2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)04 全等三角形與相似三角形（原卷版）

重難點(diǎn)突破04全等三角形與相似三角形目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01旋轉(zhuǎn)中的全等模型類型一對(duì)角互補(bǔ)模型類型二對(duì)角互補(bǔ)且有一組鄰邊相等的半角模型類型三手拉手旋轉(zhuǎn)模型類型四中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型類型五通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造三角形全等題型02構(gòu)造相似三角形解題類型一做平行線構(gòu)造“A”型相似類型二做平行線構(gòu)造“X”型相似類型三作垂線構(gòu)造直角三角形相似類型四作垂線構(gòu)造“三垂直”型相似題型03與相似三角形有關(guān)的壓軸題類型一運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定求點(diǎn)的坐標(biāo)類型二運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定求線段的最值類型三利用相似三角形的判定和性質(zhì)求“kAD+BD”型的最值（阿氏圓）類型四相似中的“一線三等角”模型類型五相似三角形與多邊形綜合題型01旋轉(zhuǎn)中的全等模型類型一對(duì)角互補(bǔ)模型1．（20-21八年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，求MN的長(zhǎng)．2．（2021·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式．通過(guò)活動(dòng)可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動(dòng)手動(dòng)腦能力，拓展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn)．讓我們一起動(dòng)手來(lái)折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會(huì)活動(dòng)帶給我們的樂(lè)趣．折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、AD都落在對(duì)角線AC上，展開(kāi)得折痕AE、AF，連接EF，如圖1．（1）∠EAF=_________°，寫(xiě)出圖中兩個(gè)等腰三角形：_________（不需要添加字母）；轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點(diǎn)P、Q，連接PQ，如圖2．（2）線段BP、PQ、DQ之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)________；（3）連接正方形對(duì)角線BD，若圖2中的∠PAQ的邊AP、AQ分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)M、點(diǎn)N．如圖3，則CQBM剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線BD剪開(kāi)，如圖4．（4）求證：BM3．（2020·湖南湘西·中考真題）問(wèn)題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．探究圖中線段AE，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．小李同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FC到G，使CG=AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，再證明△BFC≌△BFE，可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是_______________；探究延伸1：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論（直接寫(xiě)出“成立”或者“不成立”），不要說(shuō)明理由．探究延伸2：如圖3，在四邊形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由．實(shí)際應(yīng)用：如圖4，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處，且指揮中心觀測(cè)兩艦艇視線之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．類型二對(duì)角互補(bǔ)且有一組鄰邊相等的半角模型4．（2022·遼寧朝陽(yáng)·中考真題）【思維探究】如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，連接AC．求證：BC+CD＝AC．

(1)小明的思路是：延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，使DE＝BC，連接AE．根據(jù)∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，從而得到∠B＝∠ADE，然后證明△ADE≌△ABC，從而可證BC+CD＝AC，請(qǐng)你幫助小明寫(xiě)出完整的證明過(guò)程．(2)【思維延伸】如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，連接AC，猜想BC，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)【思維拓展】在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝6，AC與BD相交于點(diǎn)O．若四邊形ABCD中有一個(gè)內(nèi)角是75°，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段OD的長(zhǎng)．5．（20-21九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）（1）問(wèn)題背景．如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是線段BC、線段CD上的點(diǎn)．若∠BAD=2∠EAF，試探究線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．童威同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG．再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是．

（2）猜想論證．如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E在線段BC上、F在線段CD延長(zhǎng)線上．若∠BAD=2∠EAF，上述結(jié)論是否依然成立？若成立說(shuō)明理由；若不成立，試寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論并給出你的證明．

（3）拓展應(yīng)用．如圖3，在四邊形ABDC中，∠BDC=45°，連接BC、AD，AB:AC:BC=3:4:5，AD=4，且∠ABD+∠CBD=180°．則△ACD的面積為．

6．（2020·河南南陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，將∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊AD、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)E、F．（1）當(dāng)∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)（如圖1），①求證：△ABE≌△CBF；②求證：AE+CF=EF；（2）當(dāng)∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，AE≠CF，此時(shí)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否還成立？請(qǐng)直接回答．類型三手拉手旋轉(zhuǎn)模型7．（2022·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；(2)延長(zhǎng)ED交直線BC于點(diǎn)F．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)______；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)F為線段BC中點(diǎn)，且ED＝EC時(shí)，猜想∠BAD的度數(shù)，并說(shuō)明理由．8．（2020·遼寧丹東·中考真題）已知：菱形ABCD和菱形A'B'C'D'，∠BAD=∠B'A'D'，起始位置點(diǎn)A在邊A'B'上，點(diǎn)B在A'B'所在直線上，點(diǎn)B（1）如圖1，若點(diǎn)A與A'重合，且∠BAD=∠B'（2）若點(diǎn)A與A'不重合，M是A'C'上一點(diǎn)，當(dāng)MA'=MA時(shí)，連接BM和A①如圖2，當(dāng)∠BAD=∠B'A'D'=90°②如圖3，當(dāng)∠BAD=∠B'A'D'=60°③在②的條件下，若點(diǎn)A與A'B'的中點(diǎn)重合，A'B'=4，AB=29．（2022·河南駐馬店·三模）如圖1，△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA=9cm．點(diǎn)D從O點(diǎn)出發(fā)，沿OM方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到CE．連接BE，DE．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段BD、BE、BC之間的數(shù)量關(guān)系是______，直線AD和直線BE所夾銳角的度數(shù)是______；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線段AB（不與A點(diǎn)重合）上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出正確的結(jié)論并說(shuō)明理由；(3)如圖3，將△ABC改為等腰直角三角形，其中斜邊AB=6，其它條件不變，以CD為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形CDE，連接BE，請(qǐng)問(wèn)BE是否存在最小值，若存在，直接寫(xiě)出答案；若不存在，說(shuō)明理由．類型四中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型10．（2023·河北唐山·二模）已知：在正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD，交BC于點(diǎn)F，連接DF，G為DF的中點(diǎn)，連接EG，CG．

【猜想論證】(1)猜想線段EG與CG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【拓展探究】(2)將圖1中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到圖2，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG.你在(1)中得到的結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明．11．（2023·山東淄博·中考真題）在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展探究活動(dòng)．(1)操作判斷小紅將兩個(gè)完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成“L”形圖案，如圖①．試判斷：△ACF的形狀為_(kāi)_______．

(2)深入探究小紅在保持矩形ABCD不動(dòng)的條件下，將矩形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，若AB=2，AD=4．探究一：當(dāng)點(diǎn)F恰好落在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)CG與DF相交于點(diǎn)M，如圖②．求△CMF的面積．探究二：連接AE，取AE的中點(diǎn)H，連接DH，如圖③．求線段DH長(zhǎng)度的最大值和最小值．

12．（2021·江蘇宿遷·中考真題）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周．(1)如圖①，連接BG、CF，求CFBG(2)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，連接CF、BE，分別取CF、BE的中點(diǎn)M、N，連接MN、試探究：MN與BE的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)連接BE、BF，分別取BE、BF的中點(diǎn)N、Q，連接QN，AE=6，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段QN掃過(guò)的面積．類型五通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造三角形全等13．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P到點(diǎn)A、B、C的距離分別為23、2、4，則正方形ABCD的面積為（

A．28+83 B．14+43 C．1214．（2023·湖北隨州·中考真題）1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問(wèn)題也被稱為“將軍巡營(yíng)”問(wèn)題．(1)下面是該問(wèn)題的一種常見(jiàn)的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過(guò)程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫(xiě)角度數(shù)，④處填寫(xiě)該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，如圖1，將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為由②可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=已知當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④點(diǎn)．(2)如圖4，在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知點(diǎn)P為

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/km，a元/km，2a元/15．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）【問(wèn)題背景】：如圖1，點(diǎn)D是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AD,BD，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，連接DE，觀察發(fā)現(xiàn)：BD與CE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______，直線BD與CE所夾的銳角為_(kāi)_______度；【嘗試應(yīng)用】：如圖2，在等腰直角△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，點(diǎn)D是等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AD，BD，CD，若AD=22,BD=5,CD=3，求

【拓展創(chuàng)新】：如圖3，在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)，且∠ADB=60°,ADBD=3

題型02構(gòu)造相似三角形解題類型一做平行線構(gòu)造“A”型相似16．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，E為⊙O上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是AE的中點(diǎn)，連接BC，過(guò)點(diǎn)C的直線垂直于BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．(1)求證：PC為⊙O的切線；(2)若PC=22BO，PB=10，求17．（2018·湖北黃石·中考真題）在△ABC中，E、F分別為線段AB、AC上的點(diǎn)（不與A、B、C重合）．（1）如圖1，若EF∥BC，求證：S（2）如圖2，若EF不與BC平行，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，若EF上一點(diǎn)G恰為△ABC的重心，AEAB=3類型二做平行線構(gòu)造“X”型相似18．（2023九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）在△ABC中，已知D是BC邊的中點(diǎn)，G是△ABC的重心，過(guò)G點(diǎn)的直線分別交AB、AC于點(diǎn)E、F．(1)如圖1，當(dāng)EF∥BC時(shí)，求證：BEAE(2)如圖2，當(dāng)EF和BC不平行，且點(diǎn)E、F分別在線段AB、AC上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上或點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（2023·湖北孝感·三模）【問(wèn)題情境】小睿遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，∠BAD=75°,∠CAD=30°,AD=4,BD=2DC，求AC的長(zhǎng)．

【問(wèn)題探究】小睿發(fā)現(xiàn)，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)(1)①∠ACE的度數(shù)為_(kāi)_______；②求AC的長(zhǎng)；【問(wèn)題拓展】(2)如圖3，在四邊形ABCD中，∠BAC=90°,∠CAD=30°,∠ADC=75°,AC與BD交于點(diǎn)E,AE=2m,BE=2ED，求BC的長(zhǎng)．20．（2023·廣東深圳·中考真題）（1）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，連接BE，①若BE=BC，過(guò)C作CF⊥BE交BE于點(diǎn)F，求證：△ABE≌②若S矩形ABCD=20

（2）如圖，在菱形ABCD中，cosA=13，過(guò)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)E作EF⊥AD交AD于點(diǎn)F，若S

（3）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，點(diǎn)E在CD上，且CE=2，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接EF，過(guò)E作EG⊥EF交平行四邊形ABCD的邊于點(diǎn)G，若EF?EG=73時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AG

類型三作垂線構(gòu)造直角三角形相似21．（2022·山西·中考真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點(diǎn)D放在Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點(diǎn)M，N，猜想證明：（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說(shuō)明理由；問(wèn)題解決：（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠B=∠MDB時(shí)，求線段CN的長(zhǎng)；（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AM=AN時(shí)，直接寫(xiě)出線段AN的長(zhǎng)．22．（2020·江蘇南通·中考真題）【了解概念】有一組對(duì)角互余的凸四邊形稱為對(duì)余四邊形，連接這兩個(gè)角的頂點(diǎn)的線段稱為對(duì)余線．【理解運(yùn)用】（1）如圖①，對(duì)余四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，連接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；（2）如圖②，凸四邊形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，當(dāng)2CD2+CB2＝CA2時(shí)，判斷四邊形ABCD是否為對(duì)余四邊形．證明你的結(jié)論；【拓展提升】（3）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四邊形ABCD是對(duì)余四邊形，點(diǎn)E在對(duì)余線BD上，且位于△ABC內(nèi)部，∠AEC＝90°+∠ABC．設(shè)AEBE＝u，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為t，請(qǐng)直接寫(xiě)出u關(guān)于t類型四作垂線構(gòu)造“三垂直”型相似23．（23-24九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=55，則BD的長(zhǎng)為

24．（2022上·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形（剪掉的兩個(gè)直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，25．（2023九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直線l1∥l2∥l3，l1與l2之間距離是1，l2與l3之間距離是2，且l1，A．23 B．11 C．3214題型03與相似三角形有關(guān)的壓軸題類型一運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定求點(diǎn)的坐標(biāo)26．（2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，OA=OB=35，點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BC=32，連接AC，點(diǎn)M是線段AC上的一點(diǎn)，且滿足CM:MA=1:2．當(dāng)線段OM

A．35,65 B．35527．（2021·湖南婁底·中考真題）如圖，直角坐標(biāo)系中，以5為半徑的動(dòng)圓的圓心A沿x軸移動(dòng)，當(dāng)⊙A與直線l:y=512x只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)AA．(?12,0) B．(?13,0) C．(±12,0) D．(±13,0)28．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，正比例函數(shù)y=?3x與反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象交于A，B1,m兩點(diǎn)，點(diǎn)C在

(1)m=______，k=______，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_____．(2)點(diǎn)P在x軸上，若以B，O，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．類型二運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定求線段的最值29．（2021·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，在△ACD中，AD=6，BC=5，AC2=ABAB+BC，且△DAB～△DCA，若AD=3AP，點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則A．72 B．62 C．5230．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將△CDE沿CE翻折得△CME，點(diǎn)M落在四邊形ABCE內(nèi)．點(diǎn)N為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作NP//EM交MC于點(diǎn)P，則MN+NP的最小值為．31．（2023·四川瀘州·中考真題）如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AB的三等分點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PE+PF取得最小值時(shí)，APPC的值是

32．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6．點(diǎn)E是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，D重合），連接CE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CE，交AB于點(diǎn)F．(1)求證：△AEF∽△DCE；(2)如圖2，連接CF，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CF，垂足為G，連接AG．點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，連接GM．①求AG+GM的最小值；②當(dāng)AG+GM取最小值時(shí)，求線段DE的長(zhǎng)．類型三利用相似三角形的判定和性質(zhì)求“kAD+BD”型的最值（阿氏圓）33．（2020·廣西·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的EF上任意一點(diǎn)，連接BP，CP，則12BP+CP的最小值是34．（2023·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,AB=4．拋物線的對(duì)稱軸x=3與經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線y=kx?1交于點(diǎn)D，與x

(1)求直線AD及拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得△ADM是以AD為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)以點(diǎn)B為圓心，畫(huà)半徑為2的圓，點(diǎn)P為⊙B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出PC+135．（2021·四川達(dá)州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A和C1,0，交y軸于點(diǎn)B0,3，拋物線的對(duì)稱軸交x（1）求拋物線的解析式；（2）將線段OE繞著點(diǎn)О沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段OE'，旋轉(zhuǎn)角為α0°<α<90°，連接AE'，BE'，求BE'+（3）M為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使得以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；類型四相似中的“一線三等角”模型36．（23-24九年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）（1）如圖1，∠ABC=90°，分別過(guò)A，C兩點(diǎn)作經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線的垂線，垂足分別為E、F，AE=4，BE=2，BF=3，求CF的長(zhǎng)度為．（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，點(diǎn)E、F、M分別在AB、BC、AD上，∠EMF=90°，AM=2，當(dāng)BE+BF=9時(shí)，求四邊形MEBF的面積．（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，∠CEF=α且tanα=34，若BF=837．（23-24九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·開(kāi)學(xué)考試）在綜合實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．有一張矩形紙片ABCD，點(diǎn)E在射線AB上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為DE，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)F．

(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)F恰好落在矩形ABCD的邊BC上，直接寫(xiě)出一個(gè)與△BEF相似的三角形；(2)深入探究：如圖2，若點(diǎn)F落在矩形ABCD的邊BC的下方時(shí)，EF、DF分別交BC于點(diǎn)M、N，過(guò)點(diǎn)F作