八年級(jí)數(shù)學(xué)人教版（上冊(cè)）13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題

13.4

課題學(xué)習(xí)最短路徑問題第十三章軸對(duì)稱目錄頁(yè)講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn)學(xué)習(xí)難點(diǎn)能利用軸對(duì)稱解決簡(jiǎn)單的最短路徑問題能利用軸對(duì)稱解決簡(jiǎn)單的最短路徑問題體會(huì)圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想

學(xué)習(xí)目標(biāo)新課導(dǎo)入溫故而知新1.如圖，連接A、B兩點(diǎn)的所有連線中，哪條最短？為什么？AB①②③②最短，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間，線段最短2.如圖，點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)P與該直線l上各點(diǎn)連接的所有線段中，哪條最短？為什么？PlABCDPC最短，因?yàn)榇咕€段最短新課導(dǎo)入3.在我們前面的學(xué)習(xí)中，還有哪些涉及比較線段大小的基本事實(shí)？三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊；斜邊大于直角邊.4.如圖，如何做點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)？AlA′講授新課典例精講歸納總結(jié)講授新課將軍飲馬問題“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱之為最短路徑問題.

現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史的著名的“將軍飲馬問題”及“造橋選址問題”.AB①②③PlABCD講授新課

如圖，將軍從點(diǎn)A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，將軍到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？C抽象成ABl數(shù)學(xué)問題作圖問題：在直線l上求作一點(diǎn)C,使AC+BC最短問題.實(shí)際問題ABl講授新課問題1

現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A,B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離的和最短？AlBC根據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知這個(gè)交點(diǎn)即為所求.連接AB,與直線l相交于一點(diǎn)C.講授新課問題2

如果點(diǎn)A,B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，又應(yīng)該如何解決？想一想：對(duì)于問題2，如何將點(diǎn)B“移”到l

的另一側(cè)B′處，滿足直線l

上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長(zhǎng)度相等？ABl利用軸對(duì)稱，作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′.講授新課方法揭曉作法：（1）作點(diǎn)B

關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l

相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．ABlB′C講授新課問題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′(與點(diǎn)C

不重合)，連接AC′，BC′，B′C′．由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴

AC+BC=AC+B′C=AB′，

∴

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即

AC+BC

最短．ABlB′CC′講授新課

如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個(gè)村莊.欲在l上的某處修建一個(gè)水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD例題講授新課

如圖，已知點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為（）A．7.5B．5C．4D．不能確定解析：△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，即點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線AD對(duì)稱.∵點(diǎn)F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉(zhuǎn)化為求CF+EF的最小值，故連接CE即可，線段CE的長(zhǎng)即為BF+EF的最小值.B例題講授新課方法總結(jié)：此類求線段和的最小值問題，找準(zhǔn)對(duì)稱點(diǎn)是關(guān)鍵，而后將求線段長(zhǎng)的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長(zhǎng)，而再根據(jù)已知條件求解.講授新課

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上，當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）解析：作B點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交y軸于點(diǎn)C′，此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小，然后依據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)B′的坐標(biāo)可得到BE、AE的長(zhǎng)，然后證明△B′C′O為等腰直角三角形即可．B′C′EA例題講授新課方法總結(jié)：求三角形周長(zhǎng)的最小值，先確定動(dòng)點(diǎn)所在的直線和固定點(diǎn)，而后作某一固定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，而后將其與另一固定點(diǎn)連線，連線與動(dòng)點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即為三角形周長(zhǎng)最小時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置.講授新課

如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？BAABNM造橋選址問題講授新課BA

?NMNMNM折移

如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？講授新課我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思維火花各抒己見1.把A平移到岸邊.2.把B平移到岸邊.3.把橋平移到和A相連.4.把橋平移到和B相連.BAＭＮ講授新課BAＭＮA'B'1.把A平移到岸邊.AM+MN+BN長(zhǎng)度改變了2.把B平移到岸邊.AM+MN+BN長(zhǎng)度改變了講授新課BAＭＮ3.把橋平移到和A相連.4.把橋平移到和B相連.AM+MN+BN長(zhǎng)度有沒有改變呢？講授新課問題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連接A1B交河岸于N作橋MN，此時(shí)路徑AM+MN+BN最短.理由:另任作橋M1N１，連接AM１，BN１，A１N１.Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△A１N１B中，因?yàn)锳1N1+BN1＞A1B.因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN.講授新課A·BMNECD證明：由平移的性質(zhì)，得BN∥EM

且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A到B的路徑長(zhǎng)為AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC,CD,DB,CE,則A到B的路徑長(zhǎng)為AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB

＞AM+MN+BN，所以橋的位置建在MN處，A到B的路徑最短.講授新課方法歸納解決最短路徑問題的方法

在解決最短路徑問題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平移等變換把未知問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂反饋即學(xué)即用當(dāng)堂練習(xí)1.如圖，直線m同側(cè)有A、B兩點(diǎn)，A、A′關(guān)于直線m對(duì)稱，A、B關(guān)于直線n對(duì)稱，直線m與A′B和n分別交于P、Q，下面的說法正確的是（）A．P是m上到A、B距離之和最短的點(diǎn)，Q是m上到A、B距離相等的點(diǎn)B．Q是m上到A、B距離之和最短的點(diǎn)，P是m上到A、B距離相等的點(diǎn)C．P、Q都是m上到A、B距離之和最短的點(diǎn)D．P、Q都是m上到A、B距離相等的點(diǎn)A當(dāng)堂練習(xí)2.如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP=10．在OA上有一點(diǎn)Q，OB上有一點(diǎn)R．若△PQR周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是（）A．10B．15C．20D．30A當(dāng)堂練習(xí)3.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點(diǎn)A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是

米.ACBD河1000當(dāng)堂練習(xí)4.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A（3，2），B（1，3）．點(diǎn)P在x軸上，當(dāng)PA+PB的值最小時(shí)，在圖中畫出點(diǎn)P．xyOBAB'P當(dāng)堂練習(xí)5.如圖，荊州古城河在CC′處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從A處到B處，須經(jīng)兩座橋：DD′,EE′（橋?qū)挷挥?jì)），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，怎樣架橋可使ADD′E′EB的路程最短？ADD′CC′EE′B當(dāng)堂練習(xí)解：作AF⊥CD,且AF=河寬，作BG⊥CE，且BG=河寬，連接GF,與河岸相交于E′,D′.作DD′,EE′即為橋.理由：由作圖法可知，AF//DD′，AF=DD′，則四邊形AFD′D為平行四邊形，于是AD=FD′,同理，BE=GE′，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，GF最小.AD′CC′EE′BFGD當(dāng)堂練習(xí)6.（1）如圖①，在AB直線一側(cè)C、D兩點(diǎn)，在AB上找一點(diǎn)P，使C、D、P三點(diǎn)組成的三角形的周長(zhǎng)最短，找出此點(diǎn)并說明理由．（2）如圖②，在∠AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P，是否在OA、OB上分別存在點(diǎn)E、F，使得E、F、P三點(diǎn)組成的三角形的周長(zhǎng)最短，找出E、F兩點(diǎn)，并說明理由．（3）如圖③，在∠AOB內(nèi)部有兩點(diǎn)M、N，是否在OA、OB上分別存在點(diǎn)E、F，使得E、F、M、N，四點(diǎn)組成的四邊形的周長(zhǎng)最短，找出E、F兩點(diǎn)，并說明理由．ABCDPOA