5.4數(shù)列的應(yīng)用課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

5.4數(shù)列的應(yīng)用第五章人教B版

數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.理解并掌握“等額本金還款法”“等額本息還款法”及應(yīng)用.2.理解并掌握政府支出的“乘數(shù)”效應(yīng)及數(shù)列的其他應(yīng)用.3.進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)建模、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、“等額本金還款法”與“等額本息還款法”1.假如你購(gòu)房時(shí)向銀行貸款本金A0元,打算分成m期償還,并且每一期的利率為r(r>0),記每一期的還款錢(qián)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為a1,a2,a3,…,am.(1)如果采用“等額本金還款法”,那么你能寫(xiě)出第n期所要還的錢(qián)數(shù)an的表達(dá)式嗎?(2)如果采用“等額本息還款法”,那么你能寫(xiě)出第n期所要還的錢(qián)數(shù)an的表達(dá)式嗎?2.(1)“等額本金還款法”是將

本金

平均分配到每一期進(jìn)行償還,每一期的還款金額由兩部分組成,一部分為

每期本金

,即貸款本金除以還款期數(shù),另一部分是

利息

,即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率.因此這種方式中,(2)“等額本息還款法”是將

本金

和

利息

平均分配到每一期進(jìn)行償還,因此每一期所還錢(qián)數(shù)相等,即a1=a2=a3=…=am.

二、政府支出的“乘數(shù)”效應(yīng)與數(shù)列1.為落實(shí)惠民政策,假設(shè)政府增加某項(xiàng)支出a億元,每個(gè)受惠的居民會(huì)將此部分額外收入以r(r>0)的比率用于國(guó)內(nèi)消費(fèi)(最初政府支出也算是國(guó)內(nèi)消費(fèi)).(1)如果設(shè)第n輪消費(fèi)的金額為an億元,那么an與a和r具有什么關(guān)系呢?提示:an=arn.(2)那么經(jīng)過(guò)n輪影響之后,最后的國(guó)內(nèi)消費(fèi)總額是多少億元呢?2.上述問(wèn)題中,最后的國(guó)內(nèi)消費(fèi)總額將會(huì)是a億元的倍數(shù),也就是說(shuō)有了“乘數(shù)

”效應(yīng).3.有些食物中含有一定量的微量元素,當(dāng)人體攝入微量元素以后,微量元素會(huì)隨著尿液、汗液等部分排出.假設(shè)某人每天吃進(jìn)某微量元素amg,該微量元素每天以r(r>0)的比率排出,則30天后在此人身體中積累了多少該微量元素(設(shè)一開(kāi)始某人體內(nèi)該微量元素為0)?解:30天后在此人身體中積累的該微量元素為a(1-r)+a(1-r)2+…+a(1-r)n【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)“等額本金還款法”每一期的還款金額由兩部分組成,一部分為每期本金,即貸款本金除以還款期數(shù),另一部分是利息,即貸款本金乘利率.(×)(2)“等額本息還款法”是將本金和利息平均分配到每一期進(jìn)行償還,每一期所還錢(qián)數(shù)相等.(√)合作探究釋疑解惑探究一“等額本金還款法”與“等額本息還款法”的應(yīng)用【例1】

某技術(shù)研發(fā)單位打算向銀行貸款2400萬(wàn)元用于某電子產(chǎn)品升級(jí)改造,在12個(gè)月內(nèi)還清,月利率為5%,如果采用“等額本金還款法”,那么,(1)設(shè)每期還款錢(qián)數(shù)為an萬(wàn)元,求出an的表達(dá)式;(2)該單位累計(jì)還款多少萬(wàn)元?

1.本題屬于與等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,求解的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí).2.遇到與正整數(shù)有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí),常?？紤]與數(shù)列知識(shí)的聯(lián)系,建立適當(dāng)?shù)臄?shù)列模型進(jìn)行求解.反思感悟【變式訓(xùn)練1】

本例條件不變,如果采用“等額本息還款法”,那么該單位每期還款多少萬(wàn)元?累計(jì)還款多少萬(wàn)元?(結(jié)果精確到0.01元)探究二政府支出的“乘數(shù)”效應(yīng)與數(shù)列【例2】

假設(shè)一政府單位增加某項(xiàng)支出120億元,每個(gè)受惠的居民會(huì)將75%的額外收入用于國(guó)內(nèi)消費(fèi)(最初政府支出也算是國(guó)內(nèi)消費(fèi)).求經(jīng)過(guò)20輪影響之后,最后的國(guó)內(nèi)消費(fèi)總額是多少億元?(結(jié)果精確到1億元)反思感悟解數(shù)列應(yīng)用題的主要事項(xiàng):(1)抓住數(shù)量關(guān)系,聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法,恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量,將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言,將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá).(2)將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題,將已知與所求聯(lián)系起來(lái),列出滿(mǎn)足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式.【變式訓(xùn)練2】

假設(shè)某地政府單位增加某項(xiàng)優(yōu)惠政策支出200億元,每個(gè)受惠的居民會(huì)將65%的額外收入用于國(guó)內(nèi)消費(fèi)(最初政府支出也算是國(guó)內(nèi)消費(fèi)).求經(jīng)過(guò)10輪影響之后,最后的國(guó)內(nèi)消費(fèi)總額是多少億元?(結(jié)果精確到1億元)探究三數(shù)列的綜合應(yīng)用【例3】

一種擲骰子走跳棋的游戲:棋盤(pán)上標(biāo)有第0站、第1站、第2站…第100站,共101站,設(shè)棋子跳到第n站的概率為Pn.一枚棋子開(kāi)始在第0站,棋手每擲一次骰子,棋子向前跳動(dòng)一次,若擲出奇數(shù)點(diǎn),則棋子向前跳動(dòng)一站;若擲出偶數(shù)點(diǎn),則向前跳動(dòng)兩站,直到棋子跳到第99站(獲勝)或100站(失敗)時(shí),游戲結(jié)束.(1)求P0,P1,P2,并根據(jù)棋子跳到第n站的情況,試用Pn-2和Pn-1表示Pn;(2)求證:數(shù)列{Pn-Pn-1}(n=1,2,…,100)是等比數(shù)列;(3)求該游戲獲勝的概率.(1)解:根據(jù)題意,棋子跳到第n站的概率為Pn,則P0即棋子跳到第0站的概率,則P0=1,本題考查的是數(shù)列的應(yīng)用以及概率及其性質(zhì).數(shù)列常常與函數(shù)、不等式等知識(shí)相結(jié)合,考查學(xué)生的理解能力、轉(zhuǎn)化能力及計(jì)算能力.反思感悟【變式訓(xùn)練3】

黃河被稱(chēng)為我國(guó)的母親河,因?yàn)閿y帶大量泥沙,所以河水呈現(xiàn)黃色.黃河的水源來(lái)自青海高原,上游1000km的河水是非常清澈的,只是中游流經(jīng)黃土高原,又有太多攜帶有大量泥沙的河流匯入才造成黃河的河水逐漸變得渾濁.在劉家峽水庫(kù)附近,清澈的黃河和攜帶大量泥沙的洮河匯合,在兩條河流的交匯處,水的顏色一清一濁,互不交融,涇渭分明,形成了一條奇特的水中分界線(xiàn).設(shè)黃河和洮河在汛期的水流量均為2000m3/s,黃河水的含沙量為2kg/m3,洮河水的含沙量為20kg/m3,假設(shè)從交匯處開(kāi)始沿岸設(shè)有若干個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn),兩股河水在流經(jīng)相鄰的觀(guān)測(cè)點(diǎn)的過(guò)程中,其混合效果相當(dāng)于兩股河水在1s內(nèi)交換1000m3的水量,即從洮河流入黃河1000m3的水混合后,又從黃河流出1000m3的水到洮河再混合.(1)求經(jīng)過(guò)第二個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)時(shí),兩股河水的含沙量;(2)從第幾個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)開(kāi)始,兩股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3?(不考慮泥沙沉淀)(2)設(shè)在第n(n∈N+)個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)時(shí)黃河的含沙量為an,洮河的含沙量為bn,由題意有a1=2,b1=20,即3n-1>1

800,解得n>7.又由n∈N+,所以從第8個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)開(kāi)始.【思想方法】

數(shù)學(xué)建模在數(shù)列實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

(1)設(shè)n(n∈N+)年內(nèi)(本年度為第1年)總投入為an萬(wàn)元,旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元,寫(xiě)出an,bn的表達(dá)式;(2)至少經(jīng)過(guò)幾年,旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入?分析:(1)建立等比數(shù)列模型求解;(2)列出與數(shù)列有關(guān)的不等式求解.所以至少經(jīng)過(guò)5年,旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入.解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟(1)第一步,確定數(shù)列類(lèi)型.理解題意,分析是哪類(lèi)數(shù)列,一般有等差數(shù)列、等比數(shù)列、簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列.基本特征如下表:方法點(diǎn)睛數(shù)列模型基本特征等差數(shù)列均勻增加或者減少等比數(shù)列指數(shù)增長(zhǎng),常見(jiàn)的是增產(chǎn)率問(wèn)題、存款復(fù)利問(wèn)題簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列指數(shù)增長(zhǎng)的同時(shí)又均勻減少,如年收入增長(zhǎng)率為20%,每年年底要拿出a(常數(shù))作為下年度的開(kāi)銷(xiāo),即年底可支配資金構(gòu)成的數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=1.2an-a(2)第二步,準(zhǔn)確求解模型.根據(jù)數(shù)列知識(shí),求數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列的和、解方程(組)或者不等式(組)等,此時(shí)要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.(3)第三步,還原實(shí)際問(wèn)題.實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題最后要把求解的數(shù)學(xué)結(jié)果化為解決實(shí)際問(wèn)題的方法,在解題中不要忽視了這點(diǎn).【變式訓(xùn)練】

某科研單位欲拿出一定的經(jīng)費(fèi)獎(jiǎng)勵(lì)科研人員,第1名得全部資金的一半多一萬(wàn)元,第二名得剩下資金的一半多一萬(wàn)元,以名次類(lèi)推都得剩下資金的一半多一萬(wàn)元,到第10名恰好分完資金,求此科研單位共拿出多少萬(wàn)元資金進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì).解:設(shè)單位共拿出x萬(wàn)元資金,第1名到第10名所得資金構(gòu)成數(shù)列{an},前n項(xiàng)和為Sn,∴2an=x-Sn-1+2,2an+1=x-Sn+2,兩式相減得2an+1-2an=-an,∴2an+1=an.故單位共拿出2

046萬(wàn)元資金進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì).隨堂練習(xí)1.一彈性球從100米高處自由落下,每次著地后又跳回到原來(lái)高度的一半再落下,則第10次著地時(shí)所經(jīng)過(guò)的路程和是

米.(結(jié)果精確到1)

解析:依題意,設(shè)小球第n次著地時(shí)經(jīng)過(guò)的路程為an,則a1=100,a2=100,a3=50……答案:3002.一個(gè)七層的塔,每層所點(diǎn)的燈的盞數(shù)都等于上面一層的2倍,一共點(diǎn)381盞燈,則底層所點(diǎn)燈的盞數(shù)是

.

答案:1923.某人的月工資由基礎(chǔ)工資和績(jī)效工資組成,2012年每月的基礎(chǔ)工資為2100元,績(jī)效工資為2000元.從2013年起每月基礎(chǔ)工資比上一年增加210元,績(jī)效工資為上一年的110%.照此推算,此人2024年的年薪為

萬(wàn)元.(結(jié)果精確到0.01)

解析:由題意可得,基礎(chǔ)工資是以2

100元為首項(xiàng),以210元為公差的等差數(shù)列,績(jī)效工資是以2

000元為首項(xiàng),以1.1為公比的等比數(shù)列.則此人2024年每月的基礎(chǔ)工資為2

100+(2

024-2

012)×210=4

620元,每月的績(jī)效工資為2

000×1.12

024-2

012≈6

276.86元,則此人2024年的年薪為12×(4

620+6

276.86