2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與擬合-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)(七十)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與擬合【原卷版】1．高為H，滿缸水量為V的魚(yú)缸的軸截面如圖所示，其底部破了一個(gè)小洞，滿缸水從洞中流出，若魚(yú)缸水深為h時(shí)水的體積為v，則函數(shù)v＝f(h)的大致圖象是()2．某區(qū)要從5名干部甲、乙、丙、丁、戊中隨機(jī)選取2人，赴區(qū)屬的某村進(jìn)行駐村工作，則甲或乙被選中的概率是()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(7,10)3．已知函數(shù)t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(N,100)))的圖象可表示打字任務(wù)的“學(xué)習(xí)曲線”，其中t(h)表示達(dá)到打字水平N(字/min)所需的學(xué)習(xí)時(shí)間，N表示打字速度(字/min)，則按此曲線要達(dá)到90字/min的水平，所需的學(xué)習(xí)時(shí)間是()A．144h B．90hC．60h D．40h4．一個(gè)球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當(dāng)它第10次著地時(shí)，經(jīng)過(guò)的路程是()A．100＋200(1－2－9) B．100＋100(1－2－9)C．200(1－2－9) D．100(1－2－9)5．在某市2022年3月份的高三線上質(zhì)量檢測(cè)考試中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布N(98,100)．已知參加本次考試的全市學(xué)生有9455人，如果某學(xué)生在這次考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)是108分，那么他的數(shù)學(xué)成績(jī)大約排在全市第()A．1500名 B．1700名C．4500名 D．8000名6．“今有城，下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》卷五中“商功”中的問(wèn)題．意思為“現(xiàn)有城(如圖，等腰梯形的直棱柱體)，下底長(zhǎng)4丈，上底長(zhǎng)2丈，高5丈，縱長(zhǎng)126丈5尺(1丈＝10尺)”，則該問(wèn)題中“城”的體積等于()A．1．8975×106立方尺 B．3．7950×106立方尺C．2．5300×105立方尺 D．1．8975×105立方尺7．(多選)若f(x)滿足f′(x)＋f(x)＞0，則對(duì)任意正實(shí)數(shù)a，下列不等式恒成立的是()A．f(a)＜f(2a) B．f(a)e2a＞f(－a)C．f(a)＞f(0) D．f(a)＞eq\f(f0,ea)8．某市出租車(chē)的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1．2元/km，起步價(jià)為10元，即最初的4km(不含4km)計(jì)費(fèi)10元．如果某人乘坐該市的出租車(chē)去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，需要支付車(chē)費(fèi)________元．9．已知定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，滿足f′(x)＞3，且f(3)＝4，則不等式xf(x)＞3x2－5x的解集為_(kāi)_______．10．在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10nmile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14nmile的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍(lán)方的小艇，若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α的正弦值．11．在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得5組成對(duì)數(shù)據(jù)，其數(shù)值及散點(diǎn)圖如下：x0．250．5124y1612521(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y＝a＋bx與y＝c＋k·x－1哪一個(gè)更適宜作為y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類(lèi)型；(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，試建立y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(計(jì)算結(jié)果保留整數(shù))(3)在(2)的條件下，設(shè)z＝y(tǒng)＋x且x∈[4，＋∞)，試求z的最小值．課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)(七十)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與擬合【解析版】1．高為H，滿缸水量為V的魚(yú)缸的軸截面如圖所示，其底部破了一個(gè)小洞，滿缸水從洞中流出，若魚(yú)缸水深為h時(shí)水的體積為v，則函數(shù)v＝f(h)的大致圖象是()解析：Bv＝f(h)是增函數(shù)，且曲線的斜率應(yīng)該是先變大后變小，故選B．2．某區(qū)要從5名干部甲、乙、丙、丁、戊中隨機(jī)選取2人，赴區(qū)屬的某村進(jìn)行駐村工作，則甲或乙被選中的概率是()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(7,10)解析：D從5名干部中隨機(jī)選取2人，共有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)這10種等可能方案，其中符合條件的有7種方案，∴所求概率為eq\f(7,10)．故選D．3．已知函數(shù)t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(N,100)))的圖象可表示打字任務(wù)的“學(xué)習(xí)曲線”，其中t(h)表示達(dá)到打字水平N(字/min)所需的學(xué)習(xí)時(shí)間，N表示打字速度(字/min)，則按此曲線要達(dá)到90字/min的水平，所需的學(xué)習(xí)時(shí)間是()A．144h B．90hC．60h D．40h解析：A由N＝90可知，t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(90,100)))＝144(h)．4．一個(gè)球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當(dāng)它第10次著地時(shí)，經(jīng)過(guò)的路程是()A．100＋200(1－2－9) B．100＋100(1－2－9)C．200(1－2－9) D．100(1－2－9)解析：A由題意，第10次著地時(shí)，經(jīng)過(guò)的路程是100＋2×(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×eq\f(2－1×1－2－9,1－2－1)＝100＋200(1－2－9)，故選A．5．在某市2022年3月份的高三線上質(zhì)量檢測(cè)考試中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布N(98,100)．已知參加本次考試的全市學(xué)生有9455人，如果某學(xué)生在這次考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)是108分，那么他的數(shù)學(xué)成績(jī)大約排在全市第()A．1500名 B．1700名C．4500名 D．8000名解析：A因?yàn)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布N(98,100)，則P(X>108)＝eq\f(1,2)[1－P(88≤X≤108)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈eq\f(1,2)×(1－0．6827)＝0．15865，而0．15865×9455≈1500，所以該學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)大約排在全市第1500名．故選A．6．“今有城，下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》卷五中“商功”中的問(wèn)題．意思為“現(xiàn)有城(如圖，等腰梯形的直棱柱體)，下底長(zhǎng)4丈，上底長(zhǎng)2丈，高5丈，縱長(zhǎng)126丈5尺(1丈＝10尺)”，則該問(wèn)題中“城”的體積等于()A．1．8975×106立方尺 B．3．7950×106立方尺C．2．5300×105立方尺 D．1．8975×105立方尺解析：AV＝eq\f(40＋20×50,2)×1265＝1897500＝1．8975×106(立方尺)，故選A．7．(多選)若f(x)滿足f′(x)＋f(x)＞0，則對(duì)任意正實(shí)數(shù)a，下列不等式恒成立的是()A．f(a)＜f(2a) B．f(a)e2a＞f(－a)C．f(a)＞f(0) D．f(a)＞eq\f(f0,ea)解析：BD設(shè)h(x)＝exf(x)，則h′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]，因?yàn)閒′(x)＋f(x)＞0，所以h′(x)＞0，h(x)在R上是增函數(shù)，因?yàn)閍是正實(shí)數(shù)，所以a＜2a，所以eaf(a)＜e2af(2a)，即f(a)＜eaf(2a)，又ea＞1，故f(a)，f(2a)大小不確定，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋璦＜a，所以e－af(－a)＜eaf(a)，即e2af(a)＞f(－a)，故B正確；因?yàn)閍＞0，所以eaf(a)＞e0f(0)＝f(0)，即f(a)＞eq\f(f0,ea)，又ea＞1，所以f(a)，f(0)大小不確定，故C錯(cuò)誤，D正確．故選B、D．8．某市出租車(chē)的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1．2元/km，起步價(jià)為10元，即最初的4km(不含4km)計(jì)費(fèi)10元．如果某人乘坐該市的出租車(chē)去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，需要支付車(chē)費(fèi)________元．解析：根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車(chē)的行程大于或等于4km時(shí)，每增加1km，乘客需要支付1．2元．所以可以建立一個(gè)等差數(shù)列{an}來(lái)計(jì)算車(chē)費(fèi)．令a1＝11．2，表示4km處的車(chē)費(fèi)，公差d＝1．2，那么當(dāng)出租車(chē)行至14km處時(shí)，n＝11，此時(shí)需要支付車(chē)費(fèi)a11＝11．2＋(11－1)×1．2＝23．2(元)．答案：23．29．已知定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，滿足f′(x)＞3，且f(3)＝4，則不等式xf(x)＞3x2－5x的解集為_(kāi)_______．解析：構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－3x，x＞0，則g′(x)＝f′(x)－3＞0，故函數(shù)g(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，則g(3)＝f(3)－9＝－5．當(dāng)x＞0時(shí)，由xf(x)＞3x2－5x可得f(x)＞3x－5，即f(x)－3x＞－5，即g(x)＞g(3)，解得x＞3，所以不等式xf(x)＞3x2－5x的解集為(3，＋∞)．答案：(3，＋∞)10．在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10nmile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14nmile的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍(lán)方的小艇，若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α的正弦值．解：如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇，則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°．根據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2．故AC＝28，BC＝20．根據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AC,sin120°)，解得sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f(5\r(3),14)．所以紅方偵察艇所需要的時(shí)間為2小時(shí)，角α的正弦值為eq\f(5\r(3),14)．11．在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得5組成對(duì)數(shù)據(jù)，其數(shù)值及散點(diǎn)圖如下：x0．250．5124y1612521(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y＝a＋bx與y＝c＋k·x－1哪一個(gè)更適宜作為y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類(lèi)型；(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，試建立y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(計(jì)算結(jié)果保留整數(shù))(3)在(2)的條件下，設(shè)z＝y(tǒng)＋x且x∈[4，＋∞)，試求z的最小值．解：(1)由題中散點(diǎn)圖可以判斷，y＝c＋k·x－1更適宜作為y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類(lèi)型．(2)令t＝x－1，則y＝c＋kt，構(gòu)造新的成對(duì)數(shù)據(jù)，如下表：t4210．50．25y1612521易知y與t存在線性相關(guān)關(guān)系．計(jì)算得eq\o(t,\s\up6(－))＝1．55，eq\o(y,\s\up6(－))＝7．2，eq\o(k,\s