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文檔簡介
二例題分析99
dF()]=-//</).
即
&)_一;「
(4)從附錄D中公式(66),我們也已經(jīng)知道它的Laplace逆變
換,現(xiàn)在利用幕函數(shù)的Laplace變換,位移性質(zhì)及積分性質(zhì)來求證
這一結(jié)果.設(shè)E(s)=—?」,首先求為此,根據(jù)哥
Vs+〃
函數(shù)的Laplace變換式:
取5=>1J,有
所以,上式兩邊取Laplace逆變換,有
,’1;-三1,
W5J
由位移性質(zhì),可以得到
100第二章Laplace變換
根據(jù)積分性質(zhì):9口:人(,)+]=,所以
f(t)=9"[F(S)]=..Lpi(s)j=/1,(t)dz
L5JJo
這里,erf(i)=圣[e‘dr稱為誤差函數(shù).
VTtJo
例2-3利用Laplace變換,計算下列廣義積分:
八、sin£cost1,,sinl
(1)--;----d£;(2)——edt;
Jo1Jor
,4B0+m
(3)re"2rcosrdr;(4)e-/(^sint)'dz.
J0Jo
解利用Laplace變換求解某些廣義積分的值是十分有效
的.一般是通過Laplace變換的積分性質(zhì)(象函數(shù)的積分性質(zhì))及
終值定理來完成.對于廣義積分的被積函數(shù)形如
c~cos/3tf{t);c-<>fginptf(.t)
的類型還可以得到更為簡便的計算方法.
(1)方法1利用Laplace變換的定義及積分性質(zhì),因為
sinfcost,1sin2f」
---------dt二虧一--dr
Jot2Jot
由積分性質(zhì)知
"[牛HI"叫其中Wf⑺]=F3)
因此
sin2i卜uu?c.
o
[sin2iIds
二例題分析101
2
-arctan-5.(ReG)>0).
~2
令sf。',則
即
方法2由積分性質(zhì)和終值定理,可以直接得到
/(t)dfrKmF(s),其中F(s)——[/(,)].
0J—0
因此
而
同樣,有
sinZcostA.1「一/元5\1冗
----d£二寸hmk—arctank)=>
t213122/4
(2)方法1利用Laplace變換的定義及積分性質(zhì).因為
~2-arctan5,
即
s)ntJ'sin£-?c
---ed,=彳一arcxans,
由于s=l在半平面Re(s)>0內(nèi),因此,在;=1時,有
102第二章Laplace變換
方法2我們已經(jīng)知道a[誓]=,仃-由位移性
質(zhì),有
9'。一'-;-arctan(.$+1).
從而
「gsint,[.\sint_-
----ed£—Limi/<z\-----er
Jl)tBLt.
兄7T
=limt一arctan(3+1)
.一QLLT
(3)根據(jù)例2-1的第(1)小題,我們已經(jīng)求得
£[/(,)]=g[,CCR犯]二「尸Q?
LU-3)+BJ
而本小題取Q=-2,£=1,完全可以按上述兩小題的兩種方法求得
該廣義積分的結(jié)果,但對于廣義積分的被積函數(shù)為6co8泣人£)及
/sin伐f(D類型,這里介紹一種更簡便的計算方法(但必須f⑺
的Laplace變換容易求得).根據(jù)Laplace變換的定義,有
F($)-£[/(/)]—廠/⑺…人
現(xiàn)取復(fù)變量s=a+R(Rc(s)=a〉c),即
F(a十甲)-j;jWei向
g04-oc
=eQicos他f(£)d±-je"sin伙/(2)dt.
JoJo
因此
e"cos但f(t)dt-Re[F(a+j/?)],(Re(s)—a>c),
J0
8
p"sin/f(/)d/=-Tm[F(r>+j/9)].(Re(s)=a>c)?
Ju
特別,當(dāng)a=0時,有
8
cos阿=ReCF(j/?)],(Rc(x)-02>c)
二例地分析103
「1g
sini}dt=—Ira:F(jS)],(Re(s)=0>c)
、°
當(dāng)f=0時,有
p+8
|e"尸(()d£—Re[F(a)]「F(a),Rc(6)-a>c,
Jo
而當(dāng)a=B=0時,實際上就是由終值定理得出的結(jié)果:
「8
/〈Z)df=F(0)==limF(s).
Ju'.7
本小題根據(jù)上面的計算公式,有〃r)=f,a=2甲=1,所以
)[/(£)1=F(s)=},s=2十j,
從而
).OD
fe"cos£d£=Re[F(s)]=Re^^TjyT
0
r1,3
=Re二Re[碧卜藥?
(4)因為
pI8”8
ef(Zsint)3d/=「efsin3,
Jo
而由Euler公式,有
?3,一/0K—e_3.,1.
sin/=---k=^2rsint一丁sina□t.
\2j44
根據(jù)第(3)小題的方法,有
N「I3「4-8
Je'sin'dl=彳te-rsinzdi—yZ3e-rsin3tdt
fo4o
而/(£)=/,有Z[*z)]=2[j]=?,對于上式第一項,=1+
s
j,有
6_6__3
z―(i+j)4——爹,
對于上式第二項s=1十3j.有
1G4第二章Laplace變換
666…2136,
s4(l+3j)128—96jI250625人
因此
「1_一31-6L11「6I
fesmt——7—Im7-7、」4+j-Irn?—4丁、丁
Jo4L(1+j)J41(1+3j)」
3i/3\-2136.1
工Th,1[2]1~4lm,T25^'625J1
-136_9
-u+丁亦-皈-
例2-4利用Laplace變換求下列微分、積分方程的解:
-
(I)1y"+2y'+y=我一,了(0)?1,_y'(0)2;
(2)cos(t—r)y(r)dr=icost;
J01
(3)y"+2y=sint-y(r)dr,^(0)=0.
Jo
解利用Laplace變換求解微分、積分方程的優(yōu)點在教材中
已作了較詳細(xì)的說明.這里主要是利用Laplace變換的基本性質(zhì),
特別是線性性質(zhì)、微分性質(zhì)、積分性質(zhì)及卷積定理來求這些方程的
解.
(1)設(shè)Y(s),對方程兩邊取Laplace變換,有
(s2y(s)-s+2)+2(sY(s)-1)+丫(S)-7~-E,
3+1;
(5?I2s,1)Y(5)=-;―J2*S?
(5+1)
所以
W、_1,5,_1I1_1
w-UTTT(7+i)2"(s+ir(5+1產(chǎn)
從而
可)=,3「+「-It''
二例題分析1。5
(2)設(shè)夕[”(/)]=丫(s),由附錄口中公式(io)可知
2—1
J£[zcos£”^4^^(實際上由Ruler公式,位移性質(zhì)或象函數(shù)
的微分性質(zhì)可以直接求得此結(jié)果).根據(jù)卷積定理,有
y[cost*y[£)]-》[fcos11-'r~2,
15+1)
即
52-1
——-■y(sj:、,:
s.+1<?VI產(chǎn)
所以
y(J_$_L..2s1
yejR?vTr了三
因此
y(O—2cosr-1*
(3)設(shè)式[y(z)]=Y(s),由微分性質(zhì)和積分性質(zhì),有
$丫(5)+2丫(5)==匚」-丫⑷,
§*i]N
即
(5+2+抄⑴=普,
11
y(s)=EyV+T5=*r*iy
例2-5求解定解問題
'J?
-=2x1;(0<J,z<+8)
da*d:t?
51j2
UI,_0-X;
、“I工-o3,.
1D6第二章Laplace變換
解設(shè)二元函數(shù)漢(彳"),這里『,/的變化范圍均為
(0,+8);由所紿的定解條件可以看出,本例題關(guān)于I,關(guān)于/都
可以取Laplace變換.
方法1該定解問題關(guān)于1取Laplace變換,記
4「“(工")I=U(s.r).
由微分性質(zhì)及已知條件觀IK=3Z,可以推出%=3,從|仙
I.妾天JLa工[引〃
.遍dUa
=s31I-%--J--,%--…=c,di£—?S
這樣,原定解問題轉(zhuǎn)化為含有參數(shù)s的一階常系數(shù)線性微分方程
的初值問題,即
(d__U=2乙+3?
dr1__」
UIe=4.
IS
解此微分方程,可得其通解為
)+〃,(.為待定常數(shù))
結(jié)合初始條件,可得q=g.因此
21z13上2
UTT=r?虧?+—t+方,
s2s$
從而
“(工“)=;l2/+3r+/=+1*2+3/.
方法2該定解問題關(guān)于,取Laplace變換,記
S[%(%,£)]=U(工,5),
同樣,由微分性質(zhì)及已知條件wL-o??::,,可以推出裝;=2],
3HL=o
三習(xí)題全解107
從而
ra2u'色/也「\3u~\a〃|
='£.乙[a).—A.i/'13]["l,=u
dUQ
='一,力?
這樣,原定解問題轉(zhuǎn)化為含有參數(shù)S的一階常系數(shù)線性微分方程
的初值問題,即
dU2工2
3
5,-。
2.
§
解此微分方程,并結(jié)合初始條件,可得
SSS
從而
u(x,t)=-^-t2J-2-x+3f=丁U+1b2+3工.
總之,用積分變換(這里主要指Fcurier變換,Laplace變換及
Fourier正弦變換和Fourier余弦變換)求解偏微分方程的定解問
題,要根據(jù)自變量的變化范圍和方程及定解條件的具體情況來決
定選取某種變換,因而對一個偏微分方程的定解問題可能存在多
種變換解法,這在教材中都已做了較詳細(xì)的說明.選用解題方法時
必須加以注意.
三習(xí)題全解
習(xí)題一解答
1.求下列函數(shù)的Laplace變換,并給出其收斂域,再用查表的
方法來驗證結(jié)果.
108第二章Laplace變換
(1)/(f)=siny;(2)/(O=e'J';
(3)—(4)y'(z)—sini;
(5)/(t)=sinhkt為實常數(shù));(6)/(r)=cosh比,(攵為
復(fù)常數(shù));
(7)fit)-cos21;(8)j\t)=sin21.
解利用Laplace變換的定義求函數(shù)“7)的Laplace變換,并
且給出結(jié)果存在的收斂范圍,這些都是最基本的要求.為了方便起
見,以后的習(xí)題如無特別需要,可以不寫出它的收斂域、另外,用查
表的方法來驗證結(jié)果,其主要目的是學(xué)會使用Laplace變換表,請
讀者自行驗證.
(1)由Laplace變換定義,有
F(5)=?[/(£;]=「°/(1加7比
(用兩次分部積分)-7義二,(Re(s)>0),
4s+L
(2)F3)=&"(£)]j「7-2£"山
J0
.十8
二joe-(“2),df
二(5+2)eq
——x,(Re(s)>2).
s+2
(3)F(s)=9[f⑺1=[Ut
(用兩次分部積分)二三,(R心)〉0).
s
(4)F(s)~0[f(c)]=Jsin;cosIe<rdf
三習(xí)題全解109
sin2teltdt
o
(仿照(D的方法)=rL,(Re(s)〉O).
、T4
(5)F(x)=$"[,("_=fsinh氏/e"df
上式右端第一個積分要收斂,必須5)>3而第二個積分要收
斂,必須Re(s)>因此
F(5)=£[/(£)]-=y[sinhkt]
_1e-?<-*)/IGO_p1e一3
2Ts-Qo2二Ts不Qo
11
s,k)2(5+A)
=/^,(ReOh).
S-k
(6)F(s)二y[/(2)]=coshktes!dt
由于k為復(fù)常數(shù),上式右端第一個積分要收斂,必須Re(s)>
Re*),而第二個積分要收斂,必須Re(s)>-Re(出),因此
F(o)="[/(£)]=9’[er)3hkt]
=上t.■(?■*)/I.3?必r*8
2~(s-FT02二($工Go
=kTI+五ETT1,(RORe⑻I).
no第二章Laplace變換
(7)尸(犬)二,9[/'(/)]="df
Jo
=---+------H-------
2s2(1+4)
2―2
一,1f2&,(&(5)4°)?
s(s+4)
28
(8)F(5)-夕[/(£)]=siritcTil61
J0
(同⑺)i一本F
2
=內(nèi),(Re(s)>0).
s(s+4)
注如果已經(jīng)掌握了一些常見函數(shù)的Laplace變換式,例如
STsinkt]=2f.;91coskt]=£2;
^Le-J=1=
s十a(chǎn)s
等,則以上各小題就能更方便地得到結(jié)果.
2.求下列函數(shù)的Laplace變換:
三習(xí)題全解111
3,0</<2;3,;<y;
⑴/⑺T一1,2<£<4;(2).《)='
、0,1》4;cosz,z>^;
、1
(3)/(?)匚/十58(2);(4)f(t)=<xysfS(t)-sin
解(1)F(s)\f(z)e-"dr
=「31"dz+T-er,dt
JUJ2
_3c~w2e"4
-o-2
」.(3-4廠,+$7').
s
()()
(2)F5=?[/£]=f/(/)e-,rdr
Jo
=f>「卜8
e*d£IccsZe”山
/第一項用分部積分)=22、1**
{或查積分表J一11-e.1)--j—re7.
s-+1
(3)F(s)=9[/⑴]=J;(e2/+5^(?))e-*d/
,48
e2re-ndt+5「a(1)e-"dt
1F+5口⑺e-"dt
s-
(利用8-函數(shù)篩選性質(zhì))=。計5(e?)|
S—,"?,*0
_5s-9
3-2.
⑷F(5)=91/。]=「"
nost?8(1)-sint,以(f)九一”出
112第二章Laplace變換
110>
=(cmt?占(,)-sin/?u(Z))e
J-2
二cost?e-:u|-sin<fevdz
;=0.o
3.設(shè)fQ)是以2n為周期的函數(shù),且在一個周期內(nèi)的表達(dá)式
為
/、sinX,0<t4式:
Kt)=
0,7T<t<2-X.
求9"⑴].
解根據(jù)周期函數(shù)的Laplace變換公式,有
.9'
B"(,)]=丁、&
1—eJu
;----wsin£丁“df
1-eJo
(用分部積分法)二三
1
"(1-e-)(?+1)-
4.求下列各圖所示周期函數(shù)的Laplaa變換:
解(D由圖可知
/,(?)=r,0<?<b且5(f+,)=fit]
根據(jù)周期函數(shù)的Laplace變換公式,有
孑"⑺]二力『也
]—eJo
1-eu
三習(xí)隨全解113
_11—(1+bs)ek
,--
―65~2-
1-es
_(1+,邛)—(1+bs)e~bs—ba
=._彳)『——
_(£+6sL(1一巨艮)~"上5
(T二ef2一
_1+加b
=下一
(2)由圖可知f(,)=|sin-,0&,<n,且+4)=/(/),
所以
2"(2)]=.―^—777[IsinZIe"dE
IcJo
=-:—fsin.;e-'dr
1-eh
_1[e,r(5sintcosZ)1In
114第二章Laplace變換
_1c-7
一廠■T木?不”一
1.7T$
-j-coth亍.
1+SN
(3)由圖可知
.0,“Wr<2a;
D=<,
—1,2a<3a;
、0,3aWE<4a.
且“f+4a)=/(£),所以
^[/(f)]=?^/Q)e"d£
1-eJo
2<J
=].(1-e")(l-e-)
(1-ef+5"
_1-e"
-s(l+e-2ui)
l-e'2as
一s(l-「)(1-c-叼'
.1.e"V
-s(l+e-")'
/1/一?>?、lanh
s(1+e)as?
(4)由圖可知_/(,)=口fj+2力=/(6),
所以
三習(xí)題全解115
I
1
■??^277,----1----
_1?_—___C___
s1+e-17
=-1tanun右-&
x2
習(xí)題二解答
1.求下列函數(shù)的Laplace變換式:
(1)/(£)=「+3,+2;(2)/(,)=1一房;
⑶/(0二(一1)2-⑷/⑺工??;
(5)/'(E)=「cosat;(6)f(t)~5sin2t-3cos2i;
(7)/(r)=e-n6/;(b)j{r)=e"cos47;
⑼f(z)=i"e";(10)-5);
(12).d:.
(11)=
也
解本題主要是利用Laplace變換的性質(zhì)來求函數(shù)的Laplace
變換,這比使用Laplace變換的定義來求函數(shù)的Laplace變換要方
便得多.但必須對Ipplaee變換的性質(zhì)有較好的理解,還要熟悉和
掌握一些艷見函數(shù)的Laplae變換.
(1)F(5)=21./'(t)]
116第二章Laplace變換
=.9[t2+3r+2]
=¥[J】+3.夕[t]+2夕[1]
=l(2#+3$+2).
5
(2)F(i)=y[/(c)]
二”1]-9〔/門
11
注這里勺了是利用了位移性質(zhì).如使用象函
數(shù)的微分性質(zhì)團也⑴卜-白(《),其中G⑺=9“⑺]也
能得到同樣的結(jié)果.
⑶F(s)=y[/(?)]
="(一)%,]
="(〃-2,+1評」
=y[/2e]-2y[rer]+y[e]
=2_21
5—2
(S~1)(S1)5-1
=7~~〔2-2(S-1)+(、LI)2]
(5-1)
$2-4s+5
一一
—(76-1i)'3'"?
(4)F(5)=jZ[/(01
—9—sinat
LZaJ
r上iceJ-jafr
=y工J工L
L2u2jJ
(reja/-氣-小']
4aji
三習(xí)題全解117
_1/1一1|
4aj[($~ja)(s+ja)-/
_14aj,v
_s
(s1?aLy
注此小題也可利用象函數(shù)的微分性質(zhì)得到結(jié)果.
(5)Fd[、()]
=N[fcosat]
由.7'[cosat]
l及微分性質(zhì)
注此小題也可以利用位移性質(zhì)及cosa=¥片二獲得結(jié)果,
(6)F(s)=?"(f)]
~-J'[5fiixiIt—3cos2f]
10-3s
=1^'
(7)F(s)-i;[/(t))
=.7[tf"si”bt:
(由位移性質(zhì))=——'rvT-r-^-
(5+Z)卜3b
(8)F(.v)=y[/(f)]
=Y[e-t,cos4f]
-rrrsz+m4b,
118
第一早Laplace變換
⑼"⑺]
=*ftne“]
=7-(”為正整數(shù)).
\s-a,
注由“[/]二」一及微分性質(zhì)也能獲得結(jié)果.
N—a
(10)
F(.$)=.9[y(t)]
=.9[u(3f-5)[
~:j"[叫一;川
(由〃(?。┒ǎ??),。為正實數(shù))=/
U加
(用延遲性質(zhì))=J.c-
(11)F(s)"⑺]
=>/Lu(1—e,):
(由(,)
ul-e-=u(,))"[〃()]
1
s
(12)F(5)=/"⑺]
=.7'
丁行
1
r.——+I
(由位移性質(zhì))=_1.2
rT
/7「
(S-3。
「K
=習(xí)題全解119
其中
2,若“L/(/)」=G為正實數(shù),證明(相似性質(zhì))
/1/'("=%目,
并利用此結(jié)論,計算下列各式:
/,、口有「sinfI1-心sinat'
(1)已知.9一;-1=arctan--,求?——;
Li$Lt)
(2)求2[/(aL6)趾(a/'b)],b為正實數(shù);
⑶求邛為目:
(4)求夕卜―/工)二
證按定義,有
2[/(aZ)]=/(a?)ewdr
J0
(令af=〃)=『/(?)e—du
Jua
(換"為"=
工-F(V
a\a/
(1)因為)[竽]=arctan方,所以由相似性質(zhì),有
“sinat11
'J-----——arctan——.
LatJas
a
1,,Tsinat1a
即—J-----=—arctan—,
aLtJas
從而
a
:/=arctan——.
120第二章Laplace變換
(2)由于在延遲性質(zhì)的條件中附加了f<0時.這就
意味著
01f(t-b)u(t-b)]=V[f(t-Z;)]=e-/MF(A).
由相似性質(zhì),有
[f(at-b)u(at—b)=9"[/(at-b)]
—g
a
(3)根據(jù)位移性質(zhì):夕[5'/(力]二尸(s+l).從而由相似性質(zhì)
aa
J卜一丁八十)卜aF(as+1).
(4)因為夕[八二F(s),由相似性質(zhì),有
巾(!)]二①心).
再利用位移性質(zhì)可得
,VeU,/^~=°F(a(s+a))=aF(as+a?).
3.若證明(象函數(shù)的微分性質(zhì))
?")(—=(?l)"9![rf(/)],Re<3)>c.
恃別,£:,/(力]二-F'(s),或“£)=一:9一[卜($)],并利用
此結(jié)論,計算下列各式:
(1)f(t)=te-"sin2/,求F(s);
(2)f(t)=11e3rsin2ldtF(s);
J0
(3)F(.v)=In匚號,求f(t);
Sr1
三習(xí)鹿全斛121
(4)f(t)=.fe-3rsin&,求F(,v).
J0
證由Laplace變換的定義,有
(-O/(Q]
=£"(-/)V'(0e-"d?
p+?1]ft
=f為."""〕力
Juds
(變換積分與微分次序)-券r]。/(r)e^df
=F(")(s).
顯然,尸'(0=一衛(wèi)即
(力)]=一F'($),或/(r)=-;4一'[尸'(s)].
(1)因為(由位移性質(zhì))
“-一"sin2.=($+£>+4'
所以利用象函數(shù)的微分性質(zhì),有
d[2'
y[fe-i,sin2z]=
ds.(s+3產(chǎn)+4,
4(sI3)
一[(*+3)z+4p.
(2)因為(由積分性質(zhì))
9[[e"'sin2fdr=[elfsin2/]
"""1'2
~T
所以
¥|\「e7,5m2rdz]=—義f—|v2一^^
LJeJdsLs.($+3y+4]
_2(3,s-2+12s+13)
—sFs+af+仃'
122第二章Laplace變換
(3)因為
所以
/")=一;?[靜瀉)]
(4)因為(由積分性質(zhì))
sin2zdf]=J-I/L^-Jfsin2rJ
.JoJs
(由第(1)小題結(jié)論)=「/4Fl,?、#.
4.若¥[f(r)]=F(s),證明(象函數(shù)的積分性質(zhì))
.J":)=jF(、)ds.或J(i)=-1iJF(s}ds
并利用此結(jié)論,計算下列各式:
(1)/(/)=^—.^F(s);
(2)/(,):匚華2,求F、(s);
(3)F(s)—■二丁廣,求f(l):
(4)/(?)=工工:平紅出,求N3).
證由定義知
三習(xí)題全解123
,30.?-*>r/*-:G-
\F(5;ds-\“,f(t)e'Jdzds
J/J.,iJu
(交換積分次序);「O(f)e-'&]d;
JdLJ$J
.??:X?「]jc、?
=「*1
=,-.fJ1,
亦即有
/⑺二九/[「F(')d」
(1)利用象函數(shù)的積分性質(zhì),力
,F($)=?[/(z)]=3[粵紅]
J4J
7T
-2-Cretan
=arccot4-.
k
e“sin2i'
(2)—
?w
£[e-^sin2f]d
“no2
s(s+3尸+4小
124第二章Laplace變換
—arcian—5一
Z14
7T5*3
~~2~arctan—
八
$+I。
=arccot―、——.
⑶由公式
f(t)=zV[jF(s)ds
=W[「,工]yds
LJ,(s-1)
占]
—2?~si,riLnt.
/八5「「e-,sinIt.
(4)F(s)="[J——j----&
e-3/sin2t
(由第(2)小題)=!arccot
5
5.計算下列積分:
小「8e-”‘8s6"e-'"'8s%'八「…,
(3)----------------------------di;(4)e"cos2d;
Jo:Jo
(5)14e2zd?;(6)[A,sin2fd/;
三習(xí)題全解125
-ro-1]■
esinhrsmt,
(7)-----------------------dz:
Ji)
■+gr?3*2
(9)Pepsind;(10)|空~-dr:
J,)Ju廣
r<w
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