七年級數(shù)學(xué)下冊講義（北師大版）第二章第03講 解題技巧專題：平行線中有關(guān)拐點的模型專題問題(4類熱點題型講練)（原卷版）

第03講解題技巧專題：平行線中有關(guān)拐點的模型專題問題(4類熱點題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點一平行線中含一個拐點問題】 1【考點二平行線中含兩個拐點問題】 11【考點三平行線中含多個拐點問題】 21【考點四平行線中在生活上含拐點問題】 27【考點一平行線中含一個拐點問題】例題：（2023上·廣東揭陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，，則．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·山東泰安·六年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線，為平面內(nèi)一點，連接，．則、、之間的等量關(guān)系為．

2．（2023上·福建漳州·八年級統(tǒng)考期中）已知直線，將等邊三角形按如圖所示的方式放置，若，則．

3．（2023上·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）【感知探究】（1）如圖①，已知，，點在上，點在上．求證：．【類比遷移】（2）如圖②，、、的數(shù)量關(guān)系為．（不需要證明）【結(jié)論應(yīng)用】（3）如圖③，已知，，，則°．4．（2023上·七年級課時練習(xí)）已知，點為之外任意一點．

（1）如圖1，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【拓展變式】如圖，“抖空竹”是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．在“抖空竹”的一個瞬間如圖1所示，將圖1抽象成一個數(shù)學(xué)問題：如圖2，若，則_______________．

5．（2023上·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，點、分別在直線、上，點是、之間的一個動點．【感知】如圖①，當(dāng)點在線段左側(cè)時，若，，求的度數(shù)．分析：從圖形上看，由于沒有一條直線截與，所以無法直接運用平行線的性質(zhì)，這時需要構(gòu)造出“兩條直線被第三條直線所截”的基本圖形，過點作，根據(jù)兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，可知，進(jìn)而求出的度數(shù)．【探究】如圖②，當(dāng)點在線段右側(cè)時，、、之間的數(shù)量關(guān)系為______．6．（2023下·陜西咸陽·七年級校考階段練習(xí)）（基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，平分，平分，，則____________；【嘗試探究】（2）如圖2，，平分，，是與的夾角，是與的夾角．①若，求的度數(shù)；②試說明：．【拓展提高】（3）如圖3，若，，平分，請判斷與的等量關(guān)系，并說明理由．

7．（2023上·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）已知，點在上，點在上，點為射線上一點．(1)【基礎(chǔ)問題】如圖1，試說明：．（完成下面的填空部分）證明：過點作直線，∵，∴_______①_______．∵，∴_______②_______．∵，∴_______③_______（_______④_______）．∴．(2)【類比探究】如圖2，當(dāng)點在線段延長線上時，請寫出、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)【應(yīng)用拓展】如圖3，點與點重合，平分，且，，那么的度數(shù)為________．【考點二平行線中含兩個拐點問題】例題：如圖所示，、BEFD是AB、CD之間的一條折線，則∠1+∠2+∠3+∠4=_____．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·江西宜春·七年級江西省豐城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，和分別平分和，若，則．

2．①如圖1，ABCD，則∠A+∠E+∠C＝180°；②如圖2，ABCD，則∠E＝∠A+∠C；③如圖3，若ABEF，則∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如圖4，ABCD，則∠A＝∠C+∠P．以上結(jié)論正確的是_____．3．（23·24八年級上·廣東江門·階段練習(xí)）（1）如圖①，如果，求證：．（2）如圖②，，根據(jù)上面的推理方法，直接寫出___________．（3）如圖③，，若，則___________（用x、y、z表示）．4．（2023下·海南省直轄縣級單位·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，，點為直線間一點，點E，F(xiàn)分別是直線上的點，連接.

(1)【證明推斷】求證：，請完善下面的證明過程，并在（

）內(nèi)填寫依據(jù).證明：過點P作直線，（已作），（______），又，（已知）______，（______），______.(2)如圖2，若的平分線與的平分線交于點.①【類比探究】試猜想與之間的關(guān)系，并說明理由；②【結(jié)論運用】若，求的度數(shù).(3)【拓展認(rèn)知】如圖3，直線，點P，H為直線間的點，請直接寫出，，，的數(shù)量關(guān)系：______.5．（2023上·重慶九龍坡·八年級重慶市育才中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖1，，點、分別在、上，點在直線、之間，且．

(1)求的值；(2)如圖2，直線分別交、的角平分線于點、，直接寫出的值；(3)如圖3，在內(nèi)，；在內(nèi)，，直線分別交、分別于點、，且，直接寫出的值．【考點三平行線中含多個拐點問題】例題：如圖，直線，則的度數(shù)為___________°．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第四十七中學(xué)?？计谥校┮阎喝鐖D，，的平分線與的平分線交于點M，，，，則．2．（2023上·七年級課時練習(xí)）觀察圖形：

已知，在圖1中，可得_______________度，在圖2中，可得_______________度……按照以上規(guī)律，則_______________度．3.如圖：(1)如圖1，，若，計算并直接寫出的大?。?2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將直線變成折線，證明：(3)如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，繼續(xù)將且線變成折現(xiàn)．請你寫出一條關(guān)于、的數(shù)量關(guān)系（無需證明直接寫出）4．猜想說理：（1）如圖，，分別就圖1、圖2、圖3寫出，，的關(guān)系，并任選其中一個圖形說明理由：拓展應(yīng)用：（2）如圖4，若，則度；（3）在圖5中，若，請你用含n的代數(shù)式表示的度數(shù)．【考點四平行線中在生活上含拐點問題】例題：（2023·廣東深圳·校考模擬預(yù)測）“綠水青山，就是金山銀山”在兩個景區(qū)之間建立上的一段觀光索道如圖所示，索道支撐架均為互相平行（），且每兩個支撐架之間的索道均是直的，若，，則（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期中）圖①是某種青花瓷花瓶，圖②是其抽象出來的簡易輪廓圖，已知，，若，則的度數(shù)為（

）A．60° B．65° C．70° D．75°2．（2023下·浙江臺州·七年級統(tǒng)考期末）如圖是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺