理數(shù)高考試題答案及解析

親愛的同學(xué)：

經(jīng)過一番刻苦學(xué)習(xí)，大家一定躍躍欲試地展

示了一下自己的身手吧！那今天就來小試牛刀吧！注意

哦：在答卷的過程中一要認(rèn)真仔細(xì)哦！不交頭接耳，不

東張西望！不緊張！養(yǎng)成良好的答題習(xí)慣也要取得好成

績(jī)的關(guān)鍵！

祝取得好成績(jī)！一次比一次有進(jìn)步!

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

(1)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},

則(QAW。")為

(A){5,8}(B){7,9}(C){0,l,3}(D){2,4,6)

【答案】B

【解析一】因?yàn)槿疷={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},所以

QA={2,4,6,7,9},。*={0,1,3,7,9},所以(QA)Cl(Q5)為{7,9}。故選B

【解析二】集合(CuAWdB)為即為在全集U中去掉集合A和集合B中的元素，所剩的元素形成的集

合，由此可快速得到答案，選B

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，屬于容易題。采用解析二能夠更快地得到答案。

(2)復(fù)數(shù)2一-/二

2+i

34.34.43

(A)--------i(B)—I—i(C)l--z(D)l+-z

5555

【答案】A

2-z_(2-<)(2-Z)3-4z34

【解析】--i,故選A

2+7(2+1)(2-z)555

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，屬于容易題。復(fù)數(shù)的運(yùn)算要做到細(xì)心準(zhǔn)確。

(3)已知兩個(gè)非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則下面結(jié)論正確的是

(A)a〃b(B)a±b

(C){0,lz3}(D)a+b=a-b

【答案】B

【解析一】由|a+b|=|a-b|,平方可得crb=0,所以a_Lb,故選B

【解析二】根據(jù)向量加法、減法的幾何意義可知|a+b|與|。-村分別為以向量。，b為鄰邊的平行四邊形的

兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，因?yàn)閨o+b|=|a-b|,所以該平行四邊形為矩形，所以故選B

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的運(yùn)算、幾何意義以及向量的位置關(guān)系，屬于容易題。解析一是利用向量

的運(yùn)算來解，解析二是利用了向量運(yùn)算的幾何意義來解。

(4)已知命題pVxvx2eR,(/(x2)-/(xi))(x2-Xi)>0,則一ip是

(A)3x1，x2eR.(f(x2)-/(xi))(x2-xi)^o

(B)Vxi，X2GR-(f(x2)-f(x1))(x2-x1)^0

(C)3X1.x2eR,(/(x2)-/(x1))(x2-x1)<0

(D)Vxi，x2eR,(/(x2)-/(xi))(x2-xi)<o

【答案】C

【解析】命題p為全稱命題，所以其否定「p應(yīng)是特稱命題，又(/(X2)-/(X1))(X2-X1)2O否定為

(/(X2)-/(Xl))(X2-X1)<0,故選C

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含有量詞的命題的否定，屬于容易題。

(5)一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為

(A)3X3!(B)3X(3!)3(C)(3!)4(D)9!

【答案】C

【解析】此排列可分兩步進(jìn)行，先把三個(gè)家庭分別排列，每個(gè)家庭有3!種排法，三個(gè)家庭共有

3!x3!x3!=(3!)3種排法；再把三個(gè)家庭進(jìn)行全排列有3!種排法。因此不同的坐法種數(shù)為(3!y,答案為C

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分步計(jì)數(shù)原理，以及分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題。

(6)在等差數(shù)列｛0｝中，已知。4+。8=16,則該數(shù)列前11項(xiàng)和5"=

(A)58(B)88(C)143(D)176

【答案】B

【解析】在等差數(shù)列中，?.?4+%|=。4+4=16,，?=生幺竽&2=88,答案為B

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)及其前n項(xiàng)和公式，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔

題。解答時(shí)利用等差數(shù)列的性質(zhì)快速又準(zhǔn)確。

⑺已知sina-cosa=V^,ae(0,n),則tana=

V2y/2

(A)-1(B)—(C)——(D)1

22

【答案】A

【解析一】丁sina-cosa-V2,V2sin(a--)=V2,/.sin(a--)=1

44

3萬

vae(0,K\:.a=——,r.tana=-l,故選A

4

【解析二】,/sina-cosa=41,:.(sina-cosa)2=2,，sin2a=-1,

,/ae(0㈤,2ae(0,2〃),.[2a=—,.,.a=—,:.tana=-l,故選A

24

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)中的和差公式、倍角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力，

難度適中。

x-y<lO

(8)設(shè)變量x,y滿足<0Wx+yW20,則2x+3y的最大值為

0<y<15

(A)20(B)35(C)45(D)55

【答案】D

【解析】畫出可行域，根據(jù)圖形可知當(dāng)x=5,y=15時(shí)2x+3y最大，最大值為55,故選D

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題，難度適中。該類題通?？梢韵茸鲌D，找到最優(yōu)解求出最值，也

可以直接求出可行域的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證確定出最值。

(9)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值是

3

(C)-(D)4

2

【答案】D

2

【解析】根據(jù)程序框圖可計(jì)算得5=4,Z=1；5=-l,i=2;s=-,/=3;

s=23,i=4;s=4,i=5,由此可知S的值呈周期出現(xiàn)，其周期為4,輸出時(shí)i=9

2

因此輸出的值與i=l時(shí)相同，故選D

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)、數(shù)列的周期性以及運(yùn)算求解能力，

屬于中檔題。此類題目需要通過計(jì)算確定出周期(如果數(shù)值較少也可直接算出結(jié)果),再根據(jù)周期確定最

后的結(jié)果。

(10)在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，領(lǐng)邊長(zhǎng)分別等于線段AC,CB的長(zhǎng)，則該矩形面積

小于32cm2的概率為

1124

(A)-(B)-(C)-(D)-

6335

【答案】C

【解析】設(shè)線段AC的長(zhǎng)為xcm,則線段CB的長(zhǎng)為(12-x)cm,那么矩形的面枳為x(12-x)cm2,

由x(12—x)<32,解得x<4或x〉8.又0<x<12,所以該矩形面積小于32cm?的概率為‘，故選C

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)模型的應(yīng)用、不等式的解法、幾何概型的計(jì)算，以及分析問題的能力，屬于中

檔題。

(11)設(shè)函數(shù)/(x)(xeR)滿足/(一x)=/(x),f(x)=f(2-x),且當(dāng)xe[0,l]時(shí),加)=乂3.又函數(shù)g(x)=|xcos(乃x)|,

則函數(shù)/?(x)=g(xb/(x)在［一,,3］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

22

(A)5(B)6(C)7(D)8

【答案】B

【解析】因?yàn)楫?dāng)xe［O,l］時(shí)，/(x)=x3.所以當(dāng)xe［l,2］時(shí)，(2-x)e［0,l］,f(x)=/(2-x)=(2-x)3,

1］3

當(dāng)時(shí)，g(x)=xcos(乃x)：當(dāng)xe',］］時(shí)，g(x)=-xcosQrx),注意到函數(shù)f(x)、g(x)都是偶函數(shù),

且/(0)=g(0)，/(I)=g(i).g(；)=g(T)=O,作出函數(shù)/(X)、g(x)的大致圖象，函數(shù)h(x)除了0、1這兩個(gè)

零點(diǎn)之外，分別在區(qū)間［—上,0］、［0,」、［上，1］、［1二］上各有一個(gè)零點(diǎn)，共有6個(gè)零點(diǎn)，故選B

2222

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、函數(shù)的零點(diǎn)，考查轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能

力以及分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，難度較大。

(12)若［0,+oo),則下列不等式恒成立的是

1I1

(A)e1+x+X?(B).<\2

J1+424

121)

(C)COSX..1--X(D)ln(l+x)..x——x

8

【答案】c

【解析】設(shè)/(x)=cosx-(l-^x2)=cosx—1+^x2,則g(x)=f\x)=-sin/+x,

所以g'(x)=-cosx+120,所以當(dāng)X6[0,+8)時(shí)，g(x)為增函數(shù)，所以g(x)=r(x)2g(0)=0,

同理/(x)N/(0)=0,cosx-(1-x2)^0,即cosjc.l-gx?,故選C

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)公式，以及利用導(dǎo)數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性與最值來證明不等式，考查轉(zhuǎn)化思想、

推理論證能力、以及運(yùn)算能力，難度較大。

第n卷

本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題~第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答。第22題~

第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。

(13)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為。

----------1--------------------1------------------------------r~7不

IIII1

!!!!j

->!~~i_F*-~2~-?!~~i_r*--^k>.sk-~2~

【答案】38

【解析】由三視圖可知該幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體在中間挖去了一個(gè)等高的圓柱，其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分

別為4、3、1,圓柱的底面直徑為2,所以該幾何體的表面積為長(zhǎng)方體的表面積加圓柱的側(cè)面積再減去圓

柱的底面積，即為2(3x4+4xl+3xl)+2〃xlxl—2〃=38

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何體的三視圖、柱體的表面積公式，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，屬于容

易題。本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖還原出幾何體，確定幾何體的形狀，然后再根據(jù)幾何體的形狀計(jì)算出

表面積。

(14)已知等比數(shù)列｛分｝為遞增數(shù)列，且d=40,2(4+4+2)=54+1，則數(shù)列｛為｝的

通項(xiàng)公式為=。

【答案】2"

【解析】429

af=aw,.-.(a,*?)=a]q,.,.a,=q,:.an=q",

2解得或(舍去)

2(a“+an+2)=5a“+1".2an(l+q)=5anq,:.2(1+^')=5q,q=2q=；，.\an=2"

【點(diǎn)評(píng)】本題上要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，轉(zhuǎn)化思想和邏輯推理能力，屬于中檔題。

(15)已知P,Q為拋物線f=2y上兩點(diǎn)，點(diǎn)P,Q的橫坐標(biāo)分別為4,-2,過P、Q分別作拋物線的切線,

兩切線交于4則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為。

【答案】-4

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別為4,-2,代人拋物線方程得P,Q的縱坐標(biāo)分別為8,2.

由f=2y,則丁二:公」/二元所以過點(diǎn)。，Q的拋物線的切線的斜率分別為4,-2,所以過點(diǎn)P,Q的

拋物線的切線方程分別為y=4x—8,y=—2》一2,聯(lián)立方程組解得x=\,y=-4,故點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為一4

【點(diǎn)評(píng)】本題上?？疾槔脤?dǎo)數(shù)求切線方程的方法，直線的方程、兩條直線的交點(diǎn)的求法，屬于中檔題。

曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，從而把點(diǎn)的坐標(biāo)與直線的斜率聯(lián)系到一起，這是寫出切線方程的關(guān)

鍵。

(16)已知正三棱錐P-ABC,點(diǎn)P,4B,C都在半徑為G的求面上，若雨,PB,PC兩兩互相垂直，則球

心到截面ABC的距離為

?心方、5/3

【答案】一

3

【解析】因?yàn)樵谡忮FP-A8C中，PA,PB,PC兩兩互相垂直，所以可

以把該正三棱錐看作為一個(gè)正方體的一部分，(如圖所示)，此正方體內(nèi)接

于球，正方體的體對(duì)角線為球的直徑，球心為正方體對(duì)角線的中點(diǎn)。

球心到截面ABC的距離為球的半徑減去正三棱錐P-A8c在面ABC卜一的

高。已知球的半徑為百，所以正方體的棱長(zhǎng)為2,可求得正三棱錐P-A8c在面ABC上的高為2亙，所

3

以球心到截面ABC的距離為出一空=—

33

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查組合體的位置關(guān)系、抽象概括能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力以及轉(zhuǎn)化思想，

該題靈活性較強(qiáng)，難度較大。該題若直接利用三棱錐來考慮不宜入手，注意到條件中的垂直關(guān)系，把三棱

錐轉(zhuǎn)化為正方體來考慮就容易多了。

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

(17)(本小題滿分12分)

在A48。中，角48、C的對(duì)邊分別為a,b,c?角A,B,C成等差數(shù)列。

(I)求cosB的值；

(H)邊。,b,c成等比數(shù)列，求sinAsinC的值。

【答案及解析】

(17)解：

(I)由已知28=4+C,力+B+。=180°,解得E=60°,所以

cos8=9........6分

(II)(解法一)

t,1

由已知b2=ac,及cosB=—.

根據(jù)正弦定理得sinZ?=sin力sinC,所以

3

sin4sinC=1-cos2B=—........12分

4

(解法二)

_1

由已知F=QC,及cos8=彳,

根據(jù)余弦定理得cosB=?一",解得。=仁所以4=c=8=60',故

2ac

3

sin4sinC=--........】2分

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和定理及等差、等比數(shù)列的定義，考查

轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力，屬于容易題。第二小題既可以利用正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，也可

以利用余弦定理得到邊之間的關(guān)系，再來求最后的結(jié)果。

(18)(本小題滿分12分)

如圖，直三棱柱ABC—A4C'，NBAC=90°,

AB=AC=/14V,點(diǎn)M,N分別為A8和B'C'的中點(diǎn)。

(I)證明：MNA1ACC1;

(0)若二面角A'—MN—C為直二面角，求力的值。

【答案及解析】

(18)(I)(證法一)

連結(jié)AB',AC,由已知4BAC=90°,

AB^AC,三棱柱A8c-4B'C'為直三棱柱,

所以M為A8'中點(diǎn).

又因?yàn)镹為B'C的中點(diǎn)，

所以MN〃AC'.

又MN0平面A4CC',

ACu平面A4CC',

因此MN〃平面4'4CC’.6分

(證法二)

取AB'中點(diǎn)P,連結(jié)MP,NP,

而M,N分別為4"與B('的中點(diǎn)，所以MP〃44，，PN//A'C,

所以MP〃平面AZCC',PN〃平面AACC'.又MPCNP=P,

因此平面MP/V〃平面ANC。'.而MNu平面MPN,

因此MN〃平而zTACC....6分

(II)以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線AB,AC,44為％軸，y軸，z軸建立直角坐

標(biāo)系。-*yz,如圖所示.

設(shè)4A'=1,貝必8=AC=；l,

于是4(0,0,0),F(A,0,0),C(0,Z,0),A'(0,0,l),8'(九0,1),^(0,^,1),

所以Mq*/V(-y,,1).

所以M(5N/4,1)■

設(shè)切=(%1，%,21)是平面卬用'的法向量，

1

m■WM-0,/日

由一得

A1

?MTV=02月+彳4=°，

可取m=(1,-1,2).

設(shè)〃=(尢2，先★2)是平面MNC的法向量，

AA

由『?竺=0’得~~2X2+爹%-z2=0，

A1

?MN=0了乃+^Z2=0,

可取刀=(-3,-l,A).

因?yàn)镠-MN-C為直二面角，所以m-n=0.

即-3+(-1)x(-1)+乃=0,解得；I=V2.……12分

【點(diǎn)評(píng)】本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定，借助空間直角坐標(biāo)系求平面的法向量的

方法，并利用法向量判定平面的垂直關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，難度適中。

第一小題可以通過線線平行來證明線面平行，也可通過面面平行來證明。

(19乂本小題滿分12分)

電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查。

下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖；

將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”。

(I)根據(jù)已知條件完成下面的2x2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別

有關(guān)？

非體育迷體育迷合計(jì)

男

女1055

合計(jì)

(II)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率。現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽

樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X。若每次抽取的結(jié)果

是相互獨(dú)立的，求X的分布列，期望E(X)和方差O(X)。

0.050.01

2_〃(即一〃心

也J,，3.8416.635

ni+n2+n+ln+2

【答案及解析】

(19)解：

(I)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而2X2列

聯(lián)表如下:

非體育迷體育迷合計(jì)

男301545

女451055

合計(jì)7525100

...3分

將2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得

,"(%速22一%2n21)2100x(30x10-45x15)2100

/=--------------------———--~~—------=--a3.030.

n1+n2+n+1n+275X25X45X5533

因?yàn)?.030<3.841,所以沒有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān).……6分

(D)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25,將頻率視為概率，即

從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為2.

4

由題意X~H(3,，從而X的分布列為

X0123

272791

1P

64646464

……10分

13

E(X)=np=3x—

44

39~

D(X)=np(l-p)=3x—x—=—....12分

4416

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查統(tǒng)計(jì)中的頻率分布直方圖、獨(dú)立性檢驗(yàn)、離散型隨機(jī)變量的分布列，期望E(X)和

方差。(X),考查分析解決問題的能力、運(yùn)算求解能力，難度適中。準(zhǔn)確讀取頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)是

解題的關(guān)鍵。

(20)(本小題滿分12分)

22

如圖，橢圓G)：=+與=13>〃>0,a,b為常數(shù))，動(dòng)圓

a'b~

222

Ct:x+y=r,,/?<%<a。點(diǎn)A，&分別為G)的左，右頂點(diǎn)，G與

G)相交于A,B,C,。四點(diǎn)。

(I)求直線A4,與直線交點(diǎn)M的軌跡方程；

(II)設(shè)動(dòng)圓。2：/+V=g與I相交于A,8',。/,。'四點(diǎn)，其中b<弓<a，

工尸［若矩形ABC。與矩形ARC'。的面積相等，證明：彳+%為定值。

【答案及解析】

(20)(I)解:

設(shè)當(dāng))，Bg,一%),又知4式一0,0),42(a,0),則

直線4遇的方程為

y=y^(x+a),①

+a

直線的方程為

y=——(%-a),②

-a

由①?得

z_-yi,22、

y-Y2__2一a，③

由點(diǎn)4(肛，y0在橢圓6上，故皆+W=1

.從而

az爐

yf=b2(l-4)，代人③得

左一笛=1y<0).....6分

(n)證明：

設(shè)4(X2,光)，由矩形4BCD與矩形?FC，。的面積相等，得

4|%il|yil=4%1優(yōu)|,

故就資=好犬-

因?yàn)辄c(diǎn)4,H均在橢圓上，所以

西近一務(wù)"境(1喀.

由GXt2，知名W*2，所以%1+%2=?2-從而y1+V2-b2,

因此話+上=a?+b2為定值.……12分

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的性質(zhì)、橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線方程求解、直線與橢圓的關(guān)

系和交軌法在求解軌跡方程組的運(yùn)用。本題考查綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大。在求解點(diǎn)M的軌跡方程時(shí)，

要注意首先寫出直線和直線的方程，然后求解。屬于中檔題，難度適中。

(21乂本小題滿分12分)

設(shè)/(x)=ln(x+1)+y/x+\+ax+b(a,beR,a,b為常數(shù)),曲線y=/(x)與

3

直線y=；x在(0,0)點(diǎn)相切。

(I)求<2力的值。

Or

(H)證明：當(dāng)0<x<2時(shí)，/(x)〈二一。

x+6

【答案及解析】

(21)(I)解：

由y=fOO過(0,0)點(diǎn)，得8=-1一

a

由y=f(x)在(0,0)點(diǎn)的切線斜率為—,又

2戶。=島+高+a)L=?+a,

得a=0.....3分

(n)(證法一)

由均值不等式，當(dāng)x>0時(shí)，2y(x+l)-l<x+l+l=x+2,故

Vx+1<—+1.

乙

9%

記h(x)=f(x)----—?則

%+6

1154

hQx)=+r.^zz—,、T

*+12VX+7(X4-6)2

_2+Vx+154

2(x+l)-(x+6)2

x+654

<4(x+1)(x+6)2

_(x+6)3-216(x+l)

4(x+l)(x+6)2

令gG)=(x+6)3-216(x+1),則當(dāng)0<x<2時(shí)，

g'(x)=3(*+6)2-216<0.

因此g(x)在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù)，又由g(0)=0,得

所以……10分

因此h(x)在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù)，又叫0)=0,得似x)V0.于是

當(dāng)0<xV2時(shí)，f(x\<------.……12分

x+6

(證法二)

巾(I)知/(x)=ln(x+1)+Vx+I-1.

由均值不等式，當(dāng)x>0時(shí)，27(%+1)?l<x+1+1=x+2,故

._____x

+lV-^+1.①

1—x

令k(x)=ln(%+1)-x,則A(0)=0,kf[x)=---7-1=---7<。，

x+1x+1

故k(x)<0,即

ln(x+1)<x.②

由①(2)得，當(dāng)工>0時(shí)，/(X)<yX.

記九(%)=(工+6)/(x)-9x,則當(dāng)0<戈<2時(shí)，

hr(x)=fM+Q+6)尸(%)-9

T+G+砒等+島i)—

=而，;[3x(x+1)+(x+6)(2+V7T1)-18(x+1)]

<2^Ti)[3x(x+1)+(x4-6)(3+-18(x+1)]

x

=而而6-18)<0.…H)分

因此h(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，又以0)=0,因以h(x)<0,即

9x

^<^6-……12分

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義、導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性與最值中的運(yùn)用。本題容易忽略函

數(shù)/(1)的定義域，根據(jù)條件曲線y=/(x)與直線y=在(0,0)點(diǎn)相切，求出的值，然后，利用函

數(shù)的單調(diào)性或者均值不等式證明了(X)〈心Q二r即可。從近幾年的高考命題趨勢(shì)看，此類型題目幾乎年年都

x+6

有涉及，因此，在平時(shí)要加強(qiáng)訓(xùn)練。本題屬于中檔題。

請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。做答時(shí)用2B鉛筆在答

題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)題號(hào)下方的方框涂黑。

(22)(本小題滿分10分)選修4-1：幾何證明選講

如圖，。。和。。,相交于A,B兩點(diǎn)，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C,D兩點(diǎn)，連接。8并延長(zhǎng)交

。。于點(diǎn)Fo證明

(I)ACBD=ADAB,

(II)AC=AEo

【答案及解析】

(22)證明：

(I)由AC與。0，相切于4,得

LCAB=乙ADB,

同理LACB=Z.DAB,

所以XACBSADAB-從而

AC_AB

麗=麗，

即AC-BD=AD-AB.4分

(D)由4D與。。相切于A,得

LAED=Z.BAD,

又乙HDE=ZLBD4,得

△EADs區(qū)ABD.從而

AE_AD

AB='BD,

BPAE?BD^AD-AB.4分

結(jié)合(I)的結(jié)論，AC=AE.10分

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，等弧所對(duì)的圓周角相等，同時(shí)結(jié)合三角形相似這一知識(shí)點(diǎn)考查.本

題屬于選講部分，涉及到圓的性質(zhì)的運(yùn)用，考查的主要思想方法為等量代換法，屬于中低檔題，難度較小,

從這幾年的選講部分命題趨勢(shì)看，考查圓的基本性質(zhì)的題目居多，在練習(xí)時(shí)，要有所側(cè)重.

（23乂本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)X。,，中，圓G：/+y2=4,圓G：（x-2）2+y2=4。

（I）在以。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫出圓G，G的極坐標(biāo)方程，并求出圓G，G

的交點(diǎn)坐標(biāo)（用極坐標(biāo)表示）；

（II）求出G與G的公共弦的參數(shù)方程。

【答案及解析】

(23)(1)解：

圓G的極坐標(biāo)方程為p=2,

圓C2的極坐標(biāo)方程p=4cos仇

解卜=2,得p=2,6=士;，

故圓G與圓交點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,y),(2,--).……6分

注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一.

(n)(解法一)

由卜=pcos。，得圓C］與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(1.6),(1,-V3).

卬=psin￡

故圓6與0的公共弦的參數(shù)方程為仁：；-V3<t<V3.……10分

(或參數(shù)方程寫成｛；2y-V3<y<V3)

(解法二)

將*=1代入卜=PC°S0'得pcosO=l,從而

ly=psin。

1

p=一二.

cos9

于是圓C］與0的公共弦的參數(shù)方程為｛；二盆.

……10分

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的參數(shù)方程和圓的極坐標(biāo)方程、普通方程與參數(shù)方程的互化、極坐標(biāo)系的組

成.本題要注意圓G+>2=4的圓心為(0,0)半徑為4=2,圓。2：(%—2)2+y2=4的圓心為(2,0)半

徑為6=2,從而寫出它們的極坐標(biāo)方程；對(duì)于兩圓的公共弦，可以先求出其代數(shù)形式，然后化成參數(shù)形

式，也可以直接根據(jù)直線的參數(shù)形式寫出。對(duì)于極坐標(biāo)和參數(shù)方程的考查，主要集中在常見曲線的考查上,

題目以中低檔題為主.

(24乂本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講

已知/(x)=|ax+l|(aeR),不等式/(x),,3的解集為｛x|—2剎％,1｝。

(I)求。的值；

Y

(n)^|/u)-2/(-)|?左恒成立，求k的取值范圍。

【答案及解析】

(24)解：

(I)由|以+1]￡3得一4vaxv2.又f(x)<3的解集為1x|-2?x<1},所以

當(dāng)aWO時(shí)，不合題意.

42

當(dāng)a>0時(shí)，一，得

aa

a=2.……5分

1,x<一1,

(口)記h(x)-/(x)-2/(y),則h.(x)K--4%-3.-1<x<一"—,

1

-1,x>——,

12

所以所拶)|?1,因此

k>l........10分

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分段函數(shù)、不等式的基本性質(zhì)、絕對(duì)值不等式及其運(yùn)用，考查分類討論思想在解題

中的靈活運(yùn)用，笫(1)問，要真對(duì)a的取值情況進(jìn)行討論，第(HH可要真對(duì)2/(；)的正負(fù)進(jìn)行討論

從而用分段函數(shù)表示，進(jìn)而求出k的取值范圍。本題屬于中檔題，難度適中.平時(shí)復(fù)習(xí)中，要切實(shí)注意絕

對(duì)值不等式的性質(zhì)與其靈活運(yùn)用。

2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(遼寧卷)

數(shù)學(xué)(供理科考生使用)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

(1)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9),集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},

貝！|(CuA)n(C,3)為

(A){5,8}(B){7,9}(C){0,l,3}(D){2,4,6}

【答案】B

【解析一】因?yàn)槿疷={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},所以

CVA={2,4,6,7,9},CVB={0,1,3,7,9},所以(。通加仁力)為億9}°故選B

【解析二】集合(CuA)n(G；5)為即為在全集U中去掉集合A和集合B中的元素，所剩的元素形成的集

合，由此可快速得到答案，選B

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，屬于容易題。采用解析二能夠更快地得到答案。

(2)復(fù)數(shù)2￡=

2+z

343443

(A)--------i(B)—I—i(C)1i(D)14—i

555555

【答案】A

2-Z_(2-z)(2-f)_3-4i_34.

【解析】故選A

2+7-(2+Z)(2-Z)-5-5-5Z

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，屬于容易題。復(fù)數(shù)的運(yùn)算要做到細(xì)心準(zhǔn)確。

(3)已知兩個(gè)非零向量a,b滿足|a+b|=|o-b|,則下面結(jié)論正確的是

(A)a〃b(B)a±b

(C){0,l,3}(D)a+b=a-b

【答案】B

【解析一】由|a+b|=|o-b|,平方可得a-b=O,所以a_Lb,故選B

【解析二】根據(jù)向量加法、減法的幾何意義可知|a+b|與|a-b|分別為以向量a,b為鄰邊的平行四邊形的

兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，因?yàn)閨a+b|=|a-b|,所以該平行四邊形為矩形，所以故選B

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的運(yùn)算、幾何意義以及向量的位置關(guān)系，屬于容易題。解析一是利用向量

的運(yùn)算來解，解析二是利用了向量運(yùn)算的幾何意義來解。

(4)已知命題pVxpx2eR,(f{x2)—/(xi))(x2—Xi)>0,則一1p是

(A)3X1，X2GR,(Z(X2)-/(X1D(X2-X1)WO

(B)Vxi，x2eR,J(X2)-/(X1川X2-X1)WO

(C)3xi，X2eR,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0

(D)Vxi，x2eR,(f(x2)-/(X1))(X2-X1)<O

【答案】c

【解析】命題P為全稱命題，所以其否定「P應(yīng)是特稱命題，又(/(X2)-/(XI))(X2-XI)20否定為

(AX2)-rtXi))(X2-XJ<0,故選C

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含有量詞的命題的否定，屬于容易題。

⑸一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為

(A)3X3!(B)3X(3!)3(C)(3!)4(D)9!

【答案】C

【解析】此排列可分兩步進(jìn)行，先把三個(gè)家庭分別排列，每個(gè)家庭有3!種排法，三個(gè)家庭共有

31x35x3!=(3!)3種排法；再把三個(gè)家庭進(jìn)行全排列有3!種排法。因此不同的坐法種數(shù)為(3!>,答案為C

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分步計(jì)數(shù)原理，以及分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題。

(6)在等差數(shù)列｛4｝中,已知。4+。8=16,則該數(shù)列前11項(xiàng)和S1F

(A)58(B)88(C)143(D)176

【答案】B

【解析】在等差數(shù)列中，；q+a”=能+網(wǎng)=]6,J.4?=U*(：+>口)=88,答案為B

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)及其前n項(xiàng)和公式，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔

題。解答時(shí)利用等差數(shù)列的性質(zhì)快速又準(zhǔn)確。

⑺已知sina-cosa=0,a&(0,n),則tan<z=

(A)-1(B)——(C)—(D)1

22

【答案】A

【解析一】：sina-cosa=V2,/.V2sin(6Z--)=V2,/.sin(a--)=1

44

37

vae(0,7u\.\a=--tancr=-l,故選A

4

【解析二】*?,sina-cosa=V2,.\(sina-coscr)2=2,「?sin2a=-l,

343兀

'：ae(0,萬),.\2ae(0,2"),.12a=—,:.a=--tana=-1,故選A

24

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)中的和差公式、倍角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力,

難度適中。

x-y<10

⑻設(shè)變量x,y滿足,OWx+y420,則2x+3y的最大值為

0<y<15

(A)20(B)35(C)45(D)55

【答案】D

【解析】畫出可行域，根據(jù)圖形可知當(dāng)x=5,y=15時(shí)2x+3y最大，最大值為55,故選D

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題，難度適中。該類題通?？梢韵茸鲌D，找到最優(yōu)解求出最值，也

可以直接求出可行域的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證確定出最值。

(9)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值是

2

(A)-1(B)—

(C)|(D)4

2

【答案】D

【解析】根據(jù)程序框圖可計(jì)

3

s=2,i=4;s=4,i=