質量越來越好D．總體來說，該市10月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好9．從5名學生中選出4名分別參加數(shù)學，物理，化學，生物四科競賽，其中甲不能參加生物競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為A．48 B．72 C．90 D．9610．已知函數(shù)，則（）A．函數(shù)在上單調遞增 B．函數(shù)在上單調遞減C．函數(shù)圖像關于對稱 D．函數(shù)圖像關于對稱11．在中，“”是“為鈍角三角形”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．已知i是虛數(shù)單位，則1+iiA．-12+32i二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則________.14．若、滿足約束條件，則的最小值為______.15．已知關于的不等式對于任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_________．16．記實數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.已知實數(shù)且三數(shù)能構成三角形的三邊長，若，則的取值范圍是.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，∥，為等邊三角形，平面底面，為的中點.（1）求證：平面平面；（2）點在線段上，且，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.18．（12分）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標系中取相同的長度單位，建立極坐標系，判斷直線為參數(shù)）與圓的位置關系．19．（12分）如圖，四邊形為菱形，為與的交點，平面.（1）證明：平面平面；（2）若，，三棱錐的體積為，求菱形的邊長.20．（12分）如圖所示，四棱柱中，底面為梯形，，，，，，.（1）求證：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.21．（12分）團購已成為時下商家和顧客均非常青睞的一種省錢、高校的消費方式，不少商家同時加入多家團購網.現(xiàn)恰有三個團購網站在市開展了團購業(yè)務，市某調查公司為調查這三家團購網站在本市的開展情況，從本市已加入了團購網站的商家中隨機地抽取了50家進行調查，他們加入這三家團購網站的情況如下圖所示.（1）從所調查的50家商家中任選兩家，求他們加入團購網站的數(shù)量不相等的概率；（2）從所調查的50家商家中任取兩家，用表示這兩家商家參加的團購網站數(shù)量之差的絕對值，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（3）將頻率視為概率，現(xiàn)從市隨機抽取3家已加入團購網站的商家，記其中恰好加入了兩個團購網站的商家數(shù)為，試求事件“”的概率.22．（10分）某公司欲投資一新型產品的批量生產，預計該產品的每日生產總成本價格)(單位:萬元)是每日產量(單位:噸)的函數(shù):.（1）求當日產量為噸時的邊際成本(即生產過程中一段時間的總成本對該段時間產量的導數(shù))；（2）記每日生產平均成本求證：；（3）若財團每日注入資金可按數(shù)列(單位:億元)遞減，連續(xù)注入天，求證:這天的總投入資金大于億元.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

采用逐一驗證法，根據圖表，可得結果.【詳解】A正確，從圖表二可知，3月份四個城市的居民消費價格指數(shù)相差不大B正確，從圖表二可知，4月份只有北京市居民消費價格指數(shù)低于102C正確，從圖表一中可知，只有北京市4個月的居民消費價格指數(shù)相差不大D錯誤，從圖表一可知上海市也是從年初開始居民消費價格指數(shù)的增長呈上升趨勢故選：D【點睛】本題考查圖表的認識，審清題意，細心觀察，屬基礎題.2．D【解析】

寫出二項式的通項公式,再分析的系數(shù)求解即可.【詳解】二項式展開式的通項為,令,得,故項的系數(shù)為.故選：D【點睛】本題主要考查了二項式定理的運算,屬于基礎題.3．D【解析】

由題意，設第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來，其概率是，兩種事件又是互斥的,可得，根據求數(shù)列的通項知識可得選項.【詳解】由題意，設第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來，其概率是，兩種事件又是互斥的,∴，即，∴，∴數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，而，所以，∴當時，，故選：D.【點睛】本題考查幾何體中的概率問題，關鍵在于運用遞推的知識，得出相鄰的項的關系，這是常用的方法，屬于難度題.4．B【解析】

根據二次函數(shù)圖象的對稱軸得出范圍，軸截距，求出的范圍，判斷在區(qū)間端點函數(shù)值正負，即可求出結論.【詳解】∵，結合函數(shù)的圖象可知，二次函數(shù)的對稱軸為，，，∵，所以在上單調遞增.又因為，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選:B.【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點，屬于基礎題.5．A【解析】

根據程序框圖輸出的S的值即可得到空白框中應填入的內容．【詳解】由程序框圖的運行，可得：S＝0，i＝0滿足判斷框內的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝1，S＝1，i＝1滿足判斷框內的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝2×（﹣2），S＝1+2×（﹣2），i＝2滿足判斷框內的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝3×（﹣2）2，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i＝3…觀察規(guī)律可知：滿足判斷框內的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝99×（﹣2）99，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i＝1，此時，應該不滿足判斷框內的條件，退出循環(huán)，輸出S的值，所以判斷框中的條件應是i＜1．故選：A．【點睛】本題考查了當型循環(huán)結構，當型循環(huán)是先判斷后執(zhí)行，滿足條件執(zhí)行循環(huán)，不滿足條件時算法結束，屬于基礎題．6．D【解析】

根據題意，求得的坐標，根據點在橢圓上，點的坐標滿足橢圓方程，即可求得結果.【詳解】由已知可知，點為中點，為中點，故可得，故可得；代入橢圓方程可得，解得，不妨取，故可得點的坐標為，則，易知點坐標，將點坐標代入橢圓方程得，所以離心率為，故選：D.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，難點在于根據題意求得點的坐標，屬中檔題.7．B【解析】

設雙曲線的漸近線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用，求出的值，得到的值，求出關系，進而判斷大小，結合橢圓的焦距為2，即可求出結論.【詳解】設雙曲線的漸近線方程為，代入拋物線方程得，依題意，，橢圓的焦距，，雙曲線的標準方程為.故選:B.【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的標準方程、雙曲線的簡單幾何性質，要注意雙曲線焦點位置，屬于中檔題.8．C【解析】

結合題意，根據題目中的天的指數(shù)值，判斷選項中的命題是否正確.【詳解】對于，由圖可知天的指數(shù)值中有個低于，個高于，其中第個接近，第個高于，所以中位數(shù)略高于，故正確.對于，由圖可知天的指數(shù)值中高于的天數(shù)為，即占總天數(shù)的，故正確.對于，由圖可知該市月的前天的空氣質量越來越好，從第天到第天空氣質量越來越差，故錯誤.對于，由圖可知該市月上旬大部分指數(shù)在以下，中旬大部分指數(shù)在以上，所以該市月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好，故正確.故選：【點睛】本題考查了對折線圖數(shù)據的分析，讀懂題意是解題關鍵，并能運用所學知識對命題進行判斷，本題較為基礎.9．D【解析】因甲不參加生物競賽，則安排甲參加另外3場比賽或甲學生不參加任何比賽①當甲參加另外3場比賽時，共有?=72種選擇方案；②當甲學生不參加任何比賽時，共有=24種選擇方案．綜上所述，所有參賽方案有72+24=96種故答案為：96點睛：本題以選擇學生參加比賽為載體，考查了分類計數(shù)原理、排列數(shù)與組合數(shù)公式等知識，屬于基礎題．10．C【解析】

依題意可得，即函數(shù)圖像關于對稱，再求出函數(shù)的導函數(shù)，即可判斷函數(shù)的單調性；【詳解】解：由，，所以函數(shù)圖像關于對稱，又，在上不單調.故正確的只有C，故選：C【點睛】本題考查函數(shù)的對稱性的判定，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，屬于基礎題.11．C【解析】分析：從兩個方向去判斷，先看能推出三角形的形狀是銳角三角形，而非鈍角三角形，從而得到充分性不成立，再看當三角形是鈍角三角形時，也推不出成立，從而必要性也不滿足，從而選出正確的結果.詳解：由題意可得，在中，因為，所以，因為，所以，，結合三角形內角的條件，故A,B同為銳角，因為，所以，即，所以，因此，所以是銳角三角形，不是鈍角三角形，所以充分性不滿足，反之，若是鈍角三角形，也推不出“，故必要性不成立，所以為既不充分也不必要條件，故選D.點睛：該題考查的是有關充分必要條件的判斷問題，在解題的過程中，需要用到不等式的等價轉化，余弦的和角公式，誘導公式等，需要明確對應此類問題的解題步驟，以及三角形形狀對應的特征.12．D【解析】

利用復數(shù)的運算法則即可化簡得出結果【詳解】1+i故選D【點睛】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，屬于基礎題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．13【解析】

由導函數(shù)的應用得：設，，所以，，又，所以，即，由二項式定理：令得：，再由，求出，從而得到的值；【詳解】解：設，，所以，，又，所以，即，取得：，又，所以，故，故答案為：13【點睛】本題考查了導函數(shù)的應用、二項式定理，屬于中檔題14．【解析】

作出不等式組所表示的可行域，利用平移直線的方法找出使得目標函數(shù)取得最小時對應的最優(yōu)解，代入目標函數(shù)計算即可.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，解得，即點，平移直線，當直線經過可行域的頂點時，該直線在軸上的截距最小，此時取最小值，即.故答案為：.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標函數(shù)的最值問題，考查數(shù)形結合思想的應用，屬于基礎題.15．【解析】

先將不等式對于任意恒成立,轉化為任意恒成立，設，求出在內的最小值,即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題可知，不等式對于任意恒成立，即，又因為，，對任意恒成立，設，其中，由不等式，可得：，則，當時等號成立，又因為在內有解，，則，即：，所以實數(shù)的取值范圍：.故答案為：.【點睛】本題考查不等式恒成立問題，利用分離參數(shù)法和構造函數(shù)，通過求新函數(shù)的最值求出參數(shù)范圍，考查轉化思想和計算能力.16．【解析】試題分析：顯然，又，①當時，，作出可行區(qū)域，因拋物線與直線及在第一象限內的交點分別是（1，1）和，從而②當時，，作出可行區(qū)域，因拋物線與直線及在第一象限內的交點分別是（1，1）和，從而綜上所述，的取值范圍是．考點：不等式、簡單線性規(guī)劃.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析（2）【解析】

（1）根據等邊三角形的性質證得，根據面面垂直的性質定理，證得底面，由此證得，結合證得平面，由此證得：平面平面.（2）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，為的中點，∴∵平面底面，平面底面，∴底面平面，∴又由題意可知為正方形，又，∴平面平面，∴平面平面（2）如圖建立空間直角坐標系，則，，，由已知，得，設平面的法向量為，則令，則，∴由（1）知平面的法向量可取為∴∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【點睛】本小題主要考查面面垂直的判定定理和性質定理，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.18．直線與圓C相切．【解析】

首先把直線和圓轉換為直角坐標方程，進一步利用點到直線的距離的應用求出直線和圓的位置關系．【詳解】直線為參數(shù)），轉換為直角坐標方程為．圓轉換為直角坐標方程為，轉換為標準形式為，所以圓心到直線，的距離．直線與圓C相切．【點睛】本題考查的知識要點：參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉換，直線與圓的位置關系式的應用，點到直線的距離公式的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型．19．（1）證明見解析；（2）1【解析】

（1）由菱形的性質和線面垂直的性質，可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得證；（2）設，分別求得，和的長，運用三棱錐的體積公式，計算可得所求值．【詳解】（1）四邊形為菱形，，平面，，又，平面，又平面，平面平面；（2）設，在菱形中，由，可得，，，，在中，可得，由面，知，為直角三角形，可得，三棱錐的體積，，菱形的邊長為1．【點睛】本題考查面面垂直的判定，注意運用線面垂直轉化，考查三棱錐的體積的求法，考查化簡運算能力和推理能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．20．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）取中點為，連接，，，，根據線段關系可證明為等邊三角形，即可得；由為等邊三角形，可得，從而由線面垂直判斷定理可證明平面，即可證明.（2）以為原點，，，為，，軸建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得平面和平面的法向量，即可由法向量法求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：取中點為，連接，，，如下圖所示：因為，，，所以，故為等邊三角形，則.連接，因為，，所以為等邊三角形，則.又，所