新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第12講 三角函數(shù)恒等變換（練）（解析版）

第02講三角恒等變換一、單選題1．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用弦化切和兩角和的正切展開式化簡計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：C.2．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式將SKIPIF1<0化簡為SKIPIF1<0，即可求得答案.【詳解】由題意知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,故選:A．3．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式和輔助角公式對(duì)SKIPIF1<0進(jìn)行化簡，可得SKIPIF1<0，再利用二倍角的余弦公式即可得到答案【詳解】解：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：D4．已知函數(shù)SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出SKIPIF1<0，然后利用兩角和的余弦公式可求得SKIPIF1<0的值.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：B5．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由二倍角公式將的等式右側(cè)化簡，再利用分式運(yùn)算及兩角和差的余弦公式化簡，根據(jù)SKIPIF1<0，即可求得SKIPIF1<0的值.【詳解】解：由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：A.6．已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得最大值，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根輔助角公式和正弦函數(shù)最值求解即可.【詳解】SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為銳角，SKIPIF1<0.因?yàn)楫?dāng)SKIPIF1<0處取得最大值，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A7．已知角SKIPIF1<0的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與SKIPIF1<0軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用三角函數(shù)定義求出SKIPIF1<0，再利用二倍角的余弦公式結(jié)合齊次式法求解作答.【詳解】依題意，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，從而得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D8．公元前六世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在研究正五邊形和正十邊形的作圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)了黃金分割約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．1 B．2 C．-1 D．-2【答案】D【分析】由平方關(guān)系結(jié)合二倍角正弦和余弦公式得出答案.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故選：D.二、填空題9．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】先求出SKIPIF1<0，再利用和差角公式即可求解.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<010．SKIPIF1<0_____.【答案】SKIPIF1<0【分析】通分利用輔助角公式及二倍角公式計(jì)算可得；【詳解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<011．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是第一象限角，則SKIPIF1<0_____________．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用兩角差的正切公式求出SKIPIF1<0，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0是第一象限角，所以SKIPIF1<0；故答案為：SKIPIF1<0三、解答題12．已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)若函數(shù)SKIPIF1<0的圖象過點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用三角恒等變換整理化簡SKIPIF1<0，根據(jù)題意代入整理得SKIPIF1<0，結(jié)合角SKIPIF1<0的范圍求解；（2）根據(jù)題意代入整理，以SKIPIF1<0為整體運(yùn)算求解，注意根據(jù)角的范圍判斷三角函數(shù)值的符號(hào)．（1）因?yàn)镾KIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0的圖象過點(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.13．已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的解析式；(2)求函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的值域.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合二倍角的正余弦公式和輔助角公式即可得解；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合整體思想即可得解.（1）解：SKIPIF1<0；（2）解：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的值域?yàn)镾KIPIF1<0.一、單選題1．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】將SKIPIF1<0化為SKIPIF1<0，利用誘導(dǎo)公式以及二倍角的余弦公式，化簡求值，可得答案.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,故選：A.2．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由SKIPIF1<0及二倍角的余弦公式可得SKIPIF1<0，根據(jù)兩角差的正弦公式可得SKIPIF1<0，由誘導(dǎo)公式及SKIPIF1<0的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.由于函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選:C.3．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)題意得SKIPIF1<0，進(jìn)而結(jié)合二倍角公式降冪求解即可.【詳解】解：因?yàn)镾KIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故選：B4．函數(shù)SKIPIF1<0的最小正周期是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】將SKIPIF1<0解析式用正余弦的和差角公式展開化簡，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故選:B.5．已知角SKIPIF1<0的終邊在直線SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由題意可得SKIPIF1<0，然后化簡變形SKIPIF1<0，再給分子分母同除以SKIPIF1<0，化為正切，再代值計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榻荢KIPIF1<0的終邊在直線SKIPIF1<0上，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，在直線上取一點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，在直線上取一點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，綜上SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：A.6．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用商數(shù)關(guān)系式和二倍角公式化簡題設(shè)中的三角函數(shù)式可得SKIPIF1<0，再根據(jù)二倍角的余弦公式可求SKIPIF1<0的值.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故選：D.二、填空題7．化簡：SKIPIF1<0值是________．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用和差角的余弦公式和誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡即可【詳解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<08．若函數(shù)SKIPIF1<0的圖像關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，則SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】由題知SKIPIF1<0，進(jìn)而解方程即可得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0的圖像關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時(shí)取得最值，所以，結(jié)合輔助角公式得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<09．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為________.【答案】SKIPIF1<0【分析】依題意利用和差角公式將其變形為SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，再利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，等號(hào)成立，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0三、解答題10．如圖，某圓形小區(qū)有兩塊空余綠化扇形草地SKIPIF1<0（圓心角為SKIPIF1<0）和SKIPIF1<0（圓心角為SKIPIF1<0），SKIPIF1<0為圓的直徑.現(xiàn)分別要設(shè)計(jì)出兩塊社區(qū)活動(dòng)區(qū)域，其中一塊為矩形區(qū)域SKIPIF1<0，一塊為平行四邊形區(qū)域SKIPIF1<0，已知圓的直徑SKIPIF1<0百米，且點(diǎn)SKIPIF1<0在劣弧SKIPIF1<0上（不含端點(diǎn)），點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上?點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上?點(diǎn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上?點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，記SKIPIF1<0.(1)經(jīng)設(shè)計(jì)，當(dāng)SKIPIF1<0達(dá)到最大值時(shí)，取得最佳觀賞效果，求SKIPIF1<0取何值時(shí)，SKIPIF1<0最大，最大值是多少？(2)設(shè)矩形SKIPIF1<0和平行四邊形SKIPIF1<0面積和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值及此時(shí)SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最大值為SKIPIF1<0百米(2)SKIPIF1<0百米SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【分析】對(duì)于小問1，分別用變量SKIPIF1<0來表達(dá)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)，進(jìn)行三角恒等變換整理成SKIPIF1<0型函數(shù)求最大值；對(duì)于小問2，分別用變量SKIPIF1<0來表達(dá)矩形SKIPIF1<0和平行四邊形SKIPIF1<0面積相加，得關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)，進(jìn)行三角恒等變換整理成SKIPIF1<0型函數(shù)求最大值.（1）在矩形OEFG中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镸N∥PQ，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在△OQP中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理可知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最大值為SKIPIF1<0百米.（2）設(shè)平行四邊形MNPQ邊MN上的高為h，所以有SKIPIF1<0，所以平行四邊形MNPQ的面積為SKIPIF1<0，在矩形OEFG中，SKIPIF1<0，所以矩形OEFG的面積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0百米2，此時(shí)SKIPIF1<0.一、單選題1．（2022·全國·高考真題）若SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】由已知得：SKIPIF1<0,即：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故選：C2．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減 B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減 D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增【答案】C【分析】化簡得出SKIPIF1<0，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0.對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不單調(diào)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不單調(diào)，D錯(cuò).故選：C.3．（2022·天津）已知SKIPIF1<0，關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說法：①SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；③當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0的圖象可由SKIPIF1<0的圖象向左平移SKIPIF1<0個(gè)單位長度得到．以上四個(gè)說法中，正確的個(gè)數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及變換法則即可判斷各說法的真假．【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，①不正確；令SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，②正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，③不正確；由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的圖象可由SKIPIF1<0的圖象向右平移SKIPIF1<0個(gè)單位長度得到，④不正確．故選：A．4．（2022·浙江）為了得到函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，只要把函數(shù)SKIPIF1<0圖象上所有的點(diǎn)（

）A．向左平移SKIPIF1<0個(gè)單位長度 B．向右平移SKIPIF1<0個(gè)單位長度C．向左平移SKIPIF1<0個(gè)單位長度 D．向右平移SKIPIF1<0個(gè)單位長度【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換法則即可求出．【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以把函數(shù)SKIPIF1<0圖象上的所有點(diǎn)向右平移SKIPIF1<0個(gè)單位長度即可得到函數(shù)SKIPIF1<0的圖象．故選：D.

5．（2021·全國（文））函數(shù)SKIPIF1<0的最小正周期和最大值分別是（

）A．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0和2 C．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0和2【答案】C【分析】利用輔助角公式化簡SKIPIF1<0，結(jié)合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和最大值.【詳解】由題，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，最大值為SKIPIF1<0.故選：C．6．（2021·全國（文））若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由二倍角公式可得SKIPIF1<0，再結(jié)合已知可求得SKIPIF1<0，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：A.7．（2021·全國）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡，然后增添分母(SKIPIF1<0)，進(jìn)行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入SKIPIF1<0即可得到結(jié)果．【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：C．二、多選題8．（2022·全國）已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖像關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0中心對(duì)稱，則（

）A．SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0單調(diào)遞減B．SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0有兩個(gè)極值點(diǎn)C．直線SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0的對(duì)稱軸D．直線SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0的切線【答案】AD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出．【詳解】由題意得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0