河北省部分高中2024屆高三上學(xué)期12月期末數(shù)學(xué)試題含答案解析

河北省部分高中2024屆高三上學(xué)期12月期末數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)試卷本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.共4頁，總分150分，考試時間120分鐘.第I卷（選擇題共60分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.已知直線：和直線：垂直，則（）A. B. C. D.3.已知圓錐底面半徑為2，高為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.4.已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A. B. C.2 D.05.已知是第一象限角，，則（）A. B. C. D.6.記為等比數(shù)列前項和，且成等差數(shù)列，則（）A.126 B.128 C.254 D.2567.直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是A. B. C. D.8.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.數(shù)列的前項和為，已知，則下列說法正確的是（）A.是遞增數(shù)列 B.C.當(dāng)時， D.當(dāng)或4時，取得最大值10.已知函數(shù)，則下列說法錯誤的是（）A.圖象在處的切線斜率大于0B.的最大值為C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.若有兩個零點，則11.已知為偶函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若的最小正周期為，則C.若在區(qū)間上有且僅有個最值點，則的取值范圍為D.若，則的最小值為12.如圖，在中，，，，過中點的直線與線段交于點．將沿直線翻折至，且點在平面內(nèi)的射影在線段上，連接交于點，是直線上異于的任意一點，則（）A.B.C.點的軌跡的長度為D.直線與平面所成角的余弦值的最小值為第II卷（非選擇題共90分）三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，若，則__________.14.寫出一個圓心在上，且與直線和圓都相切的圓的方程：______.15.表面積為100π球面上有四點S?A?B?C，△ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為3，若面SAB⊥面ABC，則棱錐體積的最大值為___________.16.數(shù)列滿足，則的整數(shù)部分是__________．四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求角B；（2）設(shè)BD是AC邊上的高，且，，求的周長.18.如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，AC與BD交于點O，底面ABCD，F(xiàn)為BE的中點，．（1）求證：平面ACF；（2）求AF與平面EBD所成角的正弦值．19.已知數(shù)列是各項都為正整數(shù)的等比數(shù)列，且是與的等差中項，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20.已知點到的距離是點到的距離的2倍.（1）求點的軌跡方程；（2）若點與點關(guān)于點對稱，過的直線與點的軌跡交于，兩點，探索是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.21已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：對，有．22.如圖①，在中，分別為的中點，以為折痕，將折起，使點到達點的位置，且，如圖②.（1）設(shè)平面平面，證明：平面；（2）是棱的中點，過三點作該四棱錐的截面，與交于點，求；（3）是棱上一點（不含端點），過三點作該四棱錐的截面與平面所成的銳二面角的正切值為，求該截面將四棱錐分成上?下兩部分的體積之比.數(shù)學(xué)試卷本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.共4頁，總分150分，考試時間120分鐘.第I卷（選擇題共60分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用集合的交運算法則進行運算即可.【詳解】因為集合，故，故選：2.已知直線：和直線：垂直，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直線垂直的充要條件列出關(guān)于的方程，解方程即可.【詳解】因為直線：和直線：垂直，所以，解得.故選：D.3.已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由圓錐的側(cè)面展開圖扇形基本量與圓錐基本量間的關(guān)系可得.【詳解】已知圓錐的底面半徑，高，則母線長，圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，且扇形的弧長為圓錐底面圓周長，扇形的半徑為圓錐的母線長，則圓錐側(cè)面積.故選：B.4.已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A. B. C.2 D.0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的定義計算得解.【詳解】定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，所以.故選：B5.已知是第一象限角，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由同角三角函數(shù)關(guān)系式及二倍角公式化簡求值.【詳解】因為是第一象限角，，所以，所以，故選：B.6.記為等比數(shù)列的前項和，且成等差數(shù)列，則（）A.126 B.128 C.254 D.256【答案】A【解析】【分析】根據(jù)可得，整理得，進而可得，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式運算求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由題意可得，即，整理得，則，解得，所以.故選：A.7.直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】分析：先求出A，B兩點坐標(biāo)得到再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面積公式計算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點,則點P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題．8.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，直接比較a和b的大小；構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，進而比較b和c的大小.【詳解】，令，令，，，所以，即，故在上單調(diào)遞增，所以，即，綜上，.故選：D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.數(shù)列的前項和為，已知，則下列說法正確的是（）A.是遞增數(shù)列 B.C.當(dāng)時， D.當(dāng)或4時，取得最大值【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)表達式及時，的關(guān)系，算出數(shù)列通項公式，即可判斷A、B、C選項的正誤.的最值可視為定義域為正整數(shù)的二次函數(shù)來求得.【詳解】當(dāng)時，，又，所以，則是遞減數(shù)列，故A錯誤；，故B錯誤；當(dāng)時，，故C正確；因為的對稱軸為，開口向下，而是正整數(shù)，且或距離對稱軸一樣遠，所以當(dāng)或時，取得最大值，故D正確.故選：CD.10.已知函數(shù)，則下列說法錯誤的是（）A.的圖象在處的切線斜率大于0B.的最大值為C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.若有兩個零點，則【答案】ACD【解析】【分析】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)逐項判斷求解即可.【詳解】由題得，則，故A錯誤；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以的極大值即最大值為，故B正確，C錯誤；令，則，由知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以的極大值為，且當(dāng)趨向于時，趨向于，當(dāng)趨向于時，趨向于，所以若有兩個零點，則，即，故錯誤.故選：ACD11.已知為偶函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若的最小正周期為，則C.若在區(qū)間上有且僅有個最值點，則的取值范圍為D.若，則的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】先求出函數(shù)的解析式，然后逐項判斷即可求解.【詳解】對A：若，為偶函數(shù)，則，，所以，A選項正確；對B：若的最小正周期為，則，所以，故B正確；對C:由，得，若在區(qū)間上有且僅有個最值點，則，得，故C正確；對D：因為，若，則或，得或，又，所以的最小值為，故D錯誤.故選：ABC.12.如圖，在中，，，，過中點的直線與線段交于點．將沿直線翻折至，且點在平面內(nèi)的射影在線段上，連接交于點，是直線上異于的任意一點，則（）A.B.C.點的軌跡的長度為D.直線與平面所成角的余弦值的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】A、B選項結(jié)合線面角最小，二面角最大可判斷;對于C，先由旋轉(zhuǎn)，易判斷出，故其軌跡為圓弧，即可求解.對于D求直線與平面所成角的余弦值，即求，，用表示，再結(jié)合三角恒等變換求出函數(shù)的最值即可【詳解】依題意，將沿直線翻折至，連接,由翻折的性質(zhì)可知，關(guān)于所沿軸對稱的兩點連線被該軸垂直平分，故，又在平面內(nèi)的射影在線段上，所以平面，平面，所以，，平面，平面所以平面.平面，平面，平面，，，且即為二面角的平面角對于A選項，由題意可知，為與平面所成的線面角，故由線面角最小可知，故A錯誤；對于B選項，即為二面角的平面角，故由二面角最大可知，故B正確；對于C選項，恒成立，故的軌跡為以為直徑的圓弧夾在內(nèi)的部分，易知其長度為，故C正確；對于D選項，如下圖所示設(shè)，在中，，，在中，，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D正確．故選：BCD．第II卷（非選擇題共90分）三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，若，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量平行關(guān)系得到方程，求出答案.【詳解】因為，所以，故.故答案為：-514.寫出一個圓心在上，且與直線和圓都相切的圓的方程：______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由題設(shè)，設(shè)圓心為，則半徑，討論所求圓與圓外切、內(nèi)切，分別求出對應(yīng)m即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓心為，則半徑，假設(shè)與圓外切，則，所以，故，則，若，則，則圓心為，半徑為，故；若，則，不滿足前提；假設(shè)與圓內(nèi)切，又與的距離為，此時，圓內(nèi)切于所求圓，則，所以，故，則，若，則，則圓心為，半徑為，故；若，則，不滿足前提；綜上，或.故答案為：（答案不唯一）15.表面積為100π的球面上有四點S?A?B?C，△ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為3，若面SAB⊥面ABC，則棱錐體積的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】求出球半徑及球心到平面的距離，進而求出外接圓半徑，利用面面垂直結(jié)合球的截面小圓性質(zhì)，求出的外接圓半徑，確定點S到平面的最大距離即可作答.【詳解】依題意，球半徑，令正的中心為，則，且平面，外接圓半徑，連接并延長交于D，則D為的中點，且，顯然，而平面平面，平面平面，有平面，令的外接圓圓心為，則平面，有，又平面ABCD，平面ABCD，所以，由,所以平面，所以，而平面平面，平面平面，平面，則平面，即有，因此四邊形為平行四邊形，則，，的外接圓半徑，的外接圓上點到直線距離最大值為，而點在平面上的射影在直線上，于是點到平面距離的最大值，又正的面積，所以棱錐的體積最大值.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.16.數(shù)列滿足，則的整數(shù)部分是__________．【答案】2【解析】【詳解】因，所以，數(shù)列單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以，因此的整數(shù)部分是．點睛：本題考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用問題，其中解答中涉及到數(shù)列的通項公式，數(shù)列的裂項求和，數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用等知識點的綜合應(yīng)用，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力，試題有一定的難度，屬于難題，本題的借助數(shù)列遞推關(guān)系，化簡數(shù)列為，再借助數(shù)列的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵．四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求角B；（2）設(shè)BD是AC邊上的高，且，，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角以及誘導(dǎo)公式化簡已知等式，可得的值，即可求得答案；（2）根據(jù)三角形面積相等可推出，再利用余弦定理即可求得的值，即可得答案.【小問1詳解】因為，所以，因為，所以，即.因為，，所以，解得.【小問2詳解】因為，，所以.又由，可得，所以.由余弦定理，可得，即，即，所以，所以的周長為.18.如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，AC與BD交于點O，底面ABCD，F(xiàn)為BE的中點，．（1）求證：平面ACF；（2）求AF與平面EBD所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解答（2）【解析】【分析】（1）通過證明，得證平面ACF；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角的正弦值.【小問1詳解】證明：如圖，連接，因為底面是菱形，與交于點，可得點為的中點，又為的中點，所以為的中位線，可得，又平面，平面，可得平面；【小問2詳解】以，所在直線為，軸，過作的垂線所在直線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，因為ABCD是菱形，，為等邊三角形，不妨設(shè)，則，，，，，可得，，設(shè)平面的一個法向量為，可得，不妨取，則，可得.又，可得與平面所成角的正弦值為：.19.已知數(shù)列是各項都為正整數(shù)的等比數(shù)列，且是與的等差中項，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得公比，進而得到數(shù)列的通項公式；由已知得到數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，求得其通項公式，進而得到數(shù)列的通項公式；（2）等價轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，然后令，利用作差法研究單調(diào)性，得到最大值，進而求解得到的取值范圍.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則，是與的等差中項，，解得或(舍去)，，又，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，；由，整理可得，即，對任意恒成立，令，則當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)或時，取得最大值，.解得.故實數(shù)的取值范圍是.20.已知點到的距離是點到的距離的2倍.（1）求點的軌跡方程；（2）若點與點關(guān)于點對稱，過的直線與點的軌跡交于，兩點，探索是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）（2）是定值，【解析】【分析】(1)設(shè)點，根據(jù)兩點坐標(biāo)求距離公式計算化簡即可；(2)設(shè)，根據(jù)中點坐標(biāo)公式代入圓方程中可得的軌跡方程，直線的方程、，，聯(lián)立圓方程，利用韋達定理表示出,，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示化簡計算即可；【小問1詳解】設(shè)點，由題意可得，即，化簡可得.【小問2詳解】設(shè)點，由（1）點滿足方程:，，代入上式消去可得，即的軌跡方程為，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其斜率為，則直線的方程為，由，消去，得，顯然，設(shè)，則，，又，，則.當(dāng)直線的斜率不存在時，，，.故是定值，即.21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：對，有．【答案】（1）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由導(dǎo)函數(shù)符號變化，分區(qū)間討論單調(diào)性；（2）不等式等價變形，構(gòu)造函數(shù)，求解導(dǎo)函數(shù)并利用放縮，再結(jié)合輔助角公式轉(zhuǎn)化利用有界性判斷導(dǎo)函