湖北省十堰市竹溪縣第二高級中學(xué)2025屆高三上學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

竹溪二中2025屆高三8月摸底考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，共40.0分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出．方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗(yàn)證，即可解出．【詳解】方法一：因?yàn)?，而，所以．故選：C．方法二：因?yàn)?，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．2已知，則（）A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到，從而解出．【詳解】因?yàn)?，所以，即．故選：A．3.已知向量，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．4.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D5.設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計算作答.【詳解】由，得，因此，而，所以.故選：A6.已知是偶函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，又因?yàn)椴缓銥?，可得，即，則，即，解得.故選：D.7.已知函數(shù)恒過定點(diǎn)，則的最小值為（）．A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式常數(shù)“1”的代換即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，的最小值為，故選:A．8.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性可得函數(shù)的正負(fù)情況，進(jìn)而可解不等式.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上也單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，不等式等價于或，所以或，故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，共18.0分）9.有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（）A.的平均數(shù)等于的平均數(shù)B.的中位數(shù)等于的中位數(shù)C.的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D.的極差不大于的極差【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A：設(shè)的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，則，因?yàn)闆]有確定的大小關(guān)系，所以無法判斷的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A錯誤；對于選項(xiàng)B：不妨設(shè)，可知的中位數(shù)等于的中位數(shù)均為，故B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)槭亲钚≈?，是最大值，則的波動性不大于的波動性，即的標(biāo)準(zhǔn)差不大于的標(biāo)準(zhǔn)差，例如：，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，顯然，即；故C錯誤；對于選項(xiàng)D：不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確；故選：BD10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的定義域?yàn)镽B.函數(shù)的值域?yàn)镃.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.【答案】ABD【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)思想，結(jié)合二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來判斷各選項(xiàng).【詳解】令，則．對于選項(xiàng)A，的定義域?yàn)?，故A正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)椋闹涤驗(yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)?故B正確；對于選項(xiàng)C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且在上單調(diào)遞減，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，得函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C不正確；對于選項(xiàng)D，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故D正確．故選:ABD．11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則（）．A. B.C.是偶函數(shù) D.為的極小值點(diǎn)【答案】ABC【解析】【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項(xiàng)ABC，舉反例即可排除選項(xiàng)D.方法二：選項(xiàng)ABC的判斷與方法一同，對于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進(jìn)行判斷即可.【詳解】方法一：因，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，對于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時無極值，故錯誤方法二：因?yàn)?，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，對于D，當(dāng)時，對兩邊同時除以，得到，故可以設(shè)，則，當(dāng)肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，顯然，此時是的極大值，故D錯誤.故選：.三、填空題（本大題共3小題，共15.0分）12.函數(shù)的定義域?yàn)開___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，列出相應(yīng)不等式組，即可求得答案.【詳解】由題意函數(shù)有意義，需滿足，解得且，故函數(shù)定義域?yàn)椋?故答案為：.13.已知函數(shù)，則的解集是________【答案】【解析】【分析】由于函數(shù)是定義域在上的增函數(shù)，所以,解不等式即得解.【詳解】由于函數(shù)是定義域在上的增函數(shù)，所以故答案為【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)處理函數(shù)的問題，一定要注意“定義域優(yōu)先的原則”，本題不要漏了3x-1≥0.14.已知sinα-β=【答案】【解析】【分析】先根據(jù)正弦和角公式得到sinαcosβ=【詳解】因?yàn)閟in(α-因此sinα則，所以.故答案為：四、解答題（本大題共5小題，共73.0分）15.全集，若集合，.（1）求；；（2）若集合，，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先求得集合，，結(jié)合集合交集、并集的概念與運(yùn)算，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到，結(jié)合集合間的包含關(guān)系，即可求解.【小問1詳解】由集合，，所以，，【小問2詳解】因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，且，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.16.某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）類．【解析】【分析】（1）通過題意分析出小明累計得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類似，找出先回答類問題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個期望的大小即可．【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因?yàn)椋孕∶鲬?yīng)選擇先回答類問題．17.已知在中，A+B（1）求；（2）設(shè)，求邊上的高．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.【小問1詳解】∵A∴π-C又2sin∴2sin∴sin∴sin即，所以，∴sin【小問2詳解】由（1）知，，由=sinA由正弦定理，，可得，∴1∴h=b18.如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．（1）證明：；（2）點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時，求．【答案】（1）證明見解析；（2）1【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；（2）設(shè)，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，又不在同一條直線上，.【小問2詳解】設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，，化簡可得，，解得或，或，.19.已知函數(shù)fx（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，fx>2【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為a2-12-ln方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到f(x)≥x+ln【小問1詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)椋詅'x=當(dāng)時，由于，則aex≤0，故f所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令f'x=a當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】方法一：由（1）得，fx要證，即證1+a2+ln令ga=a令，則；