2025年高考數(shù)學一輪專題復習-空間向量和立體幾何專題十四（含解析）

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）空間向量和立體幾何高考復習專題十四知識點一證明線面平行,面面角的向量求法典例1、如圖，是圓的直徑，點是圓上異于的點，直線平面，分別是，的中點.（1）記平面與平面的交線為，求證：直線平面；（2）若，點是的中點，求二面角的正弦值.

隨堂練習：如圖，三棱柱中側(cè)棱與底面垂直，且，，，M，N，P，D分別為，BC，，的中點.（1）求證：面；（2）求平面PMN與平面所成銳二面角的余弦值.

典例2、如圖所示的幾何體中，，，都是等腰直角三角形，，且平面平面，平面平面．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．

隨堂練習：如圖，在四棱錐中，平面，，為等邊三角形，．（1）求證：平面，且平面．（2）已知，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．典例3、如圖，是邊長為的等邊三角形，四邊形為菱形，平面平面，，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

隨堂練習：如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．知識點二證明線面垂直,線面垂直證明線線垂直,線面角的向量求法典例4、如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，點是的中點.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

隨堂練習：如圖，在直角中，PO⊥OA，PO=2OA，將繞邊PO旋轉(zhuǎn)到的位置，使，得到圓錐的一部分，點C為的中點．（1）求證：；（2）設(shè)直線PC與平面PAB所成的角為，求．

典例5、在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，E為的中點，點P在平面內(nèi)的投影F恰好在直線上．（1）證明：．（2）求直線與平面所成角的正弦值．

隨堂練習：如圖，在中，，，為的中點，，.現(xiàn)將沿翻折至，得四棱錐.（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正切值

典例6、如圖，在七面體中，四邊形是菱形，其中，，，是等邊三角形，且.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

隨堂練習：如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，點在上．（1）求證：；（2）若二面角的大小為，求與平面所成角的正弦值．空間向量和立體幾何高考復習專題十四答案典例1、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）因為分別是的中點所以，又因為平面，平面所以平面又平面，平面與平面的交線為，所以，而平面，平面，所以平面（2）如圖，因為是圓的直徑，點是的中點，所以，因為直線平面所以所以以為原點，直線，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則，，所以，設(shè)平面的法向量，則，即令，則得因為直線平面所以為平面的法向量所以所以二面角的正弦值為隨堂練習：答案：（1）證明見解析（2）解：（1）解法一：以點A為坐標原點，AB?AC?所在直線分別為x?y?z軸建立空間直角坐標系，則，，，，.取向量為平面的一個法向量，，∴，∴.又∵平面，∴平面.解法二：∵P，D分別為，的中點，∴，且平面，平面，∴平面，∵D，N分別為，BC的中點，∴，且平面，平面，∴平面，又，∴平面平面，又∵平面PDN，∴平面.以點A為坐標原點，AB?AC?所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，.∴，,取向量為平面的一個法向量，設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，令，則，，則，∴，由圖示可知平面PMN與平面的夾角為銳角，∴平面PMN與平面所成銳二面角的余弦值為.典例2、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）證明：分別取的中點，連接，設(shè)，則，，又平面平面，平面平面平面，平面，同理可證平面，，又因為，所以四邊形是平行四邊形，，又平面平面，平面；（2）如圖，取的中點為，則，以點為坐標原點，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得平面的一個法向量為設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.隨堂練習：答案：（1）證明見解析（2）解：（1）平面，平面，，又，，平面，平面；為等邊三角形，，又，，平面，平面，平面.平面，平面，；（2）以為坐標原點，為軸正方向，作軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，；設(shè)平面的法向量，則，令，則，，；，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.典例3、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）證明：因為四邊形為菱形，則，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，所以，平面平面，因為平面，平面.（2）取的中點，連接、，因為四邊形為菱形，則，因為，則為等邊三角形，因為為的中點，則，同理可得，因為平面平面，平面平面，平面，平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，設(shè)平面的向量為，，，則，取，可得，易知平面的一個法向量為，則.因此，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.隨堂練習：答案：（1）見解析；（2）.解:（1）連接，，分別為，中點為的中位線且又為中點，且且四邊形為平行四邊形，又平面，平面平面（2）設(shè)，由直四棱柱性質(zhì)可知：平面四邊形為菱形則以為原點，可建立如下圖所示的空間直角坐標系：則：，，，D（0，-1,0）取中點，連接，則四邊形為菱形且為等邊三角形又平面，平面平面，即平面為平面的一個法向量，且設(shè)平面的法向量，又，，令，則，二面角的正弦值為：典例4、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）如圖，連接，∵四邊形是正方形，∴.又平面，平面，∴，∵平面，，∴平面，又平面，∴（2）易知，，兩兩垂直，以點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.∵，∴，，，，，∴，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，得.設(shè)直線與平面所成角為，由圖可知，則即直線與平面所成角的正弦值為.隨堂練習：答案：（1）證明見解析（2）解：（1）證明：由題意知：，∴PO⊥平面AOB，又∵平面AOB，所以PO⊥AB．又點C為的中點，所以O(shè)C⊥AB，，所以AB⊥平面POC，又∵平面POC，所以PC⊥AB．（2）以O(shè)為原點，，，的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則，，，，所以，，．設(shè)平面PAB的法向量為，則取，則可得平面PAB的一個法向量為，所以．典例5、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）因為，，E為的中點，所以，所以四邊形為長方形，，因為平面，平面，所以，又因為，所以平面，平面，所以．（2）連接，由（1）平面，平面，所以，因為，所以，所以，即，，，所以，即，過做交于，分別以所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標系，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，所以，即，令，則，所以，設(shè)直線PB與平面PAD所成角的為，所以，所以直線PB與平面PAD所成角的正弦值為．隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）7解:（1）設(shè)為的中點，為的中點，，則，故，則，又，則，所以是的角平分線，且三點共線.由，且,得面，則；（2）法一：連結(jié).由平面得，平面平面，交線為，所以在面上的射影點在上，為直線與平面所成角.在中，，由余弦定理得，，故，，又，在得，由余弦定理得，則，所以，由（1）得為角平分線，在中，，由余弦定理得，則，所以，所以直線與平面所成角的正切值為7.法二：如圖，以為原點，為軸建立空間直角坐標系.，設(shè)，由，得，得.,平面法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，所以，,則，所以直線與平面所成角的正切值為7.典例6、答案：（1）證明見解析；（2）.解:（1）取中點，連接，，，所以，由余弦定理得：，得，，又，且，則平面，故，又，所以平面，則，由等邊三角形得，且，則平面，故，又，因此.（2）連接，過點作平面于點，連接，，由平面得平面平面，則點在平面內(nèi)的射影位于直線上，由等邊三角形得點在平面內(nèi)的射影位于的中垂線上，因此，由幾何關(guān)系可確定點在平面內(nèi)的射影位于的重心，又由（1）知平面，平面，則，，，，五點共面，如圖，以點為原點，以射線，為，軸的正半軸，建立空間直角坐標系Gxyz，不妨設(shè)，則，，，在和中，由余弦定理得，，則，解得，因此，，，設(shè)平面的法向量，由得，取，設(shè)直線與平面所成角為，則，因此，直線與平面所成角的正弦值為.隨堂練習：答案