第02講 等式與不等式（解析版）

第02講等式與不等式（6類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析2019年天津卷，第10題,5分解不含參數(shù)的一元一次不等式2017年天津卷，第2題,5分必要條件的判定及性質(zhì)解不含參數(shù)的一元一次不等式2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度為低難度與中檔難度，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握不等式的性質(zhì)，能夠運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行比較大小2.能掌握一元二次不等式的性質(zhì)3.掌握一元二次不等式根與系數(shù)的關(guān)系4.會(huì)解一元二次不等式、能夠解決一元二不等式的恒成立與存在成立等問(wèn)題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般考查不等式的性質(zhì)，一元二次不等式的性質(zhì)等。知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)一.等式與不等式的性質(zhì):1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差法a-b>0?a>b，a-b=0?a=b,a-b<0?a<b.(2)作商法ababab2.等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱(chēng)性:若a=b，則b=a.(2)傳遞性:若a=b，b=c，則a=c.(3)可加性:若a=b，則a+c=b+c.(4)可乘性:若a=b，則ac=bc;若a=b，c=d，則ac=bd3.不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱(chēng)性:a>b?b<a;(2)傳遞性:a>b，a>c?a>c;(3)可加性a>b?a+c>b+c;a>b,c>d?a+c>b+d(4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<cb;a>b>0，c>d>0?ac>bd;(5)可乘方:a>b>0?an>bn(6)可開(kāi)方a>b>0?na>nb(n知識(shí)點(diǎn)二.一元二次不等式1.一元二次不等式的概念定義只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)2.二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??3.一元二次不等式的解法1.將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．2.求出相應(yīng)的一元二次方程的根．3.利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集．方程的根→函數(shù)草圖→觀(guān)察得解，對(duì)于的情況可以化為的情況解決注：對(duì)于二次型一元二次不等式應(yīng)首先考慮二次項(xiàng)系數(shù)的情況，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，按照一次不等式來(lái)解決，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的情況一般將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)之后再解。注：對(duì)于含參一元二次不等式內(nèi)容首先考慮能不能因式分解，然后就二次方程根進(jìn)行分類(lèi)討論，同時(shí)注意判別式韋達(dá)定理的應(yīng)用。4.三個(gè)“二次”間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??考點(diǎn)一、等式與不等式的性質(zhì)1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）若a>b，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．a(chǎn)2>b2 B．lg(a?b)>0 【答案】C【分析】利用特殊值判斷A、B、D，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷C.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)a=0、b=?1，滿(mǎn)足a>b，但是a2對(duì)于B：當(dāng)a=0、b=?1，滿(mǎn)足a>b，但是lg(a?b)=對(duì)于C：因?yàn)閥=x5在定義域R上單調(diào)遞增，若a>b，則對(duì)于D：當(dāng)a=1、b=?1，滿(mǎn)足a>b，但是a3故選：C2．（2024·山東濱州·二模）下列命題中，真命題的是（

）A．若a>b，則ac>bc B．若a>b，則aC．若ac2≥bc2，則a≥b【答案】D【分析】由不等式的性質(zhì)可判斷A,B,C，利用基本不等式a+b≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b【詳解】對(duì)于A，由a>b，c=0可得ac=bc，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由a>0，b＜0，a＜對(duì)于C，若ac2≥bc2對(duì)于D，因?yàn)?a+4即2a故選：D.1．（22-23高三上·甘肅定西·階段練習(xí)）已知a>b>0,c<0，則下列正確的是（

）A．a(chǎn)c>bc B．a(chǎn)c>bc C．【答案】D【分析】對(duì)于ACD，利用作差法判斷，對(duì)于B，利用冪函數(shù)的性質(zhì)比較.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閍>b>0,c<0，所以ac?bc=a?bc<0，所以對(duì)于B，因?yàn)閥=xc(c<0)在(0,+∞)對(duì)于C，因?yàn)閍>b>0,c<0，所以bc2?對(duì)于D，因?yàn)閍>b>0,c<0，所以ab?bc=ba?c故選：D2．（2024·安徽淮北·二模）已知a,b∈RA．若ab=1，則a+b≥2B．若1a<C．若a>b，則lnD．若a>b>0，則a+【答案】D【分析】舉反例即可推出A,B,C錯(cuò)誤，D利用反比例函數(shù)單調(diào)性和不等式可加性即可證得.【詳解】當(dāng)a=?1,b=?1時(shí)，a+b=?2，所以A錯(cuò).當(dāng)a<0,b>0時(shí)，a<b，所以B錯(cuò).當(dāng)a=2,b=1時(shí)，lna?b若a>b>0，則1b>1故選：D3.（2024·天津·一模）已知a,b∈R，則“b>a”是“aA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷即可.【詳解】因?yàn)閍,b∈R，當(dāng)b>a時(shí)，有b>a≥0當(dāng)a=0b=?1時(shí)，02<?12，即a所以a,b∈R，“b>a”是“a故選：A.4.（2023·山西臨汾·模擬預(yù)測(cè)）若a，b∈R，則“a<b”是“aA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分必要條件的定義即可得解.【詳解】當(dāng)a<b時(shí)，取a=0，則a3當(dāng)a3?a2b<0時(shí)，有a所以a?b<0，即a<b，即必要性成立；綜上，“a<b”是“a3故選：B.考點(diǎn)二、比較大小1.（22-23高三上·天津河?xùn)|·期中）若a=ln264，b=ln2ln3，A．a(chǎn)>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．b>a>c【答案】C【分析】根據(jù)a>b?a?b>0，因此要比較a，b的大小，作差，通分，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求得a，b的大?。焕脤?duì)數(shù)函數(shù)y=lnx的單調(diào)性，可知ln2π>【詳解】解：a?b=ln264而ln2π>ln6>0，因此c>a>b.故選：C.2.（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知a，b為實(shí)數(shù)，則使得“a>b>0”成立的一個(gè)必要不充分條件為（

）A．1a>1C．a(chǎn)3>b【答案】B【分析】利用不等式的性質(zhì)、結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)單調(diào)性，充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】對(duì)于A，1a>1b，不能推出a>b>0，如1?3即1a>1對(duì)于B，由lna+1>lnb+1，得不能推出a>b>0，反之a(chǎn)>b>0，則a>b>?1，因此ln(a+1)>ln(b+1)對(duì)于C，a3>b3>0?a>b>0對(duì)于D，由a?1>b?1，得a>b≥1>0，反之a(chǎn)>b>0不能推出因此a?1>b?1是故選：B.1．（22-23高三上·天津河西·期末）若a，b，c∈R，a>bA．1a<1b B．a(chǎn)2<【答案】C【分析】舉反例排除ABD，利用不等式的性質(zhì)判斷C即可得解.【詳解】對(duì)于A，取a=1,b=?1，滿(mǎn)足a>b，但1a對(duì)于B，取a=1,b=?1，滿(mǎn)足a>b，但a2對(duì)于D，取c=0，則ac對(duì)于C，因?yàn)閏2+1≥1>0，則又a>b，所以ac故選：C.2．（2023·天津·一模）設(shè)a>0，b>0，則“a>b”是“1aA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用作差法結(jié)合得出1a【詳解】因?yàn)閍>0，b>0，由1a<1b可得1b因此，若a>0，b>0，則“a>b”是“1a故選：C.3．（23-24高三上·天津和平·開(kāi)學(xué)考試）已知a是實(shí)數(shù)，則“a>1”是“a+1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】判斷“a>1”和“a+1【詳解】當(dāng)a>1時(shí)，a+1故a+1a>2，即a>1當(dāng)a=12時(shí)，a+1故“a>1”是“a+1故選：A4．（2024·北京西城·一模）設(shè)a=t?1t,b=t+A．b<a<c B．c<a<bC．b<c<a D．c<b<a【答案】C【分析】借助正負(fù)性、對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可得.【詳解】由?1<t<0，故1t∈?由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得b=t+1c=t2+t<0，且綜上所述，有b<c<a.故選：C.考點(diǎn)三、最值與取值范圍問(wèn)題1.（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知12<a<60,15<b<36，則a?b的取值范圍是，ab的取值范圍是【答案】(?24,45)1【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?5<b<36，所以?36<?b<?15.又12<a<60，所以12?36<a?b<60?15，所以?24<a?b<45，即a?b的取值范圍是(?24,45).因?yàn)?36<1即13所以ab的取值范圍是答案：(?24,45),12.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足?1<x<y<1，則x+y的取值范圍是【答案】?2,2【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】由?1<x<y<1可得?1<x<1，?1<y<1，所以故答案為：?2,21.（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足1≤xy2≤4，3≤x2y≤5，則xy5的取值范圍是．【答案】[15，64【詳解】因?yàn)?xy2)3∈[1，64]，1x2y∈[15，]，所以xy5＝(xy2)3·∈[，].2.（2024·河北石家莊·二模）若實(shí)數(shù)x,y,z≥0，且x+y+z=4,2x?y+z=5，則M=4x+3y+5z的取值范圍是.【答案】15,19【分析】先得到x=3?2z3,y=1?z3，并根據(jù)x,y,z≥0【詳解】因?yàn)閤+y=4?z,2x?y=5?z，故x=3?2z由x,y,z≥0得3?2z3≥0故M=4x+3y+5z=43?故答案為：15,193.（23-24高三下·重慶渝北·階段練習(xí)）已知三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c，其中c>0,b≤2a+3c且bc=a2，則a?2cb【答案】1【分析】依題意可得a2c≤2a+3c，進(jìn)而得a2?2ac?3c2≤0，即可求出【詳解】當(dāng)c>0時(shí)滿(mǎn)足b≤2a+3c且bc=a∴a2c≤2a+3c，即a2?2ac?3所以ca≥1所以a?2cb令ca=t，令ft=?2t所以ft在?∞,?1又f13=19即a?2cb的最大值為1故答案為：194.（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a2【答案】9<k<41【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】∵正數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a2+c∴c2=16?a同理：有c2=25?b2兩式相加：a即a又∵?16<?c2∴9<41?2即9<k<41．故答案為：9<k<415.（2024·廣東·三模）設(shè)實(shí)數(shù)x、y、z、t滿(mǎn)足不等式1≤x≤y≤z≤t≤100，則xy+z【答案】15/【分析】令x=1，t=100，根據(jù)分母最大分子最小時(shí)分式的值最小可得xy【詳解】因?yàn)?≤x≤y≤z≤t≤100，所以zy所以xy當(dāng)且僅當(dāng)1y=z即xy+z故答案為：15考點(diǎn)四、一元二次不等式1.（2024·上?！じ呖颊骖}）已知x∈R,則不等式x2?2x?3<0的解集為【答案】x|?1<x<3【分析】求出方程x2【詳解】方程x2?2x?3=0的解為x=?1或故不等式x2?2x?3<0的解集為故答案為：x|?1<x<3.2.（23-24高三上·河北石家莊·階段練習(xí)）不等式3x?22x+3A．x?23C．{x|x<?23或x>32}【答案】B【分析】化分式不等式為一元二次不等式求解即得.【詳解】不等式3x?22x+3<0化為：(2x+3)(3x?2)<0，解得所以不等式3x?22x+3<0的解集是故選：B1.（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）在區(qū)間0，5內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a，則關(guān)于x的不等式A．25 B．310 C．15【答案】C【分析】利用一元二次不等式解得x∈?2,a，可得區(qū)間?2,a內(nèi)僅包含?1,0【詳解】根據(jù)題意可得不等式x2+2?a因?yàn)閍∈0,5，所以不等式的解集為?2,a依題意可得區(qū)間?2,a內(nèi)僅有兩個(gè)整數(shù)，即包含?1,0兩個(gè)整數(shù)，可得0<a≤1；由幾何概型概率公式可得其概率為P=1?0故選：C2.（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知a?,?b∈R且ab≠0，若A．a(chǎn)<0 B．a(chǎn)>0 C．b<0 D．【答案】C【分析】對(duì)a,b的符號(hào)分正負(fù)兩種情況討論，結(jié)合穿根法及三次函數(shù)的性質(zhì)分析即可得到答案．【詳解】由ab≠0得a≠0,b≠0，f①若a>0,b>0，則2a+b>0，且2a+b>a，2a+b>b，根據(jù)穿根法可知x∈a,2a+b或x∈②若a>0,b<0，要滿(mǎn)足題意則a=2a+b>b?a+b=0，符合題意，如圖所示；③當(dāng)a<0,b>0時(shí)，同理要滿(mǎn)足題意需2a+b=b>a?a=0，與前提矛盾；④當(dāng)a<0,b<0，此時(shí)2a+b<0，則fx綜上可知滿(mǎn)足x?ax?bx?2a?b≥0在x≥0故選：C．3.（23-24高三下·上?！るA段練習(xí)）設(shè)a>0，若關(guān)于x的不等式x2?ax<0的解集是區(qū)間0,1的真子集，則a的取值范圍是【答案】0,1【分析】解一元二次不等式結(jié)合真子集的概念即可得解.【詳解】因?yàn)閍>0，所以x2又不等式x2?ax<0的解集是區(qū)間0,1的真子集，則故答案為：0,1.4.（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）定義：若集合A,B滿(mǎn)足A∩B≠?，存在a∈A且a?B，且存在b∈B且b?A，則稱(chēng)集合A,B為嵌套集合．已知集合A=x2x?x2≤0且x∈A．(2,3) B．(?∞,1) C．(1,3) 【答案】A【分析】作出函數(shù)y=x2,y=2x【詳解】因?yàn)锳∩B≠?，所有A≠?,B≠?，由2x?x如圖，作出函數(shù)y=x由圖可知，不等式2x?x所以A=x2x由x2?(3a+1)x+2a當(dāng)2a=a+1，即a=1時(shí)，則B=?，不符題意；當(dāng)2a>a+1，即a>1時(shí)，則B=a+1,2a由a>1，得a+1>2，根據(jù)嵌套集合得定義可得a>1a+1<42a>4，解得當(dāng)2a<a+1，即a<1時(shí)，則B=2a,a+1由a<1，得2a<2，根據(jù)嵌套集合得定義可得a<1a+1<4綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為2,3.故選：A.考點(diǎn)五、一元二次方程跟的分布1.（23-24高三上·四川·階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程x2?2ax+a+2=0在區(qū)間?2,1上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則A．?65,?1C．?∞,?6【答案】A【分析】令gx=x【詳解】令gx=x2?2ax+a+2所以Δ>0?2<a<1g?2>0所以a的取值范圍是?6故選：A．2.（21-22高三上·江蘇南通·期中）已知關(guān)于x的不等式ax2+2bx+4<0的解集為m,4mA．－2 B．1 C．2 D．8【答案】C【分析】由不等式的解集結(jié)合基本不等式得到a=1，b≥2，從而利用基本不等式求出b4a【詳解】由題意可知，方程ax2+2bx+4=0的兩個(gè)根為m，4m，則m?4m=所以2b=?m?4m≥2?m??4所以b4a+4b=故b4a故選：C.1.（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）關(guān)于x的方程ax2+a+2x+9a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根xA．?27<a<C．a(chǎn)<?27 【答案】D【分析】說(shuō)明a=0時(shí)，不合題意，從而將ax2+a+2x+9a=0【詳解】當(dāng)a=0時(shí)，ax2+故a≠0，ax2+令y=x由于關(guān)于x的方程ax2+a+2x+9a=0則y=ax故x=1時(shí)，y<0，即1+1+2a×1+9<0，解得故選：D2.（2023·北京海淀·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的不等式x2+ax+b>0(a>0)的解集是A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．若關(guān)于x的不等式x2+ax?b<0的解集為（D．若關(guān)于x的不等式x2+ax+b<c的解集為（x1【答案】C【分析】利用一元二次不等式的解法與一元二次方程之間的關(guān)系以及韋達(dá)定理，基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意Δ=a2對(duì)于B:a2+1b=所以B正確;對(duì)于C,由韋達(dá)定理，可知x1x2對(duì)于D,由韋達(dá)定理，可知x1則x1?x2=所以D正確,故選：C.3.（21-22高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）如果二次方程x2?px?q=0(p,q∈N【答案】7【分析】令f(x)=x2?px?q(p,q∈N?【詳解】設(shè)f(x)=x因?yàn)閒(0)=?q<0，f(3)=9?3p?q>0，所以3p+q<9，又p,q∈N當(dāng)p=1時(shí)，q=1,2,3,4,5，當(dāng)p=2時(shí)，q=1,2.所以共7種可能.故答案為：7考點(diǎn)六、一元二次不等式恒成立1.（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若不等式a?2x2+2A．?∞,2 C．?2,2 D．?【答案】C【分析】對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論可得a=2符合題意，當(dāng)a≠2時(shí)利用判別式可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)a?2=0，即a=2時(shí)，不等式為?4<0對(duì)一切x∈R當(dāng)a≠2時(shí)，需滿(mǎn)足a?2<0Δ即a?2<0a?2+4>0，解得?2<a<2綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是?2,2．故選：C2.（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)1≤x≤2時(shí)，不等式x2?ax+1≤0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】[5【分析】根據(jù)題意分離參數(shù)a，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)求定區(qū)間的最值即可.【詳解】當(dāng)1≤x≤2時(shí)，不等式x2所以當(dāng)1≤x≤2時(shí)，a≥x2+1令gx=x+1x，則所以gxmax=g故答案為：[51.（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知b>0，若對(duì)任意的x∈0,+∞，不等式4ax3+8【答案】16?8【分析】先把原不等式分解為二次不等式，分類(lèi)討論后運(yùn)用整體代換和基本不等式即可.【詳解】原不等式4ax由b>0，知0<x<b2時(shí)，4x2?b<0故由原不等式知0<x<b2時(shí)ax+2≥0，x>b由恒成立知a<0且a×b2+2=0故所求式a2設(shè)t=2b+則所求式=4t故最小值在t=22時(shí)取得：4×故答案為：16?822.（22-23高三上·河北衡水·階段練習(xí)）已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x>0,不等式2x2?ax?10lnx【答案】10【分析】對(duì)lnxa正負(fù)分情況討論，得出x=a是其唯一零點(diǎn).不等式2x2?ax?10lnx【詳解】由題知,顯然a>0，當(dāng)x>a時(shí)lnxa>0；當(dāng)x=a時(shí)lnxa因?yàn)椴坏仁絣nx?lna當(dāng)x>a時(shí)，2x2?ax?10≥0；當(dāng)0<x<a結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，x=a是方程2x2?ax?10=0因?yàn)閍>0，所以a=10故答案為:10.3.（2024·陜西榆林·三模）已知α∈0,2π，若當(dāng)x∈0,1時(shí)，關(guān)于x的不等式sinA．π12,5π12 B．π6【答案】A【分析】令fx=sinα+cosα+1x【詳解】令fx由題意可得f0>0f又因?yàn)棣痢?,2π，所以函數(shù)fx的對(duì)稱(chēng)軸為x=則sinα>0即sinα>0即sinα>0cosα>0sin2α>故選：A.4.（2024·湖北·二模）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=n2+mA．?2 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】由Sn與an的關(guān)系且an為等差數(shù)列，求出an，由ann<2，得x【詳解】因?yàn)镾n=n2+mn≥2時(shí)，an所以a1=1+m，a2因?yàn)閍n為等差數(shù)列，所以a1=1從而an=2n?1，所以x2?(1+a)x?2a則當(dāng)0≤a≤1時(shí)，g(a)=2ag(0)=?x2+x≤0g(1)=2+1+x?x只有選項(xiàng)A符合題意，故選：A1．（2021·天津和平·一模）設(shè)a∈R，則“2<a<3”是“a+1a?6A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用集合觀(guān)點(diǎn)，子集是全集的充分條件，只有真子集才是全集的充分不必要條件，就可以得到答案.【詳解】由a?6a+1<0，得?1<a<6，因?yàn)?2,3)是所以2<a<3是?1<a<6的充分不必要條件，故選：A．2．（2024·河北唐山·一模）已知x∈R，p：“x2?x>0”，q：“x>1”，則pA．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】首先解一元二次方程，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由x2?x>0，即xx?1>0，解得所以p：“x>1或x<0”，故由p推不出q，即充分性不成立，由q推得出p，即必要性成立，所以p是q的必要但不充分條件.故選：B3．（23-24高三上·天津北辰·期中）設(shè)x∈R，則“x2>1A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】解出不等式，根據(jù)充分不必要條件的判定即可得到答案.【詳解】∵x2>1，∴x<?1又1x<1即1?xx<0，等價(jià)于xx?1可得xx<?1或x>1xx<0或所以x2>1是故選：A.4．（2022·天津·二模）設(shè)x∈R，則“x≤3”是“x2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】解不等式x2【詳解】解：由x2≤3x，得所以“x≤3”是“x2故選：B.5．（2024·天津·一模）設(shè)x∈R，則“x<0”是“x2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】解出不等式x2【詳解】由x2?x>0，解得x>1或故“x<0”是“x2故選：A.6．（2024高三下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知2<a<3，?2<b<?1，則a+2b的取值范圍為．【答案】?2,1【分析】利用不等式的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)?2<b<?1，所以?4<2b<?2,又2<a<3,兩式相加可得?2<a+2b<1.故答案為：?2,17．（2024高三下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式m?3x2?2mx?8>0的解集是一個(gè)開(kāi)區(qū)間，且區(qū)間的長(zhǎng)度L滿(mǎn)足L∈1,2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍（注：開(kāi)區(qū)間【答案】(?【分析】設(shè)方程m?3x2?2mx?8=0的兩根為x1,x2【詳解】據(jù)題意得m?3<0，設(shè)(m?3)x2?2mx?8>0Δ=4m2+8m?24>0則x1+x2=2mm?3即1≤2mm?32∴1≤等價(jià)于3m2∵?4?210>?15，?4+210<71．（2024·福建寧德·三模）函數(shù)f(x)=xlnx，若關(guān)于x的不等式[f(x)]2A．2ln2,C．3ln3,【答案】A【分析】求導(dǎo)，求得f(x)的單調(diào)區(qū)間，作出f(x)的圖象，分類(lèi)討論求得[f(x)]2?af(x)≤0的解集，結(jié)合圖象可得a的取值范圍為【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得f'(x)=lnx?1(lnx)2，令f'(x)>0，解得所以f(x)的遞增區(qū)間為(e,+∞)，遞減區(qū)間為作出圖象如圖所示：當(dāng)a<0時(shí)，由[f(x)]2?af(x)≤0，可得由圖象可知，不存在整數(shù)點(diǎn)滿(mǎn)足條件，當(dāng)a=0時(shí)，由[f(x)]2?af(x)≤0，可得由圖象可知，不存在整數(shù)點(diǎn)滿(mǎn)足條件，當(dāng)a>0時(shí)，由[f(x)]2?af(x)≤0，可得又f(2)=2ln2=4由f(x)的遞增區(qū)間為(e,+∞所以要使0≤f(x)≤a有三個(gè)整數(shù)解，則2ln所以關(guān)于x的不等式[f(x)]2則a的取值范圍為[2故選：A.2．（2022·河南南陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知命題p：?x∈R，x2+4x?m≥0恒成立；命題q：fx=?x2+m?1xA．?4,?3 B．?5,?4C．?∞,?5∪【答案】B【分析】首先求出命題p、q為真和命題p、q為假時(shí)參數(shù)的取值范圍，依題意可得命題p、q為一真一假，分別考慮p真q假和p假q真時(shí)參數(shù)的范圍，即可得解.【詳解】因?yàn)槿裘}p：?x∈R，x2+4x?m≥0恒成立，為真命題，則解得m≤?4，那么命題p為假命題時(shí)m>?4.命題q：f在?3,+∞上單調(diào)遞減，若為真命題，則對(duì)稱(chēng)軸x=m?12若命題q為假命題，則m>?5.若p∧q為假命題，p∨q為真命題，則命題題p、q一真一假，當(dāng)p真q假時(shí)解集為?5,?4，當(dāng)p假q真時(shí)解集為空集.故選：B3．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）不等式x2A．?1,12 B．?12,1【答案】C【分析】按照x2【詳解】當(dāng)x2?3x≥0，即x≥3或不等式x2?3x<2?2x等價(jià)于x解得?1<x<2，所以?1<x≤0；當(dāng)x2?3x<0，即0<x<3時(shí)，不等式x2?3x<2?2x解得x>5+172或x<綜上，不等式x2?3x<2?2x故選：C.4．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2+ax+ba,b∈R的最小值為0，若關(guān)于xA．9 B．8 C．6 D．4【答案】D【分析】先由fx=x2+ax+ba,b∈R的最小值為0，得到Δ=0，再由【詳解】因?yàn)閒x=x∴Δ則f(x)=x∵f(x)<c的解集為(m,m+4)，所以m,m+4是f(x)?c=0的兩個(gè)不等實(shí)根，即m,m+4是x2所以m+m+4=?a，則m=?a?4∴c=f(m)=m+故選：D.5．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知條件q：“不等式a2?4x2+a+2x?1≥0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先分a2?4=0和a2【詳解】因?yàn)椴坏仁絘2所以不等式a2?4x當(dāng)a2?4=0即若a=2，則4x?1<0，x<14(舍若a=?2，則?1<0，x∈R當(dāng)a2?4≠0時(shí)，則a2綜上所述?2≤a<6所以條件p是條件q的充分不必要條件．故選：A．6．（2024·廣東·一模）已知a,b,c∈R且a≠0，則“ax2+bx+c>0的解集為xA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式的解及充分條件、必要條件求解.【詳解】由題意，二次不等式ax2+bx+c>0則等價(jià)于a>0?b2a=1Δ當(dāng)a+b+c=0時(shí)，不能推出a=c>0,b=?2a，所以“ax2+bx+c>0的解集為x故選：A7．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知x2+x+5≤ax2+2ax+c≤2x2【答案】172/【詳解】由x2+x+5=2x2+5x+9，可