新高考數(shù)學一輪復習講與練第07講 一元函數(shù)的導數(shù)及其應用（講）（原卷版）

第1講一元函數(shù)的導數(shù)及其應用（一）本講為重要知識點，也是高中的難點。題型主要圍繞導數(shù)的幾何意義結合函數(shù)的思想考察。基本會考察一題關于函數(shù)本身的基礎題和一道導數(shù)大題，第一問對于幾何意義的考察屬于基礎知識，必須掌握，第二問的題型相對較多，需要對于導數(shù)的應用和函數(shù)的思想相結合去理解其中的變形目的?？键c一導數(shù)的概念及運算1．導數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率SKIPIF1<0為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y′SKIPIF1<0即f′x0＝SKIPIF1<0.稱函數(shù)f′(x)＝SKIPIF1<0為f(x)的導函數(shù)．2．導數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點P(x0，f(x0))處的切線的斜率．相應地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)導函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝exf′(x)＝SKIPIF1<0f(x)＝lnxf′(x)＝SKIPIF1<0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝SKIPIF1<04.導數(shù)的運算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)SKIPIF1<0(g(x)≠0)．5.常用結論1.f′(x0)代表函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)值；(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導數(shù)，且(f(x0))′＝0.2.SKIPIF1<0′＝－SKIPIF1<0.3.曲線的切線與曲線的公共點的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點.4.函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”.考點二利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，(1)若f′(x)>0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)若f′(x)<0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；(3)若恒有f′(x)＝0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)是常數(shù)函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實質是解不等式，求解時，要堅持“定義域優(yōu)先”原則.2.常用結論匯總——規(guī)律多一點(1)在某區(qū)間內(nèi)f′(x)>0(f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件．(2)可導函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零．考點三利用導數(shù)解決函數(shù)的極值最值1．函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，則點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，則點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.①函數(shù)fx在x0處有極值的必要不充分條件是f′x0＝0，極值點是f′x＝0的根，但f′x＝0的根不都是極值點例如fx＝x3，f′0＝0，但x＝0不是極值點.②極值反映了函數(shù)在某一點附近的大小情況，刻畫的是函數(shù)的局部性質.極值點是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部的點，不會是端點.2．函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．3常用結論1.對于可導函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件.2.求最值時，應注意極值點和所給區(qū)間的關系，關系不確定時，需要分類討論，不可想當然認為極值就是最值.3.函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關系.考點四利用導數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題1．生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．2．利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的實質是求函數(shù)最值．3．解決優(yōu)化問題的基本思路是什么？答案上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的數(shù)學建模過程．4.對于優(yōu)化問題，建立模型之后需要對模型進行最大值最小值的求解，從而轉化為導數(shù)求極值最值問題.高頻考點一導數(shù)的概念及其意義例1、函數(shù)SKIPIF1<0的圖象如圖所示，SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的導函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式訓練】1、若函數(shù)SKIPIF1<0在點（1，f（1））處的切線的斜率為1，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0高頻考點二導數(shù)的運算例1、已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式訓練】1、函數(shù)SKIPIF1<0的圖像在點SKIPIF1<0處的切線方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0高頻考點三導數(shù)在研究函數(shù)中的應用例1、已知函數(shù)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象有兩個交點，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式訓練】1、已知函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0