2024年中考數(shù)學二輪復習專題04 三角形的性質(zhì)與判定（原卷版）

專題04三角形的性質(zhì)與判定目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01三角形的三邊關(guān)系題型02與三角形有關(guān)線段的綜合問題題型03三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合問題題型04三角形內(nèi)角和與外角和定理的實際應用題型05線段垂直平分線和角平分線綜合題型06特殊三角形的性質(zhì)與判定題型07勾股定理、勾股定理逆定理與網(wǎng)格問題題型08與三角形有關(guān)的折疊問題題型09趙爽弦圖題型10利用勾股定理解決實際問題題型11求最短距離題型12勾股定理逆定理的拓展問題題型13判斷圖形中與已知兩點構(gòu)成等腰三角形的點的位置題型14判斷圖形中與已知兩點構(gòu)成直角三角形的點的位置（時間：60分鐘）題型01三角形的三邊關(guān)系1．（2023·廣東廣州·廣州市越秀區(qū)明德實驗學校?？寄M預測）等腰三角形的一邊長是3，另兩邊的長是關(guān)于x的方程x2?10x+k=0的兩個根，則k的值為（A．21 B．25 C．21或25 D．20或242．（2021·甘肅蘭州·模擬預測）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點D為BC的中點，則AD的長可能是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）已知一個三角形的第一條邊長為3a+b，第二條邊長為2a?b(1)求第三條邊長m的取值范圍；（用含a，b的式子表示）(2)若a，b滿足a?5+b?224．（2023·廣東江門·二模）已知關(guān)于x的方程x2(1)求證：無論k取何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；(2)若等腰三角形△ABC的一邊a=6，另兩邊長b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．題型02與三角形有關(guān)線段的綜合問題1．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°

(1)若∠C=32°，求∠A的度數(shù)．(2)畫∠ABC的平分線BD交AC于點D，過點D作DE⊥AB于點E．若AB=3，BC=4，求2．（2023·陜西西安·一模）（1）請在圖中過點A畫一條直線，將△ABC分成面積相等的兩部分；（2）如圖，在平行四邊形ABCD中，請過頂點A畫兩條直線將平行四邊形ABCD的面積三等分，并說明理由；（3）如圖，農(nóng)博園有一塊四邊形ABCD空地，其中AB=60m，BC=80m，CD=100m，AD=120m，∠B=90°，點P為邊3．（2023·湖北武漢·校考一模）如圖，已知△ABC，M為邊AC上一動點，AM=mMC，D為邊BC上一動點，BD=nDC，BM交AD于點N．(1)【問題提出】三角形的三條中線會相交于一點，這一點就叫做三角形的重心，重心有很多美妙的性質(zhì)，請大家探究以下問題若m=n=1，則BNMN(2)【問題探究】若m=1，猜想BNMN與n(3)【問題拓展】若m=1，n=2，則S△ANM題型03三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合問題1．（2022·安徽·一模）將兩個直角三角板如圖擺放，其中∠BCA=∠EDF=90°，∠E=45°，∠A=30°，BC與DE交于點P，AC與DF交于點Q．若AB∥EF，則∠DPC?∠DQC=（A．40° B．32.5° C．45.5° D．30°2．（2022·安徽合肥·二模）如圖是一款手推車的平面示意圖，其中AB∥CD，∠3=150°，∠1=30°，則A．60° B．70° C．80° D．90°3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動中，小林剪掉等邊三角形紙片的一角，如圖所示，發(fā)現(xiàn)得到的∠1與∠2的和總是一個定值．則∠1+∠2=度．4．（2022·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，用鐵絲折成一個四邊形ABCD（點C在直線BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分線的夾角∠E的度數(shù)為100°，可保持∠A不變，將∠BCD（填“增大”或“減小”）°．5．（2022·江西吉安·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BD交∠ACB的平分線CE于點O．(1)求證：∠BOC=1(2)如圖1，若∠A=60°，請直接寫出BE，CD，BC的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖2，∠A=90°，F(xiàn)是ED的中點，連接FO．①求證：BC?BE?CD=2OF．②延長FO交BC于點G，若OF=2，△DEO的面積為10，直接寫出OG的長．6．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）【閱讀理解】三角形內(nèi)角和定理告訴我們：如圖①，三角形三個內(nèi)角的和等于180°．如圖②，在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=180°，點D是AB延長線上一點．由平角的定義可得∠ABC+∠CBD=180°，所以∠CBD=∠A+∠C．從而得到三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．【初步應用】如圖③，點D，E分別是△ABC的邊AB，（1）若∠A=60°，∠CBD=110°，則∠ACB=______（2）若∠A=60°，∠CBD=110°，則∠CBD+∠BCE=______（3）若∠A=m°，則∠CBD+∠BCE=______°．【拓展延伸】如圖④，點D，E分別是△ABC的邊AB，（4）若∠A=60°，分別作∠CBD和∠BCE的平分線交于點O，則∠BOC=______°；（5）若∠A=60°，分別作∠CBD和∠BCE的三等分線交于點O，且∠CBO=13∠CBD，∠BCO=13（6）若∠A=m°，分別作∠CBD和∠BCE的n等分線交于點O，且∠CBO=1n∠CBD，∠BCO=1n題型04三角形內(nèi)角和與外角和定理的實際應用1．（2023·江西吉安·模擬預測）苯分子的環(huán)狀結(jié)構(gòu)是由德國化學家凱庫勒提出的．隨著研究的不斷深入，發(fā)現(xiàn)苯分子中的6個碳原子與6個氫原子均在同一平面，且所有碳碳鍵的鍵長都相等（如圖1），組成了一個完美的六邊形（正六邊形），圖2是其平面示意圖，則∠1的度數(shù)為（）

A．130° B．120° C．110° D．60°2．（2023·山西太原·模擬預測）綠色出行，健康出行，你我同行．某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務．圖1是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖2是其示意圖，其中AB，CD都與地面平行，∠BCD=68°，∠BAC=52°．已知AM與CB平行，則∠MAC的度數(shù)為（

）圖1

圖2A．70° B．68° C．60° D．50°3．（2024·陜西西安·一模）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心O的光線相交于點P，點F為焦點．若∠1=155°，∠2=30°，則∠3A．45° B．50° C．55° D．65°題型05線段垂直平分線和角平分線綜合問題1．（2023·浙江杭州·二模）如圖，△ABC中，∠BAC=70°，AB的垂直平分線與∠BAC的角平分線交于點O，則∠ABO的度數(shù)為（

）A．35° B．30° C．25° D．20°2．（2023·山東棗莊·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，CD平分∠ACB．邊AB的垂直平分線DE分別交CD，AB于點D，E．①∠BAC=60°；②CD<2BE；③DE=AC；④2CD=BC+A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·山西呂梁·模擬預測）如圖：在△ABC中，

(1)實踐與操作：利用尺規(guī)作∠BAC的角平分線交BC于點D，作線段AD的垂直平分線EF，交邊AB于點E，交邊AC于點F，交AD于點O（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）(2)猜想與證明：連接DE．試猜想線段DE與AF的數(shù)量及位置關(guān)系，并加以證明．4．（2023·江蘇連云港·二模）“關(guān)聯(lián)”是解決數(shù)學問題的重要思維方式．角平分線的有關(guān)聯(lián)想就有很多……【問題提出】(1)如圖①，PC是△PAB的角平分線，求證：PAPB

小明思路：關(guān)聯(lián)“平行線、等腰三角形”，過點B作BD∥PA，交PC的延長線于點小紅思路：關(guān)聯(lián)“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，過點C分別作CD⊥PA交PA于點D，作CE⊥PB交PB于點E，利用“等面積法”．請根據(jù)小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明．【理解應用】(2)如圖②，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是邊BC上一點．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，使點C恰好落在邊AB上的E點處，落AC=1，AB=2，則DE的長為___________

【深度思考】(3)如圖③，△ABC中，AB=6，AC=4，AD為∠BAC的角平分線．AD的垂直平分線EF交BC延長線于點F，連接AF，當BD=3時，AF的長為___________．

【拓展升華】(4)如圖④，PC是△PAB的角平分線，若AC=3，BC=1，則△PAB的面積最大值是___________．

5．（2022·浙江溫州·模擬預測）已知：如圖，∠MAN為銳角，AD平分∠MAN，點B，點C分別在射線AM和AN上，AB=AC．(1)若點E在線段CA上，線段EC的垂直平分線交直線AD于點F，直線BE交直線AD于點G，求證：∠EBF=∠CAG；(2)若（1）中的點E運動到線段CA的延長線上，（1）中的其它條件不變，猜想∠EBF與∠CAG的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論．題型06特殊三角形的性質(zhì)與判定1．（2023·陜西西安·高新一中?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，則ABAC的值為（

A．22 B．12 C．322．（2024·上海普陀·一模）如圖，△ABC和△DCB都是直角三角形，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，AC、BD相交于點O，如果∠DBC=30°，那么OC:AC的值是(

)A．33 B．2?3 C．3?13．（2022·四川綿陽·東辰國際學校?？寄M預測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜邊AB=8，AB經(jīng)過原點O，點C在y軸的正半軸上，AC交x軸于點D，且CD:AD=4:3，反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過A(1)求反比例函數(shù)的解析式．(2)點P為直線AC上一動點，求BP+OP的最小值．4．（2023·山西·模擬預測）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在邊AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，連接BE，取BE的中點F，連接DF．(1)請直接寫出∠ADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關(guān)系；(2)將圖1中的△CDE繞點C按逆時針旋轉(zhuǎn)，①如圖2，（1）中∠ADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，連接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范圍．5．（2021·福建廈門·廈門市第十一中學校考二模）如圖，ΔABC、ΔADE均為等邊三角形，BC=6，AD=4．將ΔADE繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，連接BD(1)在圖①中證明ΔADB?(2)如圖②，當∠EAC=90°時，連接CD，求ΔDBC(3)在ΔADE的旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出ΔDBC的面積6．（2021·江蘇南京·南師附中樹人學校?？家荒＃┤鐖D1，若△DEF的三個頂點D，E，F(xiàn)分別在△ABC各邊上，則稱△DEF是△ABC的內(nèi)接三角形．（1）如圖2，點D，E，F(xiàn)分別是等邊三角形ABC各邊上的點，且AD＝BE＝CF，則△DEF是△ABC的內(nèi)接．A．等腰三角形B．等邊三角形C．等腰三角形或等邊三角形D．直角三角形（2）如圖3，已知等邊三角形ABC，請作出△ABC的邊長最小的內(nèi)接等邊三角形DEF．（保留作圖痕跡，不寫作法）（3）問題：如圖4，△ABC是不等邊三角形，點D在AB邊上，是否存在△ABC的內(nèi)接等邊三角形DEF？如果存在，如何作出這個等邊三角形？①探究1：如圖5，要使△DEF是等邊三角形，只需∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我們以點D為角的頂點任作∠EDF＝60°，且DE交BC于點E，DF交AC于點F．我們選定兩個特殊位置考慮：位置1（如圖6）中的點F與點C重合，位置2（如圖7）中的點E與點C重合．在點E由位置1中的位置運動到位置2中點C的過程中，DE逐漸變大而DF逐漸變小后再變大，如果存在某個時刻正好DE＝DF，那么這個等邊三角形DEF就存在（如圖8）．理由：是等邊三角形．②探究2：在BC上任取點E，作等邊三角形DEF（如圖9），并分別作出點E與點B、點C重合時的等邊三角形DBF′和DCF″．連接FF'，F(xiàn)F″，證明：FF'+FF″＝BC．③探究3：請根據(jù)以上的探究解決問題：如圖10，△ABC是不等邊三角形，點D在AB邊上，請作出△ABC的內(nèi)接等邊三角形DEF．（保留作圖痕跡，不寫作法）題型07勾股定理、勾股定理逆定理與網(wǎng)格問題1．（2022·陜西西安·交大附中分校?？寄M預測）如圖，在9×5的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，若BD是∠ABC的平分線，則BD的長為（

）A．102 B．10 C．31022．（2021·北京門頭溝·統(tǒng)考二模）圖所示的正方形網(wǎng)格內(nèi)，點A，B，C，D，E是網(wǎng)格線交點，那么∠ECD+∠EDC=°．3．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考二模）如圖，△ABC的頂點都在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上．(1)∠ABC+∠ACB=______．(2)利用正方形網(wǎng)格，證明（1）中的結(jié)論．4.（2022·吉林長春·統(tǒng)考模擬預測）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點稱為格點，線段AB的端點均在格點上．只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中，以AB為邊畫三角形．按下列要求作圖：(1)在圖①中，畫一個等腰△ABC，使其面積為3．(2)在圖②中，畫一個直角三角形△ABD，使其面積為103(3)在圖③中，畫一個△ABE，使其面積為154，且∠BAE題型08與三角形有關(guān)的折疊問題1．（2022·重慶大足·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，點D是BC上一動點，連接AD，將△ACD沿AD折疊，點C落在點E處，連接DE交AB于點F，當∠DEB是直角時，DF的長為（

）．A．5 B．3 C．32 D．2．（2022·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點，且CD＝3，E是BC邊上一點，將△DCE沿DE折疊，使點C落在點F處，連接BF，則BF的最小值為．3．（2023·廣東深圳·模擬預測）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，BC=12，點D是邊BC上一點（不含B、C兩個端點），將△ADC沿AD折疊得到△AD

4．（2023·安徽亳州·三模）如圖，在直角三角形紙片ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，點D在邊AB上，以CD為折痕將△CBD折疊得到△CDF，CF與邊AB交于點E，當DF⊥AB時，BD的長是．

5．（2023·河南商丘·一模）綜合與實踐綜合實踐課上，老師讓同學們以“三角形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學活動．

(1)【操作發(fā)現(xiàn)】對折△ABC(AB>AC)，使點C落在邊AB上的點E處，得到折痕AD，把紙片展平，如圖1．小明根據(jù)以上操作發(fā)現(xiàn)：四邊形AEDC滿足AE=AC，DE=DC．查閱相關(guān)資料得知，像這樣的有兩組鄰邊分別相等的四邊形叫作“箏形”．請寫出圖1中箏形AEDC的一條性質(zhì)____．(2)【探究證明】如圖2，連接EC，設箏形AEDC的面積為S．若AD+EC=12，求S的最大值；(3)【遷移應用】在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=1，點D，E分別在BC，AB上，當四邊形6．（2023·河南周口·三模）綜合與實踐【問題背景】數(shù)學活動課上，老師將矩形ABCD按如圖①所示方式折疊，使點A與點C重合，點B的對應點為B'，折痕為EF，若△CEF

(1)請解答老師提出的問題：試猜想AB與AD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【實踐探究】(2)小明受到此問題啟發(fā)，將△ABC紙片按如圖②所示方式折疊，使點A與點C重合，折痕為EF，若∠A=45°,AC=2，①試判斷重疊部分△CEF的形狀，并說明理由；②若點D為EF的中點，連接CD，求CD的長；【問題解決】(3)小亮深入研究小明提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖③，在△ABC中，將△ABC折疊，使點A與點C重合，點D為折痕所在直線上一點，若AB=AC=5，BC=2，∠ACD=45°，請直接寫出線段BD題型09趙爽弦圖1．（2023·山東濟南·統(tǒng)考三模）公元三世紀，我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》題時給出了“趙爽弦圖”．將兩個“趙爽弦圖”（如圖1）中的兩個正方形和八個直角三角形按圖2方式擺放圍成正方形MNPQ，記空隙處正方形ABCD，正方形EFGH的面積分別為S1，S2S1>S2，則下列四個判斷：①S1+S2=14S四邊形MNPQ②

2．（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模）公元3世紀，我國數(shù)學家趙爽巧妙地利用面積關(guān)系（后人稱“趙爽弦圖”）證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形EFGH組成的大正方形．連結(jié)BG、DE，設S正方形ABCD=S1

（1）若BE=2DH，則tan∠EDH=（2）若S1=S2+3．（2022·福建福州·福建省福州延安中學?？寄M預測）我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1），圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3，如果S1+4．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考三模）中華文明源遠流長，如圖①是漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的圖形，人們稱之為趙爽弦圖，被譽為中國數(shù)學界的圖騰．2002年北京國際數(shù)學家大會依據(jù)趙爽弦圖制作了會標，該圖有4個全等的直角三角形圍成幾個大正方形和中間一個小正方形，巧妙的證明了勾股定理．問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，若直角三角形的直角邊BC=3，斜邊AB=5，則中間小正方形的邊長CD=______，連接BD，△ABD的面積為______．知識遷移：如圖②，P是正方形ABCD內(nèi)一點，連接PA，PB，PC，當∠BPC=90°，BP=10時，△PAB拓展延伸：如圖③，已知∠MBN=90°，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，交射線BM，BN分別于A，C兩點．（1）已知D為線段AB上一個動點，連接CD，過點B作BE⊥CD，垂足為點E；在CE上取一點F，使EF=BE；過點F作GF⊥CD交BC于點G，試判斷三條線段BE，DE，GF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）在（1）的條件下，若D為射線BM上一個動點，F(xiàn)為射線EC上一點；當AB=10，CF=2時，直接寫出線段DE的長．

5．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考二模）勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．勾股定理內(nèi)容為：如果直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2

(1)如圖2、3、4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足S1(2)如圖5所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，請判斷S1，(3)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”．在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設大正方形M的邊長為定值m，四個小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，則當∠α變化時，回答下列問題：（結(jié)果可用含m的式子表示）①a2+b②b與c的關(guān)系為______，a與d的關(guān)系為______．題型10利用勾股定理解決實際問題1．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考三模）如圖，點P為觀測站，一艘巡航船位于觀測站P的南偏西34°方向的點A處，一艘漁船在觀測站P的南偏東56°方向的點B處，巡航船和漁船與觀測站P的距離分別為45海里、60海里．現(xiàn)漁船發(fā)生緊急情況無法移動，巡航船以30海里/小時的速度前去救助，至少需要的時間是（

）

A．1.5小時 B．2小時 C．2.5小時 D．4小時2．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，AB是斜靠在墻上的長梯，AB與地面夾角為α，當梯頂A下滑2m到A'時，梯腳B滑到B'，AB'與地面的夾角為β，若tanα=4

A．43 B．34 C．353．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考一模）無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示．將一根長為20cm的細木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯子外面的部分至少有（

A．5cm B．7cm C．8cm4．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，透明的圓柱形容器(容器厚度忽略不計)的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點5．（2023·北京·北京四中?？寄M預測）一塊木板如圖所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，∠B=90°，求此木板的面積．題型11求最短距離1．（2023·湖北十堰·一模）如圖，這是一個供滑板愛好者使用的U形池，該U形池可以看作是一個長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是弧長為12m的半圓，其邊緣AB=CD=20m（邊緣的寬度忽略不計），點E在CD上，CE=4m.一滑板愛好者從A點滑到

A．28m B．24m C．20m2．（2021·山東臨沂·模擬預測）如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=10，BC=12，點D是ΔABC內(nèi)的一點，連接AD，CD，BD，滿足∠ADC=90°，則BDA．5 B．6 C．8 D．133．（2023·湖北十堰·模擬預測）如圖，動點P在矩形ABCD內(nèi)運動，AB=7，BC=5，且滿足S△ABP=10.5，PA+PB的最小值是

4．（2023·山東德州·一模）小南同學報名參加了學校的攀巖選修課，攀巖墻近似一個長方體的兩個側(cè)面，如圖所示，他根據(jù)學過的數(shù)學知識準確地判斷出：從點A攀爬到點B的最短路徑為米．5．（2022·廣東深圳·三模）某課題組在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數(shù)學模型：直線l同旁有兩個定點A、B，在直線l上存在點P，使得PA+PB的值最小．解法：作點A關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B，則A'B與直線l的交點即為P請利用上述模型解決下列問題：（1）幾何應用：如圖1，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，則PB+PE的最小值為；（2）幾何拓展：如圖2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的值最小，求這個最小值；（3）代數(shù)應用：求代數(shù)式x2+1+題型12勾股定理逆定理的拓展問題1．（2022·江蘇無錫·二模）已知反比例函數(shù)y=2x和正比例函數(shù)y=12x的圖像交于點M，N，動點P(m，0)在x軸上.若△PMN為銳角三角形，則mA．-2＜m＜5且m≠0 B．-5＜m＜5且m≠0C．-52＜m＜-5或5＜m＜52 D．-2＜m＜-5或5＜2．（2020·貴州安順·中考真題）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形．（1）在圖①中，畫一個直角三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)；（2）在圖②中，畫一個直角三角形，使它的一邊長是有理數(shù)，另外兩邊長是無理數(shù)；（3）在圖③中，畫一個直角三角形，使它的三邊長都是無理數(shù)．3．（2020·山西·二模）綜合與實踐問題情境在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“正方形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學活動．請你解決活動過程中產(chǎn)生的下列問題．如圖1，現(xiàn)有正方形紙片ABCD，先對折得到對角線BD，接著折疊使點C落到BD上的點C'處，再展開，得到折痕BE，連接CE．觀察計算（1）在圖1中，DEB

操作探究（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，折疊正方形紙片，使點A,D分別落到AB,DC邊上的點A',E處，再展開，折痕為GH，則點C'在折痕GH上嗎？若在，請加以證明；若不在，請說明理由；

（3）如圖3，在圖2（隱去點A'和A'E）的基礎(chǔ)上，折疊正方形紙片，使點A,B分別落到點A',E處，再展開，折痕為MN，折痕與GH交于點P，連接，PB，PE，則PB和

操作拓展（4）如圖4，該圖中所有已知條件與圖3完全相同，利用圖4探索新的折疊方法(圖3中產(chǎn)生折痕MN的方法除外)，找出與圖3中點Р位置相同的點，該點命名為P'，要求只有一條折痕．請在圖4中畫出折痕和必要線段，標出點P'，并簡要說明折疊方法．(不需要說明理由）

4．（2020·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·一模）定義：如圖1，點M、N把線段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段AB的勾股點．已知點M、N是線段AB的勾股點，若AM＝1，MN＝2，則BN＝．（1）【類比探究】如圖2，DE是△ABC的中位線，M、N是AB邊的勾股點（AM＜MN＜NB），連接CM、CN分別交DE于點G、H．求證：G、H是線段DE的勾股點．（2）【知識遷移】如圖3，C，D是線段AB的勾股點，以CD為直徑畫⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，連結(jié)PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度數(shù)．（3）【拓展應用】如圖4，點P（a，b）是反比例函數(shù)y=2x（x＞0）上的動點，直線y=?x+2與坐標軸分別交于A、B兩點，過點P分別向x、y軸作垂線，垂足為C、D，且交線段AB于E、F．證明：E、F是線段題型13判斷圖形中與已知兩點構(gòu)成等腰三角形的點的位置問題分情況找點畫圖解法已知點A，B和直線l，在l上求點P，使△PAB為等腰三角形以AB為腰分別以點A，B為圓心，以AB長為半徑畫圓，與已知直線的交點P1，P2，P3，P4即為所求分別表示出點A，B，P的坐標，再表示出線段AB，BP，AP的長度，由①AB＝AP；②AB＝BP；③BP＝AP列方程解出坐標以AB為底作線段AB的垂直平分線，與已知直線的交點P5即為所求1．如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知圖中A，B兩個格點，請在圖中再尋找另一個格點C，使△ABC成為等腰三角形，則滿足條件的點C有（

）個．A．6 B．8 C．10 D．122．（2020·安徽淮北·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點E是AD的中點，點F在DC上，且CF=1,若在此矩形上存在一點P，使得△PEF是等腰三角形，則點P的個數(shù)是（

）

A．3 B．4 C．5 D．63．（2021·廣東深圳·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系xOy中，A（0，2），B（0，6），動點C在直線y＝﹣x上，若以A、B、C三點為頂點的三角形是等腰三角形，則點C的個數(shù)為．4．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，M，N是∠AOB的邊OA上的兩個點(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若邊OB上有且只有1個點P，滿足△PMN是等腰三角形，則a的取值范圍是．題型14判斷圖形中與已知兩點構(gòu)成直角三角形的點的位置問題分情況找點畫圖解法已知點A，B和直線l，在l上求點P，使△PAB為直角三角形以AB為直角邊分別過點A，B作AB的垂線，與已知直線的交點P1，P4即為所求分別表示出點A，B，P的坐標，再表示出線段AB，BP，AP的長度，由①AB2＝BP2＋AP2；②BP2＝AB2＋AP2；③AP2＝AB2＋BP2列方程解出坐標以AB為斜邊以AB的中點Q為圓心，QA為半徑作圓，與已知直線的交點P2，P3即為所求1．（2022·河北承德·統(tǒng)考二模）如圖，在由邊長為1的7個正六邊形組成的網(wǎng)格中，點A，B在格點上．若再選擇一個格點C，使△ABC是直角三角形，且每個直角三角形邊長均大于1，則符合條件的格點C的個數(shù)是（

）A．2 B．4 C．5 D．62．（2019·福建·校聯(lián)考一模）點A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐標系中，點O為坐標原點．若△ABO是直角三角形，則m的值不可能是（

）A．4 B．2 C．1 D．03．（2023·遼寧沈陽·校聯(lián)考一模）在平面直角坐標系中，已知點A?6,0，B2,0，若點C在一次函數(shù)y=?12x+2的圖象上，且△ABC4．（2023·浙江溫州·?？级＃┰谥苯亲鴺讼抵?，我們把橫縱坐標都為整數(shù)的點叫作整點，頂點都是整點的三角形稱為整點三角形．如圖，已知整點A0,1，B(1)在圖1中畫一個Rt△ABC(2)在圖2中畫一個△ABQ，使點Q的橫縱坐標相等，且△ABQ的面積等于3．（時間：60分鐘）一、單選題1．（2023·山西太原·二模）利用課后服務時間，同學們在操場上進行實地測量．如圖，在A處測得建筑物C在南偏西60°的方向上，在B處測得建筑物C在南偏西20°的方向上．在建筑物C處測得A，B兩處的視角∠C的度數(shù)為（

）

A．30° B．40° C．60° D．80°2．（2023·安徽·模擬預測）有一內(nèi)角是30°的直角三角尺CDE與直尺如圖放置，三角尺的斜邊與直尺交于點F．若∠CDE的平分線DG平行于直尺的短邊AB，則∠AFC的度數(shù)是（

）A．10° B．15° C．20° D．30°3．（2023·陜西西安·模擬預測）圖1為紅斑鐘螺，殼型為圓錐形．多分布在菲律賓、以及我國臺灣墾丁等區(qū)域．現(xiàn)有一個“鐘螺”小擺件，可近似看成圓錐形，圖2為其主視圖，其中AB=13cm，擺件的高度為12cm．現(xiàn)要在AB上選取一個位置P安裝掛鉤，在該點與C之間布設導線，線路上安裝微型小彩燈，若掛鉤以及導線連接處等長度損耗忽略不計，則最短線路，即CP的最小值為（

A．10cm B．12013cm C．604．（2023·河北滄州·模擬預測）如圖，∠A=30°，AB=6，點E，F(xiàn)在線段AB上，且滿足AE=EF=FB=2，點P在射線AC上，且PE+PF=5，則滿足上述條件的點P有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．3個以上二、填空題5．（2023·吉林松原·二模）如圖，在△ABC中，BC=10，AC=8，∠C=30°．若將△ABC沿EF折疊，點A與邊BC的點D恰好重合，點H，G分別在BD，CD上．將△ABC沿EH折疊，點B與點D恰好重合．將△ABC沿FG折疊，點C與點D恰好重合，則四邊形EFGH的周長為．

6．（2023·陜西西安·模擬預測）中國古代數(shù)