山東省臨沂市臨沭縣一中2024-2025學年高三全國統(tǒng)一考試仿真卷（四）數(shù)學試題試卷含解析

山東省臨沂市臨沭縣一中2024-2025學年高三全國統(tǒng)一考試仿真卷（四）數(shù)學試題試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，如果在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么實數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．2．設為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，若，則()A． B． C． D．3．已知雙曲線的一個焦點為，且與雙曲線的漸近線相同，則雙曲線的標準方程為()A． B． C． D．4．在中，，，，點，分別在線段，上，且，，則（）．A． B． C．4 D．95．二項式的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是()A．180 B．90 C．45 D．3606．已知，其中是虛數(shù)單位，則對應的點的坐標為（）A． B． C． D．7．已知拋物線：的焦點為，準線為，是上一點，直線與拋物線交于，兩點，若，則為()A． B．40 C．16 D．8．設過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點，點與點關于軸對稱，為坐標原點，若，且，則點的軌跡方程是（）A． B．C． D．9．如圖，在中，，是上一點，若，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．11．函數(shù)在上的大致圖象是（）A． B．C． D．12．已知、分別為雙曲線：（，）的左、右焦點，過的直線交于、兩點，為坐標原點，若，，則的離心率為（）A．2 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中，的系數(shù)是______.14．已知等邊三角形的邊長為1．,點、分別為線段、上的動點,則取值的集合為__________．15．已知點是拋物線的準線上一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，P為拋物線上的點，且，若雙曲線C中心在原點，F(xiàn)是它的一個焦點，且過P點，當m取最小值時，雙曲線C的離心率為______.16．函數(shù)的定義域為，其圖象如圖所示．函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，滿足，且當時，．給出下列三個結(jié)論：①；②函數(shù)在內(nèi)有且僅有個零點；③不等式的解集為．其中，正確結(jié)論的序號是________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某商店舉行促銷反饋活動，顧客購物每滿200元，有一次抽獎機會（即滿200元可以抽獎一次，滿400元可以抽獎兩次，依次類推）.抽獎的規(guī)則如下：在一個不透明口袋中裝有編號分別為1，2，3，4，5的5個完全相同的小球，顧客每次從口袋中摸出一個小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球編號一次比一次大（如1，2，5），則獲得一等獎，獎金40元；若摸得的小球編號一次比一次小（如5，3，1），則獲得二等獎，獎金20元；其余情況獲得三等獎，獎金10元.（1）某人抽獎一次，求其獲獎金額X的概率分布和數(shù)學期望;（2）趙四購物恰好滿600元，假設他不放棄每次抽獎機會，求他獲得的獎金恰好為60元的概率.18．（12分）設，，，.（1）若的最小值為4，求的值；（2）若，證明：或.19．（12分）已知集合，，，將的所有子集任意排列，得到一個有序集合組，其中.記集合中元素的個數(shù)為，，，規(guī)定空集中元素的個數(shù)為.當時，求的值；利用數(shù)學歸納法證明：不論為何值，總存在有序集合組，滿足任意，，都有.20．（12分）某網(wǎng)絡商城在年月日開展“慶元旦”活動，當天各店鋪銷售額破十億，為了提高各店鋪銷售的積極性，采用搖號抽獎的方式，抽取了家店鋪進行紅包獎勵.如圖是抽取的家店鋪元旦當天的銷售額（單位：千元）的頻率分布直方圖.（1）求抽取的這家店鋪，元旦當天銷售額的平均值；（2）估計抽取的家店鋪中元旦當天銷售額不低于元的有多少家；（3）為了了解抽取的各店鋪的銷售方案，銷售額在和的店鋪中共抽取兩家店鋪進行銷售研究，求抽取的店鋪銷售額在中的個數(shù)的分布列和數(shù)學期望.21．（12分）在開展學習強國的活動中，某校高三數(shù)學教師成立了黨員和非黨員兩個學習組，其中黨員學習組有4名男教師、1名女教師，非黨員學習組有2名男教師、2名女教師，高三數(shù)學組計劃從兩個學習組中隨機各選2名教師參加學校的挑戰(zhàn)答題比賽.（1）求選出的4名選手中恰好有一名女教師的選派方法數(shù)；（2）記X為選出的4名選手中女教師的人數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學期望.22．（10分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若存在實數(shù)，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

根據(jù)條件先求出的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【詳解】將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則，設，則當時，，，即，要使在區(qū)間上單調(diào)遞減，則得，得，即實數(shù)的最大值為，故選：B.本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換，考查根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，屬于中檔題.2．D【解析】

利用與的關系，求得的值.【詳解】依題意，所以故選：D本小題主要考查函數(shù)值的計算，屬于基礎題.3．B【解析】

根據(jù)焦點所在坐標軸和漸近線方程設出雙曲線的標準方程，結(jié)合焦點坐標求解.【詳解】∵雙曲線與的漸近線相同，且焦點在軸上，∴可設雙曲線的方程為，一個焦點為，∴，∴，故的標準方程為.故選：B此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點求解雙曲線的標準方程，易錯點在于漏掉考慮焦點所在坐標軸導致方程形式出錯.4．B【解析】

根據(jù)題意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，，則在中，又,則則則則故選：B此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運算，掌握基本概念和公式即可解決，屬于簡單題目.5．A【解析】試題分析：因為的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，所以，，令，則，.考點：1.二項式定理；2.組合數(shù)的計算.6．C【解析】

利用復數(shù)相等的條件求得，，則答案可求．【詳解】由，得，．對應的點的坐標為，，．故選：．本題考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復數(shù)相等的條件，是基礎題．7．D【解析】

如圖所示，過分別作于，于，利用和，聯(lián)立方程組計算得到答案.【詳解】如圖所示：過分別作于，于.，則，根據(jù)得到：，即，根據(jù)得到：，即，解得，，故.故選：.本題考查了拋物線中弦長問題，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.8．A【解析】

設坐標，根據(jù)向量坐標運算表示出，從而可利用表示出；由坐標運算表示出，代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設，，其中，，即關于軸對稱故選：本題考查動點軌跡方程的求解，涉及到平面向量的坐標運算、數(shù)量積運算；關鍵是利用動點坐標表示出變量，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算可整理得軌跡方程.9．C【解析】

由題意，可根據(jù)向量運算法則得到（1﹣m），從而由向量分解的唯一性得出關于t的方程，求出t的值.【詳解】由題意及圖，，又，，所以，∴（1﹣m），又t，所以，解得m，t，故選C．本題考查平面向量基本定理，根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關鍵，本題屬于基礎題.10．B【解析】

構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論.【詳解】設,則函數(shù)的導數(shù),，，即函數(shù)為減函數(shù),,，則不等式等價為，則不等式的解集為,即的解為，，由得或，解得或,故不等式的解集為.故選:.本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查學生分析問題解決問題的能力,是難題.11．D【解析】

討論的取值范圍，然后對函數(shù)進行求導，利用導數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】當時，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，則，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，當時，，故切線的斜率變小，當時，，故切線的斜率變大，可排除A、B；當時，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，，當時，，故切線的斜率變大，當時，，故切線的斜率變小，可排除C，故選：D本題考查了識別函數(shù)的圖像，考查了導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系以及導數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.12．D【解析】

作出圖象，取AB中點E，連接EF2，設F1A＝x，根據(jù)雙曲線定義可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，進而得到e的值【詳解】解：取AB中點E，連接EF2，則由已知可得BF1⊥EF2，F(xiàn)1A＝AE＝EB，設F1A＝x，則由雙曲線定義可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝2a，所以x＝2a，則EF2＝2a，由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，所以c2＝7a2，則e故選：D．本題考查雙曲線定義的應用，考查離心率的求法，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．對于圓錐曲線中求離心率的問題，關鍵是列出含有中兩個量的方程，有時還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對方程進行整理，從而求出離心率.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先將原式展開成，發(fā)現(xiàn)中不含，故只研究后面一項即可得解.【詳解】，依題意，只需求中的系數(shù)，是.故答案為：-40本題考查二項式定理性質(zhì)，關鍵是先展開再利用排列組合思想解決，屬于基礎題.14．【解析】

根據(jù)題意建立平面直角坐標系,設三角形各點的坐標,依題意求出,,,的表達式,再進行數(shù)量積的運算,最后求和即可得出結(jié)果.【詳解】解:以的中點為坐標原點,所在直線為軸,線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系,如圖所示,則,,,,則,,,設,,,即點的坐標為,則,,,所以故答案為:本題考查平面向量的坐標表示和線性運算,以及平面向量基本定理和數(shù)量積的運算,是中檔題.15．【解析】

由點坐標可確定拋物線方程，由此得到坐標和準線方程；過作準線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線定義可得，可知當直線與拋物線相切時，取得最小值；利用拋物線切線的求解方法可求得點坐標，根據(jù)雙曲線定義得到實軸長，結(jié)合焦距可求得所求的離心率.【詳解】是拋物線準線上的一點拋物線方程為，準線方程為過作準線的垂線，垂足為，則設直線的傾斜角為，則當取得最小值時，最小，此時直線與拋物線相切設直線的方程為，代入得：，解得：或雙曲線的實軸長為，焦距為雙曲線的離心率故答案為：本題考查雙曲線離心率的求解問題，涉及到拋物線定義和標準方程的應用、雙曲線定義的應用；關鍵是能夠確定當取得最小值時，直線與拋物線相切，進而根據(jù)拋物線切線方程的求解方法求得點坐標.16．①③【解析】

利用奇函數(shù)和，得出函數(shù)的周期為，由圖可直接判斷①；利用賦值法求得，結(jié)合，進而可判斷函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù)，可判斷②的正誤；采用換元法，結(jié)合圖象即可得解，可判斷③的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，又，所以，即，所以，函數(shù)的周期為.對于①，由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，，故①正確；對于②，，令，可得，得，所以，函數(shù)在區(qū)間上的零點為和.因為函數(shù)的周期為，所以函數(shù)在內(nèi)有個零點，分別是、、、、，故②錯誤；對于③，令，則需求的解集，由圖象可知，，所以，故③正確.故答案為：①③.本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及奇偶性、周期性和零點等知識點，考查學生分析問題的能力和數(shù)形結(jié)合能力，屬于中等題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）分布見解析，期望為；（2）.【解析】

（1）先明確X的可能取值，分別求解其概率，然后寫出分布列，利用期望公式可求期望；（2）獲得的獎金恰好為60元，可能是三次二等獎，也可能是一次一等獎，兩次三等獎，然后分別求解概率即可.【詳解】（1）由題意知，隨機變量X的可能取值為10，20，40且，，所以，即隨機變量X的概率分布為X102040P所以隨機變量X的數(shù)學期望.（2）由題意知，趙四有三次抽獎機會，設恰好獲得60元為事件A，因為60＝20×3＝40＋10＋10，所以．本題主要考查隨機變量的分布列及數(shù)學期望，明確隨機變量的所有取值是求解的第一步，再求解對應的概率，側(cè)重考查數(shù)學建模的核心素養(yǎng).18．（1）2；（2）見解析【解析】

（1）將化簡為，再利用基本不等式即可求出最小值為4，便可得出的值；（2）根據(jù)，即，得出，利用基本不等式求出最值，便可得出的取值范圍.【詳解】解：（1）由題可知，，，，，∴.（2）∵，∴，∴，∴，即：或.本題考查基本不等式的應用，利用基本不等式和放縮法求最值，考查化簡計算能力.19．；證明見解析.【解析】

當時，集合共有個子集，即可求出結(jié)果；分類討論，利用數(shù)學歸納法證明.【詳解】當時，集合共有個子集，所以；①當時，，由可知，，此時令，，，，滿足對任意，都有，且；②假設當時，存在有序集合組滿足題意，且，則當時，集合的子集個數(shù)為個，因為是4的整數(shù)倍，所以令，，，，且恒成立，即滿足對任意，都有，且，綜上，原命題得證.本題考查集合的自己個數(shù)的研究，結(jié)合數(shù)學歸納法的應用，屬于難題.20．（1）元；（2）32家；（3）分布列見解析；【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出各組頻率，再由平均數(shù)公式，即可求解；（2）求出的頻率即可；（3）中的個數(shù)的所有可能取值為，，，求出可能值的概率，得到分布列，由期望公式即可求解.【詳解】（1）頻率分布直方圖銷售額的平均值為千元，所以銷售額的平均值為