人教版初中數(shù)學(xué)同步講義八年級(jí)上冊(cè)第03講 乘法公式（原卷版）

第03講乘法公式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①平方差公式②完全平方公式能推導(dǎo)平方差公式，了解平方差公式的幾何意義，掌握平方差公式的特點(diǎn)，熟練的對(duì)平方差公式進(jìn)行應(yīng)用。能推導(dǎo)完全平方公式，了解完全平方公式的幾何意義，掌握完全平方公式的特點(diǎn)，熟練的對(duì)完全平方公式進(jìn)行應(yīng)用。知識(shí)點(diǎn)01平方差公式平方差公式的內(nèi)容：兩個(gè)數(shù)的和乘以兩個(gè)數(shù)的差等于這兩個(gè)數(shù)的差。即。注意：可以是兩個(gè)相等的數(shù)，也可以是兩個(gè)相同的式子。用符號(hào)相同項(xiàng)的平方減去符號(hào)相反項(xiàng)的平方。式子特點(diǎn)分析：：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，若其中一項(xiàng)，另一項(xiàng)，則等于他們項(xiàng)的平方減去項(xiàng)的平方。平方差公式的幾何背景：如圖：將圖①的藍(lán)色部分移到圖②的位置。圖①的面積為：；圖②的面積為：；圖①與圖②的面積相等。所以題型考點(diǎn)：①平方差公式的計(jì)算。②利用平方差公式求值。③平方差公式的幾何背景應(yīng)用。④利用平方差公式簡(jiǎn)便計(jì)算。【即學(xué)即練1】1．下列各式中不能用平方差公式計(jì)算的是（）A． B．（﹣2x+3y）（﹣3y﹣2x） C．（﹣2x+y）（﹣2x﹣y） D．（x﹣1）（﹣x+1）【即學(xué)即練2】2．計(jì)算：（1）（a+b）（a﹣2）；（2）；（3）（m+n）（m﹣n）；（4）（0.1﹣x）（0.1+x）；（5）（x+y）（﹣y+x）．【即學(xué)即練3】3．若x﹣y＝2，x2﹣y2＝6，則x+y＝．【即學(xué)即練4】4．已知m﹣n＝1，則m2﹣n2﹣2n的值為（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2【即學(xué)即練5】5．如圖（1），在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖（2），此過(guò)程可以驗(yàn)證（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab【即學(xué)即練6】6．20142﹣2013×2015的計(jì)算結(jié)果是．知識(shí)點(diǎn)02完全平方公式完全平方公式的內(nèi)容：①完全平方和公式：兩個(gè)數(shù)的和的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的的和這兩個(gè)數(shù)乘積的兩倍。即：?？梢允莾蓚€(gè)數(shù)，也可以是兩個(gè)式子。②完全平方差公式：兩個(gè)數(shù)的差的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的的和這兩個(gè)數(shù)的乘積的兩倍。即：?？梢允莾蓚€(gè)數(shù)，也可以是兩個(gè)式子。式子特點(diǎn)分析：：一個(gè)二項(xiàng)式的平方，等于這個(gè)二項(xiàng)式的兩項(xiàng)的加上這兩項(xiàng)的。注意每一項(xiàng)都包含前面的符號(hào)。巧記：首平方加尾平方，首位兩倍放中央。完全平方公式的幾何背景：圖1中面積的整體表示為：用各部分面積之和表示為：所以用同樣的方法表示圖2的面積即可得到：。完全平方和公式與完全平方差公式的轉(zhuǎn)化：，∵∴題型考點(diǎn)：①完全平方公式的計(jì)算。②利用完全平方公式求值。③完全平方公式的幾何背景?！炯磳W(xué)即練1】7．運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：（1）（4m+n）2；（2）；（3）（﹣a﹣b）2；（4）（﹣a+b）2．【即學(xué)即練2】8．計(jì)算：（1）（x﹣6）2．（2）（﹣2x﹣y）2．（3）（﹣p+3q）2．（4）[（2m+n）（2m﹣n）]2．【即學(xué)即練3】9．已知xy＝9，x﹣y＝﹣3，則x2+3xy+y2的值為（）A．27 B．9 C．54 D．18【即學(xué)即練4】10．已知：a+b＝5，ab＝3，求：（1）a2+b2；（2）（a﹣b）2．【即學(xué)即練5】11．如圖所示分割正方形，各圖形面積之間的關(guān)系，驗(yàn)證了一個(gè)等式，這個(gè)等式是（）A．（y+x）2＝y(tǒng)2+xy+x2 B．（y+x）2＝y(tǒng)2+2xy+x2 C．（y+x）（y﹣x）＝y(tǒng)2﹣x2 D．（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy【即學(xué)即練6】12．如圖1，將一個(gè)長(zhǎng)為4a，寬為2b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線均勻分成4個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖2形狀拼成一個(gè)正方形．（1）圖2的空白部分的邊長(zhǎng)是多少？（用含a、b的式子表示）（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求圖2中的空白正方形的面積．（3）觀察圖2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的數(shù)量關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)03完全平方式完全平方式的定義：若一個(gè)整式A，可以寫(xiě)成另一個(gè)整式B的平方的形式，即，則我們稱(chēng)整式A是一個(gè)完全平方式。式子特點(diǎn)分析：：一個(gè)三項(xiàng)式，其中兩項(xiàng)可以寫(xiě)成的形式，第三項(xiàng)是平方兩項(xiàng)底數(shù)乘積的，則可以寫(xiě)成或的平方。若第三項(xiàng)與平方兩項(xiàng)的符號(hào)相同，則是底數(shù)的平方，若第三項(xiàng)與平方兩項(xiàng)的符號(hào)相反，則是底數(shù)的平方。題型考點(diǎn)：①平方式寫(xiě)成平方的運(yùn)算。②根據(jù)完全平方式的特點(diǎn)求值?！炯磳W(xué)即練1】13．下列各式中，運(yùn)算結(jié)果為1﹣2xy2+x2y4的是（）A．（﹣1+xy2）2 B．（﹣1﹣xy2）2 C．（﹣1+x2y2）2 D．（﹣1﹣x2y2）2【即學(xué)即練2】14．已知x2+kxy+64y2是一個(gè)完全平方式，則k的值是（）A．8 B．±8 C．16 D．±16【即學(xué)即練3】15．已知多項(xiàng)式x2+6x+m是一個(gè)關(guān)于x的完全平方式，則m的值是（）A．9 B．﹣9 C．36 D．﹣36知識(shí)點(diǎn)04乘法公式的拓展應(yīng)用平方差公式的拓展：兩個(gè)三項(xiàng)式相乘，若他們的項(xiàng)中只存在的項(xiàng)和的項(xiàng)，則可以用平方差公式計(jì)算。它等于的平方減去的平方。把相等項(xiàng)或相反數(shù)項(xiàng)存在兩項(xiàng)的看成一個(gè)整體。即：。完全平方公式的拓展：一個(gè)三項(xiàng)式的平方，可以把前兩項(xiàng)看成首項(xiàng)或后兩項(xiàng)看成尾項(xiàng)，然后利用完全平方公式的計(jì)算方法計(jì)算。把其中兩項(xiàng)看成一個(gè)整體。即：題型考點(diǎn)：①拓展應(yīng)用?！炯磳W(xué)即練1】16．在下列等式中，A和B應(yīng)表示什么式子？（1）（a+b+c）（a﹣b+c）＝（A+B）（A﹣B）；（2）（x+y﹣z）（x﹣y+z）＝（A+B）（A﹣B）．【即學(xué)即練2】17．（a+b﹣c）（a﹣b+c）＝．【即學(xué)即練3】18．計(jì)算：（m+2n﹣p）2．【即學(xué)即練4】19．計(jì)算題：（1）（a﹣2b﹣3c）2；（2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2．題型01平方差公式與完全平方公式的計(jì)算【典例1】利用乘法公式計(jì)算：（2x﹣3y）2﹣（y+3x）（3x﹣y）（2）（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）．【典例2】計(jì)算下列各題：（1）（a﹣2b）2﹣（2a+b）（b﹣2a）﹣4a（a﹣b）（2）（2x+3y）2﹣（4x﹣9y）（4x+9y）+（3x﹣2y）2．【典例3】計(jì)算：（1）（x+2y）2+（x﹣2y）2；（2）（a﹣b+c）2．【典例4】求（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的個(gè)位數(shù)字．題型02利用乘法公式簡(jiǎn)便運(yùn)算【典例1】利用乘法公式簡(jiǎn)便計(jì)算．（1）2020×2022﹣20212．（2）3.6722+6.3282+6.328×7.344．【典例2】計(jì)算：（1）20232﹣2022×2024；（2）112+13×66+392．【典例3】利用乘法公式計(jì)算：（1）3252﹣2752；（2）295×305﹣2982．【典例4】用因式分解的相關(guān)方法，進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算：（1）20232﹣20222．（2）9992+2×999+12．題型03利用乘法公式求值【典例1】已知x2﹣y2＝﹣1，x+y＝，則x﹣y＝．【典例2】若a2﹣b2＝，a+b＝，則a﹣b的值為（）A． B． C． D．2【典例3】已知x+y＝8，xy＝12，則x2﹣xy+y2的值為（）A．42 B．28 C．54 D．66【典例4】若有理數(shù)a、b滿足a2+b2＝5，（a+b）2＝9，則﹣4ab的值為（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【典例5】已知a+b＝3，ab＝﹣10．求：（1）a2+b2的值；（2）（a﹣b）2的值．【典例6】已知：x+y＝5，xy＝3．求：①x2+5xy+y2；②x4+y4．題型04乘法公式與幾何【典例1】圖①是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）請(qǐng)用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積．方法1：；方法2：；（2）觀察圖②請(qǐng)你寫(xiě)出下列三個(gè)代數(shù)式；（m+n）2，（m﹣n）2，mn之間的等量關(guān)系；?（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：①已知：a﹣b＝3，ab＝﹣2，求：（a+b）2的值；②已知：a＝1，求：（a）2的值．【典例2】如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為4a、寬為b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．①圖2中的陰影部分的邊長(zhǎng)為；②觀察圖2請(qǐng)你寫(xiě)出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系是；③根據(jù)（2）中的結(jié)論，若x+y＝5，x?y＝4，則（x﹣y）2＝；④實(shí)際上通過(guò)計(jì)算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式．如圖3，你發(fā)現(xiàn)的等式是．【典例3】如圖，大小兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為a、b．（1）用含a、b的代數(shù)式表示陰影部分的面積S；（2）如果a+b＝8，ab＝14，求陰影部分的面積．1．下列各式中，可以用平方差公式進(jìn)行計(jì)算的是（）A．（a﹣2b）（2a﹣b） B．（﹣a+2b）（﹣a﹣2b） C．（a+2b）（﹣2a+b） D．（2a﹣b）（﹣2a+b）2．已知m+n＝3，m﹣n＝4，則m2﹣n2的值為（）A．12 B．﹣12 C．25 D．﹣253．若多項(xiàng)式x2+（k﹣3）xy+4y2是完全平方式，則k的值為（）A．±7 B．7或﹣1 C．7 D．﹣14．王大爺家有一塊邊長(zhǎng)為m米的正方形菜地，現(xiàn)需將其進(jìn)行改造，具體措施為：南北向增加2米，東西向減少2米．則改造后的菜地與原來(lái)的菜地相比（）A．面積相等 B．面積增加了4平方米 C．面積減少了4平方米 D．無(wú)法確定5．如圖，兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為a，b，已知a+b＝7，ab＝9，則陰影部分的面積為（）A．10 B．11 C．12 D．136．有兩個(gè)正方形A、B，將A，B并列放置后構(gòu)造新的圖形，分別得到長(zhǎng)方形圖甲與正方形圖乙．若圖甲、圖乙中陰影的面積分別為14與36，則正方形B的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．67．當(dāng)x＝1時(shí)，ax+b+1的值為﹣2，則（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）的值為（）A．16 B．8 C．﹣8 D．﹣168．計(jì)算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）...（264+1），結(jié)果是（）A．264﹣1 B．264 C．232﹣1 D．2128﹣19．已知（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，則（a+b）2＝．10．如圖，C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC，BC為邊在AB的兩側(cè)作正方形，設(shè)AB＝8，兩個(gè)正方形的面積和為40，即S1+S2＝40，則圖中陰影部分的面積為．11．若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為．12．若（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝100，則（x﹣2023）2＝．13．如圖，某區(qū)有一塊長(zhǎng)為（3a+4b）米，寬為（2a+3b）米的長(zhǎng)方形地塊，規(guī)劃部門(mén)計(jì)劃將陰影部分進(jìn)行綠化，中間的邊長(zhǎng)為（a+b）米的空白的正方形地塊將修建一個(gè)涼亭．（1）用含有a，b的式子表示綠化總面積．（2）若a＝4，b＝3，求出此時(shí)的綠化總面積．14．從邊長(zhǎng)為a的正方形減掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）．（1）上述過(guò)程所揭示的乘法公式是．（2）若9x2﹣16y2＝