工科物理教程

練習(xí)1物理世界

思考并回答下列問題，以檢查自己的閱讀效果

1.1(1)物理學(xué)有哪五門基礎(chǔ)理論？并說明其各自的研究對象。

(2)試述物質(zhì)的結(jié)構(gòu)層次。構(gòu)成物質(zhì)的最小組元是哪些？

(3)試比較自然界中四種基本相互作用。

(4)三相點表示什么？水的三相點有什么特殊意義？

(5)場與實物有什么區(qū)別和聯(lián)系？

(6)如何看待“納米技術(shù)將引發(fā)認(rèn)知革命”？

估算下列各題，會幫助你建立某些數(shù)量級的概念

1.2真空中的光速c=m/s=m/a(。為年)，利用這個事實估算光穿

過下列物體或空間所需時間的數(shù)量級。

(1)地球內(nèi)部；(2)太陽到地球的空間；(3)宇宙已知部分。

［分析與解答］

c=3X108m/5=1.08X1012/77/〃=2.59XlOnm

Id-9.45X1015m/a

2RE2X6.37X106(1)Af===4.25x102

s(地球半徑氏=6.37X106m)c3X10s

t/1.47X10n(2)A/===4.9xIO2S(日地距離d=1.47X

10iim)c3X10s

r2XIO26(3)Af===6.67x10i7S(宇宙哈勃半徑下限：

r-1026m)c3X108

1.3地球半徑約為原子半徑的多少倍？是宇宙半徑的幾分之一？

［分析與解答］地球半徑約為n=6.37X106加原子半徑約

為及=0.53X10io機

r\八宇

宙半徑約為n-1X10261.2X1017=6.37X1020r2r?

1.4Fe原子的直徑約為1.26X10\om,若將其排列成1cm長的“原

子隊伍”，需要多少個原子？如果以1s排一個原子的速度，需排多少

時間？

1X1。2［分析與解答］'=10=7.94X107個1.26

X10

△t=7.94x107s=2.2x104/2=9.18x102J=

2.5。

下面兩題是關(guān)于物理方法的，認(rèn)真做一做，想一想，會得到很有意義

的啟發(fā)

1.5設(shè)想你有一位好友在外地,你的父母從未見過,那么,你怎樣向父母

介紹他(包括性格、體型、愛好等等)？很有趣，你在介紹中采用的類比方

法,與盧瑟福在提出原子結(jié)構(gòu)模型時采用方法很相似,因為他也從未見

過原子。

1.6我國硬幣的正面是國徽,反面是面值?，F(xiàn)有一個塑料袋裝了1000個

硬幣，突然袋底破裂,全部硬幣撒落在地上，你能不能估計一下,正面朝

上和反面朝上的比例約為多少？如果你無從回答,不妨自己去試一下，

當(dāng)然不一定是1000個,兒十個也可以，10000個更好些,如能從數(shù)目小試

到數(shù)目大那就更能說明問題,這就是一種統(tǒng)計規(guī)律,即大量事件所服從

的規(guī)律。(結(jié)論是：正面朝上和反面朝上的數(shù)目大致相同。數(shù)量越大，正

面和反面朝上的數(shù)目越接近。當(dāng)然,也可用一個硬幣作多次實驗，把每次

的結(jié)果記下來，次數(shù)多了，也能得到同樣的結(jié)論。)

關(guān)于單位制、量綱

1.7思考下列問題：

(1)何謂單位制？為什么要制定單位制？

(2)何謂基本量和導(dǎo)出量？

(3)SI的基本量是哪些？

2

(4)加速度單位為m/s，讀作“米二次方秒”。那么，速度、體積的單

位應(yīng)如何讀法？

1.8什么是量綱(或量綱積)？試練習(xí)寫出下列物理量的量綱式。

(1)力dimF;(2)動量dimP;(3)電場強度dimE;(4)加速度dima。

［分析與解答］(1)dimF-LMTi(F-ma)(2)dimp-

LMTi(p-mv)

Fma(3)dimE=

LMT311(E==)(4)dima-LTiqlt

1.9從量綱角度判斷下列各方程是否正確，為什么？

1(1)運動方程x=〃+W2(v為速度，a

為加速度，t為時間)：2

(2)質(zhì)能公式E=mc2(E為能量，m為質(zhì)量，c為真空中的光

速)；

(3)電場力F=qE(F為電場力,q為電荷，E為電場強度)。

［分析與解答］

1⑴dim(a/+VO/2)=￡T2T+LT\Ti=LT\+LT,

dimx-L2

1兩邊量

綱不同，故等式不成立。正確的應(yīng)為x=VO/+at22

(2)dimE=L2MT2,dim(/nc2)=L2W2,兩邊量綱相同，故等式

成立。

2

(3)dimF=LMT2,dim(^￡)=ITLWT3/1=IMT2,兩邊量綱相同，

等式成立。

學(xué)習(xí)方法提示

1.10注意養(yǎng)成閱讀、研究教材和參考書的良好習(xí)慣，培養(yǎng)、提高自我

獲取知識的能力，對在校學(xué)習(xí)和未來發(fā)展都是十分重要的。本章論及的

內(nèi)容，涉及的面很廣，且一般都是概論性的介紹，如你對某些內(nèi)容特別

感興趣的話，不妨找些參考讀

物或相關(guān)期刊和網(wǎng)站去作深入了解。

練習(xí)3牛頓運動定律

關(guān)于力的概念與受力分析

3.1你是怎樣理解力的？并討論：

(1)說明彈性力及摩擦力的作用機理；

(2)討論場力的作用機理；

(3)算一算你的體重是多少牛頓，以加深對力的單位的數(shù)量概念;

(4)當(dāng)你乘坐在一枚巨型火箭中，豎直加速上升，其加速度為

98.Om/s2

(即a=10g),則坐椅對你的支承力(即推力)是你體重的多少倍？

［分析與解答］(4)由N-mg=ma可知，N=ma+mg=llmg

3.2判斷下述說法的正誤。

(1)物體的速度越大，表明其受力越大；

(2)物體的速率不變，合外力必為零；

(3)支承力必與支撐面垂直；

(4)物體受力不為零，速度必越來越大；

(5)繩子一端系一小球，繞繩子的另一端在水平面上作圓周運動,

不計一切摩擦。在繩子斷了以后，小球在離心力作用下飛去。

［分析與解答］(1)錯誤。因為外力是產(chǎn)生加速度的原因,且力的

大小與加速度成正比,與速度無關(guān)。

(2)錯誤。因為速度不變只說明切向加速度為零，但反映速度方向

變化的法向加速度可能不為零,因而和外力不一定為零。

(3)正確。支承力沿法線方向，即與支承面垂直。

(4)錯誤。因為當(dāng)受力與速度方向垂直，或與速度方向相反時，會

保持速率不變,或速率越來越小。

(5)錯誤。因為小球在作圓周運動時,是受繩子的張力作用，該力

指向圓心，提供小球作圓周運動的向心力。在繩子斷了以后，小球不再受

力，小球因慣性沿原來圓周運動的切線方向(既速度方向)向外飛去。

3.3討論、分析下列物體的受力情況，并畫出隔離體圖：

(1)質(zhì)量為m的物體靜止在某一坡度的斜面上時，受哪幾個力？有

無“下滑力”？

(2)一卡車，在牽引力F作用下做勻速直線運動，其上載有質(zhì)量

為m的木箱，兩者相對靜止。該木箱受哪幾個力作用？

(3)殲擊機駕駛員作翻轉(zhuǎn)特技飛行表演，當(dāng)他處于頭向下的位置

時(相當(dāng)于圓軌道的頂點)，受哪幾個力作用？

1

(4)上題中，駕駛員受不受向心力作用？如有，是哪個物體為他提

供的向心力？

(5)討論騎行中的自行車前后輪所受的摩擦力的方向。

(6)試總結(jié)一下分析摩擦力方向的方法。

牛頓運動定律

3.4力是物體運動狀態(tài)變化的原因，其間符合怎樣的規(guī)律？

(1)列出牛頓第二定律的表達(dá)式，并說明其意義。

(2)F-mtz在什么條件下成立？它與F=ma有什么區(qū)別？

(3)F=mdv/dt與F=mvi/R各表示什么意義？

(4)何謂慣性？為什么把牛頓第一定律稱為慣性定律？

(5)2000年物理學(xué)界的第1件重大事件是，經(jīng)過歷時4年，耗資

數(shù)10萬

美元的計算，得到了地球質(zhì)量的最新數(shù)據(jù)為5.972X1024kg,比原先

公認(rèn)的

5.976X1024kg要輕得多,“大大出乎物理學(xué)家們的預(yù)料”。這主要是對

影響每

個星球的引力常數(shù)，得出了迄今最精確的計算結(jié)果。你能就此事對未來

的影響做些預(yù)測嗎？

牛頓運動定律的應(yīng)用

3.5(1)一質(zhì)量為m的人，站在升降機中的磅秤上(見圖)，當(dāng)升

降機①以速度v勻速上升；②以加速度a勻加速上升；③以加

速度a勻加速下降；④在高為h處，吊索斷了，磅

秤上指示的讀數(shù)各為多少？并討論下列問題：

①磅秤指示的是什么？

②超重和失重是怎么回事？

③你在求解時所列出的方程，是對哪個參

考系而言的？

(2)飛船發(fā)射升空時有一個加速過程，其間宇航

員處于超重狀態(tài)，在航天技術(shù)中，把宇航員在超重狀題3.5圖

態(tài)下對座椅的壓力Ev與他在地球表面的重力p=/ng的比值稱為耐受力

隹［左

拔事航員時要求4WkW12,楊利偉的k值約為8。試估算設(shè)計飛船發(fā)

射時加速度值的選取范圍。

VV

V［分析與解答］(1)人受兩個力，重力P=mg和磅秤的支承力FN'o

秤的指

vv示數(shù)就是N的反作用力N',即人對秤的

正壓力。對地面參考系而言：

2

①升降機勻速上升時，有F,v=mg即FN'=-mg式中負(fù)號表示

方向向下。

②以a上升時，有FNmg=ma,FN=mg+ma（超重現(xiàn)象）

'則Ev=FN-（mg+ma）（方向向下）

③以a下降時，有mgFN=ma.FN-mgma

r則FN=FN=（mgma）（方向向下）

④以g自由下落時，有mgFN=mg,FN=0（失重現(xiàn)象）

'則尸N=0

（2）由上問②可知，F(xiàn)Nmg-ma,FN-mg+ma-kmg,由題意可

知,發(fā)射

加速度a的取值范圍為3gWaWllg

3.6如圖所示，Wl=mi=m,用輕繩相連，現(xiàn)作用一水平恒力F,

試求繩

子的張力國和系統(tǒng)的加速度。

［分析與解答］在不計摩擦力的情況下,兩物體水平方向受力如圖

所示。

對掰1有：FT-m\a

'對m2有：FFT-mia

F

解得a=

題3.6圖？？

2m

F

則FT-ma=

2

3.7質(zhì)量為m=3kg的物體置于*30°的斜面上（見圖），靜摩

擦因數(shù)

3

|Jo=o可知，當(dāng)F=10N和F=25N時，物體所受摩擦力

3

的方向指向如何?

［分析與解答］物體受力情況如圖所示。當(dāng)外力F大小

不同時,摩擦力的方向可能不同。

題3.7圖？？

按題設(shè)條件，重力沿斜面方向的分量為mgsin6=3x9.8xsin30。

=14.7N

3

3斜面提供的最大靜摩擦力為fr=fomgcosl-3x9.8x=14.7N32

3

當(dāng)推力F=10N(＜加gsinB)時，物體有下滑趨勢，摩擦力方向應(yīng)為

沿斜面向

上,此時靜摩擦力大小為f\=14.710=4.7N

當(dāng)推力b=25N(＞掰gsinB)時,物體有向上運動趨勢，摩擦力方向

應(yīng)為沿斜

面向下，此時靜摩擦力大小為/2=2514.7=10.3N

3.8試述處理滑輪問題的一般方法。見圖(a),m2＞m1,不

計繩子和滑輪質(zhì)量以及一切摩擦，試求：

(1)繩子的張力后'和系統(tǒng)的加速度

(2)欲把該裝置移到以加速度/上升的電梯中，則乃和a為多

少？

(3)欲將圖⑸改為圖(b)所示的情況，其他條件不變，再求尸7

和＜7。

(4)三種情況下的彈簧伸長量。

［分析與解答］設(shè)想，山開始運動時，彈簧有一定伸長，使得滑輪中

心保持靜止不動,處于平衡狀態(tài)。

(1)分別取加，儂為隔離體,分析它們的受力情況(如圖c)。并

分別列出牛頓運動方程

FTm\g-m\a①

m2gFT-rma②

mm\2加必2解得a-2g,FT-g@m\+m2ml+m2

題3.8圖

(2)將圖(a)裝置移到電梯中，式①②變?yōu)?/p>

FTm\g=m\(a+a')

migFT-rm(aa')

mm\2aM2解得a=2(g+a'),Fr=(g+a')

(4)mi+m2ml+m2

(3)在圖(b)裝置中，F(xiàn)T-F=mig,對掰1有FTm\g-m\a

4

m心1得。=2gmi

（4）取滑輪為隔離體，如圖（d）所示，可知kyo=2FT

則（1）中情況下的彈簧伸長為

2F4m\ni2gyo-r-k（m\+

m2）k

在（2）中情況下

2F4mim2（g+a'）/=T

-k（m\+tm）k

在（3）中情況下

IF2m2gyo-r-kk

3.9假使地球自轉(zhuǎn)速度加快到能使赤道上的物體處于失重狀態(tài),-

晝夜的時間有多長？

3.10在一只半徑為R的半球形碗內(nèi)，有一粒質(zhì)量為m的小鋼球，

沿碗的

內(nèi)壁作勻速圓周運動。試求：當(dāng)小鋼球的角速度為G時，它距碗底的高

度h為多少？

［分析與解答］取小球為隔離體,受重力P和支承力網(wǎng)（如

圖？？）。其中，

網(wǎng)沿X軸方向的分力提供小球作圓周運動的向心力。有

FNsin0=man=mrS2=mRs2sin0①

FNcosG=mg

②

RR且cosB二③及

g解得h=R2

0）

可見,h隨3的增大而增大。

3.11星體自轉(zhuǎn)的最大轉(zhuǎn)速發(fā)生在其赤道上的物體所受向心力正好

全部由

引力提供之時。

（1）行星密度一般約為3.0X103妲/m3,求其可能的最小自轉(zhuǎn)

周期T。

（2）有一中子星的自轉(zhuǎn)周期為1.6ms,若它的半徑為10km,則該

中子星的質(zhì)量至少有多大？若太陽質(zhì)量ms=1.99X1030kg,則中子

星的質(zhì)量是太陽質(zhì)量

5

的多少倍？

［分析與解答］(1)行星赤道上的物質(zhì)所受的向心力全部由引力提

供時,行

2n星自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速最大，由7=可知，此時周期T

為最小。

3

4設(shè)行星的半徑為R,質(zhì)量

為M,且M=7?3pO其赤道上有一物體，質(zhì)量3

為m。由引力定律和牛頓第二定律可得

Mm2nG2=)2

RRT

式中G為引力常數(shù)，等于6.67X1011m3/(kgs2)

4將〃=R3P代入式①,得可能的最小周期為3

3n3n7===6.9x103s

@Gpi16.67x10x3.0x103

3n(2)由式②可知p=GT2

則中子星的質(zhì)量為

44n2R34n2x(104)3〃“

=nA3p==23GT6.67x1011x(1.6x103)2

=2.31xl(Wg=0.12Ms

變力問題和兩類問題

3.12質(zhì)量為m的質(zhì)點沿％軸運動，其運動方程為x=xocosCD?,

試證明質(zhì)

點受到的合力為Fx=~\2mx

［分析與解答］由x=xocos31可得

dxv—Irosin3.tdt

dva==32x0cosS.tdt

貝ljF=ma=MD2x0cosCD./=mb)2X

得證。

3.13質(zhì)量為m的物體在黏性介質(zhì)中由靜止開始下落，介質(zhì)阻力與

速度成正

比，即F尸阿邛為常量。試

(1)寫出物體的牛頓運動方程。

6

(2)求速度隨時間的變化關(guān)系。

(3)其最大下落速度為多少？

(4)分析物體全程的運動情況。

［分析與解答］(1)物體受向下的重力mg和向上的阻力F,則牛頓運

動方程

為mg?,v=ma

dv0(2)由a==gvdtm

vdv，分離變量并積分J=fdf

P

00

gvm

gvmm=/得_In^g

P

mg/整理后得v=(lem)

P

(3)當(dāng)f-8時，有最大下落速度

mg

Vmax=

@

3

dxmg,(4)由v~(le

P

mg

xttm

有jdx-f(1e)dt

ooP

pmgtnf得(1em)P0

利以勿體由靜止開始向下作加速運動，并逐漸趨近于最大速度為Vmax=,

此

后趨于做勻速運動，物體在任意時刻開起點的距離由上式表示。

3.14如圖所示,質(zhì)量為m=4kg的重物，由一根輕的繩索系住豎直向上

提升,開始時重物是靜止的，繩的拉力"。=90N;在重物被提升的過程

中，繩的拉力將隨重物升高而減小,每上升1m減小14.8No試求重物被提

升2m時所具有的速度。［分析與解答］取。孫坐標(biāo)如圖，且原點位于重物

靜止時的位置。重物在被提

升的過程中，受重力尸和繩子拉力凡（變力）作用。由牛頓第二定

律有

7

dvdvdydvFrmg=m=m=mv?dtdydtdy

按題設(shè)條件知

FT-FTO14.8y②

將式②代入式①，分離變量并積分（初始條件：vo=0,次=0）有

2v

f（Fmg14.8刃力=fmvdv

r?oo

得重物被提升2m時的速度為

12(FnymgyX14.8y2)v=2=6mls

y=2

m

題3.14圖題3.15圖題3.16圖

3.15質(zhì)量為m的小球從點A由靜止出發(fā),沿半徑為r的光滑圓軌道運動

到點C（見圖）,求此時小球的角速度3c和小球?qū)A軌道的作用力FNC。

［分析與解答］取小球為隔離體，受力情況如圖。取自然坐標(biāo)系，由

牛頓運動定律分別列出切向和法向運動方程為

dv-mgsina=tn①）dt

VZFNmgcosa=m②R

dvdvdadvv出由于==］=，代入式①并分離變量后

積分出面dtdaRda

va

fvdv=/RgsinQdQ

090o

8

得v=2Rgcos□③

v2geosa則小球在c點的角

速度（De為3c==RR

V2將式③代入式②，得FN=m+mgcosa

=3mgcosaT?

其反作用力即為小球?qū)壍赖淖饔昧NC。

3.16如圖所示，在密度為p.的液體上方有一懸掛的長為1,密度為

P2的均勻直棒,棒的下方恰與液面接觸。今剪斷掛線,棒在重力P和浮力

F作用下豎直下沉，若P2>pt,求棒下落過程中的最大速度。

［分析與解答］按題設(shè)條件,剪斷細(xì)線后,桿在下沉過程只受重力

和浮力的作用（不計液體的黏滯阻力），隨著桿往下沉，浮力逐漸增大，

當(dāng)重力和浮力相等時,桿下沉的加速度a=o,此時速度最大。

取x坐標(biāo)如圖,根據(jù)牛頓第二定律,有

dvmgF-加①山

式中，m=p2義,浮力F=pfxg,故式①可寫成

dvdvdxdv

piSLgpi5xg=p2szz=p2sL=piSLv②

dtdxdtdx

對式②分離變量并積分,有

xp

Xvl

f1Lpgdx=fvdv

002

pg11得gx1（x2）=v2③pzL22

設(shè)桿的速度最大時,桿進(jìn)入液體的長度為x=l,則式③中的V即為最

大速度。此時用g=R即

P2SLg=piSIg

P

得/=力④

P'

9

p

將式④代入式③，得桿的最大速度為Umax=2Lg

P'

3.17在醫(yī)學(xué)診斷中，為了確定病人的炎癥程度需進(jìn)行一項血液檢

查叫做“血沉設(shè)血液是由紅血球和血漿組成的懸浮液，將它放進(jìn)豎直

放置的血沉管內(nèi)，紅血球在重力、阻力和浮力作用下向下運動，最后勻

速下沉，把這個下沉速率叫做“血沉視紅血球是半徑為R的小球，若

某人的血沉值為v=10mm/s,紅血球所受的黏滯阻力F.-6?！??%其

中黏滯系數(shù)/1.8x103Pa-s,血漿密度

P）=1.0x1Oskg/m3,紅血球的密度p2=1.3x103kg/m3。試估

算紅血球的半

徑大小。

［分析與解答］提示:紅血球受三個力作用，即重力、黏滯阻力

和

血漿對它的浮力。其運動方程為

dv

mgF,F浮-m

dt

44dv即p2HR36nr|7?v

pinR3=m33dt

分離變量后積分，求出v的表達(dá)式，當(dāng)最大速度為v=10X\^m/s

時，

即可估算紅血球半徑R22.7X106mo

應(yīng)用研究

3.18根據(jù)你已掌握的知識，設(shè)計一個測定兩種材料間（工程上稱

為摩擦副）的靜摩擦因數(shù)|J?；騽幽Σ烈驍?shù)|J的裝置（包括原理、測

量公式、實驗方案及示意圖等）。

3.19查閱有關(guān)資料或搜索相關(guān)網(wǎng)站，分析楊利偉乘坐的神舟5號

回收艙從進(jìn)入大氣層到在內(nèi)蒙古基地落地這段時間內(nèi)的運動情況，估

算極限速度，說明落地前所需采取的措施。

10

練習(xí)4守恒定律

關(guān)于動量定理

4.1寫出動量定理的一般表達(dá)式，討論該式及式中各物理量的意

義，并判斷下列表述的正誤。

⑴“神舟”5號返回艙落地時的速度約為2m/s,楊利偉說:“當(dāng)時

頭朝下,感覺身體很重，胸背感覺有壓力。''這是由于座椅對他產(chǎn)生了I=

130N?s的沖量的緣故。(楊的質(zhì)量m=65kg)

(2)質(zhì)點在t/到t2時間內(nèi)，受變力FX=3+//2作用，B、A為常

量，則其

n

所受沖量為/=f(B+At2)dt

(3)上述沖量越去，則質(zhì)點的動量越大。

(4)沖量是矢量，其方向與動量方向一致。

(5)系統(tǒng)的總動量發(fā)生變化，與系統(tǒng)的內(nèi)力無關(guān)。

(6)質(zhì)點在作勻速率圓周運動的過程中，動量保持不變。

［分析與解答］略

4.2應(yīng)用動量定理處理問題的一般思路和方法如何(包括恒力或

變力作用的情況)？然后請根據(jù)自己的思路解題4.3?4.6。

4.3尺=30+4W的力作用在質(zhì)量m=10kg的物體上，試求：

(1)在開始2s內(nèi)此力的沖量I。

(2)若沖量I=300N-s,此力作用的時間為多少？

(3)若物體的初速度vi=10速s,方向與3相同,在t=6.86s時,

此物體的速度V2為多少？

2

［分析與解答］(1)開始2s內(nèi)的沖量為/=f(30+4/)Jz=(301+

2t)］o=68Ns

22

0

(2)從開始到任意時刻的沖量為7=(30+4t)dt=30/+2t

o

將I=300N-s代入，得30/+2t=300解得t=6.68s

(3)由題設(shè)條件,在0-6.86s內(nèi)外力的沖量I=300N-s。按動量定理

/300

I-mvimv\得：丫2=+vi=+10=40加/s

m10

4.4高空作業(yè)時系安全帶是非常必要的，假如一質(zhì)量

為50.1kg的人,在操作時不慎從高空豎直跌落下來，由于安全帶的保

護(hù)，最終使他被懸掛起來。知此時人離原處的距離為2.0m,安全帶彈性

緩沖作用時間為0.50s。求安全帶對人的平均沖力。

4.5質(zhì)量為m的小球，在力F=-Ax作用下運動，已知x=/CQS3/,

(k,co,

A均為常量)，求在t=0到t=兀/2/時間內(nèi)小球動量的增量。

［分析與解答］由x=Jcos(D/可求得速度為v=0)^sin

3t

以t=。和/=n/2o)代入，得vo=0,必=3/=3A

則動量增量為，Amv=nwtmvo=mSA=kA/3

本題也可以/=fkxdx-?mv來計算。

4.6某物體受一變力作用，在0s?0.1s內(nèi)，F(xiàn)由0均勻增加到20N;

在以后的0.2s內(nèi)，F(xiàn)保持不變；再經(jīng)0.Is,F由20N均勻減小到0。

試求：

(1)畫出F-t圖，并說明圖中曲線與x軸間所包圍的面積表示什

么？

(2)在這段時間內(nèi)，力的沖量及力的平均值。

(3)如果物體m=3kg,開始時速度為lm/s，與F方向一致，問力

最后變?yōu)?時，物體的速度為多少？

［分析與解答］(1)F-1圖線如圖所示。

沖量/=fb由，在F-t曲線中就等于曲線下的面積。

(2)沖量I即為圖中的梯形面積

/=(02+0.4)X20X1/2=6Ns

I6平均沖力F===15MV0.4

(3)由動量定理/二mvimvwi=(/+mvi)/m-IIm+v\

-3m/s

動量守恒定律

4.7試討論分析：

(1)系統(tǒng)動量守恒的條件是什么？

(2)若，F(xiàn)dt二0,系統(tǒng)的動量不一定守恒，這是為什么？

(3)有人說:“會統(tǒng)始末狀態(tài)的動量大小、方向均相同，稱為動量守

恒”，你認(rèn)為如何？

(4)以A,B兩小球在光滑平面上發(fā)生正碰為例，說明為什么在分

析動量守恒時，必須強調(diào)“系統(tǒng)”？

v［分析與解答］(1)系統(tǒng)動量守恒意味著在力/2過程中，mv為恒矢

量，所

受的合外力始終為零。

12

(2),Fdt=0不一定能保證守恒條件(3)不正確

4.8判斷正誤;

(1)質(zhì)點作勻速圓周運動，其動量守恒；

(2)不計空氣阻力，拋體在x方向上動量守恒，在y方向上動量

不守恒；

(3)幾個質(zhì)點組成的孤立系統(tǒng)，所受的合外力為零，但由于質(zhì)點

之間有相互作用，因此，系統(tǒng)的動量不守恒；

(4)系統(tǒng)的動量守恒，則動能當(dāng)然守恒；

(5)系統(tǒng)受外力的沖量為-5N-s作用，其動量一定減小。

［分析與解答］(1)錯誤。勻速圓周運動時速度方向在變化,動量不

守恒。(2)正確，質(zhì)點作拋體運動時只受向下的重力作用，水平方向不

受力，因此在水平方向動量守恒,而豎直方向動量不守恒。

(3)錯誤。內(nèi)力不影響系統(tǒng)的總動量。

(4)錯誤。動量守恒只說明系統(tǒng)所受合外力為零，但外力做功和內(nèi)

力做功都可導(dǎo)致系統(tǒng)動能改變,如兩小球的完全非彈性碰撞,動量守恒

而動能不守恒。(5)錯誤。沖量為負(fù)值僅說明動量的改變量(增量)

為負(fù)值,并不能說明動量在減小,如負(fù)方向的動量增大過程就是受到負(fù)

值沖量的結(jié)果。

4.9一靜止的原子核，在一次衰變過程中，放射出一個電子和一

個中微子,放射出來的電子和中微子的速度相互垂直，電子的動量為

XX23

Pi=1.21022A：gmsi,中微子的動量為色=6.410左gms

1O試求衰變后原

子核反沖動量的大小和方向。

［分析與解答］靜止的原子在對蛻變過程中應(yīng)滿足動量守恒定律。

以P,Pi,VVVP2分別表示蛻變后原子核、電子和中微子的動量,則有P+

Pl+P2=0

VVV由圖可知，P\，。2,故P的大小為

方向為

P=(012+022)=(1.28X1022)2+(6.4X1023)2

=0.64X10225=1.43X1022版msi

P

方向為0=90+arctan=15326

o1o,

Pl

4.10如圖所示，一根細(xì)繩跨過一質(zhì)量可忽略且軸為光滑的定滑輪，

兩端分別拴有質(zhì)量為m和M的物體A,B,且M稍大于m。物體B靜止在地

面上，當(dāng)物體A自由下落h距離后，繩子才被拉緊。求繩子剛被拉緊時，

兩物體的速度及B能上

升的最大高度。質(zhì)點的動量矩定理、動量矩守恒定律

［分析與解答］把整個過程分成三個階段來處理。

第一階段物體A自由下落。物體A自由下落h距離時，正好拉緊繩子,

此時物體A的速度為/=2g6,方向向下。

第二階段,繩子被拉緊,物體A和物體B同時受

到繩子的沖力作用。經(jīng)過極短時間At后，以共同

的速度V運動，此時，物體的受力情況如圖(B)所

示。如取豎直方向為正方向，則物體Ad的速度由-v

增為-V,物體B的速度由0增為V。根據(jù)動量原理得：

{FnMg)Lt=MVO①

(Fnmg)At=(mV)(mv)②

題

4.10圖

由于作用時間極短,繩子沖力的沖量遠(yuǎn)大于重力的沖量,故式①,式

②可簡化為7772A/=MV

FnZ=mV+mv

mvm2gh

因FT\-FTZ,解得：/二=

MM+m

第三階段,繩子拉緊后,物體A向下運動,B向上運動,但由于M>m,A和

B都

M機作減速運動，故有

Mg-T=Ma,T-mg=ma求得a-gM+m

物體B以速度V上升,其加速度與速度方向相反。設(shè)最后B上升的高度

為H,則

Vimi(2gh)根2〃有0V-2(a)H

故H===2a2(A/2m2)gM2m2

2

質(zhì)點的動量矩定理、動量矩守恒定律

4.11質(zhì)量為m的質(zhì)點，以r為半徑繞點0在水平面內(nèi)做逆時針圓周

運動，則(1)動量矩L=?,并說明其大小和方向。

(2)力矩的表達(dá)式g_____?,并說明其大小和方向。

(3)動量矩定理的表底式是？，并說明其意義及式中各量的

意義。

(4)動量矩守恒的條件是___?

VVVV

［分析與解答］⑴如圖(a)所示，動量矩為L=rXmv-rmv

sin6j

VVV由于r_LV,故方向+j

方向。

VVV

V(2)如圖(b)所示,力對點0的力矩為XF=//sin人力矩的大

小vv為M=rFsin，方向為垂直于r>F構(gòu)成的平面(即xoz面)。

按右手螺旋法則

指向y軸正方向。

vvv

(3)質(zhì)點動量矩定理為Mdt=L2L\①

VvV式中，f

Mdt為力矩的時間積累,稱為沖量矩；乙分別表示始末狀態(tài)

12

n

的動量矩，此式表明,外力矩的沖量距等于質(zhì)點動量矩的增量。

V(4)動量矩守恒條件為M=0,由式①

可知，在〃七全過程中，當(dāng)M=0時,vVL=￡2(實際上各時刻的￡都相同)。

所以動量矩守恒。

4.12判斷正誤：

(1)作勻速圓周運動的質(zhì)點，對圓心的動量矩大小為初次；

(2)作變速圓周運動的質(zhì)點沒有動量矩；

(3)動量矩是對作圓周運動的質(zhì)點而言的，作直線運動的質(zhì)點無

動量矩而言；

VVVVVV⑷由

于動量矩L=rXP,只要，P不為零，L就不會為零；

vvvvv(5)由于M-rXF,只要

r,尸不為零，動量矩就不可能守恒。

［分析與解答］略

4.13按照玻爾氫原子理論，氫原子中電子繞核運動的動量矩只可

能是

h/2n的整數(shù)倍，式中h=6.63XIO34Js稱為普朗克常量，已知電子

圓形軌道的

半徑(亦稱玻爾半徑)0.53X10io加，求此軌道上電子的運動速度V!

和頻率V?。［分析與解答］電子繞原子核在特定的量子化軌道上作圓周

運動，由核對電子的庫侖引力提供向心力。由牛頓第二定律有

162V2=man-加①4n￡or2廠

式中小,e分別為電子的質(zhì)量與電荷量，￡。為真空電容率（介電常

數(shù)）

由動量矩量子化特征，有：

hmvr=n(n=l,2...)②2n

式中“為量子數(shù),〃為普朗克常數(shù)。

求解式①,式②，可得容許的電子軌道半徑和相應(yīng)的速度為

E0〃2〃2ei

r=,v=F1me22Eonh

當(dāng)r=ri時，n=l,則

e2(1.60X1019)2cvi===0.02X

10smls-mls,2Eoh2x8.85x10x6.63x101234137

(c為真空中光速)

vi0.02X108yi--=6.0x

10\sHz2nn2Flx0.53x10io

4.14我國第1顆人造衛(wèi)星-東方紅1號沿橢圓軌道繞地球飛行，近

地點

439km,遠(yuǎn)地點2384km,已知在近地點的速度vi=8.1km/s,試求衛(wèi)

星在遠(yuǎn)地點的速度V2和衛(wèi)星的運動周期T。

[分析與解答](1)求V2:如圖所示,地球的中心點0位于橢圓軌道

的一個焦點上。設(shè)衛(wèi)星運動時僅受地球引力的作用，由于該引力總指向。

點,故衛(wèi)星在運動的全過程中對0點的動量矩守恒。即：

Vv￡l=乙2①

由于兩者的方向一致，式①可直接用大小來表示，

有mv\(7?+/i)=mvi(7?+b):

R+h6378+439V得二20=8.1X=630kmi

sR+46378+2384

ds(2)求T:衛(wèi)星徑矢r在單位時間內(nèi)掃過的面積為面積速度。衛(wèi)星運

行成

的周期T即為橢圓面積S與ds/dt的比值。由于橢圓面積為

n

S=[(R+7i)+(R+/2)](R+1】)(R+72)2

ds

根據(jù)開第二普勒定律，有：L=2m=不變量

dt

對近地點而言：L-L\-mvi(7?+/i)

ds1

則面積速度為：=vi(7?+/i)

dtl

sn[(R+/1)+(R+/2)](R+71)(R+/2)「故

===8.26X1035=2.29hds/dtv\(R+7i)

功和動能定理

4.15討論功的物理意義，并回答：

(1)恒力做功的表達(dá)式A=o

(2)變力做功的表達(dá)式A=o

(3)試述正功和負(fù)功的意義。

(4)用F=10N的拉力，將m=1kg的物體沿(2=30°的粗糙斜面

向上拉1m,已知〃=0.1,貝IJ:拉力的功〃=;摩擦力的功4二；重力的功

ZP=；斜面支承力的功力N=；

合外力的功為A=o

(5)一個人用吊桶從井中提水，桶與水共重15kg,井深10m。試

求：

①勻速向上提時，人做功出=;

②若以。=0.1租/92勻加速向上提，做功為4=；

③比較小與4,并說明原因。

[分析與解答](1)、(2)、(3)略

(4)設(shè)拉力F為沿斜面向上方向。

拉力所做的功：4F=Fl=10J

摩擦力所做的功：Ar=[mglcosa=0.493J

重力所做的功：AP=mglsina=4.9J

支撐力所做的功：AN=0

物體一共受到4個力的作用:重力,拉力，支撐力，摩擦力。則合外力

所做的功：A=AP+AF+AN+Ar=Flmgl(pcosa+sina)=14.05J

(5)勻速上提時，拉力只需克服重力做功：4，=mgh=15X9.8

X10=1470J

勻加速上提時,拉力除克服重力外,還要提供加速度或

Aa=m(g+a)h=15X(9.8+0.1)X10=1485J

顯然，Aa>4，,這是因為勻加速上提時,不僅要克服重力做功，而且

還要

使物體的動能增加,需要額外多做一部分功。

學(xué)會計算變力的功

4.16如何計算變力的功？整理一下你處理此類問題的思路和方法,

然后練習(xí)下列各題。

4.17物體在沿x軸運動過程中，受力F=-6x3N作用，則從x=lm

到x=2m,F做功為多少？物體的動能變化了多少？

［分析與解答］取位移元曲，外力在dx上作的元功為

vvdA=Fdx=Fdx=6x?,dx

23該變力F所做的功

為A=/dA—J(6x3=x412=22.5/2

由動能定理可知:動能的變化等于外力所做的功。所以，動能改變量

LEk=A=22.5J,即動能變小了。

4.18一倔強系數(shù)為k的輕彈簧,豎直放置,下端懸一

質(zhì)量為M的小球。先使彈簧為原長,而小球恰好與地接觸。

再將彈簧上端緩慢地提起,直到小球剛能脫離地面為止。

求在此過程中外力所作的功。

題4.18圖

4.19質(zhì)量為m=6kg的物體，當(dāng)t=0時，從x=0處自靜止開始

沿x軸運動，在力3+4xN作用下運動了3m,若不計摩擦，則

(1)力用做功/=______;

(2)此時物體的速度丫=;

(3)此時物體的加速度a=____;

(4)功率____。

3

［分析與解答］(1)F所做的功A=f(3+4x)dx=(3x+2x)

o=27J23

0

1212

(2)由動能定理4二mvmvo

22

2A2

X27

并考慮初始條件vo=O,得丫===3m/s

m6

F3+4x

152

(3)物體在X=3m處的加速度a====2.5m/s

mm

m

(4)功率P=Fv=(3+4X3)X3=45"

4.20求解下列各題：

(1)質(zhì)量為m的物體自靜止出發(fā)沿x軸運動，設(shè)所受外力為

b為常量，求在時間T(s)內(nèi)此力所做的功。

(2)物體在外力八=5+10x(SI)作用下，由％=0沿x軸方向運

動到x=3m處，求外力所做的功。

(3)一物體在介質(zhì)中的運動方程為加，c為常量。設(shè)介質(zhì)對物

體的阻力正比于速度的二次方，即Fr=kV2o試求物體由xo=0運動到

%=/時，阻力所做的功。

Fbtdv

［分析與解答］(1)由加速度==

mmdt

b

得：fdv-Jbtdtv=Ti

vT

m2m

00

11由動能定理A-mv2AWVO222

12Z)2由于vo=O，得/=mv-T428m

(2)有變力做功的計算方法，有

3

4=fd4=『(5+10x)以二601

0

(3)按題意，阻力/=kvi=/(v),欲求功，必須把它變換為f(x)。為

此，

24

dxX4有X=Ct得t=

3,又由丫==3ct2,v-9C(3)=9C3X322cHe

3X

24

故：f-kv=9kcx

233

2427

27

/

f7

則阻力做功為A-fdA=ffdx=-9kc3X3dx=

kc3l

0

保守力的功與勢能

4.21討論下列問題，檢查自己的閱讀效果。

(1)何謂保守力和保守場？

(2)保守力做功具有什么特性？

(3)保守力的功A與勢能增量的關(guān)系Z=。

(4)一維情況下，保守力與勢能的關(guān)系式凡=o

(5)回顧一下你已接觸到的力中，哪些是保守力？

［分析與解答］略

4.22試分析：

(1)勢能是屬于系統(tǒng)的，通常又說：“某物體的勢能為加g〃”，應(yīng)如

何理解？(2)教室里有一盞燈，設(shè)m=1kg,離地面3m,離天花板2m,

甲、乙、丙3位同學(xué)計算該盞燈的勢能分別為30J,0J,-20J(他

們均取g=10植2),他們的答案正確嗎？為什么？

(3)再請你引用甲、乙、丙的答案，計算一下燈與地面的勢能差,

從中能得到什么樣的結(jié)論？

［分析與解答］略

4.23彈性勢能的表達(dá)式及=o因此，一般取為零勢能點。圖示

(參教材pl56)一彈簧振子為10,掛一質(zhì)量為m的物體后伸長xo,并

在0'點平衡，此時的彈性勢能及=。

1［分析與解答］彈性勢

能的表達(dá)式為Ep=kx22

一般取X=0,(即彈簧原長處)為零勢能點。

如圖，系統(tǒng)平衡時，有：kxo=mg或xo=mg