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文檔簡介

二例題分析99

dF()]=-//</).

&)_一;「

(4)從附錄D中公式(66),我們也已經(jīng)知道它的Laplace逆變

換,現(xiàn)在利用幕函數(shù)的Laplace變換,位移性質(zhì)及積分性質(zhì)來求證

這一結(jié)果.設(shè)E(s)=—?」,首先求為此,根據(jù)哥

Vs+〃

函數(shù)的Laplace變換式:

取5=>1J,有

所以,上式兩邊取Laplace逆變換,有

,’1;-三1,

W5J

由位移性質(zhì),可以得到

100第二章Laplace變換

根據(jù)積分性質(zhì):9口:人(,)+]=,所以

f(t)=9"[F(S)]=..Lpi(s)j=/1,(t)dz

L5JJo

這里,erf(i)=圣[e‘dr稱為誤差函數(shù).

VTtJo

例2-3利用Laplace變換,計算下列廣義積分:

八、sin£cost1,,sinl

(1)--;----d£;(2)——edt;

Jo1Jor

,4B0+m

(3)re"2rcosrdr;(4)e-/(^sint)'dz.

J0Jo

解利用Laplace變換求解某些廣義積分的值是十分有效

的.一般是通過Laplace變換的積分性質(zhì)(象函數(shù)的積分性質(zhì))及

終值定理來完成.對于廣義積分的被積函數(shù)形如

c~cos/3tf{t);c-<>fginptf(.t)

的類型還可以得到更為簡便的計算方法.

(1)方法1利用Laplace變換的定義及積分性質(zhì),因為

sinfcost,1sin2f」

---------dt二虧一--dr

Jot2Jot

由積分性質(zhì)知

"[牛HI"叫其中Wf⑺]=F3)

因此

sin2i卜uu?c.

o

[sin2iIds

二例題分析101

2

-arctan-5.(ReG)>0).

~2

令sf。',則

方法2由積分性質(zhì)和終值定理,可以直接得到

/(t)dfrKmF(s),其中F(s)——[/(,)].

0J—0

因此

同樣,有

sinZcostA.1「一/元5\1冗

----d£二寸hmk—arctank)=>

t213122/4

(2)方法1利用Laplace變換的定義及積分性質(zhì).因為

~2-arctan5,

s)ntJ'sin£-?c

---ed,=彳一arcxans,

由于s=l在半平面Re(s)>0內(nèi),因此,在;=1時,有

102第二章Laplace變換

方法2我們已經(jīng)知道a[誓]=,仃-由位移性

質(zhì),有

9'。一'-;-arctan(.$+1).

從而

「gsint,[.\sint_-

----ed£—Limi/<z\-----er

Jl)tBLt.

兄7T

=limt一arctan(3+1)

.一QLLT

(3)根據(jù)例2-1的第(1)小題,我們已經(jīng)求得

£[/(,)]=g[,CCR犯]二「尸Q?

LU-3)+BJ

而本小題取Q=-2,£=1,完全可以按上述兩小題的兩種方法求得

該廣義積分的結(jié)果,但對于廣義積分的被積函數(shù)為6co8泣人£)及

/sin伐f(D類型,這里介紹一種更簡便的計算方法(但必須f⑺

的Laplace變換容易求得).根據(jù)Laplace變換的定義,有

F($)-£[/(/)]—廠/⑺…人

現(xiàn)取復(fù)變量s=a+R(Rc(s)=a〉c),即

F(a十甲)-j;jWei向

g04-oc

=eQicos他f(£)d±-je"sin伙/(2)dt.

JoJo

因此

e"cos但f(t)dt-Re[F(a+j/?)],(Re(s)—a>c),

J0

8

p"sin/f(/)d/=-Tm[F(r>+j/9)].(Re(s)=a>c)?

Ju

特別,當(dāng)a=0時,有

8

cos阿=ReCF(j/?)],(Rc(x)-02>c)

二例地分析103

「1g

sini}dt=—Ira:F(jS)],(Re(s)=0>c)

、°

當(dāng)f=0時,有

p+8

|e"尸(()d£—Re[F(a)]「F(a),Rc(6)-a>c,

Jo

而當(dāng)a=B=0時,實際上就是由終值定理得出的結(jié)果:

「8

/〈Z)df=F(0)==limF(s).

Ju'.7

本小題根據(jù)上面的計算公式,有〃r)=f,a=2甲=1,所以

)[/(£)1=F(s)=},s=2十j,

從而

).OD

fe"cos£d£=Re[F(s)]=Re^^TjyT

0

r1,3

=Re二Re[碧卜藥?

(4)因為

pI8”8

ef(Zsint)3d/=「efsin3,

Jo

而由Euler公式,有

?3,一/0K—e_3.,1.

sin/=---k=^2rsint一丁sina□t.

\2j44

根據(jù)第(3)小題的方法,有

N「I3「4-8

Je'sin'dl=彳te-rsinzdi—yZ3e-rsin3tdt

fo4o

而/(£)=/,有Z[*z)]=2[j]=?,對于上式第一項,=1+

s

j,有

6_6__3

z―(i+j)4——爹,

對于上式第二項s=1十3j.有

1G4第二章Laplace變換

666…2136,

s4(l+3j)128—96jI250625人

因此

「1_一31-6L11「6I

fesmt——7—Im7-7、」4+j-Irn?—4丁、丁

Jo4L(1+j)J41(1+3j)」

3i/3\-2136.1

工Th,1[2]1~4lm,T25^'625J1

-136_9

-u+丁亦-皈-

例2-4利用Laplace變換求下列微分、積分方程的解:

-

(I)1y"+2y'+y=我一,了(0)?1,_y'(0)2;

(2)cos(t—r)y(r)dr=icost;

J01

(3)y"+2y=sint-y(r)dr,^(0)=0.

Jo

解利用Laplace變換求解微分、積分方程的優(yōu)點在教材中

已作了較詳細(xì)的說明.這里主要是利用Laplace變換的基本性質(zhì),

特別是線性性質(zhì)、微分性質(zhì)、積分性質(zhì)及卷積定理來求這些方程的

解.

(1)設(shè)Y(s),對方程兩邊取Laplace變換,有

(s2y(s)-s+2)+2(sY(s)-1)+丫(S)-7~-E,

3+1;

(5?I2s,1)Y(5)=-;―J2*S?

(5+1)

所以

W、_1,5,_1I1_1

w-UTTT(7+i)2"(s+ir(5+1產(chǎn)

從而

可)=,3「+「-It''

二例題分析1。5

(2)設(shè)夕[”(/)]=丫(s),由附錄口中公式(io)可知

2—1

J£[zcos£”^4^^(實際上由Ruler公式,位移性質(zhì)或象函數(shù)

的微分性質(zhì)可以直接求得此結(jié)果).根據(jù)卷積定理,有

y[cost*y[£)]-》[fcos11-'r~2,

15+1)

52-1

——-■y(sj:、,:

s.+1<?VI產(chǎn)

所以

y(J_$_L..2s1

yejR?vTr了三

因此

y(O—2cosr-1*

(3)設(shè)式[y(z)]=Y(s),由微分性質(zhì)和積分性質(zhì),有

$丫(5)+2丫(5)==匚」-丫⑷,

§*i]N

(5+2+抄⑴=普,

11

y(s)=EyV+T5=*r*iy

例2-5求解定解問題

'J?

-=2x1;(0<J,z<+8)

da*d:t?

51j2

UI,_0-X;

、“I工-o3,.

1D6第二章Laplace變換

解設(shè)二元函數(shù)漢(彳"),這里『,/的變化范圍均為

(0,+8);由所紿的定解條件可以看出,本例題關(guān)于I,關(guān)于/都

可以取Laplace變換.

方法1該定解問題關(guān)于1取Laplace變換,記

4「“(工")I=U(s.r).

由微分性質(zhì)及已知條件觀IK=3Z,可以推出%=3,從|仙

I.妾天JLa工[引〃

.遍dUa

=s31I-%--J--,%--…=c,di£—?S

這樣,原定解問題轉(zhuǎn)化為含有參數(shù)s的一階常系數(shù)線性微分方程

的初值問題,即

(d__U=2乙+3?

dr1__」

UIe=4.

IS

解此微分方程,可得其通解為

)+〃,(.為待定常數(shù))

結(jié)合初始條件,可得q=g.因此

21z13上2

UTT=r?虧?+—t+方,

s2s$

從而

“(工“)=;l2/+3r+/=+1*2+3/.

方法2該定解問題關(guān)于,取Laplace變換,記

S[%(%,£)]=U(工,5),

同樣,由微分性質(zhì)及已知條件wL-o??::,,可以推出裝;=2],

3HL=o

三習(xí)題全解107

從而

ra2u'色/也「\3u~\a〃|

='£.乙[a).—A.i/'13]["l,=u

dUQ

='一,力?

這樣,原定解問題轉(zhuǎn)化為含有參數(shù)S的一階常系數(shù)線性微分方程

的初值問題,即

dU2工2

3

5,-。

2.

§

解此微分方程,并結(jié)合初始條件,可得

SSS

從而

u(x,t)=-^-t2J-2-x+3f=丁U+1b2+3工.

總之,用積分變換(這里主要指Fcurier變換,Laplace變換及

Fourier正弦變換和Fourier余弦變換)求解偏微分方程的定解問

題,要根據(jù)自變量的變化范圍和方程及定解條件的具體情況來決

定選取某種變換,因而對一個偏微分方程的定解問題可能存在多

種變換解法,這在教材中都已做了較詳細(xì)的說明.選用解題方法時

必須加以注意.

三習(xí)題全解

習(xí)題一解答

1.求下列函數(shù)的Laplace變換,并給出其收斂域,再用查表的

方法來驗證結(jié)果.

108第二章Laplace變換

(1)/(f)=siny;(2)/(O=e'J';

(3)—(4)y'(z)—sini;

(5)/(t)=sinhkt為實常數(shù));(6)/(r)=cosh比,(攵為

復(fù)常數(shù));

(7)fit)-cos21;(8)j\t)=sin21.

解利用Laplace變換的定義求函數(shù)“7)的Laplace變換,并

且給出結(jié)果存在的收斂范圍,這些都是最基本的要求.為了方便起

見,以后的習(xí)題如無特別需要,可以不寫出它的收斂域、另外,用查

表的方法來驗證結(jié)果,其主要目的是學(xué)會使用Laplace變換表,請

讀者自行驗證.

(1)由Laplace變換定義,有

F(5)=?[/(£;]=「°/(1加7比

(用兩次分部積分)-7義二,(Re(s)>0),

4s+L

(2)F3)=&"(£)]j「7-2£"山

J0

.十8

二joe-(“2),df

二(5+2)eq

——x,(Re(s)>2).

s+2

(3)F(s)=9[f⑺1=[Ut

(用兩次分部積分)二三,(R心)〉0).

s

(4)F(s)~0[f(c)]=Jsin;cosIe<rdf

三習(xí)題全解109

sin2teltdt

o

(仿照(D的方法)=rL,(Re(s)〉O).

、T4

(5)F(x)=$"[,("_=fsinh氏/e"df

上式右端第一個積分要收斂,必須5)>3而第二個積分要收

斂,必須Re(s)>因此

F(5)=£[/(£)]-=y[sinhkt]

_1e-?<-*)/IGO_p1e一3

2Ts-Qo2二Ts不Qo

11

s,k)2(5+A)

=/^,(ReOh).

S-k

(6)F(s)二y[/(2)]=coshktes!dt

由于k為復(fù)常數(shù),上式右端第一個積分要收斂,必須Re(s)>

Re*),而第二個積分要收斂,必須Re(s)>-Re(出),因此

F(o)="[/(£)]=9’[er)3hkt]

=上t.■(?■*)/I.3?必r*8

2~(s-FT02二($工Go

=kTI+五ETT1,(RORe⑻I).

no第二章Laplace變換

(7)尸(犬)二,9[/'(/)]="df

Jo

=---+------H-------

2s2(1+4)

2―2

一,1f2&,(&(5)4°)?

s(s+4)

28

(8)F(5)-夕[/(£)]=siritcTil61

J0

(同⑺)i一本F

2

=內(nèi),(Re(s)>0).

s(s+4)

注如果已經(jīng)掌握了一些常見函數(shù)的Laplace變換式,例如

STsinkt]=2f.;91coskt]=£2;

^Le-J=1=

s十a(chǎn)s

等,則以上各小題就能更方便地得到結(jié)果.

2.求下列函數(shù)的Laplace變換:

三習(xí)題全解111

3,0</<2;3,;<y;

⑴/⑺T一1,2<£<4;(2).《)='

、0,1》4;cosz,z>^;

、1

(3)/(?)匚/十58(2);(4)f(t)=<xysfS(t)-sin

解(1)F(s)\f(z)e-"dr

=「31"dz+T-er,dt

JUJ2

_3c~w2e"4

-o-2

」.(3-4廠,+$7').

s

()()

(2)F5=?[/£]=f/(/)e-,rdr

Jo

=f>「卜8

e*d£IccsZe”山

/第一項用分部積分)=22、1**

{或查積分表J一11-e.1)--j—re7.

s-+1

(3)F(s)=9[/⑴]=J;(e2/+5^(?))e-*d/

,48

e2re-ndt+5「a(1)e-"dt

1F+5口⑺e-"dt

s-

(利用8-函數(shù)篩選性質(zhì))=。計5(e?)|

S—,"?,*0

_5s-9

3-2.

⑷F(5)=91/。]=「"

nost?8(1)-sint,以(f)九一”出

112第二章Laplace變換

110>

=(cmt?占(,)-sin/?u(Z))e

J-2

二cost?e-:u|-sin<fevdz

;=0.o

3.設(shè)fQ)是以2n為周期的函數(shù),且在一個周期內(nèi)的表達(dá)式

/、sinX,0<t4式:

Kt)=

0,7T<t<2-X.

求9"⑴].

解根據(jù)周期函數(shù)的Laplace變換公式,有

.9'

B"(,)]=丁、&

1—eJu

;----wsin£丁“df

1-eJo

(用分部積分法)二三

1

"(1-e-)(?+1)-

4.求下列各圖所示周期函數(shù)的Laplaa變換:

解(D由圖可知

/,(?)=r,0<?<b且5(f+,)=fit]

根據(jù)周期函數(shù)的Laplace變換公式,有

孑"⑺]二力『也

]—eJo

1-eu

三習(xí)隨全解113

_11—(1+bs)ek

,--

―65~2-

1-es

_(1+,邛)—(1+bs)e~bs—ba

=._彳)『——

_(£+6sL(1一巨艮)~"上5

(T二ef2一

_1+加b

=下一

(2)由圖可知f(,)=|sin-,0&,<n,且+4)=/(/),

所以

2"(2)]=.―^—777[IsinZIe"dE

IcJo

=-:—fsin.;e-'dr

1-eh

_1[e,r(5sintcosZ)1In

114第二章Laplace變換

_1c-7

一廠■T木?不”一

1.7T$

-j-coth亍.

1+SN

(3)由圖可知

.0,“Wr<2a;

D=<,

—1,2a<3a;

、0,3aWE<4a.

且“f+4a)=/(£),所以

^[/(f)]=?^/Q)e"d£

1-eJo

2<J

=].(1-e")(l-e-)

(1-ef+5"

_1-e"

-s(l+e-2ui)

l-e'2as

一s(l-「)(1-c-叼'

.1.e"V

-s(l+e-")'

/1/一?>?、lanh

s(1+e)as?

(4)由圖可知_/(,)=口fj+2力=/(6),

所以

三習(xí)題全解115

I

1

■??^277,----1----

_1?_—___C___

s1+e-17

=-1tanun右-&

x2

習(xí)題二解答

1.求下列函數(shù)的Laplace變換式:

(1)/(£)=「+3,+2;(2)/(,)=1一房;

⑶/(0二(一1)2-⑷/⑺工??;

(5)/'(E)=「cosat;(6)f(t)~5sin2t-3cos2i;

(7)/(r)=e-n6/;(b)j{r)=e"cos47;

⑼f(z)=i"e";(10)-5);

(12).d:.

(11)=

解本題主要是利用Laplace變換的性質(zhì)來求函數(shù)的Laplace

變換,這比使用Laplace變換的定義來求函數(shù)的Laplace變換要方

便得多.但必須對Ipplaee變換的性質(zhì)有較好的理解,還要熟悉和

掌握一些艷見函數(shù)的Laplae變換.

(1)F(5)=21./'(t)]

116第二章Laplace變換

=.9[t2+3r+2]

=¥[J】+3.夕[t]+2夕[1]

=l(2#+3$+2).

5

(2)F(i)=y[/(c)]

二”1]-9〔/門

11

注這里勺了是利用了位移性質(zhì).如使用象函

數(shù)的微分性質(zhì)團也⑴卜-白(《),其中G⑺=9“⑺]也

能得到同樣的結(jié)果.

⑶F(s)=y[/(?)]

="(一)%,]

="(〃-2,+1評」

=y[/2e]-2y[rer]+y[e]

=2_21

5—2

(S~1)(S1)5-1

=7~~〔2-2(S-1)+(、LI)2]

(5-1)

$2-4s+5

一一

—(76-1i)'3'"?

(4)F(5)=jZ[/(01

—9—sinat

LZaJ

r上iceJ-jafr

=y工J工L

L2u2jJ

(reja/-氣-小']

4aji

三習(xí)題全解117

_1/1一1|

4aj[($~ja)(s+ja)-/

_14aj,v

_s

(s1?aLy

注此小題也可利用象函數(shù)的微分性質(zhì)得到結(jié)果.

(5)Fd[、()]

=N[fcosat]

由.7'[cosat]

l及微分性質(zhì)

注此小題也可以利用位移性質(zhì)及cosa=¥片二獲得結(jié)果,

(6)F(s)=?"(f)]

~-J'[5fiixiIt—3cos2f]

10-3s

=1^'

(7)F(s)-i;[/(t))

=.7[tf"si”bt:

(由位移性質(zhì))=——'rvT-r-^-

(5+Z)卜3b

(8)F(.v)=y[/(f)]

=Y[e-t,cos4f]

-rrrsz+m4b,

118

第一早Laplace變換

⑼"⑺]

=*ftne“]

=7-(”為正整數(shù)).

\s-a,

注由“[/]二」一及微分性質(zhì)也能獲得結(jié)果.

N—a

(10)

F(.$)=.9[y(t)]

=.9[u(3f-5)[

~:j"[叫一;川

(由〃(?。┒ǎ??),。為正實數(shù))=/

U加

(用延遲性質(zhì))=J.c-

(11)F(s)"⑺]

=>/Lu(1—e,):

(由(,)

ul-e-=u(,))"[〃()]

1

s

(12)F(5)=/"⑺]

=.7'

丁行

1

r.——+I

(由位移性質(zhì))=_1.2

rT

/7「

(S-3。

「K

=習(xí)題全解119

其中

2,若“L/(/)」=G為正實數(shù),證明(相似性質(zhì))

/1/'("=%目,

并利用此結(jié)論,計算下列各式:

/,、口有「sinfI1-心sinat'

(1)已知.9一;-1=arctan--,求?——;

Li$Lt)

(2)求2[/(aL6)趾(a/'b)],b為正實數(shù);

⑶求邛為目:

(4)求夕卜―/工)二

證按定義,有

2[/(aZ)]=/(a?)ewdr

J0

(令af=〃)=『/(?)e—du

Jua

(換"為"=

工-F(V

a\a/

(1)因為)[竽]=arctan方,所以由相似性質(zhì),有

“sinat11

'J-----——arctan——.

LatJas

a

1,,Tsinat1a

即—J-----=—arctan—,

aLtJas

從而

a

:/=arctan——.

120第二章Laplace變換

(2)由于在延遲性質(zhì)的條件中附加了f<0時.這就

意味著

01f(t-b)u(t-b)]=V[f(t-Z;)]=e-/MF(A).

由相似性質(zhì),有

[f(at-b)u(at—b)=9"[/(at-b)]

—g

a

(3)根據(jù)位移性質(zhì):夕[5'/(力]二尸(s+l).從而由相似性質(zhì)

aa

J卜一丁八十)卜aF(as+1).

(4)因為夕[八二F(s),由相似性質(zhì),有

巾(!)]二①心).

再利用位移性質(zhì)可得

,VeU,/^~=°F(a(s+a))=aF(as+a?).

3.若證明(象函數(shù)的微分性質(zhì))

?")(—=(?l)"9![rf(/)],Re<3)>c.

恃別,£:,/(力]二-F'(s),或“£)=一:9一[卜($)],并利用

此結(jié)論,計算下列各式:

(1)f(t)=te-"sin2/,求F(s);

(2)f(t)=11e3rsin2ldtF(s);

J0

(3)F(.v)=In匚號,求f(t);

Sr1

三習(xí)鹿全斛121

(4)f(t)=.fe-3rsin&,求F(,v).

J0

證由Laplace變換的定義,有

(-O/(Q]

=£"(-/)V'(0e-"d?

p+?1]ft

=f為."""〕力

Juds

(變換積分與微分次序)-券r]。/(r)e^df

=F(")(s).

顯然,尸'(0=一衛(wèi)即

(力)]=一F'($),或/(r)=-;4一'[尸'(s)].

(1)因為(由位移性質(zhì))

“-一"sin2.=($+£>+4'

所以利用象函數(shù)的微分性質(zhì),有

d[2'

y[fe-i,sin2z]=

ds.(s+3產(chǎn)+4,

4(sI3)

一[(*+3)z+4p.

(2)因為(由積分性質(zhì))

9[[e"'sin2fdr=[elfsin2/]

"""1'2

~T

所以

¥|\「e7,5m2rdz]=—義f—|v2一^^

LJeJdsLs.($+3y+4]

_2(3,s-2+12s+13)

—sFs+af+仃'

122第二章Laplace變換

(3)因為

所以

/")=一;?[靜瀉)]

(4)因為(由積分性質(zhì))

sin2zdf]=J-I/L^-Jfsin2rJ

.JoJs

(由第(1)小題結(jié)論)=「/4Fl,?、#.

4.若¥[f(r)]=F(s),證明(象函數(shù)的積分性質(zhì))

.J":)=jF(、)ds.或J(i)=-1iJF(s}ds

并利用此結(jié)論,計算下列各式:

(1)/(/)=^—.^F(s);

(2)/(,):匚華2,求F、(s);

(3)F(s)—■二丁廣,求f(l):

(4)/(?)=工工:平紅出,求N3).

證由定義知

三習(xí)題全解123

,30.?-*>r/*-:G-

\F(5;ds-\“,f(t)e'Jdzds

J/J.,iJu

(交換積分次序);「O(f)e-'&]d;

JdLJ$J

.??:X?「]jc、?

=「*1

=,-.fJ1,

亦即有

/⑺二九/[「F(')d」

(1)利用象函數(shù)的積分性質(zhì),力

,F($)=?[/(z)]=3[粵紅]

J4J

7T

-2-Cretan

=arccot4-.

k

e“sin2i'

(2)—

?w

£[e-^sin2f]d

“no2

s(s+3尸+4小

124第二章Laplace變換

—arcian—5一

Z14

7T5*3

~~2~arctan—

$+I。

=arccot―、——.

⑶由公式

f(t)=zV[jF(s)ds

=W[「,工]yds

LJ,(s-1)

占]

—2?~si,riLnt.

/八5「「e-,sinIt.

(4)F(s)="[J——j----&

e-3/sin2t

(由第(2)小題)=!arccot

5

5.計算下列積分:

小「8e-”‘8s6"e-'"'8s%'八「…,

(3)----------------------------di;(4)e"cos2d;

Jo:Jo

(5)14e2zd?;(6)[A,sin2fd/;

三習(xí)題全解125

-ro-1]■

esinhrsmt,

(7)-----------------------dz:

Ji)

■+gr?3*2

(9)Pepsind;(10)|空~-dr:

J,)Ju廣

r<w

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