第2章 實數(shù)（單元測試培優(yōu)卷）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（北師大版）

第2章實數(shù)（單元測試·培優(yōu)卷）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．下列實數(shù)中，（

）是無理數(shù)．A．3.14 B． C． D．2．下列式子中是二次根式的是（

）A． B． C． D．3．下列運算正確的是（

）A． B．C． D．4．估計與最接近的兩個整數(shù)是（）A．和 B．和 C．和 D．和5．如果一個比m小2的數(shù)的平方等于，那么m等于（）A． B． C． D．或6．下列二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是的選項是（

）A． B． C． D．7．若，則（

）A． B． C． D．8．化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．29．若，則化簡（

）A．m B．-m C．n D．-n10．下列說法中，正確的是（

）A．與互為倒數(shù)B．若則C．若與是同類二次根式，則與3不一定相等D．若，則二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．的平方根是，的立方根是．12．比較大?。海?3．若與都是二次根式，那么．14．若兩個代數(shù)式與滿足，則稱這兩個代數(shù)式為“互為友好因式”，則的“互為友好因式”是．15．如圖，在數(shù)軸上，，過作直線于點，在直線上截取，且在上方．連接，以點為圓心，為半徑作弧交直線于點，則點的橫坐標(biāo)為．16．如圖，某品牌的計算器上三個按鍵是并列的按鍵，是算術(shù)平方根按鍵；是倒數(shù)按鍵；是平方按鍵．計算器顯示屏上現(xiàn)在顯示100這個數(shù)字，小敏第一下按，第二下按，第三下按，之后以的順序輪流按，當(dāng)他共按下后，該計算器熒幕顯示的數(shù)是．

17．觀察上表中的數(shù)據(jù)信息：則下列結(jié)論：①；②；③只有3個正整數(shù)滿足；④．其中正確的是．（填寫序號）a1515.115.215.315.4…a2225228.01231.04234.09237.16…18．仔細(xì)觀察圖，認(rèn)真分析各式，然后請利用用上述變化規(guī)律求出的值為．

，，，三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（1）已知的立方根是，是的一個平方根，求的值．（2）若a、b、c是三角形的三條邊長，且，其中，，求a的值．20．（8分）計算：(1)；(2)．21．（10分）完成下列各小題：（1）已如，求的值；（2）已知，求式子的值；22．（10分）（1）已知x1，求的值；（2）已知x﹣2，求代數(shù)式(x﹣1)2﹣2(x﹣1)+1的值．23．（10分）在數(shù)學(xué)課本36頁的閱讀材料中，運用反證法說明“是一個無理數(shù)”，請模仿這種方法，說明是無理數(shù)．閱讀材料：“無理數(shù)”的由來為什么不可能是一個有理數(shù)？現(xiàn)在我們用代數(shù)方法來解答這個問題．假設(shè)是一個有理數(shù)，那么可以得到，其中a、b是整數(shù)且a、b互素且，這時，就有：，于是，則a是2的倍數(shù)．再設(shè)，其中m是整數(shù)，就有：，也就是：，所以b也是2的倍數(shù)，可見a、b不是互素數(shù)，與前面所假設(shè)的a與b互素相矛盾，因此不可能是一個有理數(shù)．解：假設(shè)是一個有理數(shù)．則（a、b是整數(shù)且a、b互素且），則，兩邊同時平方得：_____________，所以：，可得：，所以：______________，因為：______________，所以：是一個無理數(shù)．24．（12分）【閱讀材料】小華根據(jù)學(xué)習(xí)“二次根式“及”乘法公式“積累的經(jīng)驗，通過“由特殊到一般”的方法，探究”當(dāng)時，與的大小關(guān)系”．下面是小單的深究過程：①具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：當(dāng)時，特例1：若，則；特例2：若，則；特例3：若，則．②觀察、歸納，得出猜想：當(dāng)時，．③證明猜想：當(dāng)時，∵，∴，∴．當(dāng)且僅當(dāng)時，．請你利用小華發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決以下問題：(1)當(dāng)時，的最小值為(2)當(dāng)時，的最小值為；(3)當(dāng)時，求的最大值．參考答案1．B【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，由此即可判斷選項．【詳解】解：A.3.14是有理數(shù)，故A不符合題意；B.是無理數(shù)，故B符合題意；C.是有理數(shù)，故C不符合題意；D.是有理數(shù)，故D不符合題意；故選：B．【點撥】本題主要考查無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：，等；開不盡方的數(shù)；以及像0.101001000100001…等有這樣規(guī)律的數(shù)．2．C【分析】利用二次根式的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】A、中，當(dāng)時，不是二次根式，故此選項不符合題意；B、中當(dāng)時，不是二次根式，故此選項不符合題意；C、，恒成立，因此該式是二次根式，故此選項符合題意；D、中被開方數(shù)，不是二次根式，故此選項不符合題意；故選：C．【點撥】本題主要考查了二次根式定義，關(guān)鍵是掌握形如()的式子叫做二次根式．3．C【分析】根據(jù)二次根式的加減法法則，乘除法法則計算并依次判斷．【詳解】解：A選項：與不能合并，故A選項不符合題意；B選項：，故B選項不符合題意；C選項：原式==，故C選項符合題意；D選項：原式=，故D選項不符合題意．故選：C．【點撥】此題考查二次根式的運算，掌握二次根式的加減法法則，乘除法法則是解題的關(guān)鍵．4．A【分析】根據(jù)得，則，即可得．【詳解】解：∵，∴，與最接近的兩個整數(shù)是和，故選：A．【點撥】本題考查了運用算術(shù)平方根知識對無理數(shù)進(jìn)行估算的能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運用該知識．5．D【分析】根據(jù)題意得出，解方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，即，∴，∴或，故選：D．【點撥】本題考查了平方根，根據(jù)題意列出方程結(jié)合平方根的意義求解是關(guān)鍵．6．B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，A選項保證被開放式大于等于0，且分母不為0；B選項保證被開放式大于等于0；C選項保證被開放式大于等于0，且墳?zāi)共粸?；D選項保證被開放式大于等于0，且分母不為0，求出x的取值范圍即可．【詳解】解：A.中，的取值范圍是，故此項不符合題意；B.中，的取值范圍是，故此項符合題意；C.中，的取值范圍是，且，故此項不符合題意；D.中，的取值范圍是，故此項不符合題意；故選B．【點撥】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．7．A【分析】先根據(jù)二次根式的意義求出n，再求出m，最后根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運算法則得到最終解答．【詳解】解：由題意可得：2n-5=5-2n=0，∴m=0+0+2=2，∴n-m=故選A．【點撥】本題考查二次根式和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次根式有意義的條件及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計算方法是解題關(guān)鍵．8．A【分析】先化簡各數(shù)，再求和即可．【詳解】解：，故選：A．【點撥】本題考查了立方根和絕對值，掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．9．B【分析】先由已知條件得到m、n的符號，再根據(jù)二次根式的乘除法則化簡計算即可．【詳解】解：由已知條件可得：m<0，n<0，∴原式====|m|=-m，故選：B．【點撥】本題考查二次根式的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的乘除法是解題關(guān)鍵．10．C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)及運算法則計算判斷即可．【詳解】A.，不是互為倒數(shù)，選項錯誤；B.若，由于，則，選項錯誤；C.若與是同類二次根式，則與3不一定相等，選項正確；D.由可得，結(jié)合可得，，則，選項錯誤；故選：C【點撥】本題考查了二次根式的混合運算，熟記相關(guān)概念是解題是解題的關(guān)鍵．11．【分析】根據(jù)平方根的定義，立方根的定義，開平方運算解答即可．【詳解】解：①∵，∴的平方根是，故答案為；②∵，∴，∴的立方根為，∴的立方根是，故答案為．【點撥】本題考查了平方根的定義，開平方運算，立方根的定義，掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵．12．【分析】可得，可求，即可求解．【詳解】解：，，，故答案：．【點撥】本題主要考查了用作差法比較實數(shù)的大小，掌握比較的方法是解題的關(guān)鍵．13．0【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵與都是二次根式，∴∴，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．14．/【分析】根據(jù)“互為友好因式”的概念解答即可．【詳解】解：由題意可得：的“互為友好因式”為：，故答案為：．【點撥】本題考查了定義新運算，二次根式的分母有理化，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的分母有理化的方法．15．/【分析】根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)題意可得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵，，，在中，，∴，∴，為原點，為正方向，則點的橫坐標(biāo)為；故答案為：．【點撥】本題考查了勾股定理與無理數(shù)，實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．16．【分析】根據(jù)題中的按鍵順序確定出顯示的數(shù)的規(guī)律，即可得出結(jié)論．【詳解】根據(jù)題意，，，，，，，……，∵，∴當(dāng)他共按下后，該計算器熒幕顯示的數(shù)是，故答案為：．【點撥】本題考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，倒數(shù)，有理數(shù)的乘方，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．17．①②③【分析】由表格中的信息：①利用被開方數(shù)的小數(shù)點與其算術(shù)平方根的小數(shù)點之間的變化規(guī)律解答即可；②利用被開方數(shù)的小數(shù)點與其算術(shù)平方根的小數(shù)點之間的變化規(guī)律，分別確定被減數(shù)和減數(shù)的值，再相減即可；③先確定的范圍，再判斷的范圍判斷；④先估計的值，再判斷即可．【詳解】解：①∵，∴，故①正確；②∵，，∴，故②正確；③∵，∴，其中整數(shù)有：，，共3個，故③正確；④由①知：，∴，故④錯誤．綜上，正確的是：①②③，故答案為：①②③．【點撥】本題考查無理數(shù)的估計，解答時需要從表格中獲取信息，運用到無理數(shù)大小比較，有理數(shù)的運算，整數(shù)的概念等，熟練掌握被開方數(shù)的小數(shù)點與其算術(shù)平方根的小數(shù)點之間的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．18．【分析】由題意得到，，，……，，求和即可得到的值．【詳解】解：由題意知，，，，，，，，，，……，，，∴，故答案為：【點撥】此題考查了勾股定理的規(guī)律題，還考查了二次根式的運算，熟練掌握勾股定理和二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．19．（1）16；（2）20【分析】（1）根據(jù)立方根、平方根的意義可得到，，進(jìn)而得到m、n的值，再將m、n的值代入即可求得答案；（2）將b、c的值代入中即可得到a的值．【詳解】解：（1）的立方根是，是的一個平方根，，，，，．（2），且，，，，，a是三角形的邊長，，．【點撥】本題考查了平方根、立方根，熟練掌握平方根、立方根的意義是解題的關(guān)鍵．20．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二次根式的混合運算進(jìn)行計算即可求解；（2）根據(jù)完全平方公式以及平方差公式，零指數(shù)冪進(jìn)行計算即可求解．【詳解】（1）解：＝＝＝．（2）解：＝＝．【點撥】本題考查了二次根式的混合運算，零指數(shù)冪，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．21．（1）15；（2）±4【分析】（1）利用完全平方公式把原式變形，代入計算得到答案．（2）根據(jù)已知等式可得，再利用完全平方公式變形可得結(jié)果．【詳解】解：（1）∵，∴，，∴原式=2（x+y）2-xy=15．（2）∵，∴，∴，∴=±4．【點撥】本題考查的是二次根式的化簡求值，一元二次方程的解，掌握二次根式的混合運算法則、完全平方公式是解題的關(guān)鍵．22．（1）；（2）(x﹣2)2，2．【分析】（1）利用完全平方公式推出，然后整體代入即可；（2）先對原代數(shù)式利用完全平方公式進(jìn)行化簡，然后整體代入求值即可．【詳解】（1）∵，∴∵x1，∴原式=（2）(x﹣1)2﹣2(x﹣1)+1=(x﹣2)2，把x﹣2，代入上式可得：原式=()2=2．【點撥】本題主要考查代數(shù)式求值，掌握完全平方公式和整體代入法是解題的關(guān)鍵．23．；；為有理數(shù)，必為有理數(shù)，而為無理數(shù)，與前面所設(shè)矛盾【分析】仿照題干方法進(jìn)行證明即可．【詳解】假設(shè)是一個有理數(shù)．則（a、b是整數(shù)且a、b互素且），則，兩邊同時平方得：，所以：，可得：，所以：，因為：為有理數(shù)，必為有理數(shù)，而為無理數(shù)，與前面所設(shè)矛盾，所以：是一個無理數(shù)．【點撥】本題考查了無理數(shù)的證明，能夠理解并運用題干的反證法是解題的關(guān)鍵．24．(1)2(2)(3)【分析】（1）直接由題中規(guī)律即可完成；（2）當(dāng)