2019年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解答

全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解答全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題（A卷）一試一、填空題（本大題共8小題，每小題8分，共64分）若正數(shù)滿足，則的值為________．

答案：設(shè)連等式值為，則，可得答案108

分析：對(duì)數(shù)式恒等變形問題，集訓(xùn)隊(duì)講義專門訓(xùn)練并重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)過設(shè)集合中的最大元素與最小你別為，則的值為______．

答案：，，均能取到，故答案為

分析：簡(jiǎn)單最值問題，與均值、對(duì)勾函數(shù)、放縮有關(guān)，集訓(xùn)隊(duì)講義上有類似題若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．

答案：零點(diǎn)分類討論去絕對(duì)值，答案

分析：含絕對(duì)值的函數(shù)單調(diào)性問題，集訓(xùn)隊(duì)講義專門訓(xùn)練并重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)過

數(shù)列滿足，，則______．

答案：，迭乘得，，

乘以公比錯(cuò)位相減，得，故答案為．

分析：迭乘法求通項(xiàng)，等差等比乘積求前項(xiàng)和，集訓(xùn)隊(duì)講義專門訓(xùn)練并重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)過

正四棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，分別是邊的中點(diǎn)，則異面直線與之間的距離是________．

答案：為公垂線方向向量，故距離為

分析：異面直線距離，也可以用向量法做，集訓(xùn)隊(duì)講義專門練并重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)過

設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是，過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)．若，且，則橢圓的短軸與長(zhǎng)軸的比值為________．

答案：不妨設(shè)焦點(diǎn)在軸（畫圖方便），設(shè)，焦距為，，

可得△三邊長(zhǎng)為，過作高，利用勾股可得，進(jìn)而可得答案．

分析：橢圓中常規(guī)計(jì)算，與勾股定理、解三角形、斯特瓦爾特等有關(guān)，集訓(xùn)隊(duì)講義訓(xùn)練過相關(guān)

設(shè)等邊三角形的內(nèi)切圓半徑為2，圓心為．若點(diǎn)滿足，則△與△的面積之比的最大值為________．

答案：，又兩角和為60°，故只需最大，即與切于對(duì)稱軸右側(cè)

利用兩角和、兩角差正弦計(jì)算即可，答案

分析：平面幾何最值、面積、三角函數(shù)、軌跡

設(shè)是空間中四個(gè)不共面的點(diǎn)，以的概率在每對(duì)點(diǎn)之間連一條邊，任意兩點(diǎn)之間是否連邊是相互獨(dú)立的，則之間可以用空間折線（一條邊或者若干條邊組成）連結(jié)的概率為_______．

答案：總連法64種，按由到最短路線的長(zhǎng)度分類．長(zhǎng)度為1，即連其余隨意，32種；

長(zhǎng)度為2，即不連，或連，其余隨意，連8種，故共種

（一定注意同時(shí)連被算了2次，根據(jù)是否連有2種情形）；長(zhǎng)度為3，兩種情形

考慮，連、均不連只有1種，故連法為2種；綜上，答案

分析：組合計(jì)數(shù)，分類枚舉，難度不大但容易算錯(cuò)，集訓(xùn)隊(duì)講義訓(xùn)練過類似題目

二、解答題（本大題共3小題，共56分）（本題滿分16分）平面直角坐標(biāo)系中，是不在軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足條件：過可作拋物線的兩條切線，兩切點(diǎn)連線與垂直．設(shè)直線與直線，軸的交點(diǎn)分別為．

（1）證明：是一個(gè)定點(diǎn)；

（2）求的最小值．

答案：（1）設(shè)，，，，

故兩點(diǎn)均適合方程，利用垂直，可得，故交點(diǎn)為定點(diǎn)

（2）∵，故，設(shè)，則為銳角，，利用兩角差

的正切公式，可得．

分析：涉及圓錐曲線切點(diǎn)弦方程、兩直線夾角公式、不等式求最值，集訓(xùn)隊(duì)講義專門訓(xùn)練并重點(diǎn)過

（本題滿分20分）數(shù)列滿足，．求正整數(shù)，使得

．

答案：由反函數(shù)值域，知，，

故

分析：涉及簡(jiǎn)單反三角函數(shù)、數(shù)列通項(xiàng)公式求法，集訓(xùn)隊(duì)講義對(duì)類似題目進(jìn)行過訓(xùn)練

（本題滿分20分）確定所有的復(fù)數(shù)，使得對(duì)任意復(fù)數(shù)，均有

．

答案：轉(zhuǎn)換命題為計(jì)算存在使得相等時(shí)的充要條件

存在使得相等，記，，

則，故，

故；

若，令，其中，則，，

計(jì)算并代入，知．

綜上，滿足條件的為

二試一、（本題滿分40分）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，．求證：．

答案：不妨設(shè)不妨設(shè)，則，．

，，，故有

，

由于，故，故原不等式成立．

方法2：不妨設(shè)，則，固定，設(shè)，

遞增，，

，因?yàn)?，故成立?/p>

故遞增，令增大至；

題目轉(zhuǎn)化為，，記，

，由于，令，得，

時(shí)，時(shí)，故在或處有最大值，驗(yàn)證知

分析：一道偏函數(shù)化的不等式題，可以將其放縮為一元函數(shù)，也可以拿導(dǎo)數(shù)與調(diào)整法很快做出來，

集訓(xùn)隊(duì)講義上兩種方法都訓(xùn)練過．

NMGFEDCBA二、（本題滿分40分）在銳角三角形中，，過點(diǎn)分別作三角形的外接圓的切線，且滿足．直線與的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)．設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．證明：．

答案：設(shè)△三邊為，則，先計(jì)算，

∵，

∴△∽△．由比例可知，

故，故，故由余弦定理知

，整理可得此式關(guān)于對(duì)稱

故可知

分析：由于一旦三邊確定則圖形固定，

所以通過相似、比例、余弦定理計(jì)算的思路比較顯然

NMGFEDCBA三、（本題滿分50分）設(shè)．求最大的整數(shù)，使得有個(gè)互不相同的非空子集，具有性質(zhì)：對(duì)這個(gè)子集中任意兩個(gè)不同子集，若它們的交非空，則它們交集中的最小元素與這兩個(gè)子集中的最大元素均不相同．

答案：一方面，取包含1的、至少含2個(gè)元素的所有子集，共個(gè)，顯然滿足題意；

另外歸納證對(duì)于，任取個(gè)子集，均存在兩個(gè)的交集中最小的等于某個(gè)中最大的

當(dāng)時(shí)，將7個(gè)非空子集分為三類：，，．任取四個(gè)必有兩個(gè)同類．

假設(shè)時(shí)命題成立，當(dāng)時(shí)，如果取出的個(gè)子集中至少有個(gè)不含，利用歸納假設(shè)知成

立；如果不含的不足，則至少有個(gè)含有，而含有的子集共個(gè)，可以配成

對(duì)，使得每對(duì)中除了公共元素外，其余恰為1到的互補(bǔ)子集，這樣，如果選出個(gè)，則必有兩

個(gè)除外不交，故命題成立．

綜上，的最大值為．

分析：集合中的組合最值問題，比較常規(guī)的一道題，類似感覺的題集訓(xùn)隊(duì)講義在組合中的歸納法中有過

四、（本題滿分50分）設(shè)整數(shù)模2014互不同余，整數(shù)模2014也互不同余．證明：可將重新排列為，使得模4028互不同余．

答案：不妨設(shè)，．下面對(duì)序列進(jìn)行1007次調(diào)整從而構(gòu)成序列：

若與模4028不同余，則不調(diào)整；否則，交換位置，．

下證，進(jìn)行1007次調(diào)整后，得到的序列一定滿足條件．

任意挑選一列，

只需證其與、、模4028不同余即可

由構(gòu)造方法，與不同余是顯然的，因?yàn)椴豢赡苷{(diào)整前后均同余，故只需看另兩個(gè)；

首先，對(duì)于不同的，與模4028不同余，否則會(huì)導(dǎo)致．

若均未調(diào)整，則，，故成立；

若均已調(diào)整，則，，故成立；

若只有一個(gè)被調(diào)整過，不妨設(shè)未調(diào)整、已調(diào)整，則，

，

若，則，矛盾，故同樣成立．

綜上，構(gòu)造的序列滿足條件．

2014高中聯(lián)賽試題分析今年高中聯(lián)賽剛剛比過，試題讓許多人大吃一驚．我們先來看看近幾年聯(lián)賽試題的知識(shí)點(diǎn)分類：題號(hào)2014201320122011類別知識(shí)點(diǎn)類別知識(shí)點(diǎn)類別知識(shí)點(diǎn)類別知識(shí)點(diǎn)填空題1代數(shù)計(jì)算變形代數(shù)集合幾何解析幾何代數(shù)集合2代數(shù)集合幾何解析幾何代數(shù)三角函數(shù)代數(shù)函數(shù)值域3代數(shù)函數(shù)代數(shù)三角函數(shù)代數(shù)不等式代數(shù)計(jì)算變形4代數(shù)數(shù)列幾何立體幾何幾何解析幾何代數(shù)三角函數(shù)5幾何立體幾何代數(shù)函數(shù)幾何立體幾何組合計(jì)數(shù)6幾何解析幾何組合概率代數(shù)不等式幾何立體幾何7幾何平面幾何代數(shù)計(jì)算變形代數(shù)三角函數(shù)幾何解析幾何8組合概率計(jì)數(shù)代數(shù)數(shù)列組合概率數(shù)論組合數(shù)解答題9幾何解析幾何代數(shù)數(shù)列代數(shù)函數(shù)分析代數(shù)函數(shù)分析10代數(shù)數(shù)列幾何解析幾何代數(shù)數(shù)列代數(shù)數(shù)列11代數(shù)復(fù)數(shù)代數(shù)函數(shù)分析幾何解析幾何幾何解析幾何加試1代數(shù)不等式幾何平面幾何幾何平面幾何幾何平面幾何2幾何平面幾何代數(shù)數(shù)列數(shù)論整除其他數(shù)論與函數(shù)3組合組合最值組合組合最值組合組合幾何代數(shù)數(shù)列綜合4數(shù)論同余數(shù)論整除組合抽屜原理組合組合最值從試題類型來看，今年代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合4部分所占的比例為：代數(shù)37.3%，幾何26.7%，數(shù)論16.7%，組合19.3%．這方面和歷年情況差不多，但具體的知識(shí)點(diǎn)差別極大．一試第7題填空題可謂出人意表，雖然解答是用三角函數(shù)的方法處理的，對(duì)比歷年試題，這題毫無疑問也是頂替了三角函數(shù)的位置．但本題卻是一道徹頭徹尾的平面幾何題．從圖中不難看出，最值情況在相切時(shí)取到，剩下的只是利用三角函數(shù)處理了一下計(jì)算上的問題．其余填空題中，第1~6題和往年出題風(fēng)格類似，第8題概率計(jì)算略顯突兀，本題幾乎不需要用到計(jì)數(shù)的技巧，而是用單純枚舉的方法即可解決．放在填空題最后一題的位置不免顯得難度不夠．一試三道解答題中，第9題和第10題均不太難，所考知識(shí)點(diǎn)也和往年類似，無需多說．第11題又再次爆了冷門，考了一道復(fù)數(shù)問題．聯(lián)賽已經(jīng)多年沒有考復(fù)數(shù)的大題了，許多學(xué)生都沒有準(zhǔn)備．可以說，這次一下戳中了學(xué)生的罩門．相信本題最終的得分率不容樂觀．而本次試題中最特殊的要數(shù)加試中的平面幾何題了．一反從1997年開始保持到如今的慣例，沒有將平面幾何題放在加試的第一題．而且本題實(shí)則為《中等數(shù)學(xué)》2012年第12期中的數(shù)學(xué)奧利匹克高中訓(xùn)練題中的原題，這無疑又讓此題失色不少．今年的加試第一題放了一道不等式問題，雖然近幾年不等式考察得較少，但是不等式一直是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的熱門，在歷年聯(lián)賽中多有出現(xiàn)．考慮到本題難度并不大，放在聯(lián)賽加試第一題還是非常合適的．加試第三題組合最值問題的出題風(fēng)格一如既往，可以從很極端的情況下猜出答案，再進(jìn)行證明．值得一提的是本題題干描述有歧義，最后一句“則它們交集中的最小元素與這兩個(gè)子集中的最大元素均不相同”中，記最小元素為a，兩個(gè)最大元素為b和c．本句話中到底是指a、b、c這3個(gè)數(shù)互不相同還是指且，無疑是容易讓人誤解的．希望今后聯(lián)賽試題中能避免出現(xiàn)這種情況．加試第四題雖說考察的是數(shù)論中的同余知識(shí)，但更多考察