山東省青島第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期8月月考數(shù)學(xué)試卷和解析

試卷第1頁，共18頁一、單選題2．某高中為鼓勵(lì)全校師生增強(qiáng)身體素質(zhì)，推行了陽光校園跑的措施，隨機(jī)調(diào)查7名同學(xué)在某周周日校園跑的時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：35,30,50,90,70,85,60.則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別為()A．60，58B．60，60 4．曲線y=ex+sin2x在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為()5．已知銳角α,β滿足sinα+sinαsinβ=cosαcosβ,則2α+β=()6．過點(diǎn)P(1,-3)的直線l與曲線M:(x-2)2+y2=1(2≤x≤3)有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線l斜率的取7．已知橢圓=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線l與T交于A,B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)M在直線x+2y=0上，則T的離心率為() 8．如圖，在平行四邊形ABCD中，tan上BAD=7,AB=52,AD=5,E為邊BC上異于端點(diǎn)的試卷第2頁，共18頁二、多選題A．m的取值范圍是(-6,3)C．C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),(3,0)D．C可以是等軸雙曲線10．下列函數(shù)中，存在數(shù)列{an}使得a1,a2,a3和f(a1),f(a2),f(a3)都是公差不為0的等差A(yù)．f(x)=tanxB．f(x)=log2x=x2024D．f11．已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(2+x)+g(-x)=1，則()A．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱B．f(x)是以8為周期的周期函數(shù)三、填空題12．二項(xiàng)式(x-y)6的展開式中x4y2的系數(shù)為.試卷第3頁，共18頁13．已知函數(shù)=2024sin在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范14．將正整數(shù)n分解成兩個(gè)正整數(shù)k1、k2的積，即n=k1.k2，當(dāng)k1、k2兩數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí)，k1-k2n的最優(yōu)分解時(shí)，定義f(nk1-k2四、解答題(1)求A；若a=23，且b>c，則VABC的面積為2，求b、c.16．已知直線l:x=my+n交拋物線C:y2=4x于M,N兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，且FM丄FN.(2)求n的取值范圍.(1)求正四棱錐P-ABCD的體積；(2)設(shè)E為側(cè)棱PA上的點(diǎn)，且求直線BE與平面PQC所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.18．某企業(yè)對(duì)某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級(jí)劃分為五個(gè)層級(jí)，分別對(duì)應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)品稱為A等品，其它產(chǎn)品稱為B等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件作為樣本，統(tǒng)計(jì)得試卷第4頁，共18頁到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為11，用樣本平均數(shù)x作為μ的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計(jì)該芯片為A等品的概率(保留小數(shù)點(diǎn)后面兩位有效數(shù)字)；(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；②參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布Nμ,σ2)，則P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)≈0.9973.)(2)（i）從樣本的質(zhì)量指標(biāo)值在[45,55)和[85，95]的芯片中隨機(jī)抽取3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在[85，95]的芯片件數(shù)為η,求η的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）該企業(yè)為節(jié)省檢測(cè)成本，采用隨機(jī)混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件A等品芯片的利潤(rùn)是m(1<m<24)元，一件B等品芯片的利潤(rùn)是ln(25-m)元，根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，試求m的值，使得每箱產(chǎn)品的利潤(rùn)最大.19．定義：若對(duì)于任意n∈N*，數(shù)列{xn},{yn}滿足：①xn≠yn；②f(xn)=f(yn)，其中f(x)的定義域?yàn)镈,xn,yn∈D，則稱{xn},{yn}關(guān)于f(x)滿足性質(zhì)G.(1)請(qǐng)寫出一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)，使得{n},{-n}關(guān)于f(x)滿足性質(zhì)G；設(shè)g，若關(guān)于g滿足性質(zhì)G，證明：xn+yn>2；設(shè)h+x+e--x-sinx，若關(guān)于h滿足性質(zhì)G，求數(shù)列{xn+yn}的前n項(xiàng)和.試卷第5頁，共18頁一、單選題【答案】【答案】D故M∩N=．故選：D.2．某高中為鼓勵(lì)全校師生增強(qiáng)身體素質(zhì)，推行了陽光校園跑的措施，隨機(jī)調(diào)查7名同學(xué)在某周周日校園跑的時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：35,30,50,90,70,85,60.則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別為()A．60，58B．60，60【答案】【答案】B【詳解】將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為30,35,50,60,70,85,90.易得中位數(shù)為60，3．已知z為實(shí)數(shù)，則2z+zi=()【答案】【答案】D【詳解】由題意可得由z為實(shí)數(shù)，得1-a=0，即a=1，則z=1，4．曲線y=ex+sin2x在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為()試卷第6頁，共18頁【答案】C【詳解】因?yàn)閥,=ex+2cos2x，所以y=e所以切線方程為y-1=3×(x-0)，即3x-y+1=0.故選：C.5．已知銳角α,β滿足sinα+sinαsinβ=cosαcosβ,則2α+β=()【答案】【答案】A【詳解】因?yàn)閟inα+sinαsinβ=cosαcosβ,所以=sinα=cosαcosβ-sinαsinβ=co，而y=cosx在(0,π)上單調(diào)遞減，從而-α=α+即2α+β=.故選：A.【答案】B【詳解】由題意易知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l:y=k(x-1)-3(k≠0)，曲線M:(x-2)2+y2=1(2≤x≤3)是以M(2,0)為圓心，1為半徑的半圓（如圖所示設(shè)曲線M的下端點(diǎn)為N(2,-1)，要使l與曲線M有兩個(gè)交點(diǎn)，則l應(yīng)位于直線PN和切線PQ之間，所以kPQ<k≤kPN，因?yàn)镻，易知kPN=又PQ與曲線M相切，由解得，所以kPQ= 所以直線l斜率的取值范圍為試卷第7頁，共18頁故選：B.7．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線l與T交于A,B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)M在直線x+2y=0上，則T的離心率為()【答案】D【詳解】設(shè)A(X1,y1,BX2,y2)，由題意可知直線AB的方程為y=x—c，線段AB的中點(diǎn)M是直線l與直線x+2y=0的交點(diǎn)，聯(lián)立解得所以，易知Δ>0，由韋達(dá)定理得x1+x2=c，解得a2=2b2，故選：D.8．如圖，在平行四邊形ABCD中，tan上BAD=7,AB=5·AD=5,E為邊BC上異于端點(diǎn)的試卷第8頁，共18頁 2751【答案】Bλ-得又0<λ<1，故λ=55BC則BC則5即即DE=52．在△CDE中，由正弦定理以及以及sinC=sin上BAD，整理計(jì)算得sin上CDE=．故選：B.二、多選題D．C可以是等軸雙曲線【答案】【答案】ACD試卷第9頁，共18頁【詳解】對(duì)于選項(xiàng)【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)镃:1表示雙曲線，所以(m+6)(3-m)>0，解得對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)m=1時(shí)，雙曲線方程為其漸近線方程為，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，由選項(xiàng)A得m+6>0,3-m>0，所以焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)C的半焦距為c(c>0)，+3-m=9，解得c=3，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),(3,0)，所以選對(duì)于D，若C為等軸雙曲線，則3-m=m+6，解得m=-所以選項(xiàng)D正確，故選：ACD.10．下列函數(shù)中，存在數(shù)列{an}使得a1,a2,a3和f(a1),f(a2),f(a3)都是公差不為0的等差A(yù)．f(x)=tanxB．f(x)=log2x=x2024D．f【答案】AD【詳解】該題可轉(zhuǎn)化為判斷選項(xiàng)所給函數(shù)與一次函數(shù)是否存在3個(gè)交點(diǎn)，且其中一個(gè)交點(diǎn)是另外兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)，即可滿足題意，A選項(xiàng)，f(x)=tanx為奇函數(shù)，過原點(diǎn)的直線與f(x)=tanx有多個(gè)交點(diǎn)（包含原點(diǎn)其中原點(diǎn)為兩個(gè)對(duì)稱交點(diǎn)的中點(diǎn)，滿足題意，故A正確；B選項(xiàng)，由于f(x)=log2x與一次函數(shù)y=kx+m最多兩個(gè)交點(diǎn)，不可能有三個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)C選項(xiàng)，f(x)=x2024為偶函數(shù)，且與二次函數(shù)圖象形狀類似，與一次函數(shù)y=kx+m最多兩個(gè)交點(diǎn)，不可能有三個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；又=-lg故為奇函數(shù)，1-x1-x試卷第10頁，共18頁由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，fx在(-1,1)上單調(diào)遞增，且=0，x→1時(shí)，f趨向于+∞,故過原點(diǎn)的直線可以與奇函數(shù)存在三個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)為原點(diǎn)，且原點(diǎn)是另外兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)，故D正確.故選：AD.11．已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(2+x)+g(-x)=1，則()A．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱B．f(x)是以8為周期的周期函數(shù)【答案】ABC【詳解】對(duì)于A，由題意f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x)，用-x替換f(2+x)+g(-x)=1中的x，得f(2-x)+g(x)=1②,由①+②得f(x+2)+f(2-x)=2，所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，且f(2)=1，故A正確；對(duì)于B，由f(x+2)+f(2-x)=2，可得f(x+4)+f(-x)=2，f(x+4)=2-f(-x)=2-f(x)，所以f(x+8)=2-f(x+4)=2-2-f(x)=f(x)，所以f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，由①知g(x)=f(x+2)-1，對(duì)于D，又因?yàn)閒(x+4)+f(-x)=2，所以f(x)+f(x+4)=2，試卷第11頁，共18頁令令x=2，則有f(2)+f(6)=2，令x=10，則有f(10)+f(14)=2,…，所以所以f=2024，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題12．二項(xiàng)式(x-y)6的展開式中x4y2的系數(shù)為.【答案】【答案】15【詳解】由二項(xiàng)式(x-y)6的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=Cx6-r(-y)r，令r=2，得其展開式中x4y2的系數(shù)為C(-1)2=15.故答案為：1513．已知函數(shù)=2024sin在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范由函數(shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，可知<2m-解得.故答案為14．將正整數(shù)n分解成兩個(gè)正整數(shù)k1、k2的積，即n=k1.k2，當(dāng)k1、k2兩數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí)，我們稱其為最優(yōu)分解.如20=1×20=2×10=4×5，其中4×5即為20的最優(yōu)分解，當(dāng)k1,k2是n的最優(yōu)分解時(shí)，定義f(n)=k1-k2i，則數(shù)列{f(5n)}的前2023項(xiàng)和為.【答案】51012-1/-1+510125k-5k*5k-5k*試卷第12頁，共18頁當(dāng)當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時(shí)，52k-1=5k-1×5k，則f(52k-1)=5k-5k-1=5k-5k-1，故數(shù)列{f(5n)}的前2023項(xiàng)和為1012-1.故答案為：51012-1.四、解答題15．在VABC中，內(nèi)角A、B、的對(duì)邊分別為a、b、c，且acosC+·sinC=b+c.(1)求A；(2)若a=2，且b>c，則VABC的面積為2，求b、c.由正弦定理得：由正弦定理得：sinAcosC+3sinAsinC=sinB+可得：可得：3sinAsinC=cosAsinC+s （ （2）因?yàn)閍=2，且b>c，則VABC的面積為2=bcsinA=bc，因?yàn)锳∈(0,π)，所以A=所以b+c=6，由{，解得：{所以b+c=6，由{，解得：{，或{，因?yàn)閎>c，所以{16．已知直線l:x=my+n交拋物線C:y2=4x于M,N兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，且FM丄FN.(2)求n的取值范圍.【答案】【答案】(1)證明見解析；(2)n≥3+22或n≤3-22【詳解】（1）由題意聯(lián)立{[y2=4x,得y2-4my-4n=0，（2）設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，由（1）得y1+y2=4m,y1y2=-4n，:FM.FN=0，y2:n≠1，且n2-6n+1≥0，(1)求正四棱錐P-ABCD的體積；(2)設(shè)E為側(cè)棱PA上的點(diǎn)，且求直線BE與平面PQC所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.【答案】【答案】(1)；arcsin試卷第13頁，共18頁試卷第14頁，共18頁故底面正方形故底面正方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=2，所以正四棱錐P-ABCD的（2）以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)C、OD、OP的方向?yàn)閤、建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，.設(shè)平面設(shè)平面PQC的一個(gè)法向量為=(a,b,c)，則{,設(shè)直線設(shè)直線BE和平面PQC所成角為θ,則則 故直線BE和平面PQC所成角的大小為arcsin.試卷第15頁，共18頁18．某企業(yè)對(duì)某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級(jí)劃分為五個(gè)層級(jí)，分別對(duì)應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)品稱為A等品，其它產(chǎn)品稱為B等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為11，用樣本平均數(shù)x作為μ的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計(jì)該芯片為A等品的概率(保留小數(shù)點(diǎn)后面兩位有效數(shù)字)；(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；②參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布Nμ,σ2)，則P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)≈0.9973.)(2)（i）從樣本的質(zhì)量指標(biāo)值在[45,55)和[85，95]的芯片中隨機(jī)抽取3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在[85，95]的芯片件數(shù)為η,求η的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）該企業(yè)為節(jié)省檢測(cè)成本，采用隨機(jī)混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件A等品芯片的利潤(rùn)是m(1<m<24)元，一件B等品芯片的利潤(rùn)是ln(25-m)元，根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，試求m的值，使得每箱產(chǎn)品的利潤(rùn)最大.試卷第16頁，共18頁【答案】(1)0.16；(2)（i）分布列見解析ii）m=【詳解】（1）由題意，估計(jì)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件的平均數(shù)為： 因?yàn)橘|(zhì)量指標(biāo)值X近似服從正態(tài)分布N(69,112)，所以1-P(69-11<X<1-P(69-11<X<69+11)1-P(μ-σ<X<μ+σ)2所以從生產(chǎn)線中任取一件芯片，該芯片為A等品的概率約為0.16.（2i）(0.01+0.01)×10×100