天津市薊縣2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)九上期末綜合測試模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.拋物線y=-（x+l『-2的頂點到x軸的距離為（）

A.-1B.-2C.2D.3

2.化簡-囪的結(jié)果是

A.-9B.-3C.±9D.±3

3.如圖，拋物線y=-x2+mx的對稱軸為直線x=2,若關(guān)于x的-元二次方程-x2+mx-t=0（t為實數(shù)）在l<x<3的范圍內(nèi)有解,

則t的取值范圍是（）

A.-5<t<4B.3<t<4C.?5vtv3D.t>-5

4.如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)以=丘+雙鼠?是常數(shù)，且原0）與反比例函數(shù)以=￡（c是常數(shù)，且存0）

X

的圖象相交于4-3,-2）,8（2,兩點,則不等式外>以的解集是（）

A.-3<x<2B.*<-3或X>2

C.-3VxV0或x>2D.0<x<2

5.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

A.等腰梯形B.矩形C.正三角形D.平行四邊形

6.用配方法解方程Y一4彳-1=0,方程應(yīng)變形為（）

2

A.（x+2>=3B.（x+2）2=5c（x—2『=iD.（X-2）=5

7.如果x=4是一元二次方程X?-3x=a?的一個根，則常數(shù)a的值是（）

A.2B.-2C.±2D.±4

8.已知二次函數(shù)y=ox?+Z?x+c（aN0）的圖象如圖所示，有下歹U結(jié)論:①a-8+c>0;②abc>0;

@4a-2Jj+c>0;?a—c>Q.?3a+c>0;其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

9.如圖，點尸是矩形ABC。的邊上一動點，矩形兩邊長45、5c長分別為15和20,那么產(chǎn)到矩形兩條對角線AC和

8。的距離之和是（）

A.6B.12C.24D.不能確定

10.四張背面完全相同的卡片，正面分別畫有平行四邊形、菱形、等腰梯形、圓，現(xiàn)從中任意抽取一張，卡片上所畫

圖形恰好是軸對稱圖形的概率為（）

311

A.1B.-C.-D.一

424

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.如圖所示，在口ABCD中，AC、BO相交于點。，點￡是04的中點，聯(lián)結(jié)BE并延長交AO于點/，如果AAEE

的面積是4,那么ABCE的面積是.

D

2

12.若點A(m,n)是雙曲線y=一與直線丁=一工一3的交點，則加+川

x

13.若方程x2+2x-U=0的兩根分別為m、n,則mn(m+n)=

14.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，等腰后AA3C的頂點A8分別在工軸、軸的正半軸，NABC=90,,C4，x軸，點C

在函數(shù).V=々X>0)的圖象上.若A8=2,則左的值為.

X

15.TJs加60°=

16.半徑為5的圓內(nèi)接正六邊形的邊心距為.

17.在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共50只，這些球除顏色外其余完全相同.隨機摸出一只球記下顏

色后放回，不斷重復(fù)上述實驗，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

摸球的次數(shù)n10020030050080010003000

摸到白球的次數(shù)m651241783024815991803

摸到白球的頻率口

0.650.620.5930.6040.6010.5990.601

m

共有白球只.

18.如圖，00直徑CA)=20,43是。O的弦，ABLCD,垂足為M,若OM：OC=3：5,則弦48的長為

k

19.(10分)已知點M(2,a)在反比例函數(shù)y=-(k和)的圖象上，點M關(guān)于原點中心對稱的點N在一次函數(shù)y=-

2x+8的圖象上，求此反比例函數(shù)的解析式.

20.(6分)計算

(1)(?-2)2-2(a-2)-15=0

(2)(X-2)2=4-2X

(3)V3cos245°-sin30°tan600+-sin60°

2

(4)(n-2018)°+(sin60°)-1-1tan30°-731+

21.(6分)已知關(guān)于x的一元二次方程：x2-(t-1)x+t-2=l.求證：對于任意實數(shù)t,方程都有實數(shù)根;

22.(8分)已知，拋物線y=ax?+ax+b(aWO)與直線y=2x+m有一個公共點M(1,0),且a<b.

(1)求b與a的關(guān)系式和拋物線的頂點D坐標(biāo)(用a的代數(shù)式表示)；

(2)直線與拋物線的另外一個交點記為N,求aDMN的面積與a的關(guān)系式；

(3)a=-l時，直線y=-2x與拋物線在第二象限交于點G,點G、H關(guān)于原點對稱，現(xiàn)將線段GH沿y軸向上平

移t個單位(t>0),若線段GH與拋物線有兩個不同的公共點，試求t的取值范圍.

23.(8分)爸爸有一張“山西大劇院”的演出門票，計劃通過“擲籌碼”的游戲?qū)㈤T票獎勵給哥哥或者弟弟，游戲規(guī)

則如下：準(zhǔn)備兩個質(zhì)量均勻的籌碼，在第一個籌碼的一面畫上“x”，另一面畫上；在第二個籌碼的一面畫上

“。”，另一面畫上.隨機擲出兩個籌碼，當(dāng)籌碼落地后，若朝上的一面都是"。"，則哥哥獲得門票；否則，

弟弟獲得門票.你認(rèn)為這個游戲公平嗎？說明理由.

24.(8分)如圖，在AAHC中，/是內(nèi)心，AB^AC,。是AB邊上一點，以點。為圓心，03為半徑的0。經(jīng)過

點/,交于點

(D求證：A/是。。的切線;

(2)連接IF,若/尸=2,N/3C=30°,求圓心。到3/的距離及//的長.

25.(10分)現(xiàn)有A、B兩個不透明袋子，分別裝有3個除顏色外完全相同的小球.其中，A袋裝有2個白球，1個紅

球；B袋裝有2個紅球，1個白球.

(1)將A袋搖勻，然后從A袋中隨機取出一個小球，求摸出小球是白色的概率；

(2)小華和小林商定了一個游戲規(guī)則：從搖勻后的A,B兩袋中隨機摸出一個小球，摸出的這兩個小球，若顏色相同，

則小林獲勝；若顏色不同，則小華獲勝.請用列表法或畫出樹狀圖的方法說明這個游戲規(guī)則對雙方是否公平.

26.(10分)已知拋物線丁=》2+以+/,與x軸交于A(1,O),8(3,0)兩點，與軸交于點C.

(1)填空：a=,b=.

(2)如圖1,已知E(±0),過點E的直線與拋物線交于點/、N,且點M、N關(guān)于點E對稱，求直線"N的解

2

析式.

(3)如圖2,已知。(0,1),P是第一象限內(nèi)拋物線上一點，作P〃_L)，軸于點“，若與ABOO相似，請求

出點P的橫坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1,C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點式即可得到頂點縱坐標(biāo)，即可判斷距x軸的距離.

【詳解】由題意可知頂點縱坐標(biāo)為：-2,即到x軸的距離為2.

故選C.

【點睛】

本題考查頂點式的基本性質(zhì)，需要注意題目考查的是距離即為坐標(biāo)絕對值.

2、B

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可化簡.

【詳解】-邪=凸

故選B.

【點睛】

此題主要考查二次根式的化簡，解題的關(guān)鍵實數(shù)的性質(zhì).

3、B

【分析】先利用拋物線的對稱軸方程求出m得到拋物線解析式為y=-x2+4x,配方得到拋物線的頂點坐標(biāo)為（2,4）,

再計算出當(dāng)x=l或3時，y=3,結(jié)合函數(shù)圖象，利用拋物線y=-x?+4x與直線y=t在1VXV3的范圍內(nèi)有公共點可確定t

的范圍.

【詳解】???拋物線y=-x2+mx的對稱軸為直線x=2,

...b=m=2

**2a2x（-1）

解之：m=4,

Ay="x2+4x,

當(dāng)x=2時,y=-4+8=4,

???頂點坐標(biāo)為（2,4）,

■:關(guān)于x的一元二次方程?x2+mx?t=0（t為實數(shù)）在l<x<3的范圍內(nèi)有解，

當(dāng)x=l時，y=-l+4=3,

當(dāng)x=2時,y=-4+8=4,

:.3<t<4,

故選B

【點睛】

本題考查了拋物線與X軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a制）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解

關(guān)于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

4、C

【分析】一次函數(shù)y1=Ax+b落在與反比例函數(shù)山=工圖像上方的部分對應(yīng)的自變量的取值范圍即為不等式的解集.

X

【詳解】解：?.?一次函數(shù)》=履+"人〃是常數(shù)，且際0）與反比例函數(shù)》=￡（c是常數(shù)，且存0）的圖象相交于A（-3,

x

-1）,5（1,⑼兩點，

二不等式刈>力的解集是-3VxV0或x>l.

故答案為C.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖像與不等式的關(guān)系，從函數(shù)圖像確定不等式的解集是解答本題的關(guān)鍵.

5、B

【分析】中心對稱圖形的定義：在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重

合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互

相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.

【詳解】解：等腰梯形、正三角形只是軸對稱圖形，矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，平行四邊形只是中心對

稱圖形，

故選B

【點睛】

本題考查中心對稱圖形和軸對稱圖形，本題屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題，只需學(xué)生熟練掌握中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，

即可完成.

6、D

【分析】常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊配上一次項系數(shù)一半的平方，寫成完全平方式即可得.

【詳解】解：一4萬一1=0，

x2-4x+4=l+4?即（x-2『=5,

故選：D.

【點睛】

本題考查配方法解一元二次方程，熟練掌握完全平方公式和配方法的基本步驟是解題的關(guān)鍵.

7、C

【分析】把x=4代入原方程得關(guān)于a的一元一次方程，從而得解.

【詳解】把x=4代入方程

可得16-12=?12,

解得a=±2,

故選C.

考點：一元二次方程的根.

8、B

【分析】利用特殊值法求①和③，根據(jù)圖像判斷出a、b和c的值判斷②和④，再根據(jù)對稱軸求出a和b的關(guān)系，再用

特殊值法判斷⑤，即可得出答案.

【詳解】令x=-l,貝!Jy=a-b+c,根據(jù)圖像可得，當(dāng)x=-l時，y<0,所以a-b+cVO,故①錯誤；

由圖可得，a>0,b<0,c<0,所以abc>0,a-c>0,故②④正確；

令x=-2,貝!|y=4a-2b+c,根據(jù)圖像可得，當(dāng)x=-2時，y>0,所以4a-2b+c>0,故③正確；

b

x—.........=1,所以-b=2a,.*.a-b+c=a+2a+c=3a+c<0,故⑤錯誤；

2a

故答案選擇B.

【點睛】

本題考查的是二次函數(shù)，難度偏高，需要熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì).

9、B

【分析】由矩形ABCD可得：SAAOD=』S矩彩ABCD,又由AB=15,BC=20,可求得AC的長，則可求得OA與OD的長,

4

又由SAAOD=SAAPO+SADPO=-OA?PE+-OD?PF,代入數(shù)值即可求得結(jié)果.

22

【詳解】連接OP,如圖所示：

,四邊形ABC”是矩形,

11

：.AC=BD,OA=OC=-AC,OB=OD=-BD,ZABC=90°,

22

_1

SAAOD=—S矩形ABC'。，

4

1

：.OA=OD=-AC

29

VAB=15,BC=20,

：.AC=飛AB。+BC2=V152+202=25,S^AOD=-S^ABCD=-X15X20=75，

25

：.OA=OD=—,

2

111、125,、

..S^AOD=S^APO+S^DPO=-OA*PE+-OD*PF=-OA*(PE+P尸)=-X一(PE+PF)=75,

22222

：.PE+PF=1.

...點尸到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是1.

故選8.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積.熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

10、B

3

【解析】以上圖形中軸對稱圖形有菱形、等腰梯形、圓，所以概率為3小“故選B

二、填空題（每小題3分，共24分）

11、36

5]

【分析】首先證明△AFES^CBE,然后利用對應(yīng)邊成比例，E為OA的中點，求出AE：EC=1：3,即可得出互二--

'bCBE/

【詳解】在平行四邊形ABCD中，AD〃BC,

則△AFEsMBE,

AFAE

.*.---=----,

BCEC

YO為對角線的交點，

.,.OA=OC,

又為OA的中點，

1

.*.AE=-AC,

4

貝！|AE：EC=1：3,

AAF：BC=1：3,

qQ

八CBE7

**,S^CBE=36

故答案為：36

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行證明

△DFE^ABAE,然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例求值.

12、5

【分析】聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出交點坐標(biāo)，得出m,n的值，即可解決本題.

，2

y=—

【詳解】解：聯(lián)立兩函數(shù)解析式：X,

y=-x-3

當(dāng)根=_1,"=_2時，m2+n2=(-1)2+(-2)2=5?

當(dāng)機=-2,凡=一1時，m2+H2=(-2)2+(-1『=5,

綜上，m2+n2=5,

故答案為5.

【點睛】

本題是對反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合考查，熟練掌握反比例函數(shù)及解一元二次方程知識是解決本題的關(guān)鍵.

13、22

【分析】

【詳解】???方程x2+2x—U=0的兩根分別為m、n,

m+n=-2,mn=-ll,

mn(m+n)=(-11)x(-2)=22.

故答案是：22

14、4

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AC的值，根據(jù)等面積法求出OA的值，OA和AC分別是點C的橫

縱坐標(biāo)，又點C在反比例函數(shù)圖像上，即可得出答案.

【詳解】???△ABC為等腰直角三角形，AB=2

.?.BC=2,AC=dBC2+AB2=20

-xBCxAB=-xOAxAC

22

1X2X2=-XOAX2V2

22

解得：OA=V2

.?.點C的坐標(biāo)為（、/12收）

又點C在反比例函數(shù)圖像上

???Z:=72x272=4

故答案為4.

【點睛】

本題考查的是反比例函數(shù)，解題關(guān)鍵是根據(jù)等面積法求出點C的橫坐標(biāo).

15、3

2

【分析】先求特殊角的三角函數(shù)值再計算即可.

【詳解】解：原式=也吟=

3

故答案為一.

2

【點睛】

本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，屬較簡單題目.

16、—\/3

2

【分析】連接OA、OB,作OH_LAB,根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)得到△ABO是等邊三角形，利用垂徑定理及勾股

定理即可求出邊心距OH.

【詳解】如圖，連接OA、OB,作OHJ_AB,

???六邊形ABCDEF是圓內(nèi)接正六邊形，

:.ZFAB=ZABC=1800--——=120°,

6

/.ZOAB=ZOBA=60°,

???△ABO是等邊三角形，

AAB=OA=5,

VOH±AB,

AAH=2.5,

???OH=doA2-AH2=5/52-2.52=迪,

2

故答案為：-V3.

2

【點睛】

此題考查圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理.解題中熟記正六邊形的性質(zhì)得到NFAB=NABC=120。是解題

的關(guān)鍵，由此即可證得△ABO是等邊三角形，利用勾股定理解決問題.

17、30

【分析】根據(jù)利用頻率估計概率得到摸到白球的概率為60%,然后根據(jù)概率公式計算n的值.

【詳解】白球的個數(shù)=50x60%=30只

故答案為：3()

【點睛】

本題考查了利用頻率估計概率：大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越

小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率

18、1.

【詳解】解：連接OA,

OO的直徑CD=20,

則。。的半徑為10,

即OA=OC=10,

又：0M：OC=3：5,

.\OM=6,

VAB±CD,垂足為M,

，AM=BM,

在RtAAOM中，AM=7102-62=8>

.*.AB=2AM=2x8=l,

故答案為：L

三、解答題(共66分)

24

19、y=----

X

【分析】由點M與點N關(guān)于原點中心對稱，可表示出點N的坐標(biāo)，代入一次函數(shù)的關(guān)系式，可求得a的值，確定點

M的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)的關(guān)系式求出k的值即可.

【詳解】:點M(2,a),點M與點N關(guān)于原點中心對稱，

；?N(-2,-a)代入y=-2x+8得：

-a=4+8,

Aa=-12,

.?.M(2,-⑵代入反比例函數(shù)丫=公得，

X

k=-24,

24

???反比例函數(shù)的解析式為y=--.

x

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，把點的坐標(biāo)代入相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是常用的方法.

n

20、(1)4=—1,。，7?(2)%=0,x,—2；(3)--；(4)3

4

【分析】(1)先運用去括號原則以及完全平方差公式去括號，再合并同類項，最后利用因式分解法求解即可；

(2)先運用完全平方差公式去括號，再移項和合并同類項，最后利用因式分解法求解即可；

(3)由題意代入特殊三角函數(shù)值，并利用二次根式運算法則進行計算；

(4)由題意代入特殊三角函數(shù)值，并利用二次根式運算法則以及負(fù)指數(shù)事和去絕對值的運算方法進行計算.

【詳解】解：(1)(。一2)2-2(。-2)-15=0

/+4—4。―2。+4-15=0

a2-6。-7=0

(a+l)(a—7)=0

解為：4=-1嗎=7；

(2)(X-2)2=4-2X

x2+4-4x=4-2x

x2-2x=0

x(x-2)=0

解為：x,=0,x2=2；

(3)6cos2450-sin30°tan60°+-sin600

2

3閆一"+鴻

fr+v

V3

=___?

4

(4)(n-2018)°+(sin60°)-1-1tan30°-|

]+(^x+X

=1+I2J----3---73+2

=]+矩+且_'2

33

=3.

【點睛】

本題考查一元二次方程的解法和實數(shù)的計算，用到的知識點是因式分解法求一元二次方程和負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、零指數(shù)幕

和特殊角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是根據(jù)式子的特點靈活運用解方程的方法進行求解.

21、見解析

【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出△=(t-3)221,由此可證出：對于任意實數(shù)t,方程都有實數(shù)根.

【詳解】證明：△=[-(t-1)]2-4XlX(t-2)

=t2-6t+9=(t-3)2,

...對于任意實數(shù)t,都有(t-3)2》1,

...方程都有實數(shù)根.

【點睛】

本題考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是：牢記“當(dāng)時，方程有實數(shù)根”.

1Q273279

22、(1)b=-2a,頂點D的坐標(biāo)為(--,--a)；(2)-----------------a；(3)2<t<—.

244a84

【解析】(1)把M點坐標(biāo)代入拋物線解析式可得到b與a的關(guān)系，可用a表示出拋物線解析式，化為頂點式可求得其

頂點D的坐標(biāo)；

(2)把點M(1,0)代入直線解析式可先求得m的值，聯(lián)立直線與拋物線解析式，消去y,可得到關(guān)于x的一元二

次方程，可求得另一交點N的坐標(biāo)，根據(jù)aVb,判斷aVO,確定D、M、N的位置，畫圖1,根據(jù)面積和可得ADMN

的面積即可；

(3)先根據(jù)a的值確定拋物線的解析式，畫出圖2,先聯(lián)立方程組可求得當(dāng)GH與拋物線只有一個公共點時，t的值,

再確定當(dāng)線段一個端點在拋物線上時，t的值，可得：線段GH與拋物線有兩個不同的公共點時t的取值范圍.

【詳解】解：(1)???拋物線丫=2*2+2*+1)有一個公共點M(1,0),

.*.a+a+b=O>即b=-2a,

,,1,9a

y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a(x+—)2-—,

1

???拋物線頂點D的坐標(biāo)為(--,-9?a)；

24

(2),直線y=2x+m經(jīng)過點M(1,0),

.".0=2xl+m,解得m=-2,

/.y=2x-2,

fy=2x-2

則.2c，

y=ax+ax-2a

得ax2+(a-2)x-2a+2=0,

(x-1)(ax+2a-2)=0,

2

解得x=l或x=--2,

a

24

.IN點坐標(biāo)為(--2,--6),

aa

Va<b,BPa<-2a,

.,.aVO,

如圖1,設(shè)拋物線對稱軸交直線于點E,

AE-3),

2

2

VM(1,0),N(-2--6),

aa

設(shè)ADMN的面積為S,

9。，、27327

:.S=SADEN+SAI)EM=—I(--2)-11*1---(-3)|=----------------a,

2a44〃8

(3)當(dāng)a=-l時9

19

拋物線的解析式為：y=-x2-x+2=-(x+-)2+-,

24

y=1%2—x+2

由〈，

y=-2x

-x2-x+2=-2x,

解得:Xl=2,X2=-l,

AG(-1,2),

??,點G、H關(guān)于原點對稱，

/.H(1,?2),

設(shè)直線GH平移后的解析式為：y=-2x+t,

-x2-x+2=-2x+t,

x2-x-2+t=0,

△=l-4(t-2)=0,

9

t=—，

4

當(dāng)點H平移后落在拋物線上時，坐標(biāo)為（1,0）,

把（1,0）代入y=-2x+t,

t=2,

二當(dāng)線段GH與拋物線有兩個不同的公共點，t的取值范圍是2HV三9.

【點睛】

本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、根的判別式、三角形的面積等知識.在（1）中

由M的坐標(biāo)得到b與a的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在（2）中聯(lián)立兩函數(shù)解析式，得到關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)

鍵，在（3）中求得GH與拋物線一個交點和兩個交點的分界點是解題的關(guān)鍵，本題考查知識點較多，綜合性較強，難

度較大.

23、游戲不公平，理由見解析.

【分析】首先根據(jù)題意列表，然后由表格求得所有等可能的結(jié)果，由當(dāng)概率相等時，這個游戲是否公平，即可求得答

案.

【詳解】解：游戲不公平，理由如下：

隨機投擲兩個籌碼的結(jié)果列表如下：

0△

二

X（X,。）(X,△)

O(o,O)(o,A)

由上表可知，投擲籌碼的結(jié)果共有4種，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中，籌碼朝上的一面都是“?！钡慕Y(jié)果有【種,

其他結(jié)果有3種.

13

即哥哥獲得門票的概率為了，弟弟獲得門票的概率為一.

44

?2,

44

游戲不公平.

【點睛】

本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平.

24、(1)見解析；(2)點。到以的距離是1,k的長度,

【分析】(1)連接OL延長AI交BC于點D,根據(jù)內(nèi)心的概念及圓的性質(zhì)可證明OI〃BD,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

及平行線的性質(zhì)可證明NAIO=90。，從而得到結(jié)論；

(2)過點O作OEJ_BL利用垂徑定理可得到OE平分BL再根據(jù)圓的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)即可求出O到BI的距離;

根據(jù)角平分線及圓周角定理可求出NFOI=60。，從而證明AFOI為等邊三角形，最后利用弧長公式進行計算即可.

【詳解】解：(D證明：延長AI交BC于D,連接OL

,.T是AABC的內(nèi)心，

...BI平分NABC,AI平分NBAC,

二/1=/3,

又?.5=01,

,N3=N2,

.?.N1=N2,

.,.OI//BD,

又?.?AB=AC,

AADIBC,即NADB=90。，

.?.ZAIO=ZADB=90°,

.?.AI為0。的切線；

(2)作OE_LBL由垂徑定理可知，OE平分BL

XVOB=OF,

...OE是的中位線，

VIF=2,

11c

.?,OE=-IF=-x2=l,

22

.?.點。到BI的距離是1,

VZIBC=30°,

由（1）知NABI=NIBC,

.'.NABI=30°,

:.ZFOI=60°,

又,.5=01,

/.△FOI是等邊三角形,

.,.OF=OI=FI=2,

60萬x22乃

二IF的長度

180T

【點睛】

本題考查圓與三角形的綜合，重點在于熟記圓的相關(guān)性質(zhì)及定理，以及等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)與判定定理,

注意圓中連接形成半徑是常作的輔助線，等腰三角形中常利用“三線合一”構(gòu)造輔助線.

2

25、（1）P（摸出白球）=§；（2）這個游戲規(guī)則對雙方不公平.

【分析】⑴根據(jù)A袋中共有3個球