3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

拋物線的簡單幾何性質(zhì)湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊第3章圓錐曲線與方程課標(biāo)要求1.掌握拋物線的幾何性質(zhì);2.掌握直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷及相關(guān)問題;3.能利用方程及數(shù)形結(jié)合思想解決焦點弦、弦中點等問題.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖象范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈R

y≤0,x∈R對稱性對稱軸:x軸對稱軸:

頂點坐標(biāo)原點(0,0)離心率e=1

拋物線上的點到焦點的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比y≥0,x∈Ry軸

名師點睛1.拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心.2.拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準(zhǔn)線.3.拋物線的離心率是確定的,e=1.4.拋物線的焦點和準(zhǔn)線分別在頂點的兩側(cè),且它們到頂點的距離相等,均5.對于拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦(其中AB是拋物線y2=2px(p>0)過焦點F的一條弦,稱為焦點弦,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2))有如下結(jié)論:(1)|AB|=x1+x2+p;(2)在所有的焦點弦中,垂直于對稱軸的焦點弦弦長最短,稱為拋物線的通徑;(3)若直線AB的傾斜角為α(α≠0),則過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)原點是拋物線y2=2px(p>0)的對稱中心.(

)(2)在方程y2=2px(p>0)中,對于同一個x,p越大,|y|也越大,說明拋物線的開口越大.(

)(3)不同拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程不同,但是離心率都是相等的.(

)2.結(jié)合直線與圓相切時直線與圓只有一個交點,那么當(dāng)直線與拋物線只有一個公共點,直線與拋物線一定相切嗎?×√√提示可能相切,也可能相交,當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行或重合時,直線與拋物線相交且只有一個公共點.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用【例1】已知拋物線y2=8x.(1)求出該拋物線的頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線、對稱軸、自變量x的范圍;(2)以坐標(biāo)原點O為頂點,作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|.若焦點F是△OAB的重心,求△OAB的周長.分析

根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征及其幾何性質(zhì)求解.解

(1)拋物線y2=8x的頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線、對稱軸、自變量x的范圍分別為(0,0),(2,0),直線x=-2,x軸,x≥0.規(guī)律方法

拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用方法

(1)拋物線的焦點始終在對稱軸上,頂點就是拋物線與對稱軸的交點,準(zhǔn)線始終與對稱軸垂直,準(zhǔn)線與對稱軸的交點和焦點關(guān)于頂點對稱,頂點到焦點的距離等于頂點到準(zhǔn)線的距離,大小為

(p>0)

.(2)在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時,要注意利用幾何圖形形象、直觀的特點來解題,特別是涉及焦點、頂點、準(zhǔn)線的問題.變式訓(xùn)練1已知A,B是拋物線y2=2px(p>0)上不同的兩點,O為坐標(biāo)原點,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此拋物線的焦點F,求直線AB的方程.探究點二直線與拋物線的位置關(guān)系角度1拋物線的焦點弦問題【例2】(1)過拋物線y2=8x的焦點,且傾斜角為45°的直線被拋物線截得的弦長為

.

16解析

由拋物線y2=8x的焦點坐標(biāo)為(2,0),得直線的方程為y=x-2,設(shè)直線與拋物線的交點坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2).將y=x-2代入y2=8x得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0.所以x1+x2=12,所以弦長為x1+x2+p=12+4=16.(2)直線l過拋物線y2=4x的焦點,與拋物線交于A,B兩點,若|AB|=8,則直線l的方程為

.

x+y-1=0或x-y-1=0解析

因為拋物線y2=4x的焦點坐標(biāo)為(1,0),若l與x軸垂直,則|AB|=4,不符合題意,所以可設(shè)所求直線l的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).所以所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.規(guī)律方法

直線與拋物線相交的弦長問題直線和拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,直線的斜率為k.(1)一般的弦長公式:|AB|=|x1-x2|.(2)焦點弦長公式:當(dāng)直線經(jīng)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點時,弦長|AB|=x1+x2+p.變式訓(xùn)練2已知直線l經(jīng)過拋物線y2=6x的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點.若|AB|=9,求線段AB的中點M到準(zhǔn)線的距離.解

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=x1+x2+p=x1+x2+3=9,所以x1+x2=6.于是線段AB的中點M的橫坐標(biāo)是3,角度2直線與拋物線的位置關(guān)系【例3】設(shè)直線l:y=kx+1,拋物線C:y2=4x,當(dāng)k為何值時,l與C有一個公共點,有兩個公共點,沒有公共點?分析

討論由直線方程與拋物線方程組成的方程組的解的情況,就可以判斷直線l與拋物線C的位置關(guān)系.消去y并整理,得k2x2+(2k-4)x+1=0.當(dāng)k≠0時,方程k2x2+(2k-4)x+1=0為關(guān)于x的一元二次方程.所以Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k).當(dāng)Δ=0,即k=1時,l與C有一個公共點;當(dāng)Δ>0,即k<1,且k≠0時,l與C有兩個公共點;當(dāng)Δ<0,即k>1時,l與C沒有公共點.當(dāng)k=0時,直線l的方程為y=1,顯然與拋物線C交于點(,1),這時,l與C只有一個公共點.綜上所述,當(dāng)k=1或k=0時,l與C有一個公共點;當(dāng)k<1且k≠0時,l與C有兩個公共點;當(dāng)k>1時,l與C沒有公共點.規(guī)律方法

直線與拋物線位置關(guān)系的判斷方法直線l:y=kx+b,拋物線:y2=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此時直線與拋物線有一個公共點,該直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.(2)若k2≠0,當(dāng)Δ>0時,直線與拋物線相交,有兩個公共點;當(dāng)Δ=0時,直線與拋物線相切,有一個公共點;當(dāng)Δ<0時,直線與拋物線相離,沒有公共點.變式訓(xùn)練3過點(0,1)且與拋物線y2=4x只有一個公共點的直線有(

)A.1條

B.2條

C.3條

D.0條C解析

易知過點(0,1),且斜率不存在的直線為x=0,滿足與拋物線y2=4x只有一個公共點.當(dāng)斜率存在時,設(shè)直線方程為y=kx+1,與y2=4x聯(lián)立得k2x2+2kx+1=4x,即k2x2+(2k-4)x+1=0.當(dāng)k=0時,方程有一個解,即直線與拋物線只有一個公共點;當(dāng)k≠0時,令Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,即直線與拋物線有一個公共點.所以滿足題意的直線有3條.故選C.角度3數(shù)形結(jié)合法求解焦點分焦點弦的比值問題

B準(zhǔn)方程為y2=6x.設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點A,則|AF|=3.過點Q作QQ1⊥l于點Q1,變式探究本例題條件不變,求直線PQ的斜率.規(guī)律方法

拋物線的焦點分焦點弦的比值問題的求法求解與過拋物線的焦點的弦與拋物線的交點有關(guān)的問題,可以借助拋物線的定義,將過焦點的弦的長度轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離,再結(jié)合平面幾何的有關(guān)性質(zhì)(如平行線分線段成比例、三角形相似等知識)求解.探究點三利用拋物線的幾何性質(zhì)求解與拋物線上的點有關(guān)的最值問題【例5】若點P在拋物線y2=x上,點Q在圓(x-3)2+y2=1上,則|PQ|的最小值為

.

解析

將y2=x代入(x-3)2+y2=1,得x2-5x+8=0,Δ=25-32<0,故拋物線與圓不相交,圓的圓心為A(3,0),則|PQ|≥|PA|-|AQ|=|PA|-1,當(dāng)且僅當(dāng)P,Q,A三點共線且Q在A,P中間時,等號成立,所以當(dāng)|PA|取得最小值時,|PQ|最小.規(guī)律方法

求解與拋物線上的點有關(guān)的最值問題,可借助拋物線的有關(guān)知識轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解,但要注意拋物線的范圍.變式訓(xùn)練4已知A(2,0),B為拋物線y2=x上的一點,則|AB|的最小值為

.

本節(jié)要點歸納1.知識清單:拋物線的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).2.方法歸納:利用幾何性質(zhì)根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)方程思想求解直線與拋物線的位置關(guān)系,根據(jù)函數(shù)最值轉(zhuǎn)化法求與拋物線上的點有關(guān)的最值.3.注意事項:討論拋物線的幾何性質(zhì),一定要利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;解焦點弦問題時注意應(yīng)用拋物線的定義;直線與拋物線相切和直線與拋物線只有一個公共點不是充要條件.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)123456789101112131415A級必備知識基礎(chǔ)練1.以x軸為對稱軸,通徑長為8,頂點在坐標(biāo)原點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)A.y2=8x或x2=8yB.y2=-8x或x2=-8yC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8yC123456789101112131415解析

當(dāng)拋物線的焦點在x軸的正半軸上時,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),可得2p=8,解得p=4,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x;當(dāng)拋物線的焦點在x軸的負(fù)半軸上時,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-2px(p>0),可得2p=8,解得p=4,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-8x.所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=±8x.故選C.1234567891011121314152.已知F為拋物線C:x2=4y的焦點,直線l與C交于A,B兩點,若AB中點的縱坐標(biāo)為3,則|AF|+|BF|的值(

)A.等于8 B.等于7C.等于5 D.隨A,B兩點坐標(biāo)變化而變化A解析

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|+|BF|=y1+y2+p=6+2=8,故選A.1234567891011121314153.拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(1,y0)到其焦點的距離為3,則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A.y2=4x B.y2=8xC.y2=12x D.y2=16xB解析

拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=,由拋物線的定義以及拋物線上一點(1,y0)到其焦點的距離為3,可得1-()=3,解得p=4,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x.故選B.1234567891011121314154.已知點(x,y)在拋物線y2=4x上,則z=x2+y2+3的最小值是(

)A.2 B.3

C.4

D.0B解析

因為點(x,y)在拋物線y2=4x上,所以x≥0.1234567891011121314155.(多選題)平面內(nèi)到定點F(0,1)和到定直線l:y=-1的距離相等的動點的軌跡為曲線C,則(

)A.曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4yB.曲線C關(guān)于y軸對稱C.當(dāng)點P(x,y)在曲線C上時,y≥2D.當(dāng)點P在曲線C上時,點P到直線l的距離d≥2AB解析

由拋物線定義可知曲線C是以F為焦點,直線l為準(zhǔn)線的拋物線,其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y,曲線關(guān)于y軸對稱,故A正確,B正確;由x2=4y知y≥0,故C錯誤;點P到直線l的距離d≥1,故D錯誤.故選AB.1234567891011121314156.如圖1是拋物線型拱橋,當(dāng)水面在l時,拱頂離水面2米,水面寬

米,建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

;水面下降1米后,水面寬

米.

圖1圖2x2=-4y1234567891011121314151234567891011121314157.已知拋物線的焦點F在x軸的正半軸上,直線l過點F且垂直于x軸,l與拋物線交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點.若△OAB的面積等于4,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.

1234567891011121314158.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,且拋物線C與y=2x的一個交點是M(m,2).(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l:y=x+n(n≠0)與拋物線C交于A,B兩點,且OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點),求n的值.123456789101112131415123456789101112131415B級關(guān)鍵能力提升練9.已知直線l過拋物線C:y2=x的焦點,并交拋物線C于A,B兩點,|AB|=2,則弦AB的中點G的橫坐標(biāo)是(

)C123456789101112131415解析

如圖所示,由題意可得拋物線的準(zhǔn)線m的方程為x=.過點G向準(zhǔn)線m作垂線,垂足為D,過A,B分別向準(zhǔn)線m作垂線,垂足為A',B',則|AA'|+|BB'|=|AB|=2.因為弦AB的中點為G,12345678910111213141510.

如圖,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A,B,交其準(zhǔn)線于點C,準(zhǔn)線與對稱軸交于點M.若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)B123456789101112131415解析

由拋物線定義,|BF|等于點B到準(zhǔn)線的距離,因為|BC|=2|BF|,所以∠BCM=30°.故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=3x.故選B.12345678910111213141511.[2024甘肅金昌高三統(tǒng)考階段練習(xí)]傾斜角為135°的直線l與拋物線y2=8x相切,分別與x軸、y軸交于A,B兩點,過A,B兩點的最小圓截拋物線y2=8x的準(zhǔn)線所得的弦長為(

)B解析

由題可設(shè)直線的方程l:y=-x+t,∴Δ=82-4×(-8t)=0,解得t=-2,∴l(xiāng):y=-x-2.123456789101112131415令y=0,得x=-2,令x=0,得y=-2,即A(-2,0),B(0,-2),∴過A,B兩點的最小圓即以AB為直徑的圓,其圓心為(-1,-1),半徑為

,方程為(x+1)2+(y+1)2=2.又拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程為x=-2,12345678910111213141512.(多選題)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F到準(zhǔn)線的距離是2,過點F的直線l與拋物線交于A,B兩點,M為線段AB的中點,O為坐標(biāo)原點,則下列結(jié)論正確的是(

)A.C的準(zhǔn)線方程為x=-1B.線段AB的長度的最小值為4C.M的坐標(biāo)可能是(3,2)D.存在直線l,使得OA與OB垂直ABC

123456789101112131415解析

由已知可得p=2,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x,則點F(1,0),準(zhǔn)線的方程為x=-1,故A正確;當(dāng)AB⊥x軸時,AB的長度取最小值,令x=1,代入拋物線方程解得y=±2,所以AB的長度的最小值為4,故B正確;設(shè)直線l的方程為x=my+1,A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),將x=my+1代入拋物線方程可得y2-4my-4=0,Δ=16(m2+1)>0,則yA+yB=4m,所以xA+xB=m(yA+yB)+2=4m2+2,xM=2m2+1,當(dāng)m=1時,可得M(3,2),故C