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文檔簡介
山東省招遠市第一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)試題5月考前最后一卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知正方體的體積為,點,分別在棱,上,滿足最小,則四面體的體積為A. B. C. D.2.關(guān)于圓周率π,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的浦豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā),我們也可以通過設(shè)計下面的實驗來估計的值:先請全校名同學(xué)每人隨機寫下一個都小于的正實數(shù)對;再統(tǒng)計兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù);最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)估計的值,那么可以估計的值約為()A. B. C. D.3.已知P是雙曲線漸近線上一點,,是雙曲線的左、右焦點,,記,PO,的斜率為,k,,若,-2k,成等差數(shù)列,則此雙曲線的離心率為()A. B. C. D.4.已知函數(shù)滿足,設(shè),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.復(fù)數(shù)的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.的展開式中的系數(shù)是()A.160 B.240 C.280 D.3207.設(shè)m,n為直線,、為平面,則的一個充分條件可以是()A.,, B.,C., D.,8.已知平面平面,且是正方形,在正方形內(nèi)部有一點,滿足與平面所成的角相等,則點的軌跡長度為()A. B.16 C. D.9.已知函數(shù),將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,所得到的圖象關(guān)于軸對稱,則的最小值是()A. B. C. D.10.已知函數(shù),若,則等于()A.-3 B.-1 C.3 D.011.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示,其中三視圖的長、寬、高分別為,,,且,則此三棱錐外接球表面積的最小值為()A. B. C. D.12.若與互為共軛復(fù)數(shù),則()A.0 B.3 C.-1 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知等邊三角形的邊長為1.,點、分別為線段、上的動點,則取值的集合為__________.14.若雙曲線C:(,)的頂點到漸近線的距離為,則的最小值________.15.已知點是拋物線的準線上一點,F(xiàn)為拋物線的焦點,P為拋物線上的點,且,若雙曲線C中心在原點,F(xiàn)是它的一個焦點,且過P點,當m取最小值時,雙曲線C的離心率為______.16.已知,,且,則的最小值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系中,已知點,曲線:(為參數(shù))以原點為極點,軸正半軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.(Ⅰ)判斷點與直線的位置關(guān)系并說明理由;(Ⅱ)設(shè)直線與曲線的兩個交點分別為,,求的值.18.(12分)在四棱錐的底面是菱形,底面,,分別是的中點,.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;(III)在邊上是否存在點,使與所成角的余弦值為,若存在,確定點的位置;若不存在,說明理由.19.(12分)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列,,已知,(1)求數(shù)列的首項和公比;(2)求數(shù)列的通項公式.20.(12分)如圖,四棱錐中,底面,,點在線段上,且.(1)求證:平面;(2)若,,,,求二面角的正弦值.21.(12分)已知數(shù)列,滿足.(1)求數(shù)列,的通項公式;(2)分別求數(shù)列,的前項和,.22.(10分)在國家“大眾創(chuàng)業(yè),萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下,某企業(yè)決定加大對某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對新研發(fā)的產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格試銷,得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示:試銷價格(元)產(chǎn)品銷量(件)已知變量且有線性負相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過計算求得回歸直線方程分別為:甲;乙;丙,其中有且僅有一位同學(xué)的計算結(jié)果是正確的.(1)試判斷誰的計算結(jié)果正確?(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差不超過,則稱該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”,現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取個,求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)為的概率.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】
由題意畫出圖形,將所在的面延它們的交線展開到與所在的面共面,可得當時最小,設(shè)正方體的棱長為,得,進一步求出四面體的體積即可.【詳解】解:如圖,
∵點M,N分別在棱上,要最小,將所在的面延它們的交線展開到與所在的面共面,三線共線時,最小,
∴
設(shè)正方體的棱長為,則,∴.
取,連接,則共面,在中,設(shè)到的距離為,
設(shè)到平面的距離為,
.
故選D.本題考查多面體體積的求法,考查了多面體表面上的最短距離問題,考查計算能力,是中檔題.2.D【解析】
由試驗結(jié)果知對0~1之間的均勻隨機數(shù),滿足,面積為1,再計算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對,滿足條件的面積,由幾何概型概率計算公式,得出所取的點在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積,即可估計的值.【詳解】解:根據(jù)題意知,名同學(xué)取對都小于的正實數(shù)對,即,對應(yīng)區(qū)域為邊長為的正方形,其面積為,若兩個正實數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊,則有,其面積;則有,解得故選:.本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問題.線性規(guī)劃可行域是一個封閉的圖形,可以直接解出可行域的面積;求解與面積有關(guān)的幾何概型時,關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積,必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量,把變量看成點的坐標,找到試驗全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解.3.B【解析】
求得雙曲線的一條漸近線方程,設(shè)出的坐標,由題意求得,運用直線的斜率公式可得,,,再由等差數(shù)列中項性質(zhì)和離心率公式,計算可得所求值.【詳解】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為,且,由,可得以為圓心,為半徑的圓與漸近線交于,可得,可取,則,設(shè),,則,,,由,,成等差數(shù)列,可得,化為,即,可得,故選:.本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),主要是漸近線方程和離心率,考查方程思想和運算能力,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.4.B【解析】
結(jié)合函數(shù)的對應(yīng)性,利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】解:若,則,即成立,若,則由,得,則“”是“”的必要不充分條件,故選:B.本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合函數(shù)的對應(yīng)性是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.5.C【解析】所對應(yīng)的點為(-1,-2)位于第三象限.【考點定位】本題只考查了復(fù)平面的概念,屬于簡單題.6.C【解析】
首先把看作為一個整體,進而利用二項展開式求得的系數(shù),再求的展開式中的系數(shù),二者相乘即可求解.【詳解】由二項展開式的通項公式可得的第項為,令,則,又的第為,令,則,所以的系數(shù)是.故選:C本題考查二項展開式指定項的系數(shù),掌握二項展開式的通項是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7.B【解析】
根據(jù)線面垂直的判斷方法對選項逐一分析,由此確定正確選項.【詳解】對于A選項,當,,時,由于不在平面內(nèi),故無法得出.對于B選項,由于,,所以.故B選項正確.對于C選項,當,時,可能含于平面,故無法得出.對于D選項,當,時,無法得出.綜上所述,的一個充分條件是“,”故選:B本小題主要考查線面垂直的判斷,考查充分必要條件的理解,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】
根據(jù)與平面所成的角相等,判斷出,建立平面直角坐標系,求得點的軌跡方程,由此求得點的軌跡長度.【詳解】由于平面平面,且交線為,,所以平面,平面.所以和分別是直線與平面所成的角,所以,所以,即,所以.以為原點建立平面直角坐標系如下圖所示,則,,設(shè)(點在第一象限內(nèi)),由得,即,化簡得,由于點在第一象限內(nèi),所以點的軌跡是以為圓心,半徑為的圓在第一象限的部分.令代入原的方程,解得,故,由于,所以,所以點的軌跡長度為.故選:C本小題主要考查線面角的概念和運用,考查動點軌跡方程的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.9.A【解析】
化簡為,求出它的圖象向左平移個單位長度后的圖象的函數(shù)表達式,利用所得到的圖象關(guān)于軸對稱列方程即可求得,問題得解?!驹斀狻亢瘮?shù)可化為:,將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,得到函數(shù)的圖象,又所得到的圖象關(guān)于軸對稱,所以,解得:,即:,又,所以.故選:A.本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等知識,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題。10.D【解析】分析:因為題設(shè)中給出了的值,要求的值,故應(yīng)考慮兩者之間滿足的關(guān)系.詳解:由題設(shè)有,故有,所以,從而,故選D.點睛:本題考查函數(shù)的表示方法,解題時注意根據(jù)問題的條件和求解的結(jié)論之間的關(guān)系去尋找函數(shù)的解析式要滿足的關(guān)系.11.B【解析】
根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐,并以該三棱錐構(gòu)造長方體,于是得到三棱錐的外接球即為長方體的外接球,進而得到外接球的半徑,求得外接球的面積后可求出最小值.【詳解】由已知條件及三視圖得,此三棱錐的四個頂點位于長方體的四個頂點,即為三棱錐,且長方體的長、寬、高分別為,∴此三棱錐的外接球即為長方體的外接球,且球半徑為,∴三棱錐外接球表面積為,∴當且僅當,時,三棱錐外接球的表面積取得最小值為.故選B.(1)解決關(guān)于外接球的問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點,即球心到多面體的頂點的距離都等于球的半徑,同時要作一圓面起襯托作用.(2)長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線,對于一些比較特殊的三棱錐,在研究其外接球的問題時可考慮通過構(gòu)造長方體,通過長方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題.12.C【解析】
計算,由共軛復(fù)數(shù)的概念解得即可.【詳解】,又由共軛復(fù)數(shù)概念得:,.故選:C本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算,共軛復(fù)數(shù)的概念.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)題意建立平面直角坐標系,設(shè)三角形各點的坐標,依題意求出,,,的表達式,再進行數(shù)量積的運算,最后求和即可得出結(jié)果.【詳解】解:以的中點為坐標原點,所在直線為軸,線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系,如圖所示,則,,,,則,,,設(shè),,,即點的坐標為,則,,,所以故答案為:本題考查平面向量的坐標表示和線性運算,以及平面向量基本定理和數(shù)量積的運算,是中檔題.14.【解析】
根據(jù)雙曲線的方程求出其中一條漸近線,頂點,再利用點到直線的距離公式可得,由,利用基本不等式即可求解.【詳解】由雙曲線C:(,,可得一條漸近線,一個頂點,所以,解得,則,當且僅當時,取等號,所以的最小值為.故答案為:本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)、點到直線的距離公式、基本不等式求最值,注意驗證等號成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
由點坐標可確定拋物線方程,由此得到坐標和準線方程;過作準線的垂線,垂足為,根據(jù)拋物線定義可得,可知當直線與拋物線相切時,取得最小值;利用拋物線切線的求解方法可求得點坐標,根據(jù)雙曲線定義得到實軸長,結(jié)合焦距可求得所求的離心率.【詳解】是拋物線準線上的一點拋物線方程為,準線方程為過作準線的垂線,垂足為,則設(shè)直線的傾斜角為,則當取得最小值時,最小,此時直線與拋物線相切設(shè)直線的方程為,代入得:,解得:或雙曲線的實軸長為,焦距為雙曲線的離心率故答案為:本題考查雙曲線離心率的求解問題,涉及到拋物線定義和標準方程的應(yīng)用、雙曲線定義的應(yīng)用;關(guān)鍵是能夠確定當取得最小值時,直線與拋物線相切,進而根據(jù)拋物線切線方程的求解方法求得點坐標.16.8【解析】
由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.【詳解】,當且僅當時等號成立.故的最小值為8,故答案為:8.本題考查基本不等式求和的最小值,整體代入法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)點在直線上;見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)直線:,即,所以直線的直角坐標方程為,因為,所以點在直線上;(Ⅱ)根據(jù)直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可得.【詳解】(Ⅰ)直線:,即,所以直線的直角坐標方程為,因為,所以點在直線上;(Ⅱ)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的普通方程為,將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程得,設(shè)兩根為,,所以,,故與異號,所以,,所以.本題考查在極坐標參數(shù)方程中方程互化,還考查了直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.18.(Ⅰ)見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)見解析.【解析】
(Ⅰ)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得平面,據(jù)此證明題中的結(jié)論即可;(Ⅱ)建立空間直角坐標系,求得直線的方向向量與平面的一個法向量,然后求解線面角的正弦值即可;(Ⅲ)假設(shè)滿足題意的點存在,設(shè),由直線與的方向向量得到關(guān)于的方程,解方程即可確定點F的位置.【詳解】(Ⅰ)由菱形的性質(zhì)可得:,結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可知:,故,底面,底面,故,且,故平面,平面,(Ⅱ)由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知,,,以點O為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則:,設(shè)平面的一個法向量為,則:,據(jù)此可得平面的一個法向量為,而,設(shè)直線與平面所成角為,則.(Ⅲ)由題意可得:,假設(shè)滿足題意的點存在,設(shè),,據(jù)此可得:,即:,從而點F的坐標為,據(jù)此可得:,,結(jié)合題意有:,解得:.故點F為中點時滿足題意.本題主要考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理,線面角的向量求法,立體幾何中的探索性問題等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.19.(1)(2)【解析】
本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的求解,數(shù)列求和的錯位相減求和是數(shù)列求和中的重點與難點,要注意掌握.(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q+q2=6,解方程可求q(2)由(1)可求an=a1?qn-1=2n-1,結(jié)合數(shù)列的特點,考慮利用錯位相減可求數(shù)列的和解:(1)(2),兩式相減:20.(1)證明見解析(2)【解析】
(1)要證明平面,只需證明,,即可求得答案;(2)先根據(jù)已知證明四邊形為矩形,以為原點,為軸,為軸,為軸,建立坐標系,求得平面的法向量為,平面的法向量,設(shè)二面角的平面角為,,即可求得答案.【詳解】(1)平面,平面,.,,.又,平面.(2)由(1)可知.在中,,..又,,四邊形為矩形.以為原點,為軸,為軸,為軸,建立坐標系
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