天津市西青區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高一數(shù)學(xué)試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答題時(shí)間100分鐘，滿分120分．第Ⅰ卷（40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的．1.已知向量，，若，則m的值為（）A.－1 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】由兩向量平行的坐標(biāo)表示列出等式，即可解出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，解得?故選：D2.8個(gè)樣本數(shù)據(jù)11，2，8，13，5，7，4，6的75%分位數(shù)為（）A.11 B.9.5 C.8 D.7.5【答案】B【解析】【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，根據(jù)百分位數(shù)的求法，即可求得答案.【詳解】8個(gè)樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為：2，4，5，6，7，8，11，13，由于，故這8個(gè)樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為，故選：B3.由下列條件解，其中有兩解的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為及三角形三邊關(guān)系，結(jié)合正弦定理和余弦定理逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由，,由正弦定理可得,由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解，因此A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，由余弦定理可知只有唯一解，所以三角形的三個(gè)邊唯一確定，即只有唯一解，因此B不正確；對(duì)于C，因?yàn)?，由正弦定理得，即，又，所以，所以角只有唯一解，即只有唯一解，因此C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，由正弦定理得，所以，又，所以，所以角有兩個(gè)解，即有兩個(gè)解，因此D正確.故選：D.4.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別是，其中O是原點(diǎn)，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)所給的兩個(gè)向量的代數(shù)形式，先求兩個(gè)向量的差，求出，得到向量的代數(shù)形式的表示式即可.【詳解】復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的向量分別是與，.故選：A.5.設(shè)，為兩個(gè)平面，m為平面內(nèi)一條直線．則“”是“”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.必要不充分條件 D.充分不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)面面垂直的判定定理以及性質(zhì)，即可判斷出答案.【詳解】由于m為平面內(nèi)一條直線．若，則根據(jù)面面垂直的判定定理可得；當(dāng)時(shí)，m可能平行于，或與斜交，不一定有，故“”是“”的充分不必要條件，故選：D6.從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，分別采取不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人是一男生一女生的概率分別為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別寫出樣本空間，利用古典概型的概率計(jì)算公式求解.【詳解】從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，記事件“抽到兩人是一男生一女生”，在無(wú)放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式下的樣本空間為:共12個(gè)樣本點(diǎn)，其中有8個(gè)樣本點(diǎn)，所以.在有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式下的樣本空間為:共16個(gè)樣本點(diǎn)，其中有8個(gè)樣本點(diǎn)，所以.故選：A.7.將邊長(zhǎng)為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：將邊長(zhǎng)為1正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為底面為半徑為的圓、高為1的圓柱，其側(cè)面展開(kāi)圖為長(zhǎng)為，寬為1，所以所得幾何體的側(cè)面積為.故選C.8.已知向量，設(shè)與的夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用投影向量的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由題意知，在上的投影向量為：.故選：C.9.下列五個(gè)命題①若則；②投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1000次，一定有500次“正面朝上”；③若甲組數(shù)據(jù)的方差是0.03，乙組數(shù)據(jù)的方差是0.1，則甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)穩(wěn)定；④分別投擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)“第一枚正面朝上”，“第二枚正面朝上”，事件“兩枚硬幣朝上的面相同”，則A、B、C三個(gè)事件兩兩獨(dú)立；⑤為了解我國(guó)中學(xué)生的視力情況，應(yīng)采取全面調(diào)查的方式．以上5個(gè)命題正確的命題個(gè)數(shù)是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，逐個(gè)分析5個(gè)命題的真假，綜合即可得正確答案.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，但不一定成立，因此①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)槊看螔仈S硬幣都是隨機(jī)事件，所以不一定有500次“正面朝上”，因此②錯(cuò)誤；對(duì)于③，因?yàn)榉讲钤叫≡椒€(wěn)定，因此③正確；對(duì)于④，，，，，由，，，則A、B、C三個(gè)事件兩兩獨(dú)立，因此④正確；對(duì)于⑤，為了解我國(guó)中學(xué)生的視力情況，應(yīng)采取抽樣調(diào)查的方式，因此⑤錯(cuò)誤；一共有兩個(gè)正確，故選：C.10.天津廣播電視塔是津門十景之一，被人們稱為“天塔”，建成于1991年：它曾是亞洲第一高塔，現(xiàn)為集廣播電視、觀光旅游、娛樂(lè)餐飲于一體的4A級(jí)景區(qū)．某校一項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組開(kāi)展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，欲測(cè)量天塔AB的高度．在天塔湖岸邊上，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)、．測(cè)得，在、兩觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得天塔頂部的仰角分別為，則天塔的高約為（）A.414m B. C. D.207m【答案】A【解析】【分析】設(shè)，在和中，求出，在中借助余弦定理求出的值，即的值.【詳解】設(shè)，在中，有題意知，則，在中，有題意知，則，在中，，，由余弦定理可得：，即，解得，即.故選：A.【點(diǎn)睛】解三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1)閱讀理解題意，弄清問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題的模型．(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．(4)將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等.第Ⅱ卷（80分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分，試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給1分，全部答對(duì)的給5分，把答案寫在答題紙相應(yīng)的橫線上11.已知復(fù)數(shù)z滿足______．【答案】【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】由，故答案為：.12.天氣預(yù)報(bào)端午假期甲地的降雨概率為0.6，乙地的降雨概率為0.3，假定在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒(méi)有影響，則在這段時(shí)間內(nèi)兩地都不降雨的概率為_(kāi)_____．【答案】028##【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算以及對(duì)立事件的概率計(jì)算，即可求得答案?！驹斀狻坑深}意知甲地的降雨概率為0.6，乙地的降雨概率為0.3，故在這段時(shí)間內(nèi)兩地都不降雨的概率為，故答案為：0.2813.已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且，則角______．【答案】##【解析】分析】由正弦定理進(jìn)行邊化角得到，從而得解；【詳解】，由正弦定理可得，在中，，，，.故答案為：.14.如圖，在正方體中，異面直線與BC所成角的大小為_(kāi)_____；平面與平面ABCD所成的二面角的大小為_(kāi)_____．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)異面直線以及二面角的定義求解，即可得答案.【詳解】在正方體中，，故異面直線與BC所成角即為直線與AD所成角，由于，故異面直線與BC所成角的大小為；在正方體中，平面，而平面，故，又平面，平面，故為平面與平面ABCD所成的二面角，而,故平面與平面ABCD所成的二面角的大小為，故答案為：；15.甲，乙兩班參加了同一學(xué)科的考試，其中甲班人，乙班人．甲班的平均成績(jī)?yōu)椋讲顬?；乙班的平均成?jī)?yōu)?，方差為．那么甲，乙兩班全部名學(xué)生成績(jī)的方差是______．【答案】【解析】【分析】首先計(jì)算得到全部名學(xué)生的平均成績(jī)，根據(jù)方差的計(jì)算公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：全部名學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)椋?，全部名學(xué)生的方差為：.故答案為：.16.在平行四邊形中，是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足若設(shè)，則可用表示為_(kāi)_____；若，則______．【答案】①.②.【解析】【分析】由向量的線性運(yùn)算，可將用表示出來(lái)；以為基底，即可對(duì)的數(shù)量積進(jìn)行運(yùn)算求解.【詳解】由E是線段CD的中點(diǎn)，，可得，，則，則，所以；由題意知，，，，，則.故答案為：；.【點(diǎn)睛】(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．三、解答題：本大題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程.17.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，．（1）求角的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可；（2）結(jié)合正弦定理進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】由，則，又，則；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，又，則由正弦定理知，，即.18.已知向量滿足（1）若，求向量的坐標(biāo)；（2）求與夾角的余弦值；（3）在（1）的條件下，若與垂直，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可；（2）由向量夾角公式計(jì)算即可；（3）由向量垂直的坐標(biāo)表示建立方程，進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】，，；【小問(wèn)2詳解】由，知與夾角的余弦值為；【小問(wèn)3詳解】，由與垂直，則，解得.19.今年3月在北京召開(kāi)了中國(guó)人民政治協(xié)商會(huì)議第十四屆全國(guó)委員會(huì)第二次會(huì)議和第十四屆人民代表大會(huì)第二次會(huì)議．某學(xué)校組織全校學(xué)生進(jìn)行了一次“兩會(huì)知識(shí)知多少”的問(wèn)卷測(cè)試．已知所有學(xué)生的測(cè)試成績(jī)均位于區(qū)間，從中隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求圖中a的值，并估算這40名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（2）今年政府工作報(bào)告將“大力推進(jìn)現(xiàn)代化產(chǎn)業(yè)體系建設(shè)，加快發(fā)展新質(zhì)生產(chǎn)力”列為2024年首要任務(wù)．為了更好的幫助同學(xué)們理解新質(zhì)生產(chǎn)力，感受新質(zhì)生產(chǎn)力強(qiáng)勁“脈搏”，學(xué)校團(tuán)總支利用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從和的學(xué)生中抽取7人組成“新質(zhì)生產(chǎn)力揚(yáng)帆起航”宣講團(tuán)．①求應(yīng)從和學(xué)生中分別抽取的學(xué)生人數(shù)；②從選定的7人中隨機(jī)抽取2人對(duì)高一同學(xué)進(jìn)行宣講，寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間Ω；（用恰當(dāng)?shù)姆?hào)表示）③設(shè)事件“至少有1人測(cè)試成績(jī)位于區(qū)間”，求在②的條件下事件A的概率．【答案】（1）；74.5（2）①5，2；②答案見(jiàn)解析；③【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中各組頻率之和為1，即可求得a的值，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法即可求得答案；（2）①根據(jù)兩組的頻率之比，即可求得每組抽取人數(shù)；②依題意即可寫出樣本空間；③根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖可得，解得；估算這40名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)為；【小問(wèn)2詳解】①由圖可得和這兩組的頻率之比為，故應(yīng)從學(xué)生中抽取的學(xué)生人數(shù)為（人），應(yīng)從學(xué)生中抽取的學(xué)生人數(shù)為（人）；②設(shè)從中抽取的5人為，從學(xué)生中抽取的2人為1，2，則這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為，共有21個(gè)基本事件；③事件“至少有1人測(cè)試成績(jī)位于區(qū)間”，在②的條件下事件A的個(gè)數(shù)有11個(gè)，即，故.20.如圖，直三棱柱中，，E、F分別為AB、的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：；（3）若，直線EF與平面ABC所成角為，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論；（2）取BC中點(diǎn)為