某中學(xué)物理競賽學(xué)習(xí)知識系統(tǒng)整編

物理知識整理

?知識點睛

慣性力

先思考一個問題:設(shè)有一質(zhì)量為m的小球，放在一小車光滑的水平面上，平面上除小球(小球的線度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于小

車的橫向線度)之外別無他物，即小球水平方向合外力為零。然后突然使小車向右對地作加速運動，這時小球?qū)⑷绾?/p>

運動呢？

地面上的觀察者認(rèn)為：小球?qū)㈧o止在原地，符合牛頓第一定律；

車上的觀察者覺得：小球以一處相對于小車作加速運動；

我們假設(shè)車上的人熟知牛頓定律，尤其對加速度一定是由力引起的印象至深，以致在任何場合下，他都強(qiáng)烈地要

求保留這一認(rèn)知，于是車上的人說：小球之所以對小車有-處的加速度，是因為受到了一個指向左方的作用力，且力

的大小為-〃?小;但他同時又熟知，力是物體與物體之間的相互作用，而小球在水平方向不受其它物體的作用，

物理上把這個力命名為慣性力。

慣性力的理解：

(1)慣性力不是物體間的相互作用。因此，沒有反作用。

(2)慣性力的大小等于研究對象的質(zhì)量用與非慣性系的加速度&的乘積，而方向與a,相反，即?/=一吟

(3)我們把牛頓運動定律成立的參考系叫慣性系，不成立的叫非慣性系，設(shè)一個參考系相對絕對空間加速度為小.物體受相對此參考系

加速度為4牛頓定律可以寫成：尸+『"=’加'其中尸為物理受的“真實的力”，產(chǎn)為慣性力，是個“假力”。

(4)如果研究對象是剛體，則慣性力等效作用點在質(zhì)心處，

說明：關(guān)于真假力，絕對空間之類的概念很詭異，這樣說牛頓力學(xué)在邏輯上都是顯得很不嚴(yán)密。所以質(zhì)疑和爭論的人比較多。不過

筆者建議初學(xué)的時候不必較真，要能比較深刻的認(rèn)識這個問題，既需要很廣的物理知識面，也需要很強(qiáng)的物理思維能力。在這個問題的

思考中培養(yǎng)出愛因斯坦2.0版本的概率很低(因為現(xiàn)有的迷惑都被1.0版本解決了)，在以后的學(xué)習(xí)中我們的同學(xué)會逐漸對力的概念，空

間的概念清晰起來，腦子里就不會有那么多低營養(yǎng)的疑問了。

極其不建議想不明白這問題的同學(xué)Baidu這個問題，網(wǎng)上的討論文章倒是極其多，不過基本都是民哲們的夢吃，很容易對不懂的人

產(chǎn)生誤導(dǎo)。

二.慣性力的具體表現(xiàn)(選講)

1.作直線加速運動的非慣性系中的慣性力

這時慣性力僅與牽連運動有關(guān)，吧僅與非慣性系相對于慣性系的加速度有關(guān)。慣性力將具有與恒定重力相類似

的特性，即與慣性質(zhì)量正比。記為：r二一呵

2.做圓周運動的非慣性系中的慣性力

這時候的慣性力可分為離心力以及科里奧利力：

/??_2

1）離心力為背向圓心的一個力：J=m0）r

2）科里奧利力概念比較麻煩（競賽復(fù)賽階段還考不到），這里就不做介紹了。大家只要了解當(dāng)物體相對轉(zhuǎn)動參考

系有相對運動時必須考慮科里奧利力就行了。計算公式如下：力*=2?疝相這是個叉積式。

總的來說慣性力可以用萬有引力去等效，其本質(zhì)都是引力場作用，“施力物體”都可以當(dāng)成整個宇宙（還好不是

上帝）。所以我們在地球上上隨著地球自轉(zhuǎn)的時候，來自宇宙中遙遠(yuǎn)的群星正把我們往外拉（離心力），結(jié)果導(dǎo)致我們

對地面壓力比地球?qū)ξ覀兊囊π×瞬簧?。不過南北極極點的人受這種群星的引力就可以忽略不計。

這個觀點比較雷人，很多人聽到后感覺很痛苦，感覺完全不符合邏輯。其實只要摒棄物體間的相互與運動狀態(tài)無

關(guān)的慣性思維就會舒服多了。當(dāng)我們相對于某個天體靜止時，天體對我們的引力與我們現(xiàn)對運動時不一樣。這個理解

可以類比電磁學(xué)里洛倫茲力與靜電力，它們都產(chǎn)生于電荷間但不同的原因在于前者有相對運動。當(dāng)兩個物體間有相互

作用的時候，它們是通過一種物質(zhì)實現(xiàn)這種作用的，這種物質(zhì)就是我們看不見但可以檢測到的“場”，場力的特點是

與物體相對運動有關(guān)。實際生活中的一切現(xiàn)象都是場作用。

第一次世界大戰(zhàn)期間，英、德在阿根廷附近馬爾維納斯島的洋面上進(jìn)行了一次大戰(zhàn)。當(dāng)?shù)聡娕炍挥谟娕灡?/p>

方大約7km時，英艦炮手瞄準(zhǔn)德艦開炮，炮彈全都落在德艦的左側(cè)大約100多米以外的地方，也是由于神奇的慣性力

的作用造成的。（當(dāng)然也可以理解為炮彈飛到目標(biāo)位置時，德國人的艦船已經(jīng)隨著地球的自轉(zhuǎn)跑到新的地方去了）

學(xué)習(xí)物理學(xué)我們應(yīng)該可以意識到，這世上任何的事情沒有絕對正確的解釋，只有相對來說適用范圍大，精確度高

的解釋。物理課程在教學(xué)上一直強(qiáng)調(diào)兩條：

1.講到任何一個點，盡量在同學(xué)能接受的情況下，從這個點出發(fā)，給出將來大家要會繼續(xù)學(xué)習(xí)的物理體系的框架，

避免那種"學(xué)習(xí)物理就是下一個老師否定上一個老師”的痛苦。

2.加強(qiáng)物理思想對我們同學(xué)思維習(xí)慣，認(rèn)識方式的塑造，可能的話，甚至對人生觀世界觀加以引導(dǎo)。做到學(xué)懂物理

的人不會被各種迷信，各種哲學(xué)，各種“思想”，各種“主義”所蠱惑，學(xué)懂物理的同學(xué)進(jìn)了清華北大也不自殺，不

出家。學(xué)懂物理的人對待任何事情抱著研究歸納的心態(tài)，眼光去面對，以慣有的，高超的類比能力，思維遷移能力，

總結(jié)能力去做人生道路上的任何事情。

?問題分類詳解

3.“分離”問題

觀察思考：

彈跳器是很多運動愛好者喜歡的運動，如圖所示，人通過向下踩踏板，在彈簧縮短的過程中，人受到向上的

力，就把彈跳器從地面上拉起來了。粗略一想“道理”確實不難，不過對現(xiàn)象能做出定量的描述才是關(guān)鍵，比如中

國人發(fā)明了火藥大炮，但是彈道學(xué)卻讓歐洲人的炮兵技術(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)領(lǐng)先于中國（火炮確實是中國人發(fā)明的）。我們的問題

是，人是什么時候脫離踏板往上“飛出”，以至于把彈跳器拉離地面的？為了便于分析，我們忽略與力學(xué)無關(guān)的細(xì)

節(jié)，把問題描述成以下原理圖，這個過程叫物理建模。

不妨把人用物塊代表，質(zhì)量設(shè)為M,彈簧質(zhì)量忽略，踏板質(zhì)量設(shè)為m,在人脫離踏板前，不考慮人的手對彈跳器

的力，當(dāng)人離開踏板后，人再對通過手向上拉彈跳器，使之離開地面。問題是：在彈簧回復(fù)的過程中，踏板帶著人向

上運動，當(dāng)彈簧恢復(fù)到什么程度人會離開踏板？

人離開踏板前人與踏板運動細(xì)節(jié)如何？

777777777777

解析：顯然分離時人的加速度幾乎與踏板仍然一樣，隔離人，此時人加速度為g,說明踏板也是這個值，人和踏

板相互作用力N=0,隔離踏板知其受合力等于其重力，所以是在彈簧原長處分離。這個問題也可以用慣性力去解決。

講解的時候不妨多對熟知的結(jié)論（用向上的力拉地面上箱子，拉力等于重力時箱子離開地面）適用范圍作出描述，并

把這個問題向著原有情景類比，訓(xùn)練學(xué)生類比能力。

二.“輕物”動力學(xué)分析

反思：

“輕”是物理習(xí)題中經(jīng)常描述的詞，指的的質(zhì)量忽略不計的物體，這類物體動力特點很容易通過思考發(fā)現(xiàn)。大家

先不放思考一下：當(dāng)我們用一根輕繩拉一個物體加速前進(jìn)時，為什么我們對繩子的拉力等于繩子對物體的拉力？只

能用牛頓定律去解釋，而不能用力具有傳遞性之類的理論.

總結(jié)是：“輕”物體在動力學(xué)中的行為特征是

1.受的力以及力矩的特點：

2.運動特點：

牛頓運動定律定理對流體靜力學(xué)規(guī)律的拓展

流體力學(xué)是最古老的物理學(xué)之一，也是物理上在工業(yè)上后

一。在流體中使用牛頓運動定律比較復(fù)雜，比較容易想到的

是取一小片質(zhì)點為對象，受力分析，這個方法能處理一些不

考慮壓縮，靜態(tài)的流體問題。復(fù)雜的情況，我們以后會逐步

在各章介紹一些。由于在工業(yè)上的應(yīng)用廣泛，流體力學(xué)發(fā)展

成了一門體系龐大的，模型與方程眾多的獨立學(xué)科。大學(xué)的

物理系的同學(xué)也不會太深入學(xué)習(xí)。一般來說，具有物理能力

的人不太了解流體力學(xué)的應(yīng)用體系，熟悉方程的人又普遍缺

乏物理的思維能力。可以說，這方面我國的理論水平還遠(yuǎn)遠(yuǎn)

落后于發(fā)達(dá)國家，這些年我國在某些技術(shù)上有了些進(jìn)步，但

是理論上的差距才是真正是級別性的差距，因為不是所有的

公式都會公開發(fā)表的，還有很多問題等待我們同學(xué)將來去突

破。

海嘯

風(fēng)動實驗J20戰(zhàn)斗機(jī)著名空氣動力學(xué)家：錢學(xué)森（他講的是什么）

有個兩個簡單的原理要先交代一下：

1：對每一個流體質(zhì)元，其現(xiàn)對周圍流體靜止時受到的力都垂直與接觸面，這是由于流體之間無靜摩擦的原因,

可以看當(dāng)成流體的定義。

2：對無窮小質(zhì)元，忽略質(zhì)量力（重力與慣性力）后各個面的壓強(qiáng)處處一樣，這個證明很容易用微元法實現(xiàn)，這

里就不證明了。這個原理其實就是帕斯卡原理，但是初中課本上表述的帕斯卡原理完全無法在負(fù)責(zé)情況下應(yīng)用，這里

提醒大家不要用“液體能傳遞壓強(qiáng)之類”的樸素理論分析問題。

?知識點睛

恒力作用下勻變速運動動力學(xué)分析思路

動力學(xué)的兩類基本問題

應(yīng)用牛頓運動定律解決的問題主要可分為兩類：（1）已知受力情況求運動情況，（2）已知運動情況求受力情況.

分析解決這兩類問題的關(guān)鍵是抓住受力情況和運動情況之間聯(lián)系的橋梁——加速度.

基本思路流程圖：

基本公式流程圖為:

F<------------a<------------%,t，匕，x

▲A

1,

x=vt+-at

J-----<Q2

『ma匕z-%2=2“x

山

t2；

動力學(xué)問題的處理方法：

（1）正確的受力分析

物體進(jìn)行受力分析，是求解力學(xué)問題的關(guān)鍵，也是學(xué)好力學(xué)的基礎(chǔ).

（2）受力分析的依據(jù)

①力的產(chǎn)生條件是否存在，是受力分析的重要依據(jù)之一.

②力的作用效果與物體的運動狀態(tài)之間有相互制約的關(guān)系，結(jié)合物體的運動狀態(tài)分析受力情況是不可忽視

的.

③由牛頓第三定律（力的相互性）出發(fā)，分析物體的受力情況，可以化難為易.

解題思路

（1）由物體的受力情況求解物體的運動情況的一般方法和步驟.

①確定研究對象，對研究對象進(jìn)行受力分析，并畫出物體的受力圖.

②根據(jù)力的合成與分解的方法，求出物體所受合外力（包括大小和方向）.

③根據(jù)牛頓第二定律列方程，求出物體的加速度.

④結(jié)合給定的物體運動的初始條件，選擇運動學(xué)公式，求出所需的運動參量.

（2）由物體的運動情況求解物體的受力情況.

解決這類問題的基本思路是解決第一類問題的逆過程，具體步驟跟上面所講的相似，但需特別注意：①

由運動學(xué)規(guī)律求加速度，要特別注意加速度的方向，從而確定合力的方向，不能將速度的方向與加速度的方

向混淆.②題目中求的力可能是合力，也可能是某一特定的作用力.即使是后一種情況，也必須先求出合力

的大小和方向，再根據(jù)力的合成與分解知識求分力.

知識點睛

概念引入

1.動量

⑴定義：運動物體的質(zhì)量和速度的乘積叫做動量，p=mv.

⑵動量表征物體的運動狀態(tài)，是矢量，其方向與速度的方向相同，兩個物體的動量相同必須是大小相等、方向相

同.

2.動量的變化量

?^=P,-Po-

②動量的變化量是矢量，其方向與速度變化的方向相同，與合外力沖量的方向相同，跟動量的方向無關(guān).

③求動量變化量的方法：^p=p,-pv=mv2-mvt,\p=Ft

3.沖量

⑴定義：力和力的作用時間的乘積，叫做該力的沖量，l=Ft.

⑵沖量表示力在一段時間內(nèi)的累積作用效果，是矢量，其方向由力的方向決定，如果在作用時間內(nèi)力的方向不變,

沖量的方向就和力的方向相同.

⑶求沖量的方法：/=入（適用于求恒力的沖量）；/=即（適用于恒力和變力）.

—.動量定理

內(nèi)容：物體所受合外力的沖量，等于這個物體動量的變化量.

1合=Ft=p'-p=m（y'-v）

三.知識理解

1.動量變化△〃：不指動量大小的變化，仍然必須用矢量計算，這個量是衡量動量大小方向總變化的一個物理量,

大部分時候我們會把復(fù)雜的動量變化分解到幾個獨立的方向上進(jìn)行計算。

2.動量定理可以認(rèn)為是牛頓第二定律的過程式。

3.相互作用力的沖量等大反向。

4.對一個整體，內(nèi)力總沖量為零。

?知識點睛

閱讀：動量守恒的發(fā)現(xiàn)史

動量守恒是人類最早認(rèn)識到的守恒定律，也是最普遍成立的物理規(guī)律。人類很早就發(fā)現(xiàn)碰撞、沖擊等力學(xué)過程中有明顯的規(guī)律性，

但定量的描述這種規(guī)律卻很難。最早對碰撞現(xiàn)象做過研究的人是伽利略，他曾常識通過測量沖擊過程中的力去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，不過他未

能如愿。伽利略的這個研究思路來源于他對力學(xué)現(xiàn)象的一貫理解：力是造成運動狀態(tài)變化的根本原因。但在當(dāng)時的實驗條件下，去弄清

楚一瞬間的力顯然是不現(xiàn)實的。實際即使到現(xiàn)代物理學(xué)中，在實驗上嚴(yán)格定義和測量“力”也是不可能的。

1639年馬爾西通過實驗，發(fā)現(xiàn)了等質(zhì)量彈性球碰撞時一個有趣的現(xiàn)象：把一串等質(zhì)量的彈性球排成一條線，給其中一端的一個球初

速度，讓這個球去撞擊前方的球，結(jié)果這個球的速度最終傳給了另一端的球，而其它球都停了下來。雖然馬爾西的發(fā)現(xiàn)還非?！俺跫墶?，

但也極大的鼓勵其他科學(xué)家的研究熱情。后來的研究也集中到了對碰撞前后可測量物理量的分析上，而不再執(zhí)著于研究碰撞的過程中的

力。

馬爾西的碰撞實臉：炮彈在出膛后碰到靜止等質(zhì)量的鐵球后會停下來，把速度傳遞給最前方的鐵球，而且被撞擊的鐵球落地時射程

與不遇到任何障礙的炮彈射程一樣。

后來在笛卡爾，惠更斯以及馬略特等人的不懈努力下，總算找出了孤立體系（不考慮外界作用的的物體或物質(zhì)構(gòu)成的體系）動量守

恒的方程。并最終由牛頓對整個研究做了總結(jié)，這就是我們后來知道的牛頓第三定律：即在運動過程中物體間的相互作用也是等大反向

并同時進(jìn)行的。在牛頓力學(xué)中，動量守恒可以看成牛頓定律的一個推論。

馬略特通過小球擺起的高度來標(biāo)識的球速高中實臉室通過小球的水平射程來標(biāo)識球速

現(xiàn)代物理的發(fā)展揭示了牛頓力學(xué)的局限性，在微觀以及接近光速的情況下，牛頓力學(xué)中概念體系完全崩盤，用牛頓力學(xué)完全無法理

解和預(yù)言微觀以及高速下的物理現(xiàn)象。按說一度被視為牛頓定律推導(dǎo)式的動量守恒應(yīng)該也不成立了，不過實驗卻發(fā)現(xiàn)，在微觀以及高速

情況下，孤立體系的動量守恒依然是精確成立的。動量守恒定律在物理學(xué)中的地位一下子行情暴漲，和牛頓定律來了次上下級對調(diào)，成

了宇宙最基本的運行定律之一。

從講義后文中的牛頓推導(dǎo)過程我們可以看出：牛頓用力的概念去理解動量守恒的實驗結(jié)果，其實是又引入了“不同參考系時空間一

致”以及“能從實際世界中隔離出一個有精確質(zhì)量的物體”等假設(shè)，結(jié)果導(dǎo)致很普適的物理定律被牛頓局限化了。應(yīng)該說力的概念對于

理解宏觀低速時的動力學(xué)情景確實是實用的，否則我們就得從能量動量的角度用微擾法去理解，需要使用的數(shù)學(xué)方法就會復(fù)雜的多。從

科普的角度，“力”的概念至關(guān)重要，它符合人的直覺的模糊思維，顯得“形象簡明”，而且有“切身感受二但是從嚴(yán)格的物理邏輯出發(fā),

我們說，正是由于引入了“力”的概念，才導(dǎo)致近代物理學(xué)一開始就走入了一條越走越窄的死胡同。執(zhí)著于用“力”解釋一切的人，一

般會覺得現(xiàn)代物理不是真正的物理，而是一堆神經(jīng)病的數(shù)學(xué)家入侵物理研究時玩的符號游戲。

我們不妨回頭去看看當(dāng)初我們從馬爾西實驗中獲得的教訓(xùn)，實驗上能測量的就是物體作用前后的動量，所以邏輯上根本沒必要也不

應(yīng)該去額外定義一個“力”的概念。如果說要考慮實驗對象受的作用，直接用其動量的變化就可以衡量了，這正是現(xiàn)代物理學(xué)對力的定

義（力是動量隨時間的變化率）。

1927年，玻特和貝克用a粒子（高速的氮原子核）轟擊金屬鉞時，發(fā)現(xiàn)了一種穿透力很

強(qiáng)的中性射線。1932年查德威克用這種射線去轟擊氮原子核，并通過類比彈性球碰撞

的理論計算出這種射線其實是質(zhì)量約等于質(zhì)子質(zhì)量的中性粒子，這就是多年前盧瑟福

大神預(yù)言的中子。由于查德威克的發(fā)現(xiàn)中子的貢獻(xiàn)，他獲得了1935年的諾貝爾獎。（溫

馨提示：要想拿諾獎，打入頂級物理學(xué)家的團(tuán)伙是省力省距離的好辦法

沃爾夫?qū)?泡利（1900?1958）,性格犀利，言辭更犀利的天才級物理學(xué)家。1930年，泡利在研

究。袤變（原子核內(nèi)中子變成質(zhì)子并輻射出電子的現(xiàn)象）輻射能量連續(xù)的問題時，發(fā)現(xiàn)一個令他糾

結(jié)的事，要么。衰變中能量與動量不再守恒，要么是還存在著一種用當(dāng)時一切探測儀器也無法探測

到的“鬼粒子”，他果斷選擇了后面一種判定，這種粒子就是一直到今天依然困擾著理論物理學(xué)家的

“中微子（中微子早在1956年被實驗證實存在，但關(guān)于中微子的很多實驗結(jié)論卻總是出人意料，

比如最近又爆出測出中微子速度超光速的現(xiàn)象，這讓相對論受到前所未有的挑戰(zhàn)）。

相對論中的雷人結(jié)論:一個靜止時為質(zhì)量

為m的物體，一旦速度變?yōu)?質(zhì)量變?yōu)椋?/p>

即運動的物體質(zhì)量比靜止時大，原因是相互作用過程中動量和質(zhì)量守恒。

--動量守恒定律的推導(dǎo)：

【概念梳理】

系統(tǒng)：我們通常把研究對象有多個物體統(tǒng)稱為一個系統(tǒng)。

內(nèi)力：系統(tǒng)中各物體之間的相互作用力叫做內(nèi)力。

外力：外部其它物體對系統(tǒng)的作用力叫做外力。注意在高中的力學(xué)問題中重力永遠(yuǎn)是外力，因為高中范圍內(nèi)的問題

中我們不會把物體和地球取做一個系統(tǒng)。

推導(dǎo)

如圖所示，兩個物體在碰撞的過程中，它們發(fā)生的形變不斷變化，因此它們之間的相互作用力是變力，取其平

均值，作受力分析圖，對小球1和小球2分別使用動量定理，如式（1）和式（2）,再根據(jù)牛頓第三定律列式（3）

F-?

則有：

mv

Ft=加1M-\\

F't=m2v'2-m2V2

F=-F'

mv

變形得:仍巧+m2V2—\\+“%

這就是動量守恒定律：要注意從動量守恒定律在牛頓力學(xué)范圍內(nèi)看起來是牛頓定律的推論，實際它適用的范圍

是廣于牛頓定律的，在高速作用和微觀狀態(tài)中，牛頓定律早已經(jīng)不在成立，但是動量守恒認(rèn)嚴(yán)格成立。這里的“推

導(dǎo)”其實是牛頓式的推導(dǎo)。

動量守恒運用總結(jié)

（1）內(nèi)容：相互作用的物體，如果不受外力作用，或它們所受的外力之和為零，它們的總動量保持不變.％=（）p=p'

或僧]匕+m2v2=mxv,'+m2v-,,

（2）動量守恒定律的研究對象是兩個或兩個以上物體所組成的系統(tǒng).

（3）動量守恒定律的三種使用條件是：

a：系統(tǒng)不受外力或所受的合外力為零.這種情況可以叫“嚴(yán)格守恒”。

b：系統(tǒng)所受的合外力不為零，但在某一方向上合外力為零，則在此方向上系統(tǒng)的動量守恒.這種情況可以叫“分

量守恒”。

c：系統(tǒng)所受的合外力不為零，但系統(tǒng)內(nèi)各物體作用的內(nèi)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于系統(tǒng)所受的合外力，例如碰撞、爆炸、打

擊、反沖運動等現(xiàn)象，如果在作用時間很短時均可認(rèn)為內(nèi)力很大，此時系統(tǒng)內(nèi)各物體的動量變化主要是由內(nèi)力引起

的，外力的沖量可以忽略，這種情況可以叫“近似守恒”。

?知識點睛

三.動量守恒的動力學(xué)理解：

從牛頓第二的整體式出發(fā)我們可以推導(dǎo)出動量守恒定律的質(zhì)心式，我們知道，質(zhì)心的坐標(biāo)式為：

X；加內(nèi)+…+型氏（變化式為:X，加2AX2.?,+-”?，，）

n\+m2—\-mn'+m2—\-mn

又位置對時間的變化率為速度V=竺Ar

那么由上式可得匕=+…+駕即：質(zhì)心的速度等于總動量與總質(zhì)量的比.

叫+叫.??+機(jī)〃

又速度對時間的變化率為加速度a=包

△t

EH

那么由上式可得ac=——2——

m]+m2—\-mn

由牛頓第二定律得ZE=m}a[+m2a2---+mnall^；系統(tǒng)的合力與總質(zhì)量決定質(zhì)心處加速度。動量守恒的條件

是合外力為零，那么動量守恒的體系質(zhì)心加速度為零，即質(zhì)心處于勻速或者靜止態(tài)。

?知識點睛

曲線運動中的加速度

我們研究曲線運動，運用的坐標(biāo)系不同，加速度分量式是不同。物理學(xué)研究的時候根據(jù)研究問題的特點不同，采

用的坐標(biāo)系經(jīng)常不一樣，比如直角坐標(biāo)系，自然坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系，球坐標(biāo)系，注坐標(biāo)系等，在高一暑假的講義上,

我們曾經(jīng)鋪墊過一些，本講繼續(xù)討論。

在普通的直角坐標(biāo)系中，分加速度容易理解，每個坐標(biāo)方向相互獨立。

記為：

_Av

cix----v

-Avv

ay=——

N

-Av,

。二=---

△t

對應(yīng)的動力學(xué)方程就是牛頓定律分量式，具體的應(yīng)用參考我們對于拋體以及恒力曲線運動的處理，這個方法比

較適合恒力作用下的曲線運動。由于淺顯易懂，本講不再重復(fù).

1.自然坐標(biāo)系以及加速度分量

除了直角坐標(biāo)系以外，我們還經(jīng)常會用自然坐標(biāo)系研究加速度。有一類曲線運動是在已知軌道上進(jìn)行的，這時,

可以在軌道上任取一參照點。，這樣就可以在軌道上用到。的距離來表示運動方程。這就是自然坐標(biāo)，實際初中

物理中的勻速率運動公式5=以就是這個坐標(biāo)系中的方程。

我們把運動方向叫切向，垂直運動方向叫法向。對應(yīng)的，每個方向的加速度叫切向加速度，與法向加速度。下

面用數(shù)學(xué)推導(dǎo)相應(yīng)的加速度。當(dāng)質(zhì)點做曲線運動時，一般速度的大小和方向都在變化。為計算P位置加速度，將速

度增量Au分解為與02平行的分量和馬垂直的分量△區(qū)，如圖：

質(zhì)點在P的加速度為

Av,

a=lim-----=lim+lim

A/->OArA/->O△tA/—>O△t=?+4

其中“r，。〃就是切向加速度和法向加速度。其中法向加速度又有規(guī)律：

易從相似三角形得：an=也=<yv.

其中R為P位置的“曲率半徑”，

2

由于0=一.所以還有：a=cov-CO2R=—

R"R

如果物體做圓周運動，這個加速度又叫向心加速度，向心加速度的規(guī)律最早由惠更斯在研究勻速圓周運動時發(fā)

現(xiàn)?；莞拱l(fā)現(xiàn)：做勻速圓周運動的物體，其受合外力總是正比于物體質(zhì)量，正比于物體速度平方，反比于其圓軌

道半徑。記為：

F這就是高中教材上的圓周運動向心力定理。

"R

應(yīng)該說這個結(jié)論還是很實用的，雖然只是我們推論中的一個特殊情況。

由于暫時我們的同學(xué)對于向量微分的運算還不了解，為了把上述推導(dǎo)在極坐標(biāo)系里推廣，必須把自然坐標(biāo)系的

計算結(jié)果做一個形象的總結(jié)。

【總結(jié)】

（1）改變一個速度的大小的加速度分量與速度共線，由速度大小變化率決定。

（2）改變一個速度方向的加速度與該速度垂直指向旋轉(zhuǎn)的內(nèi)側(cè)，大小正比于速度與角速度乘積。

利用以上推論我們引入極坐標(biāo)里的加速度

2.極坐標(biāo)系以及加速度分量

極坐標(biāo)以到參考點。（又叫極點）的距離0以及到參考射線（極軸）的夾角。來描述平面內(nèi)的點（0,e）,

其數(shù)學(xué)優(yōu)點是某些平面坐標(biāo)系里的很復(fù)雜的曲線方程很簡單（比如以極點為圓心的圓的方程為°=R）。極坐標(biāo)在

物理上的優(yōu)勢是描述一些既沿著徑向運動，又繞著固定點的旋轉(zhuǎn)的運動比較直觀。

比如橢圓軌道衛(wèi)星的運動，我們關(guān)心衛(wèi)星到地面高度以及方位角。又比如我們以前學(xué)習(xí)運動關(guān)聯(lián)時候用繩子或

桿銜接的物體，既有徑向速度，又有轉(zhuǎn)速。都比較適合極坐標(biāo)，如圖：

水平向左運動的物體B的速度分解為沿著繩子的分量力以及垂直繩子的轉(zhuǎn)速也，根據(jù)自然坐標(biāo)系得到的加速

度計算原理：

1.在繩子方向（徑向）上一共是兩個加速度，一個改變以大小，與拉繩子的加速度大小一致，另一個改變匕方

2

向，大小〃=上」。

RAB

2.在垂直繩子方向（垂向，注意不是切向）也有兩加速度，一個改變匕大小，另一個改變以方向，注意這個

2

加速度不等于，而等于丫3=乜這。

RABRAB

專業(yè)的力學(xué)教材還會對這些加速度中的某些項取一堆形象的名字方便記憶，比如著名的科里奧利加速度，平面

系5個加速度等。由于這個加速度過于依賴向量微分的理解，這里就不引入了。

期望著以上的討論能引起同學(xué)們對于向量代數(shù)甚至向量微積分的興趣，因為很復(fù)雜的物理情景理解問題在向量

微積分里可以簡化為幾個簡單的算符。

物理競賽的教學(xué)一種灌輸一種觀點，那就是方程是最美最高效率的物理語言。開始喜歡上物理的同學(xué)一

般都是因為物理對現(xiàn)實的超理性理解。但多數(shù)喜歡物理的人進(jìn)入大學(xué)后都容易對脫離實際現(xiàn)象的數(shù)學(xué)運算產(chǎn)生排斥

感和畏懼感，希望同學(xué)們盡量的克服。一旦我們弄懂一個方程運算可以處理的實際情景之廣泛，就會瘋狂的喜歡上

這種方程。方程會讓我們對眾多的問題有一個統(tǒng)一的觀點，方程會讓我們需要記憶的量以及概念辨析的量減少為最

少。

從現(xiàn)實的角度，很多喜歡物理而且具備很高物理直覺天賦的同學(xué)最終在學(xué)習(xí)物理的過程中被郁悶，基本都是因

為不適應(yīng)物理的數(shù)學(xué)描述方式。我們提倡數(shù)理結(jié)合一起理解物理的教學(xué)觀點也是希望更早的開始幫助我們同學(xué)克服

上述困難。同學(xué)們要在科學(xué)道路上走的更高更遠(yuǎn)，與其被數(shù)學(xué)語言虐，不如學(xué)會去享受它。

當(dāng)然如果我們學(xué)習(xí)物理只是作為科學(xué)知識去了解物理一下，物理確實不需要過多的數(shù)學(xué)語言去表達(dá)它。即便從

概念以及邏輯思辨的角度去學(xué)習(xí)物理，物理也是很美麗很迷人的，因為他可以幾乎可以無限的滿足人先天本能中那

種無法抑制的探索欲與求知欲。

?知識點睛

一.功

物體在外力作用下，在力的方向上發(fā)生了一段位移，則外力對物體作功。功表征了力對空間的累計效應(yīng)。

1.恒力做功

在恒力產(chǎn)作用下質(zhì)點沿直線發(fā)生了一段位移則在此過程中，力對質(zhì)點所做的功按以下計算:

W=FA/cos0

其中6為尸與△/的夾角。這個公式記為矢量的點乘式為：

W=F-M

功的單位為焦耳(J),其中L7=lN-m

注意：

①功為標(biāo)量，但有正負(fù)：

(6?e(0,-),cos^>0JK>0力對物體做正功;

2

7t

《e=—,cos8=0"，=0力對物體不作功:

9

、（工、萬）,cosHvOJP<0力對物體做負(fù)功

4

②多個力對物體作功，等于各力對物體作功的代數(shù)和。

證明：W=ZQA/=(耳+6++/)?△/=叱+叱++叫=>^叱

③功的計算式中位移是受力質(zhì)點作用點的參考系位移0

1.如圖：拉力F對球做功等于打,但彈簧對墻做功為0。

2.如圖：一子彈射入一個可以自由移動的木塊，設(shè)相互作用大小為F,則：

子彈隊木塊做功：FS

木塊對子彈做功：-F〃+5)

這樣的定義必然導(dǎo)致相互作用力的總功不一定為零，這和相互作用力沖量很不一樣，所以當(dāng)我們對于一個系統(tǒng)

進(jìn)行功的計算時，必須考慮內(nèi)力。恒定的相互作用力的總功為皿=齊萬，其中d為相對位移。功的定義導(dǎo)致功的計算

依賴參考系的選取，但是相互作用力的總功與參考系的選取無關(guān)。中學(xué)階段只要不刻意強(qiáng)調(diào)，功指的都是對地的功。

④易證明恒力做功與軌跡無關(guān)，只取決于恒力方向上的位移。

如軌跡為曲線，可以把曲線看成無窮多段，如圖，設(shè)恒力碓用下一物體，從。位置運動到6位置,把軌跡分成無

窮段，分別為△//A/2.A/3-

整個過程中做功為

W=F-\lx+F-A/9+F?A/3???=F?A/g=F2F

其中△。為尸方向上位分位移，與尸同向取正，反之取負(fù)。

實例:

如圖，用水平恒定的拉力尸，把一個質(zhì)量為根的球拉至新位置，拉力做功為列，重力做功為機(jī)g/l。

2.變力做功

微元思想給出了變力做功的計算方法，無限分割路徑，以直線段代替曲線段，計算每一小段功，累加即可，可以把

功當(dāng)做力對路徑的路徑積分。

作出尸cos。/的函數(shù)圖像，曲線與橫軸所圍面積表示功的大小:

八尸cos。

如圖：彈性系數(shù)為k的彈簧，在彈力的作用下，從距原長為X。收縮到X,作出彈力隨著位移的函數(shù)圖象，規(guī)定向右

為正。圖中陰影部分面積為彈簧對物體做功。

由面積公式：△卬=《此-；區(qū)2

3.功率

單位時間做功為功率，用字母尸表示，則功率定義式為:

pl

Ar

其中△，代入總時間則計算得平均功率，△/趨近于零則計算為瞬時功率，瞬時功率還可用uncos。計算，其

中《為F與v夾角。

4.功與動能

計算功的目的是什么？功也是力的一種效果，定性的可以想到一定也是改變了與物體運動狀態(tài)有關(guān)的一個物理量

。以下我們用微元法推導(dǎo)，做功過程中一個重要原理：動能定理。

b

假設(shè)一個物體在外力產(chǎn)作用下，由。運動到兒速度由陽變化為打，把整個軌跡等分成很多的△/,

對一段，由于軌跡很短，可以看為勻變速直線運動，由牛頓第二定律:

匹cos^=mc\

22

T7匕一%

又4=-———

2%

易得：△%=F]?COS4=；m（匕2—％2）

co22

則同理有△%=F2?△/2s02=ym（v2-v,）

2

△嗎=K,8s。3=g〃Z（匕2-V2）

2

△W.T=Ei?△/,-8se“T=gm（v；-Vn.,）

22

△W"=",M8sen=gm（v,-v?）

疊加得Z△叱（匕2一%2）

1,

我們定義一個質(zhì)量為根的物體以速度為V的物體具備的一個狀態(tài)量一根后,叫一個物體的動能，用字母及表示，記

2

為：Ek--mv~

2

上述推導(dǎo)結(jié)論可以表達(dá)為，一個物理做成中外力對某質(zhì)點做功等于其動能增加量，這個原理叫質(zhì)點動能定理。

對于質(zhì)點組的情況，只需要把多個質(zhì)點的方程疊加即可，注意質(zhì)點組之間的相互作用總功在疊加過程中不一定能

消去（內(nèi)力總功不一定為零），那么質(zhì)點組動能定理可表達(dá)為：

%+%、=AEK|+AEK2…

即內(nèi)力與外力總功等于系統(tǒng)總動能變化。

當(dāng)人從地面上跳起過程中，地板對人的力作用于腳上，起跳過程中：至然身體重，。在上弁;但是腳沒有上升，所

以地面未對人做功，對人做正功的只能是人自身的內(nèi)力（肌肉對骨骼的力，不是武俠小說中的內(nèi)力），導(dǎo)致人加速上

升。而跳水的時候，情況正好相反，跳板對人做功導(dǎo)致人加速上升。

從以上實例中我們應(yīng)該看到，分析同一個事件，牛頓定律認(rèn)為是地面對人的支持力導(dǎo)致人產(chǎn)生向上的加速度，但

動能定理卻認(rèn)為是人自身的內(nèi)力導(dǎo)致人動能增加。由于方程的不同，導(dǎo)致解釋時的描述不同。

?知識點睛

—.勢能

運動的物體具備一種做功的本領(lǐng)，我們上講定義其為動能。那么是否靜止的物體也可以具有做功的本領(lǐng)呢？回

答顯然是肯定的，比如被舉高的重物，形變后的彈簧等。為了研究這些現(xiàn)象，我們有必要拓展能量的定義。

我們把一個物理過程中，做功數(shù)值與路徑無關(guān)的力叫保守力。若兩質(zhì)點間存在著相互作用的保守力作用，當(dāng)兩

質(zhì)點相對位置發(fā)生改變時，不管途徑如何，只要相對位置的初態(tài)、終態(tài)確定，則保守力做功是確定的。

存在于保守力相互作用質(zhì)點之間的，由其相對位置所決定的能量稱為質(zhì)點的勢能。規(guī)定保守力所做功等于勢能

變化的負(fù)值，即：

“粉=-AEp?

說明：勢即位也，勢能這個定義，顧名思義顯然就是與物體間位置有關(guān)的能量，所以要引入保守力的概念。計

算勢能時，還要注意以下幾點：

（1）勢能的相對性。

通常選定某一狀態(tài)為系統(tǒng)勢能的零值狀態(tài)，則任何狀態(tài)至零勢能狀態(tài)保守力所做功大小等于該狀態(tài)下系統(tǒng)的勢

能值。原則上零勢能狀態(tài)可以任意選取，因而勢能具有相對性。

（2）勢能是屬于保守力相互作用系統(tǒng)的，而不是某個質(zhì)點獨有的。

（3）只有保守力才有相應(yīng)的勢能，而非保守力沒有與之相應(yīng)的勢能。

常見的幾種勢能

（1）重力勢能

在地球表面附近小范圍內(nèi)，mg重力可視為恒力，取地面為零勢能面，則力高處重物機(jī)的重力勢能為

Ep=mgh

（2）彈簧的彈性勢能

取彈簧處于原長時為彈性勢能零點，當(dāng)彈簧伸長（壓縮）x時，彈力F=-丘，彈力做的功為

W=--kx2

2

由前面保守力所做功與勢能變化關(guān)系可知

W=-AEP=_（昂-0）

所以：E彈=；依2

（3）引力勢能

質(zhì)點間的引力勢能為E0=-2處（選取無窮遠(yuǎn)為零勢能面）

r

關(guān)于萬有引力的規(guī)律我們將在以后的講義中具體講解，這里列出這個公式是提醒同學(xué)們：重力勢能公式是引力

勢能在近地附近的近似，如果一個物體被舉高10根，那么重力勢能可以用，”g/z近似計算，如果物體被舉高1000b”,

那么重力勢能公式必須用Ep=-g皿計算了。

r

中學(xué)物理定義動能，重力勢能以及彈性勢能統(tǒng)稱為機(jī)械能（這個定義和普物有些不同，閱讀大學(xué)物理的同學(xué)注

意一下。由于機(jī)械能是個無關(guān)緊要的概念，所以不必較真）。

--其它形式的能量

除了機(jī)械能，物理學(xué)研究的現(xiàn)象中還涉及內(nèi)能，光能，電磁能，化學(xué)能，核能等。能量的定義體系很亂，有些

是從應(yīng)用的角度按表征定義的，比如風(fēng)能，水能，潮汐能等。所有能量的本質(zhì)都是四種自然作用的體現(xiàn)，比如彈性

勢能與內(nèi)能的本質(zhì)都是分子間電磁作用，所以我們能觀察到實際的彈簧被拉長后溫度降低（因為分子間相互作用做

負(fù)功，分子熱運動動能變少）被壓縮后溫度升高的現(xiàn)象。力學(xué)中闡述的彈性勢能是一種理想情況。

在以后的物理學(xué)習(xí)過程中，我們會逐步的對每種能量的標(biāo)度越來越清晰。本講只定性的給出每種能量的定性介

紹。

內(nèi)能：由于物體內(nèi)部大量分子熱運動以及相互作用具有的能量。宏觀可觀測的內(nèi)能標(biāo)志是溫度，以及形狀，在理論

上的完全恢復(fù)的彈性形變中，不考慮內(nèi)能變化。機(jī)械能變?yōu)閮?nèi)能最常見的形式為滑動摩擦與不可恢復(fù)形變。后面的

講義會推導(dǎo)兩種情況下內(nèi)能與機(jī)械能轉(zhuǎn)化的模型。

光能：由光的頻率以及光子數(shù)（構(gòu)成光的一份能量叫一個光子）決定的能量。

電磁能：具體體現(xiàn)形式很多，比如靜電勢能，電流能，磁能，電磁波能等，由于光也可以看做電磁波，所以可以認(rèn)

為光能本質(zhì)也是電磁能，當(dāng)然也可以倒過來。

化學(xué)能：化學(xué)反應(yīng)中吸收或者釋放出來的能量，本質(zhì)也是電磁作用能。

核能：在核反應(yīng)中才能釋放和吸收的能量。

以上定義都是經(jīng)驗的，直觀的定義法，分別有具體的實驗對應(yīng)。現(xiàn)有的理論認(rèn)為，測量能量本質(zhì)的方法是測量

質(zhì)量，根據(jù)是著名的E=,"C2（這個公式在以后的講義推導(dǎo)），質(zhì)量可以根據(jù)引力，慣性等標(biāo)度。

關(guān)于能量與質(zhì)量高度等效其實不難理解，我們需要做的只是觀念的轉(zhuǎn)變。比如高溫物接觸低溫物，主要是高溫物把紅外光子輻射

給了低溫物（熱傳遞一共有三種形式：傳導(dǎo)，對流，輻射。傳導(dǎo)與對流的本質(zhì)是因為物質(zhì)分子周圍電磁場接近，所以產(chǎn)生了非球?qū)ΨQ

的輻射），那么高溫物物質(zhì)變少了，所以高溫物內(nèi)能以及質(zhì)量都變少了。比如氧氣與氧氣燃燒，生成水并輻射出光能，那么生成的水比

反應(yīng)前的氫氧總質(zhì)量少了。一個同學(xué)把落地的筆撿起來，那么人通過手部的分子電磁場接近筆的分子電磁場把電磁能傳遞給了筆，筆

與地球體系總引力勢能變多則其質(zhì)量變多。不過以上現(xiàn)象由于質(zhì)量變化都很少所以實際測量比較困難而已。物質(zhì)的本質(zhì)是質(zhì)量，或者

說能量，我們得為老愛因斯坦的工作喝一聲彩，他給了我們對現(xiàn)有的一切現(xiàn)象統(tǒng)一簡潔的描述。

四.能量守恒與機(jī)械能守恒

自然界的各種能量的總和在一切變化過程中保持不變，只能由一個物體轉(zhuǎn)移給另一個物體，由一種形式轉(zhuǎn)變成

為另一種形式，這就是能量守恒定律。能量守恒定律發(fā)現(xiàn)的過程比較曲折，最初由各個學(xué)科的科學(xué)家分別在力學(xué)，

熱力學(xué)，生理學(xué)，電學(xué)等學(xué)科分別提出能量守恒的具體表達(dá)，后來由焦耳等科學(xué)家完成能量守恒的總結(jié)。

物理表達(dá)中，能量守恒的適用對象必須為孤立體系（這一點和動量守恒一致），如果有外界作用，那么外界會

對體系內(nèi)輸入或者輸走能量。能量轉(zhuǎn)移的過程意味著有做功的過程，做功是能量轉(zhuǎn)移轉(zhuǎn)化的過程。

總的來說，能量守恒定律可以稱為物理學(xué)建立以來最受物理學(xué)家信任的物理定律。在科學(xué)史上，人類經(jīng)常會發(fā)

現(xiàn)已定義的能量不守恒的現(xiàn)象，這時候物理學(xué)家們就會把能量的定義拓展一下，定義一種新的能量形式，能量守恒

定律就又完美了。最經(jīng)典的案例莫過于焦耳用內(nèi)能的定義代替熱質(zhì)理論的成就（這段科學(xué)史比較普及，這里就不介

紹了）。

很多同學(xué)看完這段會覺得這樣的物理定律比較扯淡，有點像那個“史上最無敵的真理”一“三切事物都星充盾統(tǒng)二.的"在解釋

個餓.工的，人吃了面.包肚.子就飽了.”時使用的邏輯一“餓和飽是一對矛盾，面包和人是一對矛盾，人吃了面包，結(jié)果就矛盾統(tǒng)一了”！

只要對所發(fā)表言論中的概念不做清晰定義并保有最終解釋權(quán)，那么這個世界永遠(yuǎn)偉大光榮正確的理論會無處不在。比如我們就可以說

“報物理競賽班的同學(xué)其實都是加e的”。

不過物理畢竟不是扯淡理論，關(guān)于能量的理解會伴隨我們同學(xué)學(xué)習(xí)研究物理的終身。基本從3歲開始，我們看到咸蛋超人胸前紅

燈嘟嘟直閃，就認(rèn)識到那種對于超人來說都至關(guān)重要的東西原來叫能量。中學(xué)的時候，身處題海戰(zhàn)的我們被迫的開始運用能量守恒去

計算習(xí)題中的未知數(shù)。再后來，通過對相對論的推導(dǎo)，我們會意識到能量與質(zhì)量的等效性，這時我們才真正的對能量有了清晰的認(rèn)知。

再到后來，我們的同學(xué)在科研工作中自覺的運用能量守恒分析實驗的數(shù)據(jù)?？梢哉f，能量是這顆行星上的智慧生命普及度最高的專業(yè)

概念，雖然每個人對其理解深度不一，但是都在自覺不自覺的運用能量的概念在思維和判定。

在學(xué)習(xí)能量守恒的過程中我們同學(xué)會認(rèn)識到物理學(xué)的終極目標(biāo)：用更少的概念去描述更多的觀測規(guī)律，并對沒有觀測到過的現(xiàn)象

進(jìn)行預(yù)言。從這個角度，我們應(yīng)該意識到焦耳的工作是高度有效的，因為他讓后來同學(xué)在學(xué)習(xí)中學(xué)物理時少背了一套理論，讓我們對

熱效應(yīng)的思考時少用了很多步驟?？尚Φ氖菬o知的人理解物理學(xué)發(fā)展的過程老是用“真理戰(zhàn)勝愚昧”來理解。比如國內(nèi)的一些學(xué)者寫

的科普讀物中就這么贊美焦耳，“熱質(zhì)是錯誤的假想的物質(zhì)，在焦耳的實踐斗爭中被推翻”。其實稍微懂點現(xiàn)代物理的人都應(yīng)該知道，

熱質(zhì)學(xué)說很有道理啊，熱質(zhì)不就是現(xiàn)在說的光子么，只不過在當(dāng)時熱質(zhì)說還只是個唯像理論。

作為能量守恒的特例，當(dāng)一個系統(tǒng)除了速度，高度，形變以外沒有其它物理參數(shù)變化時，自然機(jī)械能守恒，根

據(jù)動能定理以及勢能的功能關(guān)系，我們可以推導(dǎo)得出機(jī)械能守恒的力學(xué)條件。

對于一個質(zhì)點系，由動能定理：

%+畋=匯出

又重力做功％=-AEp

系統(tǒng)內(nèi)彈簧對質(zhì)點總功嗎單=一△￡彈

這兩個功在方程的左邊，把它們移項到右邊，則有

%?=莊K△^彈

左邊為除重力以及系統(tǒng)內(nèi)彈簧以外其它一切力做功，右邊為機(jī)械能變化量。這個方程又叫功能原理.其推論是:

如果一個系統(tǒng)除重力以及系統(tǒng)內(nèi)部彈簧彈力功以外，其它力總功任意時段都為零，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒。

這個表述雖然看上去嚴(yán)格，但是其實基本不實用，因為計算系統(tǒng)內(nèi)力做功顯然不是容易的事，多數(shù)我們還是從

沒有其他能量生成考慮機(jī)械能是否守恒。注意以上的推導(dǎo)和普物的不同，因為中學(xué)教材中對機(jī)械能定義的原因?qū)е隆?/p>

其次就是機(jī)械能顯然是對實際的一種理想近似。下面我們討論兩種常見的機(jī)械能與內(nèi)能轉(zhuǎn)化現(xiàn)象：

1.摩擦生熱

回顧上講中我們處理的一個模型：子彈擊穿木塊

自

一子彈射入一個可以自由移動的木塊，設(shè)相互作用大小為凡則：

子彈隊木塊做功等于木塊動能變化量：F.s-=AE^

木塊對子彈做功等于子彈動能變化：-F（s+l）=AE掰

疊加一下：-Fl=AE子彈+研穆:

這個方程可以解讀為摩擦內(nèi)力的總功為負(fù)，其值等于總動能變化量（也是負(fù)數(shù)）。但是從能量守恒的角度，我們會

發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)作用后總動能減少了，減少的能量轉(zhuǎn)變成什么形式的能量了呢？焦耳發(fā)現(xiàn)，子彈與木塊的溫度都上升了。這

說明系統(tǒng)的內(nèi)能增加了，通過測量，在摩擦內(nèi)力做功的過程中，系統(tǒng)增加的內(nèi)能總是正比于系統(tǒng)機(jī)械能減少量。這說

明內(nèi)能與機(jī)械能本質(zhì)是等效的，所以焦耳用機(jī)械能的量度一一力與距離的乘積衡量內(nèi)能。原子分子論建立起來后，內(nèi)

能有了明確的定義，就是大量微觀粒子總動能與勢能的總和。從上面的推導(dǎo)中可以看出，如果是通過滑動摩擦把機(jī)械

能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能（簡稱摩擦生熱）則生熱的數(shù)量可以用Q=力計算（/為相對路程）。

如圖為焦耳測量熱功當(dāng)量的實驗之一，重物的機(jī)械能通過螺旋槳與水之間的摩擦轉(zhuǎn)化為水的內(nèi)能，使水溫度上升

。虧損的機(jī)械能與水溫度升高量成簡單正比，證明內(nèi)能與機(jī)械能的本質(zhì)是一回事。早期物理學(xué)計量內(nèi)能的單位為卡路

里（記為cal,相當(dāng)于把/g的水升溫/℃需要的內(nèi)能），該實驗可測得1c”/的值約4.2J。這個實臉結(jié)果也可以理解

為：把一瓶礦泉水從距地面高0.42根的地方自由釋放，不考慮空氣阻力，水瓶落地后停下，即便生熱全被內(nèi)部的水吸

收，水也只升高0.001。匚這個現(xiàn)象很不明顯，所以一直沒有引起注意。

2.碰撞

動量失衡的學(xué)習(xí)過沖中我們知道質(zhì)量町和燒2的兩個物塊，在直線上發(fā)生對心碰撞，碰撞前后速度分別為馬。和

“20及匕和叱，碰撞前后速度在一條直線上，由動量守恒定律得到：班匕0+加2V20=犯匕+加2%

上述方程在預(yù)言結(jié)構(gòu)時候顯然是不完備的，原因是不同的材料碰撞過程中能量變化不同，根據(jù)碰前后是否生熱，

生熱的不同我們可以把碰撞分為：

（D彈性碰撞

在碰撞過程中沒有機(jī)械能損失的碰撞稱為彈性碰撞，由動能守恒有

12,1212,12

5g4。+/m2V2。=］叫匕+,飛嗎

結(jié)合動量守恒解得

對上述結(jié)果可作如下討論

①g=加2,則%=匕0,%=90,即,%〃”交換速度，這便是最初馬爾西惠更斯他們得到的認(rèn)識。

②若叫>>加2,且有％）=°,則％"%。，%"2%即質(zhì)量大物速度幾乎不變，小物以二倍于大物速度運動。

③若犯<<加2,且％=°,則4=一40,眩"°,則質(zhì)量大物幾乎不動，而質(zhì)量小物原速率反彈。

（2）完全非彈性碰撞

兩物相碰粘合在一起或具有相同速度，被稱為完全非彈性碰撞，在完全非彈性碰撞中，系統(tǒng)動量守恒，損失機(jī)械

能最大。

網(wǎng)v10+m2v20=（町+m?）v

mjVI0+m2v20

mx+m2

碰撞過程中損失的機(jī)械能為

222

AE=—m}v10+—m2v20——(m]+m2)v

（3）一般非彈性碰撞，恢復(fù)系數(shù)

一般非彈性碰撞是指碰撞后兩物分開，速度匕"功，且碰撞過程中有機(jī)械損失，但比完全非彈性碰撞損失機(jī)械能

要小。物理學(xué)中用恢復(fù)系數(shù)來表征碰撞性質(zhì)?；謴?fù)系數(shù)e定義為

e=匕-匕

'of

①彈性碰撞，

②完全非彈性碰撞丫2=%,e=0。

③一般非彈性碰撞OVeVl。

說明：

1.碰撞生熱的本質(zhì)是因為物體接近時分子間作用力導(dǎo)致分子平均距離先壓縮后恢復(fù)，有些材料分子相對位置穩(wěn)

定，所以幾乎能完全恢復(fù)。碰撞過程中分子熱運動動能不會增加，即不成熱。有些則分子相對位置很容變動形成新的

平衡點，碰撞時就不能完全恢復(fù)了，分子的熱運動動能就增加了，體現(xiàn)在宏觀上就是生熱了。

2.以上推導(dǎo)全是討論的一維的情況，對于速度與受力不共線的情況（即斜碰），只要分解后分別在法向與切向處

理即可。

如圖所示，設(shè)兩物間的恢復(fù)系數(shù)為e,設(shè)碰撞前機(jī)…加2速度為％。、%o,

其法向、切向分量分別為％0"、匕。"、"。「、％0r,碰后分離速度匕、V2,法向、

度分量匕"、%、乙、%,則有

若兩物接觸處光滑，則應(yīng)有“4、機(jī)2切向速度分量不變

若兩物接觸處有切向摩擦，這一摩擦力大小正比于法向正碰力，也是很大的力，它提供的切向沖量便不可忽略。

五.伯努利方程

圖表示一個細(xì)管，其中流體由左向右流動。在管的6處和“2處用橫截面

截出一段流體，即4處和由處之間的流體，作為研究對象。

%處的橫截面積為Si,流速為％,高度為4,4處左邊的流體對研究對

象的壓強(qiáng)為小，方向垂直于5向右。

外處的橫截面積為S2,流速為眩，高度為為，4處左邊的流體對研究對

象的壓強(qiáng)為必，方向垂直于$2向左。

經(jīng)過很短的時間間隔加，這段流體的左端Si由q移到仇。右端s?由移到打。兩端移動的距離分別為和

△4。左端流入的流體體積為△匕右端流出的流體體積為△匕=S2A應(yīng)理想流體是不可壓縮的，流入和

流出的體積相等，△%=△%,記為AV。

現(xiàn)在考慮左右兩端的力對這段流體所做的功。作用在液體左端的力片=凸’,所做的功

叫=片&1=P5&I=PAV。

作用在右端的力F?=P2s2,所做的功

W,-—/?,SA/=—/?,AV

-F2^l2=22

外力所做的總功

卬=叱+嗎=(P]-P2)AV

外力做功使這段流體的機(jī)械能發(fā)生改變。初狀態(tài)的機(jī)械能是6到“2這段流體的機(jī)械能￡1,末狀態(tài)的機(jī)械能是4到

么這段流體的機(jī)械能五2。由白到W這一段，經(jīng)過時間△，，雖然流體有所更換，但由于我們研究的是理想流體的定

常流動，流體的密度。和各點的流速u沒有改變，動能和重力勢能都沒有改變，所以這一段的機(jī)械能沒有改變，這樣

機(jī)械能的改變七一片就等于流出的那部分流體的機(jī)械能減去流入的那部分流體的機(jī)械能。

—

由于機(jī)=儂丫，所以流入的那部分流體的動能為21

重力勢能為mgl]=pglgV

~厘；八卜

流出流體的動能為

重力勢能為mgli=

2

E2-EI=gaE-V,)AV+pg(h-hgv

機(jī)械能的改變?yōu)?/p>

理想流體沒有粘滯性，流體在流動中機(jī)械能不會轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，所以這段流體兩