八年級(jí)最短路徑問(wèn)題歸納小結(jié)

/八年級(jí)數(shù)學(xué)最短路徑問(wèn)題【問(wèn)題概述】最短路徑問(wèn)題是圖論研究中的一個(gè)經(jīng)典算法問(wèn)題，旨在尋找圖（由結(jié)點(diǎn)和路徑組成的）中兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑．算法具體的形式包括：①確定起點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題-即已知起始結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的問(wèn)題．②確定終點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題-與確定起點(diǎn)的問(wèn)題相反，該問(wèn)題是已知終結(jié)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的問(wèn)題．③確定起點(diǎn)終點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題-即已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑．④全局最短路徑問(wèn)題-求圖中所有的最短路徑．【問(wèn)題原型】“將軍飲馬”，“造橋選址”，“費(fèi)馬點(diǎn)”．【涉與知識(shí)】“兩點(diǎn)之間線段最短”，“垂線段最短”，“三角形三邊關(guān)系”，“軸對(duì)稱”，“平移”．【出題背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等．【解題思路】找對(duì)稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，近兩年出現(xiàn)“三折線”轉(zhuǎn)“直”等變式問(wèn)題考查．【十二個(gè)基本問(wèn)題】【問(wèn)題1】作法圖形原理在直線l上求一點(diǎn)P，使PA+PB值最小．連AB，與l交點(diǎn)即為P．兩點(diǎn)之間線段最短．PA+PB最小值為AB．【問(wèn)題2】“將軍飲馬”作法圖形原理在直線l上求一點(diǎn)P，使PA+PB值最?。鰾關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B＇連AB＇，與l交點(diǎn)即為P．兩點(diǎn)之間線段最短．PA+PB最小值為AB＇．【問(wèn)題3】作法圖形原理在直線、上分別求點(diǎn)M、N，使△PMN的周長(zhǎng)最?。謩e作點(diǎn)P關(guān)于兩直線的對(duì)稱點(diǎn)P＇和P連P＇P與兩直線交點(diǎn)即為M，N．兩點(diǎn)之間線段最短．PM+MN+PN的最小值為線段的長(zhǎng)．【問(wèn)題4】作法圖形原理在直線、上分別求點(diǎn)M、N，使四邊形PQMN的周長(zhǎng)最?。謩e作點(diǎn)Q、P關(guān)于直線、的對(duì)稱點(diǎn)Q＇和P連，與兩直線交點(diǎn)即為M，N．兩點(diǎn)之間線段最短．四邊形PQMN周長(zhǎng)的最小值為線段的長(zhǎng)．【問(wèn)題5】“造橋選址”作法圖形原理直線∥，在、，上分別求點(diǎn)M、N，使MN⊥，且AM+MN+BN的值最小．將點(diǎn)A向下平移MN的長(zhǎng)度單位得A＇，連交于點(diǎn)N，過(guò)N作NM⊥于M．兩點(diǎn)之間線段最短．AM+MN+BN的最小值為B+MN．【問(wèn)題6】作法圖形原理在直線上求兩點(diǎn)M、N（M在左），使，并使AM+MN+NB的值最小．將點(diǎn)A向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位得A＇，作A＇關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)A連AB，交直線于點(diǎn)N，將N點(diǎn)向左平移個(gè)單位得M．兩點(diǎn)之間線段最短．AM+MN+BN的最小值為AB+MN．【問(wèn)題7】作法圖形原理在上求點(diǎn)A，在上求點(diǎn)B，使PA+AB值最小．作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)P＇，作⊥于B，交于A．點(diǎn)到直線，垂線段最短．PA+AB的最小值為線段的長(zhǎng)．【問(wèn)題8】作法圖形原理A為上一定點(diǎn)，B為上一定點(diǎn)，在上求點(diǎn)M，在上求點(diǎn)N，使AM+MN+NB的值最小．作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)A＇，作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)B＇，連于M，交于N．兩點(diǎn)之間線段最短．AM+MN+NB的最小值為線段的長(zhǎng)．【問(wèn)題9】作法圖形原理在直線l上求一點(diǎn)P，使的值最?。BAB，作AB的中垂線與直線l的交點(diǎn)即為P．垂直平分上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等．＝0．【問(wèn)題10】作法圖形原理在直線l上求一點(diǎn)P，使的值最大．作直線AB，與直線l的交點(diǎn)即為P．三角形任意兩邊之差小于第三邊．≤AB．的最大值＝AB．【問(wèn)題11】作法圖形原理在直線l上求一點(diǎn)P，使的值最大．作B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B＇作直線AB＇，與l交點(diǎn)即為P．三角形任意兩邊之差小于第三邊．≤AB＇．最大值＝AB＇．【問(wèn)題12】“費(fèi)馬點(diǎn)”作法圖形原理△ABC中每一內(nèi)角都小于120°，在△ABC內(nèi)求一點(diǎn)P，使PA+PB+PC值最?。簏c(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)”，即滿足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC為邊向外作等邊△ABD、△ACE，連CD、BE相交于P，點(diǎn)P即為所求．兩點(diǎn)之間線段最短．PA+PB+PC最小值＝CD．【精品練習(xí)】ADEPBC1．如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)PADEPBCA．B．C．3D．2．如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若將△ACD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AC′、AD′分別與BC、CD交于點(diǎn)E、F，則△CEF的周長(zhǎng)的最小值為（）A．2 B． C． D．43．四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（）A．120°B．130°C．110°D．140°4．如圖，在銳角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是．5．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，點(diǎn)E在AB邊上，點(diǎn)D在BC邊上（不與點(diǎn)B、C重合），且ED＝AE，則線段AE的取值范圍是．6．如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP＋PQ＋QN的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即Rt△ABC中，∠C＝90°，則有）7．如圖，三角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，點(diǎn)B在x軸的正半軸，坐標(biāo)為B(，0)．OC平分∠AOB，點(diǎn)M在OC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N為邊OA上的點(diǎn)，則MA＋MN的最小值是______．8．已知A（2，4）、B（4，2）．C在軸上，D在軸上，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小值為，此時(shí)C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．9．已知A（1，1）、B（4，2）．（1）P為軸上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PB的最小值和此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）P為軸上一動(dòng)點(diǎn)，求的值最大時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）CD為軸上一條動(dòng)線段，D在C點(diǎn)右邊且CD＝1，求當(dāng)AC+CD+DB的最小值和此時(shí)C點(diǎn)的坐標(biāo)；10．點(diǎn)C為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)．（1）在OA求作點(diǎn)D，OB上求作點(diǎn)E，使△CDE的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)畫(huà)出圖形；（2）在（1）的條件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周長(zhǎng)的最小值和此時(shí)∠DCE的度數(shù)．11．（1）如圖①，△ABD和△ACE均為等邊三角形，BE、CE交于F，連AF，求證：AF+BF+CF＝CD；（2）在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝6，BC