2022-2023學年上海九年級數(shù)學上學期課時同步練第22章：相似性（單元測試）（解析版）

第22章：相似性（單元測試）

一、單選題

1.如圖，已知AB〃CD〃EF,那么下列結(jié)論正確的是（)

ADCE-CDADrCEDF

B.C.----------D.-----------

BEADDF-BCEFAFCBDA

【答案】D

【解析】三條平行線截兩條直線，所得對應線段成比例：根據(jù)上述分析，??判斷即可.

r\pA/）

【解答】根據(jù)平行線分線段成比例定理，

故選D.

【點評】考查平行線分線段成比例定理，三條平行線截兩條直線，所得對應線段成比例.

2.如圖IJ/I2//I3,直線AC與DF交于點0,且與L，12,%分別交于點A,B,C,D,E,F,則下列

比例式不正確的是（)

ABDErADAO

A.----=-----B.c綽組D.—=—

BCEFBO-EO?OCOFCFAC

【答案】D

【解析】平行線分線段成比例定理的內(nèi)容是：一組平行線截兩條直線，所截的線段對應成比例，根據(jù)以上

內(nèi)容判斷即可.

【解答】解：A.l,//12//13,

:?AR黑=D股F，故本選項正確;

BCEr

B.1J4//13,

:.A黑R=D巖F，故本選項正確;

BOEO

CL//"1，

:?黑=笑，故本選項正確;

OCOr

D.l,//12//13,

:.A第D=A黑O，故本選項錯誤;

CrAC

故選:D.

【點評】考查平行線分線段成比例定理：一組平行線截兩條直線，所截的線段對應成比例.

3.已知兩個相似三角形的面積比為4:9,周長和是40cm,則這兩個三角形的周長分別是（）

A.16cm和24cmB.14cm和26cm

C.18cm和22cmD.20cm利20cm

【答案】A

【解析】先設兩個三角形的周長分別是X、y,根據(jù)題意可得關(guān)于x、y的方程組，解即可.

【解答】設兩個三角形的周長分別是x、y,

那么有x+y=40①,

x1=1,②，

y

解關(guān)于①②的方程得

x=16,y=24,

故選：A.

【點評】考查相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

4.如圖，△ADES^ABC,若AD:DB=3:4,則DE:BC等于（）

B.4:3C.3:7D.4:7

【答案】C

【解析】根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等列式計算即可.

【解答】解：AD:DB=3A

：.AD:AB=3:7f

：.DE:BC=3:lf

故選:C.

【點評】考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對應邊的比相等是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，已知AABC中，尸是邊AC上的一點，連接8P,以下條件不能判定△ABPs/SACB的是（）

c

ABACAC_BC

A.ZABP=ZCB.ZAPB=ZABCC.

AB~AB~~AP

【答案】D

【解析】已知了△ABP和△ACB中有一個公共角，那么可再找出一組對應角相等或夾公共角的兩邊對應成

比例，即可得出△ABPs/\ACB的結(jié)論.

【解答】解：由圖得：N4=NA,

ABAC

:.當ZABP=ZC^ZAPB=ZABC或一=—時，△ABP^/^ACB.

APAB

故選:D

【點評】考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，ZkABC中，點。在線段BC上，且△A8CS/\OBA,則下列結(jié)論不正確的是（）

A.AB2=BC?BDB.AB2=AC^BD

C.AC*BD=AB^ADD.AB^AC=AD*BC

【答案】B

【解析】根據(jù)相似三角形的對應邊成比例進行判斷，要注意相似三角形的對應邊和對應角.

【解答】V

.AB_BC_AC

’?茄一花一茄

:.AXBOBD,AC*BD=AB^ADfW=4O?BC,

故選B.

7.如圖，在.ABC中，DE//BC,DE分別與AB、AC相交于點D、E,若EC=1,AC=3,則DE:BC的

值為（）

2]_2

A.B.C.D.

3243

【答案】A

【解析】由DE〃BC,可得△ADEs^ABC,然后由相似三角形的對應邊成比例，求得DE：BC的值.

【解答】YDE〃BC,

/.△ADE^AABC,

.DE_AE

??而一就‘

VEC=1,AC=3,

，AE=AC-EC=2,

.AE_2

??.

AC3

?DE_2

**BC-3'

故選A.

【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用.

8.如圖，身高為1.5米的某學生想測量一棵大樹的高度，她沿著樹影胡由B向A走去，當走到。點時，她

的影子頂端正好與樹的影子頂端重合，測得5C=4米，C4=2米，則樹的高度為（）

A.6米B.4.5米C.4米D.3米

【答案】B

【解析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答.

【解答】如圖：VBC=4,AC=2,

AAB=2+4=6,

VCD^BE,

/.△ACD^AABE,

AC：AB=CD：BE,

A2：6=1.5：BE,

/.BE=4.5m,

?,?樹的高度為4.5m,

故選B.

ACB

【點評】本題考查了相似三角形的應用舉例，只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的

相似比，列出方程，通過解方程求出樹的高度，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.

9.在三條線段b,c中，”的一半等于6的四分之一長，也等于c的六分之一長，那么這三條線段的和

與b的比等于（）

A.1:6B.6:1C.1:3D.3:1

【答案】D

【解析】依題意可得：=?=設W=9=：=k，繼而可根據(jù)比例的性質(zhì)得出答案.

246246

【解答】由題意得：^=7=7-

246

ahc

設一=—=—=k,則有a=2k,b=4k,c=6k,

246

.?,a+b+c2k+4k+6k_

所er以^—；一=——77——=3：1-

b4k

故選D.

【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.

10.若△ABCsaAB'C,則相似比k等于（）.

A.AB：AB

B.ZA：NA'

C.SAABC：SAABC

D.△ABC周長：△ABC，周長

【答案】D

【解析】根據(jù)相似三角形對應線段的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方，周長的比等于相似比即

2

可求解.VAABC-AA-BV,...相似比k=AB：AB=aABC周長：△ABC周長，/：=SaABC：SAA.B.C..

故選D.

考點：相似三角形的性質(zhì).

若DE〃BC,AD=3,BD=6,AE=2,則AC的長為()

C.6D.8

【答案】C

ADAp

【解析】已知DE〃BC,根據(jù)平行線分線段成比例定理可得最=會，代入數(shù)值即可求AC的長.

ABAC

【解答】：DE〃BC,

.ADAE

'-AC

VAD=3,BD=6,AE=2,

32

7+6~~AC

/.AC=6.

故選C.

【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理：一組平行線截兩條直線，截得的線段對應成比例.

12.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CB延長線上一點，且BE：CE=2：5,途接DE交AB于F,則4ADF

C.3：2D.25：4

AD

【解析】由題意可證△ADFs^BEF可得△ADF與ABEF的面積之比=(—)2,由BE：CE=2：5可得

BE

BE：BC=BE：AD=2：3,即可求△ADF與△BEF的面積之比.

【解答】解：???四邊形ABCD是平行四邊形,

；.AD〃BC,AD=BC,

VBE：CE=2：5,

ABE：BC=2：3GPBE：AD=2：3,

VAD/7BC,

.,.△ADFS/XBEF,

5=（嗎2=2

SgEFBE4

故選A.

【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)，利用相似三角形面積比等于相似比的

平方求解是本題關(guān)鍵.

13.如圖，將弧BC沿弦BC折疊交直徑AB于點D,若AD=6,DB=7,則BC的長是()

A.屈B.773C.y/134D.7130

【答案】D

【解析】

連接CA、CD,根據(jù)翻折的性質(zhì)可得弧CD所時的圓周角是NCBD,再根據(jù)AC弧所得的圓周角也是NCBA,

然后求出AC=CD,過點C作CELAB于E,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AE=ED=gAD,根據(jù)直

徑所對的圓周角是宜角可得NACB=90。，然后求出△ACE和^CBE相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例求

出CE2,再求出BE,然后利用勾股定理列式計算即可求出BC.

根據(jù)折疊的性質(zhì)，弧CD所對的圓周角是/CBD,

?弧AC所對的圓周角是NCBA,ZCBA-ZCBD,

...AC=CD（相等的圓周角所對的弦相等），

過點C作CE_LAB于E,

貝I]AE=ED=yAD=1x6=3,

，BE=BD+DE=7+3=10,

：AB是直徑，

ZACB=90°,

VCE±AB,

ZACB=ZAEC=90°,

ZA+ZACE=ZACE+ZBCE=90°,

:.ZA=ZBCE,

.,.△ACE^ACBE,

.AECE

??___一__，

CEBE

即CE2=AE?BE=3x10=30,

在RSBCE中，BC=>JBE2+CE2=>/102+30=V130，

故選D.

【點評】本題考查了翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，作輔

助線并求出AC=CD是解題的關(guān)鍵.

14.若3x=2y,則x：y的值為（）

A.2：3B.3：2C.3：5D.2：5

【答案】A

【解析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項.兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩

項叫做比例的內(nèi)項，根據(jù)兩內(nèi)項之積等于兩外項之積逆推即可得到答案.

【解答】；3x=2y,：y=2：3,故答案選A.

【點評】此題主要考查了比例的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩內(nèi)項之積等于兩外項之積.

15.如圖，AO是直角三角形ABC斜邊上的中線，AE_LA。交C8延長線于E,則圖中一定相似的三角形是

A.△AEDACBB.^AEB與AACDC.ARAE與△ACED.AAEC與ADAC

【答案】C

【解析】易知△ACC為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形底角相等的性質(zhì)可得/C=NZMC,易證

ZDAC,即可證明/C=N84E,即可證明△AEB與△ACO全等.

【解答】???在直角三角形中，斜邊上的中線為斜邊長的一半，

：.AD=BD=CD,.*.△AOC為等腰三角形，

ZBAE+/BAO=90。，ZDAC+NBAQ=90。，

NBAE=ZDAC,

：.ZC=ZBAE,

,:NE=NE，

：.^BAE^/\ACE,所以答案選C.

【點評】本題主要考查相似三角形的證明，同時考查了等腰三角形底角相等的性質(zhì)，本題中求證/C=/8AE

是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，在菱形ABCQ中，點E為邊A。的中點，且NABC=60。，AB=6,BE交AC于點、F,則AF=()

C.2.5D.3

【答案】B

【解析】根據(jù)四邊形ABC。是菱形，證出△AEFsaBCF,然后利用其對應邊成比例即可求得AF與CF的

比，又易知必ABC為等腰三角形，AC=AB=6,即可求出A尸的長度.

【解答】???四邊形48C。是菱形，.?.4O〃BC,AD=BC,

根據(jù)定理“兩直線平行，內(nèi)錯角相等“可知NAEF=/CBF,

又VZBFC=ZEFA,ABFCs/\EFA,

：.AF:CF=AE:CB=1:2,

又,.?△ABC中AB=8C,NA8C=60。,

.?.△ABC為等邊三角形，

：.AF+FC=BC=AB=6f

.?.AF=；AC=gx6=2,所以答案選B.

【點評】此題主要考查學生對相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和比例的應用；熟練掌握菱形的性質(zhì),

證明三角形相似并口.用相似比求出線段長度是解決問題的關(guān)鍵.

17.若ad=bc,則下列各式中不正確的是（）

【答案】B

【解析】由〃"=乩，根據(jù)比例變形，即可求得答案，注意排除法的應用.

【解答】'：ad=hc,4項正確；r=￡'B項錯誤；-=C項正確；自=；,。項正確.所以

cdbacabd

答案選B.

【點評】此題考查了比例的性質(zhì)，需要注意比例的變形.

18.王大伯要做一張如圖所示的梯子，梯子共有7級互相平行的踏板，每相鄰兩級踏板之間的距離都相等.已

知梯子最上面一級踏板的長度AiBi=0.5m,最下面一級踏板的長度A7B7=0.8m.則A3B3踏板的長度為（）

B.0.65mC.0.7mD.0.75m

【答案】A

【解析】根據(jù)梯形中位線定理和相似三角形的性質(zhì)解答.

因為每相鄰兩級踏板之間的距離都相等，

所以A$B4為梯形A1A7B7B1的中位線，

根據(jù)梯形中位線定理，

A4B4=g(A1B1+A7B7)=1(0.5+0.8)=0.65m.

作AIC〃BIB4,

貝I]DB3=CB」=AiBi=O.5m,

A4C=0.65m-0.50m=0.15m,

于是

A&_AyD

*=天，

2_AQ

3-0J5J

解得A3D=O10m.

A3B3=O.10m+0.50m=0.60m.

故答案為A.

【點評】本題考查的知識點是梯形中位線定理和相似三角形性質(zhì)的應用.解題關(guān)鍵是找出相似的三角形.

19.己知：如圖△43c中，AF:FC=1:2,且那么等于（）

【答案】B

FMAF1

【解析】首先過點F作FM〃BC,交AE于M,然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得釬=亍=

與粵=空=1，則可求得BE：EC的值.

BEBD

【解答】過點F作FM〃BC,交AE于M,

VAF：FC=1：2,

AAF：AC=1：3,

.FM_AF_1

??正一就一5

???EC=3FM,

VBD=DF,

.FMDF

..---=---=],

BEBD

；.BE=FM,

ABE：EC=1：3,

【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.

20.如圖，AD//BE//CF,直線4、4與這三條平行線分別交于點A、B、C和點。、E、F,若"=2,

AC=6,DE=1.5,則。F的長為（）

【答案】C

【解析】根據(jù)平行線分線段成比例定理進行求解即可得答案.

【解答】VAD//BE//CF,

.ABDE

（■---=---,

ACDF

,?*AB=2,AC=6,DE=1.5,

.21.5

6DF

，DF=4.5,

故選C.

【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握定理的內(nèi)容以及圖形的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，在AABC中，點D是AB邊上的一點，若/ACD=/B,AD=1,AC=2,△ADC的面積為3,則

△BCD的面積為（）

A

D

A.12B.9C.6D.3

【答案】B

【解析】由/ACD=/B、/CAD=NBAC可得出△ACDs/^ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合S/kACD

=3,可求出SAABC的值，將其代入SABCD=SAABC-SAACD中即可求出結(jié)論.

【解答】解:VZACD=ZB,NCAD=NBAC,

AAACD^AABC,

*5-Be=（如二=4

,.,SAACD=3,

?,-SAABC=4?SAACD=12,

?'?SABCD=SAABC-SAACD=9.

故選B.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)求出SAABC的值是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，在正方形ABCD中，。是對角線AC與BD的交點，M是BC邊上的動點（點M不與B,C重

合），CN1DM,與AB交于點N,連接OM,ON,MN.下列四個結(jié)論：@ACNB^ADMC；?OM=ON；

?△OMN^AOAD；@AN2+CM2=MN2,其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】據(jù)正方形的性質(zhì)，依次判定△CNB絲Z\DMC,AOCM^AOBN,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及勾股

定理進行計算即可得出結(jié)論.

【解答】解：；正方形ABCD中，CD=BC,NBCD=90。，

.,.ZBCN+ZDCN=90°,

又；CN_LDM,

.,.ZCDM+ZDCN=90°,

，NBCN=NCDM,

又：NCBN=/DCM=90°,

/.△CNB^ADMC（ASA）,故①正確；

:△CNB彩△DMC,可得CM=BN,

又：NOCM=/OBN=45°,OC=OB,

.,.△OCM^AOBN(SAS),

AOM-ON故②正確，

VAOCM^AOBN,

AZCOM=ZBON,

/.ZMON=ZCOB=90°,

.'.△MON是等腰直角三角形，

VAAOD也是等腰直角三角形，

.,.△OMN^AOAD,故③正確，

：AB=BC,CM=BN,

；.BM=AN,

又；RSBMN中,BM2+BN2=MN2,

AAN2+CM2=MN2,

故④正確；

,本題正確的結(jié)論有：①②③④，

故選D.

【點評】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，考查了學生對綜

合知識的運用能力.

23.如圖，已知矩形ABCD滿足AB：BC=1：及，把矩形ABCD對折，使CD與AB重合，得折痕EF,

把矩形ABFE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到矩形ABFE,連結(jié)E，B,交AF于點M,連結(jié)AC,交EF于點

N,連結(jié)AM,MN,若矩形ABCD面積為8,則△AMN的面積為()

A.4及B.4C.2D.1

【答案】C

【解析】先根據(jù)已知條件判定△EABs^ABC,得出NA,BE=NACB,進而判定AC〃BE,連接BN,則

△AMN的面積=△ABN的面積，根據(jù)N為AC的中點，故△ABN的面積為△ABC面積的一半，進而得到

△AMN的面積為△ABC面積的一半，即矩形ABCD面積的四分之一，據(jù)此可得結(jié)論.

【解答】如圖：

由折疊可得，BE=yBC=AF,而AB：BC=I：6，

lnr「

AAF=2_V2>

AB~~2

由旋轉(zhuǎn)可得，AF=AE,,AB=AB,

?NE_y/2

-TJ?.AB5/2

乂?---=---，

BC2

.A!E_AB

??^F-正'

又?.'NE'A'B=NABC=90。，

AAEWB^AABC,

/.ZA'BE^ZACB,

，AC〃BE,

連接BN,則△AMN的面積=△ABN的面積，

由題可得，N為AC的中點，故△ABN的面積為△ABC面積的一半，

???△AMN的面積為aABC面積的一半，即矩形ABCD面積的四分之一，

AAAMN的面積=,x8=2,

4

故選C.

【點評】本題主要考查了折疊的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應用，解決問題的

關(guān)鍵是依據(jù)相似三角形的對應角相等，得出平行線.解題時注意：平行線之間的距離處處相等.

24.下列說法不正確的是（）

A.含30角的直角三角形與含60角的直角三角形是相似的B.所有的矩形是相似的

C.所有邊數(shù)相等的正多邊形是相似的D.所有的等邊三角形都是相似的

【答案】B

【解析】根據(jù)相似三角形與相似多邊形的判定方法逐一進行判斷即可得.

【解答】A.含30。角的直角三角形可知另一個銳角為60。，與含60。角的直角三角形是相似的，故不符合題

息；

B.若一個矩形的長與寬的比為2：1,另一個矩形的長與寬的比為3：1,則這兩個矩形就不相似，故B選

項符合題意；

c.所有邊數(shù)相等的正多邊形是相似的，正確，故不符合題意；

D.所有的等邊三角形都是相似的，正確，故不符合題意，

故選B.

【點評】本題考查了相似三角形與相似多邊形的判定，熟練掌握判定方法是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

25.如圖所示，D,E分別在△ABC的邊A8、AC上，QE與BC不平行，當滿足條件時，有

△ABCSAAED.

【答案】或N4E￡)=NB或一=—

ACAB

【解析】由于ZDAE^ZCAB,則/ADE=NC或可根據(jù)有兩組角對應相等的兩

4DAF

個三角形相似判定△ABCsaAEO；當喂=二三時，可根據(jù)兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個二

ACAB

角形相似判定△ABC^>/\AED.

【解答】:OE與8c不平行，AZD^ZB,而ND4E=NCA8,.?.當NAOE=/C或NAEO=N8時，

△ABC^/XAED.

AnAp

把=/xABCsXAED.

ACAB

ADAF

故答案為^ADE=乙C或/AEZ)=ZB或=.

ACAB

【點評】本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對應相等的兩個三角形相似；兩組對應邊的比相等且夾

角對應相等的兩個三角形相似.

26.己知AABCSADEF,ZA=4,/C=ZF且AB:DE=1:2,則EF:BC=.

【答案】2:1

【解析】利用相似三角形的對應邊的比相等可以求得兩條線段的比.

【解答】解：:△ABCs△￡)￡：/,ZA=Z￡>,ZC=ZF,

.ABACBC

"DE~DF~EE'

'：AB:DE=i:2,

：.EF:BC=2:\,

故答案為：2:1.

【點評】考查相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應邊的比相等.

27.假期，爸爸帶小明去A地旅游.小明想知道A地與他所居住的城市的距離，他在比例尺為1：500000

的地圖上測得所居住的城市距A地32cm,則小明所居住的城市與A地的實際距離為km.

【答案】160

【解析】設小明所居住的城市與A地的實際距離為xh",根據(jù)比例尺的定義列出方程，解方程求得x的值

即可.

【解答】設小明所居住的城市與A地的實際距離為xkm,

132

根據(jù)題意可列比例式為

500000-xx10’

解得x=160.

二小明所居住的城市與A地的實際距離為160km.

故答案為160.

【點評】本題考查了比例尺的定義，熟知比例尺是圖上距離與實際距離的比值是解題的關(guān)鍵.

28.已知：AABCSAA'B'C',若A8=2,A'8'=4,則AABC與"’8'C’的相似比為,它們的

面積比為.

【答案】1:21：4

【解析】本題可根據(jù)相似三角形的對應邊的比等于相似比，面積比等于相似比的平方求解.

【解答】?.,△ABC^AA'B，C，,

.'.△ABC與△A'B'C'的相似比為AB：AB，=1：2；

它們的面積比為AB2：AB2=1：4.

【點評】此題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的一切對應線段（包括對應邊、對應高、對應

中線、對應角平分線等）的比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

29.若AABCS^DEF,且對應高線的比為2:3,則它們的面積比為.

【答案】]4

【解析】根據(jù)相似三角形對應高的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方進行計算即可得解.

【解答】VAABC^ADEF,對應高線的比為2：3,

.,?它們的相似比為2：3,

???它們的面積比為（：2）2=]4.

故答案為?4.

【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，主要利用了相似三角形對應高的比等于相似比，面積的比等于相

似比的平方的性質(zhì).

30.若4ABC的三條邊長的比為3：5：6,與其相似的另一個△ABC的最小邊長為12cm,那么△ABC

的最大邊長是.

【答案】24cm

【解析】設4的最大邊長是xcm,根據(jù)相似三角形的對應邊的比等于相似比及^ABC的三條邊長的

比即可列方程求解.

【解答】設△的最大邊長是xcm,由題意得

36

=—?

12x

解得x=24,

則^ABC，的最大邊長是24cm,

故答案為：24cm.

【點評】本題是相似三角形的性質(zhì)的基礎應用題，難度一般，主要考查學生對相似三角形中大邊對大邊、

小邊對小邊性質(zhì)的掌握和運用能力.

31.如圖，兩條直線被第三條直線所截，DE=百，EF=#，AB=1,貝ijAC=

【答案】>/2+1.

【解析】由h〃b〃b,可得匹=絲=里=也，可得空=*=,由此即可解決問題.

EFBCV62AC2+V2

【解答】解：：h〃12〃13,

.DEAB也及

.ABV2

；.AC=^￡=A/2+1.

故答案為忘+1.

【點評】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

32.已知：如圖，在AASC中，^ACB=90,CD1AB,垂足是。，BC=#，BD=1.則A￡>=

【解析】根據(jù)勾股定理可求出CD的長，由NA+NACD=90。，NBCD+NACD=90。可證明NA二/BCD,即

可證明△BCD^AACD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AD即可.

【解答】BC=>/6,BD=1.

??CD=(6-1=\[s,

VZA+ZACD=90°,ZBCD+ZACD=90°,

AZA=ZBCD,

VZBDC=ZCDA=90°,

AABCD^AACD,

AAD：CD=CD：BD,

=5.

BD

故答案為5.

【點評】本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，兩角對應相等，兩三角形相似；兩三角形相似，對應邊成比

例，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.

33.如圖，AB||EF||DC,DE=2AE,CF=2BF,且DC=5,AB=8,貝ijEF=

【答案】7

【解析】延長AD、BC交于G,根據(jù)平行線分線段成比例可得GD：GA=5：8,進一步得到DC：EF=5：7,

依此即可求解.

【解答】延長AD、BC交于G.

：AB〃EF〃DC,DC=5,AB=8,

，GD：GA=5：8,

VDE=2AE,

AGD：GE=5：7,

ADC：EF=5：7,

解得EF=7.

故答案為7.

【點評】考查了平行線分線段成比例，平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的

直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例.

34.函數(shù)y=x?—2x-2的圖象如圖所示，觀察圖象，使）亞/成立的x的取值范圍是

【答案】x<-l^x>3

【解析】觀察圖象，根據(jù)直線y=l上方的函數(shù)圖象所對應的自變量的取值即可解答.

【解答】解：觀察圖象可得，直線y=l上方的函數(shù)圖象所對應的自變量的取值為爛-1或xN3.

故答案為：xW-1或xN3.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與不等式之間的關(guān)系，判斷出yR的自變量的取值是直線y=l上方的函

數(shù)圖象所對應的自變量的取值是解決本題的關(guān)鍵.

35.已知P是x軸的正半軸上的點，AAZJC是由等腰直角三角形EOG以P為位似中心變換得到的，如圖,

則位似中心戶點的坐標是

【解析】根據(jù)位似圖形的概念，連接AG,與CE的交點即是點P.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得0P的長,

即可得點P的坐標..

.,.△ACD與△GOE的位似比是2：1,

.\AD：0G=2：1,

???△ADC是等腰直角三角形，

AAD±x軸，

???AD〃OG,

AAOPG^ADPA

???PD：OP=2：1,

VOD=2,

，OP=2,

3

2

...位似中心P點的坐標是（§,0）.

故答案為（；2，0）.

【點評】本題考查了位似的相關(guān)知識，熟知位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比是解決問題的關(guān)鍵.

36.如圖，己知平行四邊形A3CD中，過點8的直線與AC相交于點E、與AO相交于點尸、與C。的延長

線相交于點G,若BE=5,EF=2,則FG=.

【答案】10.5

【解析】根據(jù)平行四邊形可得AD〃BC、AB〃CD,由此可得△AEBs/iEGC,△AEF-ABEC,利用其

對應邊成比例可求出EG的長，再用EG減去EF即可求得FG的長.

【解答】VAD/7BC,

.,.△AEF^ABEC,

.AEEF

"~EC~~BE'

又：AB〃CD,

.,.△ABE^AEGC,

.AEBE

?(------=-------,

ECEG

.EFBE

"~BE~~EG7

將BE=5,EF=2,代入求得EG=12.5,

:.FG=EG-EF=12.5-2=10.5.

故答案為10.5.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，利用相似三角形的對應邊成比例得到

轉(zhuǎn)=會是解決問題的關(guān)鍵.

BEEG

37.如圖，五邊形A，￡與五邊形ABCDE是位似圖形，且位似比為若五邊形ABCDE的，面積為

20cm2,那么五邊形48。〃￡的面積為cm2.

【解析】

試題解析：；五邊形AB'CDE與五邊形ABCDE是位似圖形，且位似比為《，

.??五邊形ABCDE的面積與五邊形ABCDE的面積比為：1：4,

五邊形ABCDE的面積為20cm2,

...五邊形AB'CDE的面積為：5.

考點：位似變換.

38.如圖，矩形ABCD中，AB=2BC,在CD上取一點E,使AE=AB,延長AE與BC延長線交于點F,則

【解析】作EHLAB于H.根據(jù)EC〃AB,可得一=—,設AD=BC=a,則AB=CD=2a,想辦法求出

FBAB

EC即可解決問題.

【解答】解：作EHJ_AB于H,

???四邊形ABCD是矩形,

，ND=NDAH=NEHA=90°,

，四邊形AHED是矩形，

.?.AD=BC=EH,DE=AH,

：AB=2BC,設AD=BC=a,則AB=CD=2a,

在RsAEH中，AE=AB=2a,EH=AD=a,

,AH=yjAE2-EH2=百a,

，EC=BH=2a-Ga,

：EC〃AB,

.,.△FEC^AFAB,

.FCEC_la-yfia_2->/3

,■市一通一―2a2~,

故答案為：紀叵

2

【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利

用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型.

39.如圖，〃個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點,M2,M3,…分別為邊q層，

B縣,B'B、，…,瓦耳“的中點，△旦G必的面積為Z\B2aM2的面積為邑，…，的面積為

S“，則s“=.（用含〃的式子表示）

1

【答案】4（2n-l）

【解析】由n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點Mi,M2,M3,…Mn分別為邊B山2,B2B3,

B3B4,…,BnBn+i的中點,即可求得△BlClMn的面積,又由BnCn〃BlCl,即可得△BnCnMnSaBlClMn,

然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，求得答案.

【解答】：〃個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點Ml,M2,M3,…Mn分別為邊B1B2,B2B3,

B3B4,…,BnBn+l的中點，

S,=—xB,C,xB.M.=—xlx—=—,

'2''1'224

1133

SXBCXBM

^C,M2=~11\2:/又以萬二屋

5邢泗,=3xB]GxBM=gxlxg=；,

1177

S/CM=5、g￡'3附4=/xlx/=T

C_?AA/_1i2/1—1_2/7—1

SAB1cM,=]X4GXB[M,I=—xlx---=--—

?:BnCn〃BC,

**.ABnCnMnSdBlClMn,

riY

?s7JgM，—2

??'"M,.J通GM「（麗_2^1，

<2>

**〃4（2〃-l）.

故答案為4（2n-l[

【點評】考查相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的面積比等于相似比的平方.

40.點尸是AABC的邊AB上一點，過P點的直線/與A"C的邊界的另一個交點為。，則使AAPD與AABC

相似的直線/可能有（把正確的結(jié)論的代號都填上）.

①1條；②2條；③3條；④4條.

【答案】④

【解析】根據(jù)題意畫出圖形，過點P作PD〃BC,PF〃AC,作/APE=/C,ZBPG=ZC；可得這樣的直線

一共有4條.

【解答】如圖所示，

GF

①過點P作PD〃BC,則△APDs^ABC：

②作NAPE=/C,則AAPEsZ\ACB；

③過點P作PF〃AC,則4PBF^AABC；

④在NBPG=NC,則^PBGs/XCBA.

故答案為④.

【點評】此題考查了相似三角形的判定.此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用.

三、解答題

41.如圖，已知點F在AB上，且AF：BF=1：2,點D是BC延長線上一點，BC：CD=2：1,連接FD與

【解析】過點F作FE〃BD,交AC「點E,求出箓=喘，得出FE=1BC,根據(jù)己知推出CD=^，根據(jù)

平行線分線段成比例定理推出筮=普，代入化簡即可.

【解答】解：過點F作FE〃BD,交AC于點E,

BCAB

VAF：BF=1：2,

.AF1

??=—,

AB3

.FE1

??-=—,

BC3

即FE=-BC,

3

VBC：CD=2：1,

ACD=^BC,

VFE/7BD,

.FNFE飛入2

??麗一而一［口「一3

2

即FN：ND=2：3.

【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理的應用，注意：平行線分的線段對應成比例，此題具有一定

的代表性，但是一定比較容易出錯的題目.

42.如圖，AAEB和AFEC是否相似？為什么？

【答案】AAEB和ACEF相似

【解析】相似，根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等的三角形是相似三角形，即可證明.

【解答】△AE8和ACEF相似.理由如下：

?；EF：4E=24：32=3：4,EC：BE=2\：28=3：4,：.EF：AE=EC：BE.

又?：NCEF=NAEB（對頂角相等），...△AE8s/\FEC（兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似）.

【點評】本題考查了相似三角形的判定，熟記各種判定方法是解題的關(guān)鍵，題目比較簡單，是中考常見題

型.

43.如圖，若AADESAABC,OE和A3相交于點￡>,和AC相交于點E,DE=2,BC=5,S^c=20,

求SJDE.

【答案】y.

【解析】先求出AAOEAABC的相似比，根據(jù)面積比等于相似比的平方即可求出.

【解答】解：

.e.c一42

??°^ABC?0^,ADE-l萬g），

25

**?20:SQADE=，

解得

【點評】考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

44.己知，在△ABC中，三條邊的長分別為2,3,4,△ABC的兩邊長分別為1,1.5,要使△，

求^ABC中的第三邊長.

【答案】2.

【解析】此題主要應用兩三角形相似的判定定理，三邊對應成比例的兩個三角形相似，分析作答即可.

試題解析：已知在AABC中，?:條邊的長分別為2,3,4,△AB'C'的兩邊長分別為1,1.5,可以看出，△A'B'C

的兩邊分別為△ABC的兩邊長的一半，因此要使&ABCsaAB'C'需兩三角形各邊對應成比例，則第三邊

長就為4的一半即2.

RDAT71RFAF

45.AABC中，。為BC上的一點，==2,E是4。上一點，蕓=；，求當，黑的值.

DCED4EFFC

B

iBE

【答案】AF:FC=-,—=14:1.

6EF

【解析】作DG//AC交BF于G,如圖，已知把BD：DC=2：1和AE：ED=1：4,通過作平行線建立FC、

AF與DG的關(guān)系，GF與BF的關(guān)系，EF與EG的關(guān)系，即可求得答案.

【解答】作DG//AC交BF于G,如圖，

.BD2

*BC~3*

.?DG//CF,

.BGDGBD2

*-CF-BC-3?

31

\FC=-DG,GF=-BF,

23

:DG//AF,

.EF_AF_AE_1

*GE-DG-ED-4

\AF=-DG,EF=-EG,

44

iRE

??AF:FC=—,—=14:1.

6EF

【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線、把它們的比轉(zhuǎn)移到同?條

線段上.

46.如圖，MN//PQ//BC,且?=等=。。.

(1)梯形MNQP與梯形尸8CQ是否位似？如果位似，求出它們的相似比，如果不位似，說明理由；

⑵若=30"/.求梯形MNQP的面積?

【答案】（1）梯形MNQP與梯形PBCQ不位似；理由見解析；（2）段.

【解析】（1）分別求出梯形MNQP與梯形PBCQ的對應邊的比，根據(jù)位似變換的概念進行判斷即可;

（2）根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方分別求出SAAPQ和SAAMN,計算得到答案.

【解答】（1）梯形MNQP與梯形PBCQ不位似，

?4QQC,

32

AN:NQ:QC=3：2:1,

?；MN//PQ//BC,

.NQMP_2MN_AN_3

*'QC-PB--AQ-5'

梯形MNQP與梯形PBCQ不位似;

（2）MN//BC,

S’AMN:S’ABC=（二76=7，又S.ABC=30,

AL4

S—15

°AMN-

A~2

?.?MN//PQ,

AN2_915

??AAMN?、AAPQ-（AQ）~~25,乂S&AMNT

125

??SjPQ

-6~

，梯形MNQP的面積=SAAPQ-SAAMN=y.

【點評】本題考查的是位似變換和相似三角形的性質(zhì)，掌握位似變換的概念和相似三角形的面積比等于相

似比的平方是解題的關(guān)鍵.

47.正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的三角形叫格點三角形.在圖中正方形

網(wǎng)格（每個小正方形邊長為1）中有一格點△ABC和一線段DE

（1）以DE為一邊做格點4DEF與△ABC相似；

（2）直接寫出^DEF的面積.

【答案】（1）作圖見解析；（2）7.5.

【解析】（1）由于每個小正方形邊長為1,先利用勾股定理求出△ABC的三邊分別為AB=6,BC=〃，

AC=不，DE=5,根據(jù)三邊對應成比例的兩三角形相似，可以畫出格點△DEF,使DF=5,EF=；

（2）根據(jù)三角形的面枳公式求解即可.

【解答】（1）如圖所示，AD