考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微積分學(xué)）模擬試卷1（共280題）

考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微積分學(xué)）模擬試卷1（共9套）（共280題）考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微積分學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)f(x，y)為連續(xù)函數(shù)，則，等于()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)可知，積分區(qū)域D如圖1—4—6所示，則2、累次積分可以寫成()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由累次積分可知，積分區(qū)域D為由r=cosθ為圓心在x軸上，直徑為1的圓可作出D的圖形如圖1—4—7所示。該圓的直角坐標(biāo)方程為故用直角坐標(biāo)表示區(qū)域D為可見A、B、C均不正確，故選D。3、，則積分域?yàn)?)A、x2+y2≤a2。B、x2+y2≤a2(x≥0)。C、x2+y2≤ax。D、x2+y2≤ax(y≥0)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由r=acosθ知r2=arcosθ，即x2+y2=ax(a＞0)，故選C。4、設(shè)函數(shù)f(t)連續(xù)，則二重積分=()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榍€r=2在直角坐標(biāo)系中的方程為x2+y2=4，而r=2cosθ在直角坐標(biāo)系中的方程為x2+y2=2x，即(x一1)2+y2=1，因此根據(jù)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)之間二重積分的轉(zhuǎn)化可得5、設(shè)有平面閉區(qū)域，D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}，D1={(x，y)|0≤x≤a，x≤y≤a}，則=()A、B、C、D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：將閉區(qū)間D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}用直線y=一x其分成兩部分D2和D3，如圖1-4—8所示，其中D2關(guān)于y軸對(duì)稱，D3關(guān)于x軸對(duì)稱，xy關(guān)于x和y均為奇函數(shù)，所以在D2和D3上，均有而cosxsiny是關(guān)于x的偶函數(shù)，關(guān)于y的奇函數(shù)，在D3積分不為零，在D2積分值為零，因此所以故選項(xiàng)A正確。6、設(shè)區(qū)域D由曲線圍成，則=()A、π。B、2。C、一2。D、一π。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：區(qū)域D如圖1一4—9中陰影部分所示，引入曲線y=一sinx將區(qū)域分為D1，D2，D3，D4四部分。由于D1，D2關(guān)于y軸對(duì)稱，可知在D1∪D2上關(guān)于x的奇函數(shù)積分為零，故；又由于D3，D4關(guān)于戈軸對(duì)稱，可知在D3∪D4上關(guān)于y的奇函數(shù)為零，故。因此故選D。7、設(shè)f(x，y)連續(xù)，且其中D是由y=0，y=x2，x=1所圍區(qū)域，則f(x，y)等于()A、xy。B、2xy。C、D、xy+1。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：等式兩端積分得8、設(shè)f(x，y)連續(xù)，且其中D表示區(qū)域0≤x≤1，0≤y≤1，則=()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：于是因此應(yīng)選C。9、設(shè)區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤4，x≥0,y≥0}f(x)為D上的正值連續(xù)函數(shù)，a，b為常數(shù)，則=()A、abπ。B、C、(a+b)π。D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由根據(jù)輪換對(duì)稱性可得因此正確選項(xiàng)為D。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)10、已知極坐標(biāo)系下的累次積分其中a＞0為常數(shù)，則，在直角坐標(biāo)系下可表示為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：先將I表示成，用D的極坐標(biāo)表示因此可知區(qū)域如圖1—4—15所示：如果按照先y后x的積分次序，則有因此可得11、設(shè)平面區(qū)域D由直線y=x，圓x2+y2=2y及y軸所圍成，則二重積分=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題可以利用極坐標(biāo)變換，，因此12、設(shè)D={(x，y)|x2+y2≤1}，則=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用函數(shù)奇偶性及輪換對(duì)稱性13、D是頂點(diǎn)分別為(0，0)，(1，0)，(1，2)和(0，1)的梯形閉區(qū)域，則=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：積分區(qū)域可以表示為D={(x，y)｜0≤y≤1+x，0≤x≤1}，則利用換元法，令1+c=t，x∈[0，1]時(shí)，t∈[1，2]，則14、設(shè)f(x，y)連續(xù)，且，其中D是由所圍成的區(qū)域，則f(x，y)=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：首先令，則A為常數(shù)，此時(shí)f(x，y)=x+Ay。15、D是圓周x2+y2=Rx所圍成的閉區(qū)域，則=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：圓周x2+y2=Rx所圍成的閉區(qū)域用極坐標(biāo)表示為16、設(shè)D為不等式0≤x≤3，0≤y≤1所確定的區(qū)域，則=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，17、其中D由y軸，圍成。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)18、計(jì)算二重積分，其中D是由x軸，y軸與曲線所圍成的區(qū)域，a＞0，b＞0。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖1—4—17的陰影部分所示。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、計(jì)算，其中D：x2+y2≤2x。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于積分區(qū)域關(guān)于x軸對(duì)稱，3exsiny關(guān)于y為奇函數(shù)，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、計(jì)算二重積分，其中區(qū)域D由曲線r=1+cosθ(0≤θ≤π)與極軸圍成。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、計(jì)算二重積分其中標(biāo)準(zhǔn)答案：將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，可得積分區(qū)域如圖1—4—18所示。D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)D={(x，y)|(x一1)2+(y—1)2=2}，計(jì)算二重積分。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、求二重積分，其中D是由曲線r=2(1+cosθ)的上半部分與極軸所圍成的區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖1一4—19所示，D的極坐標(biāo)表示是：0≤θ≤π，0≤r≤2(1+cosθ)，因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、計(jì)算，其中D={(x，y)|0≤y≤min{x，1一x}}。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域如圖l一4—20所示，在極坐標(biāo)中知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、計(jì)算。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、計(jì)算二重積分，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}。標(biāo)準(zhǔn)答案：D是正方形區(qū)域(如圖1_4—21)。因在D上被積函數(shù)分塊表示為于是要用分塊積分法，用y=x將D分成兩塊：D=D1∪D2，D1=D∩{y≤x}，D2=D∩{y≥z}。則有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、計(jì)算二重積分，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}。標(biāo)準(zhǔn)答案：記D1={(x，y)｜x2+y2≤1，(x，y)∈D}，D2={(x，y)|x2+y2＞1，(x，y)∈D}因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)，x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超過1+x2+y2的最大整數(shù)。計(jì)算二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(x，y)｜0≤x2+y2＜1，x≥0，y≥0}，D2={(x，y)｜1≤x2+y2≤2，x≥0，y≥0}。則有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)二元函數(shù)計(jì)算二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楸环e函數(shù)關(guān)于x，y均為偶函數(shù)，且積分區(qū)域關(guān)于x，y軸均對(duì)稱，所以．其中D1為D在第一象限內(nèi)的部分。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、計(jì)算二重積分，其中D由曲線與直線及圍成。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域如圖1-4-22所示，D=D1∪D2，其中知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、求其中D是由圓x2+y2=4和(x+1)2+y2=1所圍成的平面區(qū)域(如圖l-4-2)。標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(x，y)｜x2+y2≤4}，D2={(x，y)｜(x+1)2+y2≤1}(如圖1—4—23所示)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、計(jì)算二重積分，其中積分區(qū)域D是由y軸與曲線所圍成。標(biāo)準(zhǔn)答案：引入極坐標(biāo)(r，θ)滿足x=rcosθ，y=rsinθ，在極坐標(biāo)(r，θ)中積分區(qū)域D可表示為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析33、計(jì)算積分標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)二重積分區(qū)域?yàn)镈，D1是D的第一象限部分，由對(duì)稱性，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析34、設(shè)區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0}，計(jì)算二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖1—4—24所示。因?yàn)閰^(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，函數(shù)是變量y的偶函數(shù)，函數(shù)是變量y的奇函數(shù)。則取D1=D∩{y≥0}，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析35、計(jì)算二重積分，其中D是由直線x=2，y=2，x+y=1，y+y=3以及x軸與y所圍成的平面區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知，積分區(qū)域是如圖1—4—25所示的六邊形區(qū)域，且D=D1+D2，其中D1={(x，y)｜0≤x≤1，1一x≤)，≤2}，D2={(x，y)｜1≤x≤2，0≤)，≤3一x}。于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析36、求下列積分。(I)設(shè)f(x)=∫1-xe-y2dy，求∫01x2f(x)dx；(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]連續(xù)且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析37、已知函數(shù)f(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，計(jì)算二重積分I=標(biāo)準(zhǔn)答案：將二重積分,轉(zhuǎn)化為累次積分可得首先考慮∫01xyfxy’’(x，y)dx，注意這里把變量y看作常數(shù)，故有∫01xyfxy’’(x，y)dx=y∫01xdfy’(x，y)=xyfy’(x,y)｜01一∫01yfy’(x,y)dx=yfy’(1,y)一∫01yfy’(x,y)dx。由f(1，y)=fy’(x，1)=0易知f’(1，y)=fy’(x，1)=0。所以∫01xyfxy’’(x,y)dx=一∫01yfy’(x，y)dx。因此對(duì)該積分交換積分次序可得，一∫01dyyfy’(x，y)dx=－∫01dx∫01yfy’(x，y)dy。再考慮積分∫01yfy’(x，y)dy，注意這里把變量x看作常數(shù)，故有∫01yfy’(x，y)dy=∫01ydf(x，y)=yf(x,y)｜01一∫01f(x，y)dy=一∫01f(x)dy，因此=∫01dx∫01f(x,y)dy。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析38、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且∫01f(x)dx=A，,求∫01dx∫01f(x)f(y)dy。標(biāo)準(zhǔn)答案：交換積分次序可得∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=∫01dy∫0yf(x)f(y)dx=∫01dx∫0xf(y)f(x)dy，因此，可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微積分學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、設(shè)區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤4，x≥0，y≥0}f(x)為D上的正值連續(xù)函數(shù)，a，b為常數(shù)，則=()A、abπB、C、(a+b)π．D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由根據(jù)輪換對(duì)稱性可得因此正確選項(xiàng)為D．2、設(shè)f(x，y)與φ(x，y)均為可微函數(shù)，且φy’(x，y)≠0．已知(x0，y0)gf(x，y)在約束條件φ(x，y)=0下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是()A、若fx’(x0，y0)=0，則fy’(x0，y0)=0．B、若fx’(x0，y0)=0，則fy’(x0，y0)≠0．C、若fx’(x0，y0)≠0，則fy’(x0，y0)=0．D、若fx’(x0，y0)≠0，則fy’(x0，y0)≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令F=f(x，y)+λφ(x，y)若fx’(x0，y0)=0，由(1)得λ=0或φx’(x0，y0)=0．當(dāng)λ=0時(shí)，由(2)得fy’(x0，y0)=0，但λ≠0時(shí)，由(2)及φy’(x0,y0)≠0得fy’(x0，y0)≠0．因而A、B錯(cuò)誤．若fx’(x0，y0)≠0，由(1)，則λ≠0，再由(2)及φy’(x0，y0)≠0，則fy’(x0，y0)≠0．3、設(shè)函f(x)連續(xù)，若其中區(qū)域Dw為圖4—1中陰影部分，則=()A、vf(u2)．B、C、vf(u)．D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：題設(shè)圖像中所示區(qū)域用極坐標(biāo)表示為0≤θ≤v．1≤r≤u．因此可知4、設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，則∫12dx∫x2f(x,y)dy+∫12dy∫y4-yf(x,y)dx=().A、∫12dx∫14-xf(x,y)dy．B、∫12dx∫x4-xf(x,y)dyC、∫12dx∫14-yf(x,y)dy．D、∫12dx∫yyf(x,y)dy標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：∫12dx∫x2f(x,y)dy+∫12dy∫y4-yf(x,y)dx的積分區(qū)域?yàn)閮刹糠?如圖4—8)：D1={(x，y)｜1≤x≤2，x≤y≤2}；D2={(x，y)｜1≤y≤2，y≤x≤4一y}，將其寫成一個(gè)積分區(qū)域?yàn)镈={(x，y)｜1≤y≤2，1≤x≤4一y}．故二重積分可以表示為∫12dy∫14-yf(x,y)dx,故答案為C.5、=()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：結(jié)合二重積分的定義可得6、設(shè)其中D={(x，y)｜x2+y2≤1}，則()A、I3＜I2＜I1．B、I1＜I2＜I3．C、I2＜I1＜I3．D、I3＜I1＜I2．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：在區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤1}上，有0≤x2+y2≤1，從而有故應(yīng)選A．7、已知?jiǎng)t()A、fx’(0，0),fy’(0，0)都存在．B、fx’(0，0)不存在fy’(0，0)存在．C、fx’(0，0)不存在,fy’(0，0)不存在．D、fx’(0，0),fy’(0，0)都不存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：故fx’(0，0)不存在所以fy’(0，0)存在．故選B．8、設(shè)函數(shù)f(t)連續(xù)，則二重積分=()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榍€r=2在直角坐標(biāo)系中的方程為x2+y2=4，而r=2cosθ在直角坐標(biāo)中的方程為x2+y2=2x，即(x一1)2+y2=1，因此根據(jù)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)之間二重積分的轉(zhuǎn)化可得9、設(shè)S：x2+y2+z2=a2(z≥0)，S1為S在第一象限中的部分，則有()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：經(jīng)過分析可知，答案的四個(gè)選項(xiàng)右端均大于零，而S關(guān)于平面x=0和y=0是對(duì)稱的，因此A，B，D三項(xiàng)中的左端均為零，因此C一定為正確選項(xiàng)．事實(shí)上，有10、考慮二元函數(shù)f(x，y)的四條性質(zhì)：①f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處連續(xù)，②f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，③f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，④f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在．則有()A、②→③→①．B、③→②→①．C、③→④→①．D、③→①→④．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查二元函數(shù)f(x，y)的連續(xù)性，可偏導(dǎo)性，可微性及偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性之間的關(guān)系．由于f(x，y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分條件，而f(x，y)可微是其連續(xù)的充分條件，因此正確選項(xiàng)為A．11、極限()A、不存在．B、等于1．C、等于0．D、等于2．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于0≤｜xyln(x2+y2)≤(x2+y2)ln(x2+y2)(當(dāng)x2+y2＜1時(shí))，令x2+y2=r，則12、設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足f(0)＞0，g(0)＜0，且f’(0)=g’(0)=0，則函數(shù)z=f(x)g(y)在點(diǎn)(0，0)處取得極小值的一個(gè)充分條件是()．A、f’’(0)＜0，g’’(0)＞0．B、f’’(0)＜0，g’’(0)＜0．C、f’’(0)＞0，g’’(0)＞0．D、f’’(0)＞0，g’’(0)＜0．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由z=f(x)g(y)，得當(dāng)f’’(0)＜0，g’’(0)＞0時(shí)，B2一AC＜0，且A＞0，此時(shí)z=f(x)g(y)在點(diǎn)(0，0)處取得極小值．因此正確選項(xiàng)為A．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)13、已知極坐標(biāo)系下的累次積分．其中a＞0為常數(shù)，則I在直角坐標(biāo)系下可表示為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查把極坐標(biāo)系下的累次積分轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的累次積分．如果按照先y后x的積分次序，則有14、設(shè)f(x，y)連續(xù)，且,x=1，y=2所圍區(qū)域，則f(x，y)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：15、設(shè)連續(xù)函數(shù)z=f(x，y)滿足=______________.標(biāo)準(zhǔn)答案：2dx一dy知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)以及函數(shù)z的連續(xù)性可知f(0，1)=1，從而已知的極限可以轉(zhuǎn)化為16、設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程(z+y)2=xy確定，則=_____________.標(biāo)準(zhǔn)答案：2—2ln2知識(shí)點(diǎn)解析：把點(diǎn)(1，2)代入(z+y)x=xy，得到z(1，2)=0．在(x+y)n=xy兩邊同時(shí)對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)17、設(shè)D={(x，y)｜x2+y2≤，x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超過1+x2+y2的最大整數(shù)．計(jì)算二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤1，戈≥0}，計(jì)算二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖4—19所示．因?yàn)閰^(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，函數(shù)是變量y的偶函數(shù)，函數(shù)是變量y的奇函數(shù)．則取D1=D∩{y≥0}，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、已知函數(shù)f(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，計(jì)算二重積分I=標(biāo)準(zhǔn)答案：將二重積分知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)D={(x，y)｜a≤x≤b，c≤y≤d}，若fxy’’與fyx’’在D上連續(xù)，證明標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)D={(x，y)｜(x一1)2+(y一1)2=2}，計(jì)算二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、計(jì)算其中D={(x，y)｜0≤y≤min{x，1一x}}．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域如圖4—20所示，在極坐標(biāo)中知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、求二重積分其中D是由曲線r=2(1+cosθ)的上半部分與極軸所圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖4—21，D的極坐標(biāo)表示是：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：令知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、求下列積分．(1)設(shè)(2)設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]連續(xù)且標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、計(jì)算二重積分，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}．標(biāo)準(zhǔn)答案：記D1={(x，y)｜x2+y2≤1，(x，y)∈D}，D2={(x，y)｜x2+y2＞1，(x，y)∈D}，因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)二元函數(shù)計(jì)算二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楸环e函數(shù)關(guān)于x，y均為偶函數(shù)，且積分區(qū)域關(guān)于x，y軸均對(duì)稱，所以其中D1為D在第一象限內(nèi)的部分．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、求二重積分，其中D={(x，y)｜(x一1)2+(y—1)2≤2，y≥x}．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知條件，積分區(qū)域D={(x，y)｜(x一1)2+(y一1)2≤2，y≥x1．由(x一1)2+(y一1)2≤2，得r≤2(sinθ+cosθ)，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)平面區(qū)域D由直線x=3y，y=3x及x+y=8圍成．計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、計(jì)算二重積分其中區(qū)域D由曲線r=1+cosθ(0≤θ≤π)與極軸圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、計(jì)算二重積分其中D由曲線與直線及圍成.標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域如圖4—22所示D=D1∪D2，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、已知函數(shù)f(u，v)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)f(1，1)=2是f(u，v)的極值，已知z=f(x+y)f(x，y)]．求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微積分學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設(shè)函數(shù)f(x，y)可微，且對(duì)任意x，y都有則使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一個(gè)充分條件是()A、x1＞x2，y1＜y2．B、x1＞x2，y1＞y2．C、x1＜x2，y1＜y2．D、x1＜x2，y1＞y2．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由則需對(duì)x和y分開考慮，則已知的兩個(gè)不等式分別表示函數(shù)f(x，y)關(guān)于變量戈是單調(diào)遞增的，關(guān)于變量y是單調(diào)遞減的．因此，當(dāng)x1＜x2，y1＞y2時(shí)，必有f(x1，y1)＜f(x2，y1)＜f(x2，y2)，故選D．2、交換積分次序∫1edx∫0lnxf(x，y)dy為()A、∫0edy∫0lnxf(x,y)dxB、∫eyedy∫01f(x,y)dxC、∫0lnxdy∫1ef(x,y)dxD、∫01dy∫eyef(x,y)dx標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：交換積分次序得3、設(shè)f(x，y)連續(xù)，且其中D是由y=0，y=x2，x=1所圍區(qū)域，則f(x，y)等于()A、xy．B、2xy．C、D、xy+1．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：4、則積分域?yàn)?)A、x2+y2≤a2．B、x2+y2≤a2(x≥0)．C、x2+y2≤ax．D、x2+y2≤ax(y≥0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由r=acosθ知r2=arcosθ，即x2+y2=ax(a＞0)，故選C．5、設(shè)f(x，y)在D：x2+y2≤a2上連續(xù)，則()A、不一定存在．B、存在且等于f(0，0)．C、存在且等于πf(0，0)．D、存在且等于．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由積分中值定理知6、設(shè)區(qū)域D由曲線=()A、π．B、2．C、一2．D、一π．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：區(qū)域D如圖4—7中陰影部分所示，引入曲線y=一sinx將區(qū)域分為D1，D2，D3，D4四部分．由于D1，D2關(guān)于y軸對(duì)稱，可知在D1∪D2上關(guān)于x的奇函數(shù)積分為零，故；又由于D3，D4關(guān)于x軸對(duì)稱，可知在D3∪D4上關(guān)于y的奇函數(shù)為零，故．因此，，故選D．7、設(shè)平面D由及兩條坐標(biāo)軸圍成，則()A、I1＜I2＜I3．B、I3＜I1＜I2．C、I1＜I3＜I2．D、I3＜I2＜I1．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：顯然在D上0＜x+y≤1，則ln(x+y)3≤0，0＜sin(x+y)3＜(x+y)3，從而有，故選C．8、設(shè)D為單位圓x2+y2≤1，，則()A、I1＜I2＜I3．B、I3＜I1＜I2．C、I3＜I2＜I1．D、I1＜I3＜I2．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于積分域D關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)軸都對(duì)稱，而x3是x的奇函數(shù)，y3是y的奇函數(shù)，則由于在D內(nèi)｜x｜≤1，｜y｜≤1，則x6+y6≤x4+y4，則從而有I1＜I3＜I2．故選D．9、設(shè)其中函數(shù)f可微，則=()A、2yf’(xy)．B、一2yf’(xy)．C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：先根據(jù)函數(shù)求出必要偏導(dǎo)數(shù)的表達(dá)形式，將結(jié)果代入應(yīng)該選A．10、設(shè)Dk是圓域D={(x，y)｜x2+y2≤1}位于第k象限的部分，記(k=1，2，3，4)，則()A、I1＞0．B、I2＞0．C、I3＞0．D、I4＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算可知二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)11、D是圓周x2+y2=Rx所圍成的閉區(qū)域，則=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：圓周x2+y2=Rx所圍成的閉區(qū)域用極坐標(biāo)表示為12、積分∫02dx∫x2e-y2dy=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：如圖4一10積分區(qū)域，則13、交換積分次序∫-10dy∫21-yf(x,y)dx=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由累次積分的內(nèi)外層積分限可確定積分區(qū)域D(如圖4一11)：一1≤y≤0，1一y≤x≤2．則有14、積分=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1一sin1知識(shí)點(diǎn)解析：15、D是頂點(diǎn)分別為(0，0)，(1，0)，(1，2)和(0，1)的梯形閉區(qū)域，則=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：積分區(qū)域可以表示為D={(x，y)｜0≤y≤1+x，0≤x≤1}，則利用換元法，令1+x=t，x∈[0，1]時(shí)，t∈[1，2]，則16、交換積分次序=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，積分區(qū)域如圖4—13所示，則有17、設(shè)D為不等式0≤x≤3，0≤y≤1所確定的區(qū)域，則=____________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，18、設(shè)f(u，v)是二元可微函數(shù)，=____________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題為二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)，直接利用公式即可．利用求導(dǎo)公式可得19、設(shè)函數(shù)z=f(x，y)(xy≠0)滿足，則dz=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(2x一y)dx一xdy知識(shí)點(diǎn)解析：利用變量替換，設(shè)，則有即f(x，y)=x2一xy，因此出=(2x一y)dx一xdy三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)20、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、求函數(shù)u=x2+y2+z2在約束條件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：可以利用拉格朗日乘數(shù)法求極值．兩個(gè)約束條件的情況下，作拉格朗日函數(shù)F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2一z)+μ(x+y+z一4)，令解方程組得(x1，y1，z1)=(1，1，2)，(x2，y2，z2)=(一2，一2，8)．代入原函數(shù)，求得最大值為72，最小值為6．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)函數(shù)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f(exsiny)滿足方程，若f(0)=0，f’(0)=0，求函數(shù)f(u)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)z=z(x，y)是由方程x2+y2一z=φ(x+y+z)所確定的函數(shù)，其中φ具有二階導(dǎo)數(shù)且φ’≠一1．(1)求dz；(2)記標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：先求而且f(x)是一元函數(shù)f(u)與二元函數(shù)u=xy的復(fù)合，u是中間變量；φ(xy)是一元函數(shù)φ(v)與二元函數(shù)v=x+y的復(fù)合，v是中間變量．由于方便，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、求二重積分，其中D={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤2}．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線xy=1將區(qū)域分成兩個(gè)區(qū)域D1和D2+D3(如圖4一16)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、計(jì)算二重積分其中標(biāo)準(zhǔn)答案：將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，可得積分區(qū)域如圖4—17所示．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、計(jì)算二重積分其中積分區(qū)域D是由y軸與曲線所圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：引入極坐標(biāo)(r，θ)滿足x=rcosθ，y=rsinθ，在極坐標(biāo)(r，θ)中積分區(qū)域D可表示為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、計(jì)算積分標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)二重積分區(qū)域?yàn)镈，D1是D的第一象限部分，由對(duì)稱性，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、計(jì)算二重積分其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}．標(biāo)準(zhǔn)答案：D是正方形區(qū)域(如圖4—18)．因在D上被積函數(shù)分塊表示知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微積分學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、考慮二元函數(shù)f(x，y)的下面4條性質(zhì)：①f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處連續(xù)．②f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)．③f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微．④f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在．若用“”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q，則有()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)二元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)之間的關(guān)系，由于“偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)必可微”，而“可微必連續(xù)”，故應(yīng)選(A)．2、二元函數(shù)f(x，y)=在(0，0)處()A、連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在．B、連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在．C、不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在．D、不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由偏導(dǎo)數(shù)的定義知fx’(0，0)=同理fy’(0，0)=0，故f(x，y)在(0，0)處偏導(dǎo)數(shù)存在．又當(dāng)(x，y)沿y=kx趨向(0，0)點(diǎn)時(shí)，k取不同值，該極限值也不同，所以極限不存在，即f(x，y)在(0，0)處不連續(xù)．3、設(shè)函數(shù)f(x，y)=|x-y|g(x，y)，其中g(shù)(x，y)在點(diǎn)(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且g(0，0)=0，則在點(diǎn)(0，0)處()A、fx’(0，0)與fy’(0，0)都不存在．B、fx’(0，0)與fy’(0，0)都存在，但都不為0．C、fx’(0，0)=0，fy’(0，0)=0，但f(x，y)不可微．D、f(x，y)可微，且df(x，y)|(0,0)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：即fx’(0，0)=0．同理fy’(0，0)=0，排除(A)，(B)．△f=f(0+△x，0+△y)-f(0，0)=|△x一△y|g(△x，△y)，△f-[fx(0，0)△x+fy’(0，0)△y]=|△x一△y|g(△x，△y)，可知f(x，y)在(0，0)點(diǎn)可微，故應(yīng)選(D)．4、設(shè)u=u(x，y)為二元可微函數(shù)，且滿足，則當(dāng)x≠0時(shí)，=()A、一1．B、C、1．D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、已知函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則()A、點(diǎn)(0，0)不是函數(shù)f(x，y)的極值點(diǎn)．B、點(diǎn)(0，0)是函數(shù)f(x，y)的極大值點(diǎn)．C、點(diǎn)(0，0)是函數(shù)f(x，y)的極小值點(diǎn)．D、根據(jù)條件無法判別點(diǎn)(0，0)是否為函數(shù)f(x，y)的極值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：又因?yàn)閒(x，y)在點(diǎn)(0，0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，由極限與無窮小的關(guān)系知f(x，y)=xy+(x2+y2)2+α(x2+y2)，其中當(dāng)xy≠0時(shí)，顯然f(x，y)=xy+o(xy)，當(dāng)xy＞0時(shí)，f(x，y)-f(0，0)=xy+o(xy)＞0，當(dāng)xy＜0時(shí)，f(x，y)-f(0，0)=xy+o(xy)＜0，故由極值的定義知點(diǎn)(0，0)不是函數(shù)f(x，y)的極值點(diǎn)，應(yīng)選(A)．6、設(shè)函數(shù)f(x)具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且f(x)＞0，f’(0)=0，則函數(shù)z=f(x)lnf(y)在點(diǎn)(0，0)處取得極大值的一個(gè)充分條件是()A、f(0)＞1，f"(0)＞0．B、f(0)＞1，f"(0)＜0．C、f(0)＜1，f"(0)＞0．D、f(0)＜1，f"(0)＜0．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(0，0)處取得極大值，所以(0，0)是z=f(x)lnf(y)的駐點(diǎn)．又因此在(0，0)處，A=f"(0)lnf(0)，B=0，C=f"(0)．由于函數(shù)z=f(x)lnf(y)在點(diǎn)(0，0)處取得極大值，故應(yīng)有A＜0，C＜0，即f(0)＞1，f"(0)＜0，應(yīng)選(B)．7、設(shè)u(x，y)在平面有界閉區(qū)域D上是C(2)類函數(shù)，且滿足則u(x，y)的()A、最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的內(nèi)部．B、最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的邊界上．C、最大值點(diǎn)在D的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在D的邊界上．D、最小值點(diǎn)在D的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在D的邊界上．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：先考慮平面有界閉區(qū)域D的內(nèi)部：由條件A+C=知A，C異號(hào)，又所以AC—B2＜0，因此由函數(shù)取極值的充分條件知u(x，y)在D的內(nèi)部沒有極值點(diǎn)．因?yàn)閡(x，y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，必有最大值和最小值，而在D的內(nèi)部沒有極值點(diǎn)，所以u(píng)(x，y)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)一定都在D的邊界上，故應(yīng)選(B)．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)8、設(shè)函數(shù)f，g均可微，z=f(xy，lnx+g(xy))，則標(biāo)準(zhǔn)答案：f2’．知識(shí)點(diǎn)解析：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，9、設(shè)z=z(x，y)由方程z=e2x-3z+2y確定，則標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：在給定方程的兩邊分別對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，并注意到z是x，y的二元函數(shù)，三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)10、設(shè)函數(shù)f(x，y)=討論f(x，y)在(0，0)點(diǎn)的可微性．標(biāo)準(zhǔn)答案：極限值與k有關(guān)，由此可知f(x，y)在(0，0)點(diǎn)處不可微．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、求z=x+(y-1)arcsin在(0，1)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)x=eucosv，y=eusinv，z=uv．試求標(biāo)準(zhǔn)答案：把x，y看成中間變量，u，v看成自變量，由復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)z=[sin(xy)]xy，求dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于z=[sin(xy)]xy=exyln[sin(xy)]，利用一階微分形式的不變性，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)z=f(2x—y，ysinx)，其中f(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)z=f(u，v)，其中u=2x-y，v=ysinx．又f(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以f12"=f21"，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)z=xf(x，u，v)，u=ln(cosx)，v=xsiny，其中f可微，求標(biāo)準(zhǔn)答案：z=xf(x，ln(cosx)，xsiny)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、已知z=u(x，y)eax+by，且，試確定常數(shù)a，b，使得恒成立．標(biāo)準(zhǔn)答案：代入給定方程，得到．故a=1，b=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)變換求常數(shù)a．標(biāo)準(zhǔn)答案：令6+a—a2=0，得a=3，a=一2(舍去)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、由方程聽確定的函數(shù)z=z(x，y)在點(diǎn)(1，0，一1)處的全微分dz=_________.標(biāo)準(zhǔn)答案：在給定方程的兩邊分別對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，并注意到z是x,y的二元函數(shù)，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)方程組確定函數(shù)u=u(x，y)，v=v(x，y)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)方程組中兩個(gè)等式分別對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，得將上面等式中的看成未知數(shù)，整理得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)u=f(x，y，z)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，又y=y(x)，z=z(x)分別由exy一xy=2和所確定，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)y=g(x，z)，而z是由方程f(x-z，xy)=0所確定的x，y的函數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)這是兩個(gè)方程組成的方程組，有三個(gè)未知數(shù)．由欲求的結(jié)果可知方程組確定y，z分別是x的一元函數(shù)．方程組的兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，得將上面等式中的看成未知數(shù)，整理得利用克拉默法則，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且與f(1)=f’(1)=1．求函數(shù)f(r)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：兩邊同乘r2，得r2f"(r)+2rf’(r)=0，即[r2f’(r)]’=0，于是，r2f’(r)=C．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)f(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足f(0，0)=1，fx’(0，0)=2，fy’(0，y)=一3以及fxx"(x，y)=y，fxy"(x，y)=x+y，求f(x，y)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：將fxx"(x，y)=y對(duì)變量x求不定積分，得fx’(x，y)=∫ydx+C1(y)=xy+C1(y)．同樣將fxy"(x，y)=x+y對(duì)變量y求不定積分，得fx’(x，y)=∫(x+y)dx=xy+比較兩個(gè)表達(dá)式，得由于fx’(0，0)=2，故C=2．即fx’(x，y)=將fy’(x，y)=兩邊對(duì)x求不定積分，得由于fy’(0，y)=-3，得C2’(y)=一3．故C2(y)=一3y+C3，于是再由f(0，0)=1的C3=1，所以f(x，y)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、求函數(shù)z=x4+y4一x2一2xy—y2的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因此函數(shù)的駐點(diǎn)為(1，1)，(一1，一1)，(0，0)．在(1，1)處，A=10＞0，B=-2，C=10＞0，AC—B2=96＞0，故(1，1)是極小值點(diǎn)，z(1，1)=一2是函數(shù)的極小值．在(一1，一1)處，A=10＞0，B=-2，C=10＞0，AC—B2=96＞0，故(一1，一1)是極小值點(diǎn)，z(一1，一1)=一2是函數(shù)的極小值．在(0，0)處，A=一2，B=一2，C=一2，AC-B2=0，無法用函數(shù)取極值的充分條件判斷，需用函數(shù)極值的定義判斷．將函數(shù)改寫成z=x4+y4-(x+y)2，則易知：在點(diǎn)(0，0)的充分小的去心鄰域內(nèi)，若點(diǎn)(x，y)位于y=一x上，則z=2x4＞0=f(0，0)；若點(diǎn)(x,y)位于x=0上，則z=y2(y2-1)＜0=f(0，0)．故(0，0)不是函數(shù)的極值點(diǎn)．總之，函數(shù)的極小值為一2，沒有極大值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、證明：函數(shù)z=(1+ey)cosx-yey有無窮多個(gè)極大值而無極小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令可得無窮多個(gè)駐點(diǎn)：(nπ，(一1)n一1)(n=0，±1，±2，…)．當(dāng)n=2k(k為整數(shù))時(shí)，對(duì)應(yīng)的駐點(diǎn)為(2kπ，0)，此時(shí)A=一2＜0，B=0，C=一1，AC—B2=2＞0，故(2kπ，0)是極大值點(diǎn)，極大值為2．當(dāng)n=2k+1(k為整數(shù))時(shí)，對(duì)應(yīng)的駐點(diǎn)為((2k+1)π，一2)，此時(shí)A=1+e-2，B=0，C=一e-2，AC一B2=一e-2.(1+e-2)＜0，故((2k+1)π，一2)不是極值點(diǎn)．綜上可知，函數(shù)z=(1+ey)cosx—yey有無窮多個(gè)極大值而無極小值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、求函數(shù)f(x，y)=x2+2y2在約束條件x2+y2=1下的最大值和最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：轉(zhuǎn)化為無條件極值．由約束條件可得x2=1—y2，一1≤y≤1，代入目標(biāo)函數(shù)f(x，y)=x2+2y2中，得φ(y)=(1一y2)+2y2=1+y2，一1≤y≤1．由φ’(y)=2y=0得唯一駐點(diǎn)y=0，又φ(0)=1，φ(±1)=2，可知φ(y)的最大值為2，最小值為0．故函數(shù)f(x，y)=x2+2y2在約束條件x2+y2=1下的最大值和最小值分別為2，0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、求橢圓x2+4y2=4上一點(diǎn)，使其到直線2x+3y一6=0的距離最短．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)p(x，y)為橢圓x2+4y2=4上任意一點(diǎn)，則p到直線2x+3y一6=0的距離為求d的最小值點(diǎn)即求d2的最小值點(diǎn)．下面利用拉格朗日乘數(shù)法求d2的最小值點(diǎn)．由問題的實(shí)際意義最短距離存在，因此即為所求的極小值點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、給定橢球體在第一象限的部分．(1)求橢球體上任意點(diǎn)M0(x0，y0，z0)(x0＞0，y0＞0，z0＞0)處橢球面的切平面．(2)在何處的切平面與三個(gè)坐標(biāo)面圍成的空間區(qū)域的體積最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：故在點(diǎn)M0(x0，y0，z0)處橢球面的切平面方程整理得(2)過點(diǎn)M0(x0，y0，z0)的切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為所圍體積為上述前三個(gè)方程分別乘x，y，z再相加，將此代入第一個(gè)方程中，得同理，將λ的值分別代入第二個(gè)方程和第三個(gè)方程中，得故在點(diǎn)處的切平面與三個(gè)坐標(biāo)面圍成的空間區(qū)域的體積最小，其最小值為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、已知函數(shù)z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2．求z=f(x，y)在橢圓域D=上的最大值和最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先求出f(x，y)的表達(dá)式．由dz=2xdx一2ydy，可知z=f(x，y)=x2一y2+C．再由f(1，1)=2．得C=2，故z=f(x，y)=x2一y2+2．其次求區(qū)域D內(nèi)部的可能極值點(diǎn)．由方程組可知在區(qū)域D內(nèi)有一個(gè)駐點(diǎn)(0，0)．f(0，0)=2．最后求區(qū)域D的邊界上的可能極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為無條件極值計(jì)算．在橢圓，z=x2一(4—4x2)+2=5x2一2，其中(一1≤x≤1)，其最大值為z|x=±=3，最小值為z|x=0=一2．再與f(0，0)=2比較，可知f(x，y)在橢圓域D上的最大值為3，最小值為一2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微積分學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、二元函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微的一個(gè)充分條件是()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：按可微性定義f(x，y)在(0，0)可微題中的C項(xiàng)即A=B=0的情形．故選C．2、已知fx(x0，y0)存在，則=()A、fx(x0，y0)．B、0．C、2fx(x0，y0)．D、(x0,y0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：故選C．3、設(shè)則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處()A、兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都不存在．B、兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微．C、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)．D、可微但偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由偏導(dǎo)數(shù)定義，有故f(x，y)在(0，0)點(diǎn)不可微．應(yīng)選B．4、已知為某二元函數(shù)u(x，y)的全微分，則a等于()A、0．B、2．C、1．D、一1．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：5、函數(shù)f(x，y)在(0，0)點(diǎn)可微的充分條件是()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由可知f(x，y)的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)fx(x，y)和fy(x，y)在(0，0)點(diǎn)可微，故選D．6、設(shè)函數(shù)z=f(x，y)的全微分為dz=xdx+ydy，則點(diǎn)(0，0)()A、不是f(x，y)的連續(xù)點(diǎn)．B、不是f(x，y)的極值點(diǎn)．C、是f(x，y)的極大值點(diǎn)．D、是f(x，y)的極小值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：為函數(shù)z=f(x，y)的一個(gè)極小值點(diǎn)．因此正確選項(xiàng)為D．7、設(shè)函數(shù)z(x，y)由方程確定，其中F為可微函數(shù)，且F2’≠0，則=()A、x．B、z．C、一x．D、一z．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：即正確選項(xiàng)為B．8、設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，△z是f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的全增量，則在點(diǎn)(x0，y0)處()A、△z=dz．B、△z=fx(x0，y0)Ax+fy(x0，y0)△y．C、△z=fx(x0，y0)dx+fy(x0，y0)dy．D、△z=dz+o(p)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，則△z=fx(x0，y0)△x+fy(x0，y0)△y+o(p)=dx+o(p)，故選D．9、設(shè)則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處()A、不連續(xù)．B、連續(xù)但兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不存在．C、兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微．D、可微．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由微分的定義可知f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微，故選D．10、已知du(x，y)=(axy3+cosx(x+2y))dx+(3x2y2+bcos(x+2y))dy，則()A、a=2，b=一2．B、a=3，b=2．C、a=2，b=2．D、a=2，b=2．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由du(x，y)=(axy3+cos(x+2y))dx+(3x2y2+bcos(x+2y))dy知以上兩式分別對(duì)y，x求偏導(dǎo)得即3axy2一2sin(x+2y)≡6xy2一bsin(x+2y)，得a=2，b=2，故選C．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)11、設(shè)f(x，y，z)=ex+y2z，其中z=z(x，y)是由方程x+y+z+xyz=0所確定的隱函數(shù)，則fx’(0，1，一1)=____________.標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：已知f(x，y，z)=ex+y2z，那么有fx’(x，y，z)=ex+y2zx’．在等式x+y+z+xyz=0兩端對(duì)x求偏導(dǎo)可得1+zx’+yz+xyzx’=0．由x=0，y=1，z=一1，可得zx’=0．故fe’(0，1，一1)=e0=1．12、設(shè)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)，則a=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?3、設(shè)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可知：14、設(shè)二元函數(shù)z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，則dz｜=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2edx+(e+2)dy知識(shí)點(diǎn)解析：由已知因此dz｜(1,0)=2edx+(e+2)dy．15、設(shè)z=z(x，y)由方程z+ez=xy2所確定，則dz=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：16、設(shè)函數(shù)f(u)可微，且f’(2)=2，則z=f(x2+y2)在點(diǎn)(1，1)處的全微分dz｜(1,1)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：4(dx+dy)知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，dz=f’(x2+y2)(2xdx+2ydy)，則dz｜(0,0)=f’(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)．17、設(shè)函數(shù)f(u)可微，且，則z=f(4x2一y2)在點(diǎn)(1，2)處的全微分dz｜(1,2)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：4dx一2dy．知識(shí)點(diǎn)解析：直接利用微分的形式計(jì)算，因?yàn)?8、設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則=_____________.標(biāo)準(zhǔn)答案：yf’’(xy)+φ’(x+y)+yφ’’(x+y)知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可得：19、設(shè)z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中g(shù)，φ具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：g’(x+y)+xg’’(x+y)+2yφ’(xy)+xy2φ’’(xy)知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，20、設(shè)平面區(qū)域D由直線y=x，圓x2+y2=2y及y軸所圍成，則二重積分_____________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、設(shè)u=f(x，y，z)，φ(x2，ey，z)=0，y=sinx，其中f，φ都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且標(biāo)準(zhǔn)答案：在等式u=f(x，y，z)的兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得到如下等式因此，可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)函數(shù)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而z=f(exsiny)滿足方程求f(u)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所確定的函數(shù)，其中f和F分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：分別在z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0的兩端對(duì)x求導(dǎo)，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求.標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、已知函數(shù)z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2．求f(x，y)在橢圓域上的最大值和最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：下面討論其在邊界曲線上的情形，令拉格朗日函數(shù)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)曲線L的方程為(1)求L的弧長；(2)設(shè)D是由曲線L，直線x=1，x=e及x軸所圍平面圖形，求D的形心的橫坐標(biāo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)曲線的弧微分為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)z=z(x，y)是由x2一6xy+10y2一2yz—z2+18=0確定的函數(shù)，求z=z(x，y)的極值點(diǎn)和極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：在方程x2—6xy+10y2一2yz—z2+18=10的兩端分別對(duì)x，y求偏導(dǎo)數(shù)，因此有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)函數(shù)f(u)在(0，+∞)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且(1)驗(yàn)證(2)若f(1)=0,f’(1)=1，求函數(shù)f(u)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(u)=lnu+C2，由f(1)=0．可得C2=0，故f(u)=lnu．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、求其中D是由圓x2+y2=4和(x+1)2+y2=1所圍成的平面區(qū)域(如圖4—2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(x，y)｜x2+y2≤4}，D2={(x，y)｜(x+1)2+y2≤1}，((如圖4—15)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)z=f(xy，yg(x))，其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(x)可導(dǎo)，且在z=1處取得極值標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微積分學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設(shè)Dk是圓域D={(x，y)|x2+y2≤1}位于第k象限的部分，記(k=1，2，3，4)，則()A、I1＞0。B、I2＞0。C、I3＞0。D、I4＞0。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算可知2、設(shè)f(x，y)在D：x2+y2≤a2上連續(xù)，則()A、不一定存在。B、存在且等于f(0，0)。C、存在且等于πf(0，0)。D、存在且等于。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由積分中值定理知3、設(shè)函數(shù)f(u)連續(xù)，區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤2y}，則等于()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：積分區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤2y}(如圖1—4—3)。在直角坐標(biāo)系下因此正確答案為D。4、設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，則二次積分等于()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)可知可轉(zhuǎn)化為0≤y≤1，π—arcsiny≤x≤π，故應(yīng)選B。5、累次積分∫01dx∫01f(x,y)+∫11dy∫12(x，y)dy+∫02-ydyf(x，y)dx可寫成()A、∫02dx∫x2-xf(x，y)dy。B、∫01dy∫02-yf(x，y)dx。C、∫01dx∫x2-xf(x，y)dy。D、∫01dy∫y2-yf(x，y)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：原積分域?yàn)橹本€y=x，x+y=2，與y軸圍成的三角形區(qū)域，故選C。6、設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，則∫12dx∫x2f(x,y)dy+∫12dy+∫y4-yf(x，y)dx=()A、∫12dx∫14-xf(x，y)dy。B、∫12dx∫x4-xf(x，y)dy。C、∫12dy∫14-yf(x,y)dx。D、∫12dy∫y2f(x,y)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：c知識(shí)點(diǎn)解析：∫12dx∫x2f(x,y)dy+∫12dy∫y4-yf(x,y)dx的積分區(qū)域?yàn)閮刹糠?如圖1-4—4)：D1={(x，y)｜1≤x≤2，x≤y≤2}；D2={(x，y)｜1≤y≤2，y≤x≤4一y}，將其寫成一個(gè)積分區(qū)域?yàn)镈={(x，y)｜1≤y≤2，1≤x≤4一y}。故二重積分可以表示為∫12dy∫14-yf(x,y)dx，故答案為C。7、交換積分次序∫1edx∫0lnxf(x,y)dy為()A、∫0edy∫0lnxf(x,y)dx。B、∫eyedy∫01f(x,y)dx。C、∫0lnxdy∫1ef(x,y)dx。D、∫01dy∫eyef(x,y)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：交換積分次序得∫1edx∫0lnxf(x，y)dy=∫01dy∫eyef(x，y)dx。8、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，若，其中區(qū)域Duv為圖1—4—1中陰影部分，則=()A、vf(u2)B、C、vf(u)D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：題設(shè)圖象中所示區(qū)域用極坐標(biāo)表示為0≤θ≤v，1≤r≤u。因此可知根據(jù)變限積分求導(dǎo)可得9、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx,則F’(2)等于()A、2f(2)。B、(2)。C、-f(2)。D、0。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：交換累次積分的積分次序，得F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx=∫1tdx∫1xf(x)dy=∫1t(x一1)f(x)dx。于是F’(t)=(t一1)f(t)，從而F’(2)=f(2)。故選B。10、設(shè)=()A、1B、C、D、e一1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：積分區(qū)域如圖1—4-5故應(yīng)選B。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)11、設(shè)函數(shù)f(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)z=f(x，xy)，則=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：xf22’’+f2’+xyf22’’知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，12、設(shè)函數(shù)f(u，v)由關(guān)系式f[xg(y，y]=x+g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y)≠0，則=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令u=xg(y)，v=y，則，所以，13、二元函數(shù)f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的極小值為=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，fx’=2x(2+y2)，fy’=2x2y+lny+1。所以則A＞0。14、設(shè)且z(1，y)=siny，則z(x，y)=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：15、積分∫02dx∫x2e-y2dy=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：如圖1-4—10積分區(qū)域，則16、交換積分次序∫-10dy∫21-yf(x，y)dx=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫12dx∫01-xf(x,y)dy知識(shí)點(diǎn)解析：由累次積分的內(nèi)外層積分限可確定積分區(qū)域D(如圖1—4一11)：一1≤y≤0，1—y≤x≤2.則有交換積分次序∫-10dy∫21-yf(x,y)dx=-∫-10dy∫1-y2f(x,y)dx=-∫12dx∫1-x0f(x,y)dy=∫12dx∫01-xf(x,y)dy17、積分=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1一sin1知識(shí)點(diǎn)解析：積分區(qū)域D如圖1—4—12所示，18、交換積分次序=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，積分區(qū)域如圖1-4-13所示，則有19、設(shè)f(x)，g(x)是連續(xù)函數(shù)，=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)橛谑?0、將∫01dy∫0yf(x2+y2)dx化為極坐標(biāo)下的二次積分為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：如圖1—4—14所示，則有三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、求曲線x3一xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長距離與最短距離。標(biāo)準(zhǔn)答案：構(gòu)造函數(shù)L(x，y)=x2+y2+A(x3一xy+y3一1)，得唯一駐點(diǎn)x=1，y=1，即M1(1，1)?？紤]邊界上的點(diǎn)，M2(0，1)，M3(1，0)，距離函數(shù)在三點(diǎn)的取值分別為，因此可知最長距離為，最短距離為1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、求函數(shù)u=x2+y2+z2在約束條件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值與最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：可以利用拉格朗日乘數(shù)法求極值，兩個(gè)約束條件的情況下，作拉格朗日函數(shù)F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2一z)+μ(x+y+z一4)，目令解方程組得(x1，y1，z1)=(1，1，2)，(x2，y2，z2)=(一2，一2，8)。代入原函數(shù)，求得最大值為72，最小值為6。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、求|z|在約束條件下的最大值與最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：｜z｜的最值點(diǎn)與z2的最值點(diǎn)一致，用拉格朗日乘數(shù)法，作F(x，y，z，λ，μ)=z2+λ(x2+9y2一2z2)+μ(x+3y+3z一5)。且令知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、求原點(diǎn)到曲面(x一y)2+z2=1的最短距離。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意，求曲面上的點(diǎn)(x，y，z)到原點(diǎn)的距離在條件(x一y)2+z2=1下達(dá)到最小值，運(yùn)用拉格朗日函數(shù)法。令F(x，y，z，λ)=x2+y2+z2+λ(x一y)2+λz2一λ，則有由(3)式，若λ=一1，代入(1)，(2)得解得x=0，y=0。代入曲面方程(x—y)2+z2=1，得到z2=1，d=1。若λ≠一1，由(3)解得z=0。由(1)，(2)得到x=一y。代入曲面方程(x一y)2+z2=1，得到故所求的最短距離為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、求二元函數(shù)zf(x，y)=x2y(4一x一y)在直線x+y=6，x軸與y軸圍成的閉區(qū)域D上的最大值與最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：先求在D內(nèi)的駐點(diǎn)，即因此在D內(nèi)只有駐點(diǎn)相應(yīng)的函數(shù)值為f(2，1)=4。再求f(x，y)在D邊界上的最值①在x軸上y=0，所以f(x，0)=0。②在y軸上x=0，所以f(0，y)=0。③在x+y=6上，將y=6一x代入f(x，y)中，得f(x，y)=2x2(x一6)，因此fx’=6x2一24x=0得x=0(舍)，x=0所以y=6一x=2。于是得駐點(diǎn),相應(yīng)的函數(shù)值f(4，2)=x2y(4一x一y)｜(4,2)=一64。綜上所述，最大值為f(2，1)=4，最小值為f(4，2)=一64。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、已知函數(shù)z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2。求f(x，y)在橢圓域上的最大值和最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意可知于是f(x，y)=x2+C(y)，且C’(y)=一2y，因此有C(y)=一y2+C，由f(1，1)=2，得C=2，故f(x，y)=x2一y2+2。令得可能極值點(diǎn)為x=0，y=0且△=B2一AC=4＞0，所以點(diǎn)(0，0)不是極值點(diǎn)，也不可能是最值點(diǎn)。下面討論其邊界曲線上的情形，令拉格朗日函數(shù)為得可能極值點(diǎn)x=0,y=2,A=4；x=0,y=一2，λ=4；x=1，y=0,A=一1；x=一1，y=0，λ=一1。將其分別代入f(x，y)得f(0，±2)=一2f(±1，0)=3，因此z=f(x，y)在區(qū)域內(nèi)的最大值為3，最小值為一2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)平面區(qū)域D由直線x=3y，y=3x及x+y=8圍成。計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)已知?jiǎng)t有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、計(jì)算其中D是由所圍成的平面區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：x2一2x+y2=0→(x一1)2+y2=1；y=一x與x2+y2=4的交點(diǎn)為y=-x與x2—2x+y2=0的交點(diǎn)為(0，0)和(1，一1)；x2+y2=4與x2一2x+y2=0的交點(diǎn)為(2，0)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、求二重積分，其中D={(x，y)|(x一1)2+(y—1)2≤2，)，≥x}。標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知條件，積分區(qū)域D={(x，y)｜(x一1)2+(y一1)2≤2,y≥x}。由(x一1)2+(y一1)2≤2，得r≤2(sinθ+cosθ)，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、求二重積分，其中D={(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2}。標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線xy=1將區(qū)域分成兩個(gè)區(qū)域D1和D2+D3(如圖1--4—16)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微積分學(xué)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設(shè)其中函數(shù)f可微，則=()A、2yf’(xy)。B、一2yf’(xy)。C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：先根據(jù)函數(shù)求出偏導(dǎo)數(shù)的表達(dá)形式，再將結(jié)果代入應(yīng)該選A。2、設(shè)可微函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是()A、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)大于零。B、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)等于零。C、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)小于零。D、f(x0，y)在y=yo0處的導(dǎo)數(shù)不存在。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因可微函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)取得極小值，故有fx’(x0，y0)=0,fy’(x0，y0)=0。又由?？芍狟正確。3、設(shè)函數(shù)f(x，y)可微，且對(duì)任意x，y都有則使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一個(gè)充分條件是()A、x1＞x2，y1＜y2。B、x1＞x2，y1＞y2。C、x1＜x2，y1＜y2。D、x1＜x2，y1＞y2。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由，需對(duì)x和y分開考慮，則已知的兩個(gè)不等式分別表示函數(shù)f(x，y)關(guān)于變量x是單調(diào)遞增的，關(guān)于變量y是單調(diào)遞減的。因此，當(dāng)x1＜x2，y1＞y1時(shí)，必有f(x1，y1)＜f(x2，y1)＜f(x2，y3)，故選D。4、設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足f(0)＞0，g(0)＜0，且f’(0)=g’(0)=0，則函數(shù)z=f(x)g(y)在點(diǎn)(0，0)處取得極小值的一個(gè)充分條件是()。A、f’’(0)＜0，g’’(0)＞0。B、f’’(0)＜0，g’’(0)＜0。C、f’’(0)＞0，g’’(0)＞0。D、f’’(0)＞0，g’’(0)＜0。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由z=f(x)g(y)，得當(dāng)f’’(0)＜0，g’’(0)＞0時(shí)，B2一AC＜0，且A＞0，此時(shí)x=f(x)g(y)在點(diǎn)(0，0)處取得極小值。因此正確選項(xiàng)為A。5、設(shè)函數(shù)z=f(x，y)的全微分為dz=xdx+ydy，則點(diǎn)(0，0)()A、不是f(x，y)的連續(xù)點(diǎn)。B、不是f(x，y)的極值點(diǎn)。C、是f(x，y)的極大值點(diǎn)。D、是f(x，y)的極小值點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)dz=xdx+ydy可得，則又在(0，0)處根據(jù)二元函數(shù)極值點(diǎn)的判斷方法可知，(0，0)為函數(shù)z=f(x，y)的一個(gè)極小值點(diǎn)。因此正確選項(xiàng)為D。6、設(shè)f(x，y)與φ(x，y)均為可微函數(shù)，且φy’(x，y)≠0。已知(x0,y0)是f(x，y)在約束條件φ(x，y)=0下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是()A、若fx’(x0，y0)=0，則fy’(x0，y0)=0。B、若fx’(x0，y0)=0，則fy’(x0，y0)≠0。C、若fx’(x0，y0)≠0，則fy’(x0，y0)=0。D、若fx’(x0，y0)≠0，則fy’(x0，y0)≠0。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令F=f(x，y)+λφ(x，y)，若fx’(x0，y0)=0，由(1)得λ=0或φx’(x0，y0)=0當(dāng)λ=0時(shí)，由(2)得fy’(x0，y0)=0，但μ≠0時(shí)，由(2)及φy’(x0，y0)≠0得fy’(x0，y0)≠0因而A,B錯(cuò)誤。若fx’(x0，y0)≠0，由(1)，則λ≠0，再由(2)及φy’(x0，y0)≠0，則fy’(x0，y0)≠0。7、=()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：結(jié)合二重積分的定義可得8、設(shè)其中D={(x，y)|x2+y2≤1}，則()A、I3＞I2＞I1。B、I1＞I2＞I3。C、I2＞I1＞I3。D、I3＞I1＞I2。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：在區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤1}上，有0≤x2+y2≤1，從而有9、設(shè)平面D由及兩條坐標(biāo)軸圍成則()A、I1＞I2＞I3。B、I3＞I1＞I2。C、I1＞I3＞I2。D、I3＞I2＞I1。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：故選C。10、設(shè)D為單位圓則()A、I1＞I2＞I3。B、I3＞I1＞I2。C、I3＞I2＞I1。D、I1＞I3＞I2。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于積分域D關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)軸都對(duì)稱，而x3是x的奇函數(shù)，y3是y的奇函數(shù)，則積分區(qū)域關(guān)于y=x對(duì)稱，從而由輪換對(duì)稱性可知由于在D內(nèi)｜x｜≤1，｜y｜≤1，則x6+y6≤x4+y4，則從而有I2＜I3＜I2。故選D。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)11、設(shè)函數(shù)z=z(z，y)由方程z=e2x-3y+2y確定，則=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：偏導(dǎo)數(shù)法。在z=e2x-3z+2y的兩邊分別對(duì)x，y求偏導(dǎo)，z為x，y的函數(shù)。12、設(shè)函數(shù)，則dz|(1,1)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(1+21n2)dx一(1+2ln2)dy知識(shí)點(diǎn)解析：13、設(shè)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)則z=uv，所以14、設(shè)函數(shù)z=f(x，y)(xy≠0)滿足，則dz=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(2x—y)dx一xdy知識(shí)點(diǎn)解析：利用變量替換，設(shè)，則有即f(x，y)=x2一xy，因此dz=(2x—y)dx一xdy。15、設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程(z+y)x=xy確定，則=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2—2ln2知識(shí)點(diǎn)解析：把點(diǎn)(1，2)代入(z+y)x=xy，得到z(1，2)=0。在(z+y)z=xy兩邊同時(shí)對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，有將x=1，y=2，z(1，2)=0代入上式得16、設(shè)z=z(x，y)是由方程確定的隱函數(shù)，則在點(diǎn)(0，一1，1)的全微分dz=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2dx+dy知識(shí)點(diǎn)解析：方程兩邊微分，有將x=0，y=一1，z=1代入上式，得即有dz=2dx+dy。17、設(shè)，則df(x，y，z)|(1.1,1)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：dx一dy知識(shí)點(diǎn)解析：由．有兩邊分別對(duì)x,y、z求偏導(dǎo)，得代入點(diǎn)(1，1，1)，得fx’=1，fy’=—1,fz’=0．故df(1,1,1)=dx一dy。18、設(shè)，且f(u)及g(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則19、設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：yf’’(xy)+φ’(x+y)+yφ’’(x+y)知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可得：20、設(shè)z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中g(shù)，φ具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：g’(x+y)+xg’’(x+y)+2yφ’(xy)+xy2φ’’(xy)知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、已知函數(shù)f(u，v)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),f(1，1)=2是f(u，v)的極值，已知z=f[(x+y),f(x，y)]。求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)z=f[xy，yg(x)]，其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(x)可導(dǎo)，且在x=1處取得極值g(1)=1，求標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)對(duì)方程兩端同時(shí)求導(dǎo)得2xdx+2ydy一dz=φ’(x+y+z).(dx+dy+dz)，(Ⅱ)由第(I)問可知，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)z=z(x，y)是由方程x2+y2一z=φ(x+y+z)所確定的函數(shù)，其中φ具有二階導(dǎo)數(shù)且φ’≠一1。記設(shè)對(duì)任意的x和y，有用變量代換將f(x，y)變換成g(u，v)，試求滿足的常數(shù)a和b。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)u=f(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足等式確定a，b的值，使等式通過變換ξ=x+ay，η=x+by可化簡為標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)已知知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)函數(shù)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而z=f(exsiny)滿足方程，求f(u)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)函數(shù)f(u)在(0，+∞)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足等式(I)驗(yàn)證(II)若f(1)=0,f’(1)=1，求函數(shù)f(u)的表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、求的極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：先求函數(shù)的駐點(diǎn)，fx’(x，y)=e一x=0,fy’(x，y)=一y=0，解得函數(shù)f(x，y)的駐點(diǎn)為(e，0)。又A=fxx’’(e，0)=一1，B=fxy’’(e，0)=0，C=fyy’’(e，0)=一1，所以B2一AC＜0，A＜0。故f(x，