第01講 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運算（十二大題型）（講義）（原卷版）

第01講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運算目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導(dǎo)航 202知識導(dǎo)圖·思維引航 303考點突破·題型探究 4知識點1：導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義 4知識點2：導(dǎo)數(shù)的運算 4解題方法總結(jié) 6題型一：導(dǎo)數(shù)的定義及變化率問題 6題型二：導(dǎo)數(shù)的運算 7題型三：在點P處的切線 9題型四：過點P的切線 9題型五：公切線問題 10題型六：已知切線或切點求參數(shù)問題 11題型七：切線的條數(shù)問題 12題型八：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題 13題型九：牛頓迭代法 14題型十：切線平行、垂直、重合問題 16題型十一：奇偶函數(shù)圖像的切線斜率問題 17題型十二：切線斜率的取值范圍問題 1804真題練習(xí)·命題洞見 1805課本典例·高考素材 1906易錯分析·答題模板 20易錯點：求曲線的切線方程時忽視點的位置 20答題模板：求曲線過點P的切線方程 20

考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）導(dǎo)數(shù)的定義（2）導(dǎo)數(shù)的運算（3）導(dǎo)數(shù)的幾何意義2024年甲卷第6題，5分2024年I卷第13題，5分2023年甲卷第8題，5分2022年I卷第15題，5分2021年甲卷第13題，5分2021年I卷第7題，5分高考對本節(jié)內(nèi)容的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．重點考查導(dǎo)數(shù)的計算、四則運算法則的應(yīng)用和求切線方程為主．復(fù)習(xí)目標：（1）了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．（2）通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．（3）能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

知識點1：導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義1、概念函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或．知識點詮釋：①增量可以是正數(shù)，也可以是負，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當(dāng)時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與無限接近；③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率，即．2、幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點處的切線的斜率．3、物理意義函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)是物體在時刻的瞬時速度，即；在點的導(dǎo)數(shù)是物體在時刻的瞬時加速度，即．【診斷自測】設(shè)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且，則＝（

）A．2 B．－2 C．1 D．－1知識點2：導(dǎo)數(shù)的運算1、求導(dǎo)的基本公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)（為常數(shù)）2、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則：；（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：；（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：，則．3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為：【診斷自測】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)．解題方法總結(jié)1、在點的切線方程切線方程的計算：函數(shù)在點處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．2、過點的切線方程設(shè)切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．3、高考?？嫉那芯€方程（1）是的切線，同時是的切線，也是和的切線.（2）是的切線，是y=tanx的切線.（3）是的切線，是的切線.題型一：導(dǎo)數(shù)的定義及變化率問題【典例1-1】若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則的值為（

）A． B．C． D．0【典例1-2】如圖1，現(xiàn)有一個底面直徑為高為的圓錐容器，以的速度向該容器內(nèi)注入溶液，隨著時間（單位：）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當(dāng)時，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時變化率為（

）A． B． C． D．【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)的定義，對所給函數(shù)式經(jīng)過拆項、添項等變形和導(dǎo)數(shù)定義結(jié)構(gòu)一致，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求解．【變式1-1】（多選題）已知，在R上連續(xù)且可導(dǎo)，且，下列關(guān)于導(dǎo)數(shù)與極限的說法中正確的是（

）A． B．C． D．【變式1-2】（2024·上海閔行·二模）某環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改、設(shè)企業(yè)的污水排放量與時間t的關(guān)系為，用的大小評價在這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如下圖所示.則下列正確的命題是（

）

A．在這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱；B．在時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱；C．在時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都不達標；D．甲企業(yè)在，，這三段時間中，在的污水治理能力最強題型二：導(dǎo)數(shù)的運算【典例2-1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)(2)；(3)(4).【典例2-2】已知函數(shù)滿足滿足；求的解析式【方法技巧】（1）對所給函數(shù)求導(dǎo)，其方法是利用和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，直接轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)求導(dǎo)問題．(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進行換元．【變式2-1】已知，則.【變式2-2】設(shè)函數(shù)，則的值為（

）A．10 B．59 C． D．0【變式2-3】在等比數(shù)列中，，若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【變式2-4】若定義域都為R的函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，滿足對任意實數(shù)x都有，則．【變式2-5】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．題型三：在點P處的切線【典例3-1】（湖南省2024屆高三數(shù)學(xué)模擬試題）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【典例3-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知曲線在點處的切線為，則在軸上的截距為（

）A． B． C．1 D．2【方法技巧】函數(shù)在點處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．【變式3-1】曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【變式3-2】（2024·山東濟寧·三模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則曲線在點處的切線方程是（

）A． B． C． D．【變式3-3】（2024·四川·三模）已知函數(shù)，則曲線上一點處的切線方程為（

）A． B．C． D．題型四：過點P的切線【典例4-1】已知函數(shù)，直線過點且與曲線相切，則直線的斜率為（

）A．24 B．或 C．45 D．0或45【典例4-2】過點可作的斜率為1的切線，則實數(shù).【方法技巧】設(shè)切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，又因為切線方程過點，所以然后解出的值．【變式4-1】曲線過點的切線方程為.【變式4-2】過點作曲線的切線，則切線方程為.【變式4-3】（2024·山西呂梁·二模）若曲線在點處的切線過原點，則.【變式4-4】（2024·高三·海南省直轄縣級單位·開學(xué)考試）已知函數(shù)，過原點作曲線的切線，則切線的斜率為．題型五：公切線問題【典例5-1】若直線與曲線和曲線同時相切，則（

）A． B． C． D．【典例5-2】（2024·湖南長沙·一模）若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為（

）A．1 B． C． D．【方法技巧】公切線問題應(yīng)根據(jù)兩個函數(shù)在切點處的斜率相等，并且切點不但在切線上而且在曲線上，羅列出有關(guān)切點橫坐標的方程組，通過解方程組進行求解．【變式5-1】（2024·廣東茂名·一模）曲線與曲線有公切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式5-2】（2024·遼寧大連·一模）斜率為的直線與曲線和圓都相切，則實數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【變式5-3】若存在直線，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實數(shù)都滿足，則稱此直線為和的“隔離直線”.已知函數(shù)，，若和存在唯一的“隔離直線”，則（

）A． B． C． D．【變式5-4】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若直線是曲線與曲線的公切線，則的方程為（

）A． B．C． D．題型六：已知切線或切點求參數(shù)問題【典例6-1】若直線與曲線相切，則實數(shù)（

）A． B．C． D．【典例6-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）若直線與曲線相切，則的最小值為（

）A． B．－2 C．－1 D．0【方法技巧】已知切線或切點求參數(shù)問題，核心是根據(jù)曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程：①切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點在曲線上；③切點在切線上．【變式6-1】已知直線與函數(shù)的圖象相切，則的最小值為．【變式6-2】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知直線與曲線相切于點，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式6-3】已知函數(shù)，若曲線在處的切線方程為，則．【變式6-4】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知，直線與曲線相切，則．【變式6-5】對給定的實數(shù)，總存在兩個實數(shù)，使直線與曲線相切，則的取值范圍為.題型七：切線的條數(shù)問題【典例7-1】若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【典例7-2】若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【方法技巧】設(shè)切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，又因為切線方程過點，所以然后解出的值，有多少個解對應(yīng)有多少條切線．【變式7-1】（2024·內(nèi)蒙古·三模）若過點可以作曲線的兩條切線，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式7-2】若曲線有且僅有一條過坐標原點的切線，則正數(shù)a的值為（）A． B． C． D．【變式7-3】（2024·全國·二模）若曲線有三條過點的切線，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式7-4】已知，如果過點可作曲線的三條切線.則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【變式7-5】已知函數(shù)，若過點可作兩條直線與曲線相切，則下列結(jié)論正確的是（

）．A． B．C．的最大值為2 D．【變式7-6】過點作曲線的兩條切線，切點分別為，，則（

）A． B． C．1 D．2【變式7-7】（2024·高三·北京海淀·期末）若關(guān)于的方程（且）有實數(shù)解，則的值可以為（

）A．10 B． C．2 D．題型八：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題【典例8-1】（2024·四川眉山·三模）若關(guān)于的不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．【典例8-2】（2024·四川涼山·二模）已知點是曲線上任意一點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決，常用方法平移切線法.【變式8-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測）設(shè)，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．【變式8-2】（2024·遼寧遼陽·一模）設(shè)曲線在點處的切線為l，P為l上一點，Q為圓上一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式8-3】（2024·寧夏銀川·一模）已知實數(shù)滿足，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式8-4】設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為.【變式8-5】已知，則的最小值為.【變式8-6】（2024·高三·山東青島·期末）已知動點P，Q分別在圓和曲線上，則的最小值為．【變式8-7】（2024·河南·一模）記函數(shù)的圖象為，作關(guān)于直線的對稱曲線得到，則曲線上任意一點與曲線上任意一點之間距離的最小值為．【變式8-8】已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于某一條直線對稱，若，分別為它們圖象上的兩個動點，則這兩點之間距離的最小值為（

）A． B． C． D．【變式8-9】（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)，點是曲線上任意一點，則點到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【變式8-10】若點，則兩點間距離的最小值為.【變式8-11】實數(shù)滿足，,的最小值是（

）A． B． C． D．【變式8-12】已知是曲線的一條切線，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型九：牛頓迭代法【典例9-1】（2024·山東濰坊·三模）牛頓迭代法是求方程近似解的一種方法．如圖，方程的根就是函數(shù)的零點，取初始值的圖象在點處的切線與軸的交點的橫坐標為的圖象在點處的切線與軸的交點的橫坐標為，一直繼續(xù)下去，得到，它們越來越接近．設(shè)函數(shù)，，用牛頓迭代法得到，則實數(shù)（

）A．1 B． C． D．【典例9-2】已知函數(shù)，若曲線在處的切線交軸于點，在處的切線交軸于點，依次類推，曲線在處的切線交軸于點，則的值是（

）A． B． C． D．【方法技巧】數(shù)形結(jié)合處理.【變式9-1】（2024·湖北咸寧·模擬預(yù)測）英國數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀給出一種求方程近似根的方法一Newton-Raphsonmethod譯為牛頓-拉夫森法.做法如下：設(shè)是的根，選取作為的初始近似值，過點做曲線的切線：，則與軸交點的橫坐標為，稱是的一次近似值；重復(fù)以上過程，得的近似值序列，其中，稱是的次近似值.運用上述方法，并規(guī)定初始近似值不得超過零點大小，則函數(shù)的零點一次近似值為（

）（精確到小數(shù)點后3位，參考數(shù)據(jù)：）A．2.207 B．2.208 C．2.205 D．2.204【變式9-2】（2024·北京·模擬預(yù)測）給定函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列．已知為的牛頓數(shù)列，，且，數(shù)列的前項和為．則（）A． B．C． D．【變式9-3】英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點時，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列．如果函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)，且，．?dāng)?shù)列的前項和為，則．【變式9-4】令函數(shù)，對拋物線，持續(xù)實施下面牛頓切線法的步驟：在點處作拋物線的切線，交x軸于；在點處作拋物線的切線，交x軸于；在點處作拋物線的切線，交x軸于；……由此能得到一個數(shù)列隨著n的不斷增大，會越來越接近函數(shù)的一個零在點，因此我們可以用這種方法求零點的近似值.①設(shè)，則；②用二分法求方程在區(qū)間上的近似解，根據(jù)前4步結(jié)果比較，可以得到牛頓切線法的求解速度（快于?等于?慢于）二分法.題型十：切線平行、垂直、重合問題【典例10-1】（2024·高三·廣東深圳·期末）已知曲線與軸交于點，設(shè)經(jīng)過原點的切線為，設(shè)上一點橫坐標為，若直線，則所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【典例10-2】（2024·高三·廣西·開學(xué)考試）曲線在A點處的切線與直線垂直，則切線方程為（

）A． B．C． D．【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進行轉(zhuǎn)化，再利用兩直線平行或重合則斜率相等，兩直線垂直則斜率之積為-1.【變式10-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象上存在不同的兩點，使得曲線在點處的切線都與直線垂直，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式10-2】（2024·河北邢臺·二模）已知函數(shù)的圖像在，兩個不同點處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是（

）A． B． C． D．【變式10-3】已知函數(shù)，過坐標原點O作曲線的切線l，切點為A，過A且與l垂直的直線交x軸于點B，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式10-4】已知函數(shù)的圖象上存在不同的兩點、，使得曲線在這兩點處的切線重合，則點的橫坐標的取值范圍可能是（

）A．， B． C．， D．題型十一：奇偶函數(shù)圖像的切線斜率問題【典例11-1】已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則.【典例11-2】（2024·海南?？凇ざ＃┮阎瘮?shù)的定義域為，是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則曲線在點處的切線斜率為（

）A． B． C．2 D．【方法技巧】奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).【變式11-1】（2024·北京·模擬預(yù)測）記函數(shù)的最小正周期為T，為的導(dǎo)函數(shù)．若，為偶函數(shù)，則的最小值為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【變式11-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則（

）A． B．0 C．1 D．2【變式11-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則曲線在點處的切線方程為．題型十二：切線斜率的取值范圍問題【典例12-1】過函數(shù)圖像上一個動點作函數(shù)的切線，則切線傾斜角范圍為（

）A． B．C． D．【典例12-2】（2024·廣東深圳·一模）已知函數(shù)，設(shè)曲線在點處切線的斜率為，若均不相等，且，則的最小值為．【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出導(dǎo)函數(shù)的值域，從而求出切線斜率的取值范圍問題.【變式12-1】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知直線恒在曲線的上方，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式12-2】點P在曲線上移動，設(shè)點P處切線的傾斜角為，則角的范圍是（）A． B． C． D．1．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）曲線在處的切線與坐標軸圍