《數(shù)學(xué)教學(xué)案 教學(xué)設(shè)計(jì)》高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講稿 09 立體幾何 （文）

《數(shù)學(xué)教學(xué)案教學(xué)設(shè)計(jì)》高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)精品講

稿（教師版）

專題09立體幾何文（教師版）

【考點(diǎn)定位】2011考綱解讀和近幾年考點(diǎn)分布

2012考綱解讀

考綱原文：

（1）空間幾何體①認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合儂的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征

描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)造畫出二單空間口形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱

等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表廣的立體模型，會用斜二測法畫出它們

的直觀圖.③會用平行投影與中心二影兩種方法民空面單空間圖形的三視圖與直觀圖，了

解空間圖形的不同表示形式.④會畫某些二北湖的視圖與可觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)

上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求）.⑤：解球、棱柱、波錐、臺的表面積和體積的計(jì)算公式

（不要求記憶公式）.

（2）點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系①理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下

可以作為推理依據(jù)的公理和定理.?公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這

條直線上所有的點(diǎn)在此平面內(nèi).?公理2：過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面.

?公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.

?公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.?定理：空間中如果一個角的兩邊與另

一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).

②以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面平行、垂直的有

關(guān)性質(zhì)與判定定理.理解以下判定定理.?如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線

平行，那么該直線與此平面平行.?如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面都平行，

那么這兩個平面平行.?如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與

此平面垂直.?如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直.理解以下性

質(zhì)定理，并能夠證明.?如果一條直線與一個平面平行，經(jīng)過該直線的任一個平面與此平面

相交，那么這條直線就和交線平行.?如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們

的交線相互平行.?垂直于同一個平面的兩條直線平行.?如果兩個平面垂直，那么一個平面

內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直.③能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些

空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題.

考綱解讀：

空間幾何體的三視圖是考查的重成，以小題％王；由給出的三視圖（或其一部分），然后想

像其直觀圖并求其體積與表面積，是常見題型；’主意由給巴的三視圖（或其一部分），然后

想像或作出其直觀圖，從而與點(diǎn)、&、面的仁直關(guān)系問題相結(jié)合；注意由空間幾何體可以畫

出它的三視圖，反之由三視圖也可還原R何體,兩者今晨得互轉(zhuǎn)化;注意與球有關(guān)的問題（表

面積、體積、蛆合體及其三視圖）.任意三視圖;，?等式（求棱長的范圍、體積的最值等）

的結(jié)合；點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系是考查小工廣，尤其是文尹，注意符號語言、文字語言、圖

形語言的轉(zhuǎn)換（尤其在選擇填空題中）.注意總結(jié)常見的一些幾何體，以及它們非常規(guī)放置

的情況；文科主要是傳統(tǒng)的邏輯推它址明或計(jì)卷間題

近幾年考點(diǎn)分布

立體幾何在高考中占據(jù)重要的地巫，通過這幾年的高考情況分析，考察的重點(diǎn)及難點(diǎn)穩(wěn)定，

高考始終把直線與直線、直線與力5、平面與平面平行的性質(zhì)和判定作為考察重點(diǎn).在難度

上也始終以中等偏難為主，在新課標(biāo)公材中將立付二心要求進(jìn)行了降低，重點(diǎn)在對圖形及幾

何體的認(rèn)識上，實(shí)現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)廿.二一次深化和拓吧的重點(diǎn)，因而在這部分知識點(diǎn)上

命題，將是重中之重.高考對立體幾何的考查側(cè)重以下幾個方面：1.從命題形式來看，涉

及立體幾何內(nèi)容的命題形式最為多變.除保留傳統(tǒng)的“四選一”的選擇題型外，還嘗試開

發(fā)了“多選填空”、“完型填空”、“構(gòu)造填空”等題型，并且這種命題形式正在不斷完善

和翻新；解答題則設(shè)計(jì)成幾個小問題，此類考題往往以多面體為依托，第一小問考查線線、

線面、面面的位置關(guān)系，后面幾間考查空間角、空間距離、面積、體積等度量關(guān)系，其解題

思路也都是“作——證—求”，強(qiáng)調(diào)作圖、證明和計(jì)算相結(jié)合。2.從內(nèi)容上來看，主要

是：①考查直線和平面的各種位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，這類試題一般難度不大，多為選擇題

和填空題；②計(jì)算角的問題，試題中常見的是異面直線所成的角，直線與平面所成的角，平

面與平面所成的二面角，這類試題有一定的難度和需要一定的解題技巧，通常要把它們轉(zhuǎn)化

為相交直線所成的角；③求距離，試題中常見的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)

到平面的距離，直線與直線的距離，直線到平面的距離，要特別注意解決此類問題的轉(zhuǎn)化方

法；④簡單的幾何體的側(cè)面積和表面積問題，解此類問題除特殊幾何體的現(xiàn)成的公式外，還

可將側(cè)面展開，轉(zhuǎn)化為求平面圖形的面積問題：⑤體積問題，要注意解題技巧，如等積變換、

割補(bǔ)思想的應(yīng)用。⑥三視圖，辨認(rèn)空間幾何體的三視圖，三視圖與表面積、體積內(nèi)容相結(jié)合。

3.從能力上來看，著重考查空間急家能力、如空間方亦的現(xiàn)察分析和抽象的能力，要求是

“四會”：①會畫圖一一根據(jù)題設(shè)夕:牛畫出過后題意的2形或畫出自己想作的輔助線（面），

作出的圖形要直現(xiàn)、虛實(shí)分明；②會識圖一一根據(jù)財(cái)：，洽出的圖形，想冢出立體的形狀和有

關(guān)線面的位置關(guān)系；③會析圖一一對圖形過；\妄的分解、組合；④會用圖一一對圖形或其

某部分進(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開;.??安行割補(bǔ)術(shù)；考查邏輯思維能力、運(yùn)算能力和探索能

力.

【考點(diǎn)pk】名師考點(diǎn)透析

考點(diǎn)一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、直觀圖

例1：已知四棱錐尸-力88的三視圖如下圖所示，其中主視

圖、側(cè)視圖是直角三角形,俯視圖是有一條對角線的正方形.E是

側(cè)棱PC上的動點(diǎn).（I）求證：BDLAE（II）若E為尸C的

中點(diǎn)，求直線3E與平面尸3。所成角的正弦值；

(Ill)若五點(diǎn)C,。,尸在同一球面上，求該球的體積.

⑴證明：由已知1。。3仁/。_1。(：匚>尸。_面且38-2分

BDc面,18CZ>=BDLPC,

又因?yàn)锽D±AC,：.BD1面X4C,又：ALu面H4C.二BD±AE.……4分

⑵連AC交BD于點(diǎn)0,連P0,由⑴知”一面EiC,n汽dEOJL面PJC,

過點(diǎn)E作團(tuán)一尸阡H,則EH±面尸5。,

NEBH為3E與平面PBD所成的角.3分

1

1廠~

■：EH=-,BE=^2^^nZEBH=^.--10^A

3、，幺6

(3)解：以正方形，超C。為底面，廠J為高補(bǔ)￡區(qū)方體，

此時對角線的長為球的直徑，二2RM4=JI+1+4=JLV=-KR3=46.

’3

【名師點(diǎn)睛】了解柱、錐、臺、球體及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)

實(shí)生活中的簡單物體的結(jié)構(gòu)。能畫出簡單空間幾何體的三視圖，能識別上述三視圖所表示的

立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖。能用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單

空間幾何體的三視圖與直觀圖。了解空間幾何體的不同表示形式。會畫某建筑物的視圖與直

觀圖。

空間幾何體的結(jié)構(gòu)與視圖主要培養(yǎng)觀察能力、歸納能力和空間想象能力，能通過觀察幾

何體的模型和實(shí)物，總結(jié)出柱、錐、臺、球等幾何體的結(jié)構(gòu)特征；能識別三視圖所表示的空

間幾何體，會用材料制作模型，培養(yǎng)動手能力。

考點(diǎn).、空間幾何體的表面積和體積

例2：已知某幾何體的俯視圖是如圖5所示的矩形，正視圖(或稱主

視圖)是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視

圖)是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形.(1)求該幾何體的體積V；

(2)求該兒何體的側(cè)面積S

解：山已知可得該幾何體是一個底面為矩形，高為4,頂點(diǎn)在底面的射影是矩形中

心的四棱錐V-ABCD。(1)V=；x(8x6)x4=64

(2)該四棱錐有兩個側(cè)面VAD.VBC是全等的等腰三角形，且BC邊上的高為

另兩個側(cè)面VAB.VCD也是全等的等腰三角形,

AB邊上的高為%=｛甲=5因此5=2(^x6x472+|x8x5)=40+2472

【名師點(diǎn)睛】理解柱、錐、臺的側(cè)面積、表面積、體積的計(jì)算方法，了解它們的側(cè)面展開圖，

及其對計(jì)算側(cè)面積的作用，會根據(jù)條件計(jì)算表面積和體積。理解球的表面積和體積的計(jì)算方

法。

把握平面圖形與立體圖形間的相互轉(zhuǎn)化方法，并能綜合運(yùn)用立體幾何中所學(xué)知識解決有關(guān)問

題。

考點(diǎn)三、點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

例3：如圖1,在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分

別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且空=空=2,貝IJ()

CBCD3

(A)EF與GH互相平行

(B)EF與GH異面

(C)EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC

上

(D)EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上

解：依題意，可得EH〃BD,FG〃BD,故EH〃FG,由公理2可知，

FG2

E、F、G、H共面，因?yàn)镋H=-BD,——=-,故EHWFG,所以，

2BD3

EFGH是梯形，EF與GH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M,因?yàn)辄c(diǎn)M在EF上，故

點(diǎn)M在平面ACB上，同理，點(diǎn)M在平面ACD上，即點(diǎn)M是平面ACB

與平面ACD的交點(diǎn)，而AC是這兩個平面的交線，由公理3可知，點(diǎn)M-定在平面ACB

與平面ACD的交線AC上。選(D)。

【名師點(diǎn)睛】理解空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，了解四個公理及其推論；空間兩直線的三

種位置關(guān)系及其判定；異面直線的定義及其所成角的求法。

通過大量圖形的觀察、實(shí)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)平面圖形到立體圖形的飛躍，培養(yǎng)空間想象能力。會

用平面的基本性質(zhì)證明共點(diǎn)、共線、共面的問題。

考點(diǎn)四、直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)

例4：在棱長為a的正方體-月圈G4中，

E是續(xù)段4G的中點(diǎn)，乂。03。=尸.(I)求證:應(yīng))；(II)求

證:CE〃平面.\BD；(III)求三棱錐D-A.BC的體積.

解：(I)證明：根據(jù)正方體明性質(zhì)ADJ"伸C,……2分

因?yàn)?刎上平面13。，BDu邛面一181二,所以尸2/，,也，又

=A所以BD，平面,CF一平面,

所以......5分

(II)證明：連接4尸，

因?yàn)锳AJ!BBJCG，也4=BBl=

所以月CG4為平行四邊形，

因此4G〃HC，4G=xc

由于E是線段4G的中點(diǎn)，所以CEUFAV8分因?yàn)轳Ru

面,\BD,CE(Z平面4BD,

所以CE〃平面.....10分

“ID=々-BCD=SgcD,412分

【名師點(diǎn)睛】掌握直線與平面平行、平面與平面平行的判定與性質(zhì)定理，能用判定定理

證明線面平行、面面平行，會用性質(zhì)定理解決線面平行、面面平行的問題。

通過線面平行、面面平行的證明，培養(yǎng)學(xué)生空間觀念及及觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、探索、合

情推理的能力。

考點(diǎn)五、直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

例5：如圖，已知A8_L平面MCD,DE"AB,AD=AC=DE=2AB=2,且尸是CD

的中點(diǎn).AF=43

(I)求證：4F〃平面BCE；(II)求證：平面充瓦1_平面CD?(m)求此多面

體的體積.

解：(I)取原中點(diǎn)尸，連結(jié)"、牛,

,:F為儂的中點(diǎn)，；.杼〃以，且rP=DE.

又AB//班，且份gDE.：.Aff//FIa.GFR

...小F為平行四邊形，...如〃「,.…3公

又：四仁平面比石赤U平面灰苫.

」.心〃平面反方...5分

(II)-：,4F=^3:.CD=2,所以△力少為正三角形,

AFA.CD'：ABA,平面ACD,DE//AB：.DEL平面ACD又AFu平面ACD：.DEA.AF又AFX.CD,CD

CDE=D

平面CDE8分又BP//AF二"L平面儂又平面兆瓦?.平面比五1平面

碗'…10分

(III)此多面體是一個以C為定點(diǎn)，以四邊形ABED為底邊的四棱錐，5B"介=」+2)/2=3,

/AIDEU

面48QE，面NQC等邊三角形AD邊上的高就是四棱錐的高

Vc-ABDE=；x3Xy[i=6

【名師點(diǎn)睛】掌握直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)定理，能用判定定理

證明線線垂直、線面垂直、面面垂直，會用性質(zhì)定理解決線面垂直、面面垂直的

通過線面垂直、面面垂直的證明，培養(yǎng)學(xué)生空間觀念及及觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、探索、合

情推理的能力。

考點(diǎn)六、空間中的夾角與距離

B

例6：如圖，四面體/8CO中，。、E分別肛8c的中點(diǎn)，

CA=CB=CD=BD=2(I)求證：NO_L平面BCD：

(II)求異面直線AB與CD所成角的余弦值；

(III)求點(diǎn)E到平面的距離.

本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所

成的角以及點(diǎn)到平面的距離基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。

方法一：(I)證明：連結(jié)

0CBO=DO,AB=AD,AO1BD.?：BO=DO,BC=CD,CO1BD.

在A40c中，由已知可得NO=1,CO=JI而ZC=2,

.?./O2+CO2=4。2,../oc=9o。，即力..8。。。。=。，.?.力。，平

面BCD

(II)解：取AC的中點(diǎn)M,連結(jié)OM、ME、OE,由E為BC的中點(diǎn)知MS〃AB,OE〃DC

直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角在AOME中，

1i1

EM=—AB=j0E=—DC=l,;0M是直角MOC

222

1萬

斜邊AC上的中線，.,.0M=—ZC=1,AcosZOEM=—,

24

：.異面直線AB與CD所成角的余弦值為注

4

(IH)解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為〃.

??V=V

?'E-ACD，A-CDE，

''§5A^8=§OS^cDE,

在AJCZJ中,

1百

1XV21

_1XV32_V3J0.5ACD￡_T

而NO=1,SSCDE

242^MCD近不

3

而

二點(diǎn)E到平面ACD的距離為二一.

7

方法二：(D同方法、

(II)解：以0為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則8(1,0,0),。(-1,0,0),

C(0,百,0),Z(0,0,1)尾,等,0)，而=(T，0,1)，麗=(T-百，0>

,cos〈阪麗”與巴二夜,異面直線AB與CD所成角的余弦值為—

畫卬|44

n.AD=(x,y,z).(-l,0,-l)=0,

(III)解：設(shè)平面ACD的法向量為3=(x,y,z),則

n.AC=(x,y,z).(0,百,-1)=0,

X4-Z=0,一LL

??.《L令歹=1,得〃=(一6,1,百)是平面ACD的一個法向量。又

y/3y-z=0.

\EC-n\_V3_V2?

EC=—,0),.?.點(diǎn)E到平面ACD的距離力

22|n|不7

【名師點(diǎn)睛】空間中的各種角包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，要

理解各種角的概念定義和取值范圍，其范圍依次為(0°,90°］、［0°,90°］和［0°,180

0］.

(1)兩條異面直線所成的角

求法：①先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然

后通過解三角形去求得；?通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直

7T

線所成角得范圍是(0,1］,向量所成的角范圍是［0,4］,如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成

相應(yīng)的銳角

(2)直線和平面所成的角

求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。除特殊位置外，主要是指平面的

斜線與平面所成的角，根據(jù)定義采用“射影轉(zhuǎn)化法”

(3)二面角的度量是通過其平面角來實(shí)現(xiàn)的

解決二面角的問題往往是從作出其平面角的圖形入手，所以作二面角的平面角就成為解

題的關(guān)鍵。通常的作法有：(I)定義法；(II)利用三垂線定理或逆定理；(III)自空間?

點(diǎn)作棱垂直的垂面，截二面角得兩條射線所成的角，俗稱垂面法.此外，當(dāng)作二面角的平面

S'

角有困難時，可用射影面積法解之，cos=—,其中S為斜面面積，S'為射影面積，

S

為斜面與射影面所成的二面角

空間中的距離是立體幾何的重要內(nèi)容，其內(nèi)容主要包括：點(diǎn)點(diǎn)距，點(diǎn)線距，點(diǎn)面距，線

線距，線面距，面面距。其中重點(diǎn)是點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距以及兩異面直線間的距離.因

此，掌握點(diǎn)、線、面之間距離的概念，理解距離的垂直性和最近性，理解距離都指相應(yīng)線段

的長度，懂得幾種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，所有這些都是十分重要的求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面

的距離，直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離，一個點(diǎn)到平面的

距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個點(diǎn)到這個平面的距離。求法：①“一找二證三求”，三步都必須

要清楚地寫出來。②等體枳法。

【三年高考】10、11、12高考試題及其解析

12高考試題及其解析

一、選擇題

1.（2012年高考（重慶文））設(shè)四面體的六條棱的長分別為

1,1,1,1,0和。且長為。的棱與長為正的棱異面,則a

的取值范圍是

A.（0,V2）B.[0,5C.（1,V2）

【答案】：A

【解析】:BE==避,8F<BE_1BF〈垃,

【考點(diǎn)定位】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特彳巧瓷空間想冢能力,極限思想的應(yīng)用,是中檔題..

2.（2012年高考（浙江文））設(shè)/是直線,a,B是兩個不同的平面（）

A.若/〃a,/〃B,則a〃BB.若/〃a,/_LB,貝ija,B

C.若aj_6,/J_a，則/_LBD.若a_LB,/〃a,則/_LB

【答案】B

【命題意圖】本題考查的是平面幾何的基本知識，具體為線面平行、線面垂直、面面平行、

血面垂直的判定和性質(zhì).

【解析】利用排除法可得選項(xiàng)B是正確的，a,/_LB,則a_LB.如選項(xiàng)A:/〃a,/〃B

時，a_L6或a〃B;選項(xiàng)C:若a_LB,/_La,/〃B或/u;選項(xiàng)D:若若a_L6,/±

a,/〃B或/LB.

3.（2012年高考（浙江文））已知某三棱錐的三視圖（單位:cm）如圖所示,則該三棱錐的

體積是（）

A.1cm'1B2cm"C.3cm'

【答案】C

【命題意圖】本題考查的是三棱錐的三視圖問題，體現(xiàn)了對學(xué)

生空間想象能力的綜合考查.

【解析】由題意判斷出,底面是一個直角三角形,兩個直角邊分

別為1和2,整個棱錐的高由側(cè)視圖可得為3,所以三棱錐的體

積為‘x'xlx2x3=l.

32

4.（2012年高考（四川文））如圖，半徑為7?的半球。的底面

圓。在平面a內(nèi)，過點(diǎn)。作平面a的垂線交半球面于點(diǎn)A,過

圓0的直徑CD作平面a成45。有

面g的距離最大的點(diǎn)為8,該交線上的一點(diǎn)P滿足N8。尸=60,則Z、P兩點(diǎn)間的球面距

離為（）

,V2r兀R八c下）、兀R

A.Rarccos---B.---C.Rarccos—D.---

4433

［答案］A

【解析】以0為原點(diǎn)，分別以O(shè)B、0C、0A所在直線為x、y、z軸，則

/GPAO*PO逝“3VIp、,1R小口z

R。41222

V272

ZAOP=arccos----,/.AP=■■arccos-----

44

［點(diǎn)評］本題綜合性較強(qiáng),考查知識點(diǎn)較為全面，題設(shè)很自然的把向量、立體幾何、三角函數(shù)

等基礎(chǔ)知識結(jié)合到了一起.是一道知識點(diǎn)考查較為全面的好題.要做好本題需要有扎實(shí)的數(shù)

學(xué)基本功.

5.（2012年高考（四川文））下列命題正確的是（）

A.若兩條直線和同一個平面所成的角相等,則這兩條直線平行

B.若一個平面內(nèi)有三個點(diǎn)到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行

C.若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行

D.若兩個平面都垂直于第三個平面,則這兩個平面平行

［答案］C

【解析】若兩條直線和同一平面所成角相等,這兩條直線可能平行，也可能為異面直線,也可

能相交,所以A錯;一個平面不在同一條直線的三點(diǎn)到另一個平面的距離相等,則這兩個平面

平行,故B錯;若兩個平面垂直同一個平面兩平面可以平行,也可以垂直;故D錯;故選項(xiàng)C正

確.

［點(diǎn)評］本題旨在考查立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì),需要熟練掌握課本基

礎(chǔ)知識的定義、定理及公式.

6.（2012年高考（陜西文））將正方形（如圖1所示）截去兩個三棱錐,得到圖2所示的幾何

體,則該幾何體的左視圖為

舸陽2

區(qū)N兇N

（A）.（B）（C）（D）

【解析】畫出三視圖,‘故選B

7.（2012年高考（課標(biāo)文））平面c截球0的球面所得圓的半徑為1,球心0到平面a的距離

為啦,則此球的體積為

A.乖貝B.4m貝

C.4^/6nD.6^/3Jt

【解析】B

8.（2012年高考（課標(biāo)文））如圖，網(wǎng)格上小正方形的邊長為

1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則幾何體的體積為

A.6B.9C.12D.18

【命題意圖】本題主要考查簡單幾何體的三視圖及體積計(jì)算,

是簡單題.

【解析】由三視圖知,其對應(yīng)幾何體為三棱錐，其底面為一邊長

為6,這邊上高為3,棱錐的高為3,故其體積為』x1x6x3x3=9,故選B.

32

9.（2012年高考（江西文））若一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為

()

A.—B.5

2

9

C.4D.-

2

【答案】c

【解析】本題的主視圖是一個六棱柱，由三視圖可得地面為變長為1的正六邊形，高為1,則

直接帶公式可求該直六棱柱的體積是：2X；（3+1）X1X1=4,故選C.

【考點(diǎn)定位】本題是基礎(chǔ)題,考查三視圖與地觀圖的關(guān)系,注意幾何體的位置與放法是解題的

關(guān)鍵，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想、計(jì)算能力.

10.（2012年高考（湖南文））某兒何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該兒何體的俯視

圖不可能是

【答案】D

【解析】本題是組合體的三視圖問題，由幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示知，原圖下

面圖為圓柱或直四棱柱,上面是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C,都可能是該

兒何體的俯視圖,1）不可能是該幾何體的俯視圖，因?yàn)樗恼晥D上面應(yīng)為如圖的矩形.

【點(diǎn)評】本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查空間想象能力.是近年來熱點(diǎn)題型.

11.（2012年高考（廣東文））（立體幾何）某幾何體的三視圖如圖1所示，它的—6t

體積為

A.72萬B.48萬

圖1

俯視圖

C.304D.241

【解析】該幾何體下部分是半徑為3,高為4的圓錐，體積為/=,x7x32x4=12;r,上部分

3

14

是半球,體積為/=—X—X萬X3?=18］，所以體積為30萬.

23

12.（2012年高考（福建文））一個幾何體的三視圖形狀都相同，大小均等，那么這個幾何體不

可以是

A.球B.三棱錐C.正方體D.圓柱

【解析】分別比較A、B、c的三視圖不符合條件-a-

【考點(diǎn)定位】考查空間幾何體優(yōu)二視圖與真十二”.考查空間想象能力、邏輯推理能力.

13.（2012年高考（大綱文））已知正四棱柱ABCD_4B￡Di

中，Z3=2,C0=2夜，E為的中點(diǎn)，則直線Ng與平面BED的距離為（）

A.2B.>/3C.V2D.1

【命題意圖】本試題主要考查了正四棱柱的性質(zhì)的運(yùn)用，以及點(diǎn)到面的距離的求解.體現(xiàn)

了轉(zhuǎn)換與化歸的思想的運(yùn)用，以及線面平行的距離,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離即可.

【解析】連結(jié)力。,8。交于點(diǎn)。，連結(jié)?！?因?yàn)?下是中點(diǎn)，所以。后〃力6，且

?！?；4。1，所以44〃8。后，即直線4。］與平面BED的距離等于點(diǎn)C到平面BED

的距離,過C做CF，OE于E,則CF即為所求距離.因?yàn)榈酌孢呴L為2,高為2J5,所

以AC=2丘,。。==,OE=2,所以利用等積法得CE=1,選D.

正（主）視困A（左）視圖

14.（2012年高考（北京文））某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的表面積是（）

A.28+6yf5B.30+6y［5C.56+12^5D.60+12^5

【答案】B

【解析】從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐,本題所求表面積為

三棱錐四個面的面積之和.利用垂直關(guān)系和三角形面積公式,可得：

S底=10,4=10,S右=105r=6后，因此該幾何體表面積5=30+66，

故選B.

【考點(diǎn)定位】本小題主要考查的是三棱錐的三視圖問題,原來考查的是棱錐或棱柱的體積而

今年者的是表面積,因此考查了學(xué)生的計(jì)算基本功和空間想象能力.

二、填空題

15.（2012年高考（天津文））一個兒何體的三視圖如圖所示（單位：加），則該幾何體的體積

【解析】由三視圖可知這是一個卜.面是個長方體,上面是個平躺著的五棱柱構(gòu)成的組合體.

長方體的體積為3x4x2=24,五棱柱的體積是史2xlx4=6,所以幾何體的總體

2

積為30.

16.（2012年高考（四川文））如圖，在正方體44G2中，M、N分別是CD、CC,

的中點(diǎn),則異面直線A.M與所成的角的大小是.

【解析】方法一：連接DM易得DN」血,DN匕M

所以,DN_L平面A：MD：,又A：MU平面A：MD：,所以,DN_1_A：D：,故夾角為90°

方■法二:以D為原點(diǎn),分別以DA,DCJD：為：%z軸,建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz.設(shè)正

方體邊長為2,貝IJD（O,?O）,Ng,2,l）,M（O,l,O）AK2,O,2）

故，而=（02。，麗=（2,-p

所以,cos＜〈而，畫〉=&=0,故D/1DM所以交角為90。

|DN||MM|

［點(diǎn)評］異面直線夾角問題通?？梢圆捎脙煞N途徑：第?，把兩條異面直線平移到同一平面

中借助三角形處理；第二,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量夾角公式解決.

17.（2012年高考（上海文））一個高為2的圓柱，底面周長為2兀，該圓柱的表面積為.

【解析】2nr=2兀,r=l,S&=2兀r力+2兀d=4兀+2兀=6兀.

18.（2012年高考（山東文））如圖，正方體Z5C。-48cA的棱長為1,E為線段8c上的一

點(diǎn),則三棱錐A-DEDt的體積為一一.

【解析】:七DED=VEADD=-X1X-LX1X1=1

Z1_UCiL-f^15Ziiz￡7|32$

19.（2012年高考（遼寧文））已知點(diǎn)P,A,B,C,D是球0表面上的點(diǎn),PA_L平面ABCD,四邊形

ABCD是邊長為2也正方形.若PA=2逐，則△OAB的面積為.

【答案】3G

【解析】點(diǎn)P、4B、C、。為球。內(nèi)接長方體的頂點(diǎn),

球心。為該長方體對角線的中點(diǎn)，

的面積是該長方體對角面面積的L

???AB=26,PA=2瓜：.PB=6,ACUB。面積=^x26x6=3百

4

【點(diǎn)評】本題主要考查組合體的位置關(guān)系、抽象概括能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力以

及轉(zhuǎn)化思想，該題靈活性較強(qiáng),難度較大.該題若直接利用三棱錐來考慮不宜入手,注意到條

件中的垂直關(guān)系,把三棱錐轉(zhuǎn)化為長方體來考慮就容易多了.

20.（2012年高考（遼寧文））一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

【答案】12+n

【解析】由三視圖可知該幾何體為一個長方體和一個等高的圓柱的組合體，其中長方體的長、

寬、高分別為4、3、1,圓柱的底面直徑為2,高位1,所以該幾何體的體積為

3x4xl+%xlxl=12+;r

【點(diǎn)評】本題主要考查幾何體的三視圖、柱體的體積公式,考查空間想象能力、運(yùn)算求解能

力，屬于容易題.本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖還原出幾何體,確定幾何體的形狀,然后再根

據(jù)幾何體的形狀計(jì)算出體積.

21.（2012年高考（湖北文））已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

心；明伯視圖

【解析】由三視圖可知，該幾何即是由左右兩個相同的扇柱（底面圓半徑為2,高為1）與中間

一個圓柱（底面圓半徑為1高為，組合而成，故該幾何體的體積是

V=^-x22xlx2+^xl2x4=12^.

【點(diǎn)評】本題考查圓柱的三視圖的識別,圓柱的?:學(xué)生們平常在生活中要多多觀察身邊的實(shí)

物都是由什么幾何形體構(gòu)成的,以及它h「三視圖的畫法,來年需注意以三視圖為背景，考查

常見組合體的表面積.

22.（2012年高考（大綱文））已知正方形44GB中，瓦E分別為84，C￡的中

點(diǎn),那么異面直線AE與D、F所成角的余弦值為一.

答案一

5

【命題意圖】本試題考查了正方體中的異面直線所成角的求解問題.

［解析】首先根據(jù)已知條件,連接。b,則由3尸//4E可知NDFD］或其補(bǔ)角為異面直線

AE與RF所成的角，設(shè)正方體的校長為2,則可以求解得到DF=RF=底口久=2,

再由余弦定理可得cosNDFD】=DF+DF-DR=5+5-4=3

12D\F?DF2x55

23.（2012年高考（安徽文））若四面體ABCD的三組對棱分別相等，即

AB=CD,AC=BD,=則.（寫出所有正確結(jié)論編號）①四面體4BCZ）

每組對棱相互垂直②四面體Z8C。每個面的面積相等③從四面體488每個頂點(diǎn)出發(fā)的

三條棱兩兩夾角之和大于90"而小于180°④連接四面體4BCQ每組對棱中點(diǎn)的線段互垂

直平分⑤從四面體Z8CD每個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長

【解析】正確的是②④⑤②四面體488每個面是全等三角形，面積相等③從四面體

Z8CD每個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和等于180"④連接四血體

/BCD每組對棱中點(diǎn)構(gòu)成菱形，線段互垂直平分⑤從四面體48CD

每個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長

24.（2012年高考（安徽文））某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體

積是__

【解析】表面積是56該兒何體是底面是直角梯形，高為4的直四棱柱幾何體的的體積是

展;x(2+5)x4x4=56

三、解答題

25.(2012年高考(重慶文))(本小題滿分12分，(I)小問4分，(II)小問8分)已知直三棱

柱N8C—45cl中，/8=4,AC=BC=3,D為AB的中點(diǎn).(I)

求異面直線cq和AB的距離；(II)若AB,1AtC,求二面角

4-CD-S,的平面角的余弦值.

【解析】：(1)如答(20)圖1,因AC=BC,D為AB的中點(diǎn)，故CD1AB.

又直三棱柱中，面力8。，故CG^CD，所以異面直線

CC］和AB的距離為CD7BC?-BD：=亞

(11):由。口，/8＜口_1_84，故?口，面4/84，從而CD，。％,CD1DB,

故為所求的二面角4—co—4的平面角.

因4。是4。在面/第84上的射影，又已知Ng_L%C,由三垂線定理的逆定理得

AB.14D,從而乙4mBi,ZA.DA都與NB①B互余，因此4/用=AA.DA,所以

AAAR

RtAAD絲RtB.A.A,因此?一L得AA；=AD-A,B.=8從而

11'ADAA,1

AQ=JAA：+AD2=25B、D=A.D=2百

4f)2r)n2_AD21

!

所以在A}DB］中，由余弦定理得cos=芻-------——=-

1'2AQDB13

26.(2012年高考(浙江文))如圖,在側(cè)棱錐垂直底面的四棱錐ABCD-AiBiCiDi4*.AD//BC,AD

±AB,AB=V2.AD=2,BC=4,AA,=2,E是DD1的中點(diǎn),F是平面BCE與直線AAi的交點(diǎn).

(1)證明：(i)EF〃AD;(ii)BAi_L平面BCEF;(2)求BG與平面BCEF所成的角的正弦值.

［命題意圖】本題主要以四棱錐為載體考查線線平行,線面垂直和線面角的計(jì)算,注重與平面

幾何的綜合，同時考查空間想象能力和推理論證能力.

⑴⑴因?yàn)镚4〃44,Ce(Z平面ADDiAL所以。e//平面ADDiA(.

又因?yàn)槠矫鎔GE^n平面ADD,A「EF,所以C.BJ/EF.所以A.DJIEF.

(ii)因?yàn)锽B}1,所以BB[±4G,

又因?yàn)锽B}1B,4,所以5,C,1ABB[4,

在矩形488/中,F是AA的中點(diǎn)，

B|JtanZ4BF=tanZAA.8=①.即■I

1112

ZAtBtF=AAA.B，故BA,1B.F.所以84J_平面BgEF.

(2)設(shè)84與8尸交點(diǎn)為H,連結(jié)G”.山⑴知司￡防，所以N8G4是與平

4

面BXC,EF所成的角.在矩形中，N8=8，=2,得BH=，在直角

V6

BHQ中,5C,=2^3,BH=\,得sinNBG"=皿=畫，所以BC與平面

/6B[15

4GEF所成角的正弦值是—.

1115

27.(2012年高考(天津文))如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩

形，ADLPD,BC=1,PC=26,=CO=2.(I)求異面直線尸Z與3C所成角的正切

值；(II)證明平面PDC±平面ABCDAHI)求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.

【解析】：(1)如圖，在四棱錐。一48。。中，因?yàn)榈酌?8。。是矩形，所以4。=8。，且

ZO//8C,又因?yàn)镴.尸。，故或其補(bǔ)角是異面直線PZ與8c所成的角.

在RMDA中，tan/PAD=也=2,所以異面直線PA與BC所成角的正切值為2.

AD

(2)證明：由于底面ABCD是矩形，故NOJ.CQ,又由于力，CQcPD=。，因此

工力上平面2/^^而力^匚平面力臺^\所以平面「力^,平面尸卜

ABCD.

(3)在平面PDC內(nèi)，過點(diǎn)P作PE1CD交直線C。于點(diǎn)E,

連接E8.由于平面PDCJ?平面ABCD,

由此得NPBE為直線PB與平面ABCD所成的角.

在APQC中，尸。=8=2,尸C=2百，可得NPCD=30°￡-；.一＞

r\____…,二：：

在RMEC中，PE=PCsin30°=

由ADIIBC,AD_L平面PDC,得BC_L平面PDC,因此BC1PC

在Rt\PCB中，PB=y]PC2+BC2=舊，在RMEB中，sinNPBE=在=巫

PB13

所以直線P8與平面48CD所成角的正弦值為^—.

13

28.（2012年高考（四川文））如圖，在三棱錐P-ABC

中，NAPB=90°,ZPAB=60,NB=8C=G4,點(diǎn)P在平面Z8C內(nèi)的射影。在相

上.（I）求直線PC與平面Z8C所成的角的大?。唬↖I）求二面角3-4尸一。的大小.

【解析】⑴連接OC.由已知…UCP為直線PC與平面且BC所成的角

設(shè)AB的中點(diǎn)為D,連接PD、CD.%KAB=BC”M,所以■D_AB.

因?yàn)橐?尸3=90。，NPAB=600,7以*力為等近工角形，

不妨設(shè)PA=2,則OD=1,OP=73,AB=".所以CD=213=^OD1+CD：=71+12=屈.

QP_739

在RtAOC尸中，tanNOPC=---二

OC了一下"

⑵過D作DEJ_K產(chǎn)于E,連接CE.由已知可得,CD_L平面PAB.據(jù)三垂線定理可知,CE_I_

PA,

所以，NCEO為二面角8—/P—C的平面角.由⑴知,DE=g

o?F\

在RtACDE中，tanZCED=—=竿=2故二面角8—AP—。的大小為arctan2

DE6

［點(diǎn)評］本題旨在考查線面位置關(guān)系和二面角的基礎(chǔ)