八年級數(shù)學下冊 講義（北師大版）第六章第03講 三角形的中位線(5類熱點題型講練)（解析版）

第03講三角形的中位線(5類熱點題型講練)1．掌握中位線的定義以及中位線定理；(重點)2．綜合運用平行四邊形的判定及中位線定理解決問題．(難點)知識點01三角形的中位線定理（1）三角形的中位線：連接三角形兩邊中點的線段稱為中位線（三角形中有3條中位線）（2）三角形中位線定理：如下圖，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半，即若點D、E分別為AB、AC的中點，.題型01與三角形中位線有關的求解問題【例題】（2023·吉林白城·模擬預測）如圖，在中，，點，，分別是、、的中點，連接、，則四邊形的周長為．【答案】9【分析】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關鍵．根據(jù)三角形中位線定理分別求出、，根據(jù)線段中點的概念分別求出、，計算即可．【詳解】解：點，，分別是、、的中點，，，，、是的中位線，，，，，四邊形的周長為：，故答案為：9．【變式訓練】1．（2024·山東淄博·一模）如圖，在中，，，，E，F(xiàn)分別為邊上的點，M，N分別為的中點．若，則的長為．【答案】【分析】連接，過A作交延長線于G，連接，證明，，，利用勾股定理的逆定理得出，進而可得出，利用勾股定理求出，然后利用三角形的中位線定理求解即可．【詳解】解：連接，過A作交延長線于G，連接，∴，又，，∴，∴，，∵，，，∴，∴，∴，∴，即，又，∴，∵M為中點，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理與逆定理，三角形的中位線定理，全等三角形的判定與性質等知識，添加合適輔助線，構造三角形中位線是解題的關鍵．2．（23-24八年級下·山東聊城·階段練習）中，，，分別是其角平分線和中線，過點C作于F，交于G，連接，則線段的長為．【答案】2【分析】本題考查了全等三角形的判定以及三角形的中位線定理，證明是關鍵．首先證明，則，證明是的中位線，利用三角形的中位線定理即可求解．【詳解】解：∵是的角平分線，∴，∵于F，∴°，在和中，，∴，∴，∴．∵是的中線，∴，∴是的中位線，∴．故答案為：2．題型02三角形中位線與三角形面積問題【例題】（22-23九年級上·福建泉州·期末）如圖，在中，點分別是的中點，若四邊形的面積是，則的面積是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】先根據(jù)點分別是的中點，證得，利用相似三角形的性質即可求解．【詳解】解：∵點分別是的中點，∴，，∴，∴，又∵，∴，解得，故選：A【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．【變式訓練】1．（22-23八年級下·廣西欽州·階段練習）如圖所示，已知的面積為，連接三邊的中點構成第二個三角形，再連接第二個三角形三邊的中點構成第三個三角形，，依此類推，第個三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出第二個三角形的面積，同理第三個三角形的面積，總結規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．【詳解】解：如圖：過點A作于G，交于H，則，、E、F分別為、、的中點，、、分別為的中位線，，，，，，，，同理：第三個三角形的面積=，第四個三角形的面積第三個三角形面積，……，∴第2013個三角形的面積為，故選：D．【點睛】本題考查的是三角形的中位線定理，找出規(guī)律是解題的關鍵．2．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）如圖，是的中位線，M是的中點，的延長線交于N，那么，．【答案】【分析】利用是中位線，M是的中點，根據(jù)各邊關系可以求出結果；把各邊關系轉換為面積的關系來解答即可．【詳解】解：是中位線，M是中點，，，，是中位線，，，連接，，，，，，，，，，故答案為：；．【點睛】本題考查了三角形的中位線的性質，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，是解題的關鍵．題型03三角形中位線的實際應用【例題】（23-24八年級下·江蘇宿遷·階段練習）如圖，如果要測量池塘兩端、的距離，可以在池塘外取一點，連接，，點、分別是，的中點，測得的長為米，則的長為米．【答案】【分析】本題考查了三角形的中位線定理，解題的關鍵是掌握“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”．根據(jù)三角形的中位線定理，即可求解．【詳解】解：點、分別是，的中點，是的中位線．（米）．故答案為：．【變式訓練】1．（23-24八年級下·福建廈門·階段練習）如圖，要測定被池塘隔開的，兩點的距離．可以在外選一點連接，，并分別找出它們的中點，，連接．現(xiàn)測得，則．【答案】/48米【分析】本題考查了三角形的中位線，連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．根據(jù)中位線的性質求解即可．【詳解】解：點，分別是，的中點，，∴是的中位線，∴．故答案為．2．（23-24八年級上·黑龍江大慶·期末）如圖所示，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小聰想用繩子測量A，B間的距離，但繩子不夠長，一位同學幫他想了一個主意：先在地上取一個可以直接到達A，B的點C，找到，的中點D，E，并且測出的長為，則A，B間的距離為．【答案】【分析】本題考查的是三角形中位線定理的應用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【詳解】解：∵點D，E是，的中點，，∴，故答案為：．題型04與三角形中位線有關的證明【例題】（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）已知在中，，為中點，為邊的中線且，連接、．

(1)求證：；(2)若，求的周長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由三角形中線性質得到，再由等腰三角形性質、三角形外角的性質及等腰三角形性質得，可得結論；（2）先由中位線的判定與性質得到，再由是等邊三角形，確定含的直角三角形，結合含的直角三角形及勾股定理求出三邊的邊長，即可得結論．【詳解】（1）證明：為邊的中線且，，，，，，，，；（2）解：為中點，為邊的中線，為的中位線，，，是等邊三角形，，，，，，，，的周長．【點睛】本題考查三角形的周長、等腰三角形判定與性質、等邊三角形判定與性質、含的直角三角形性質、三角形的中線、中位線、勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握相關幾何基礎知識．【變式訓練】1．（23-24八年級下·江蘇南京·階段練習）如圖，在中，平分，于點E，點F是的中點．(1)如圖1，的延長線與邊相交于點D，求證：；(2)如圖2，探究線段之間的數(shù)量關系，直接寫出你的結論：．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查三角形的中位線定理、全等三角形的判定與性質，等腰三角形的三線合一的性質等知識．（1）先證明，根據(jù)等腰三角形的三線合一，推出，根據(jù)三角形的中位線定理即可解決問題．（2）先證明，根據(jù)等腰三角形的三線合一，推出，根據(jù)三角形的中位線定理即可解決問題．【詳解】（1）證明：如圖1中，平分，于點，∴，∵，∴，∴，即是等腰三角形，∵，，，．（2）解：結論：，理由：如圖2中，延長交的延長線于．，，，，，，，，為的中點，，點為的中點，，；故答案為：．2．（23-24九年級下·北京·階段練習）已知：在中，，，是邊上的動點，將線段繞點順時針旋轉得到線段．(1)如圖1，當點在線段上時，求證：是的中點；(2)如圖2，連接，取線段的中點，連接，直接寫出的大小并證明；(3)若是的中點，，直接寫出的最小值為______．【答案】(1)證明見解析(2)，證明見解析(3)【分析】（1）證明是等邊三角形，得到，進而證明，由三線合一定理即可證明結論；（2）如圖所示，延長到G，使得，連接，同（1）可證明是等邊三角形，則，，證明，得到，再證明為的中位線，得到，則，即可得到；（3）如圖所示，連接，由三線合一定理得到，進而求出，證明是等邊三角形，推出，則點E在直線上運動；設直線交于T，過點F作垂直于直線于H，則，，求出即可得到答案．【詳解】（1）證明：由旋轉的性質可得，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，又∵，∴是的中點；（2）解：，證明如下：如圖所示，延長到G，使得，連接，同（1）可證明是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵點M為的中點，∴為的中位線，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，連接，∵點F是的中點，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴點E在直線上運動，設直線交于T，過點F作垂直于直線于H，∴，∴，∵，∴，∴，由垂線段最短可知，當點E運動到點H，即時，有最小值，最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，三角形中位線定理等等，證明點E的運動軌跡是直線是解題的關鍵．題型05平行四邊形與中位線綜合問題【例題】（23-24八年級下·江蘇南通·階段練習）如圖，在中，于點D，E、F分別是、的中點，O是的中點，的延長線交線段于點G，連接、、．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)當，時，的長為______．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質、三角形中位線定理等知識，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關鍵．(1)由三角形中位線定理得，則，再證得，然后由平行四邊形的判定即可得出結論；(2)解直角三角形求出，可得結論．【詳解】（1）E、F分別是、的中點，是的中位線，，，O是的中點，，在和中，，，四邊形是平行四邊形．（2）在中，，，，，，，四邊形是平行四邊形，．【變式訓練】1．（23-24九年級下·江西宜春·開學考試）如圖，是的中位線，延長至點，使，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)若，試判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)為直角三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理可得，，求出，根據(jù)平行四邊形的判定可得結論；（2）根據(jù)平行四邊形的性質和三角形中位線定理求出，可得，，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】（1）證明：是的中位線，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：為直角三角形；理由：四邊形是平行四邊形，，，，是的中位線，．，∴，，∵，∴，即，為直角三角形．【點睛】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關判定定理和性質定理是解題的關鍵．2．（23-24八年級上·吉林·期末）如圖，點E為平行四邊形的邊上的一點，連接并延長，使，連接并延長，使，連接，為的中點，連接，．(1)若，，求的度數(shù)；(2)求證：四邊形為平行四邊形；(3)連接，交于點O，若，，直接寫出的長度．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質、三角形中位線定理、平行線的性質等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解決問題的關鍵．（1）由平行四邊形的性質和平行線的判定和性質得出答案即可；（2）由平行四邊形的性質得，，，再證是的中位線，得，，證出，，然后由平行四邊形的判定即可得出結論；（3）連接，，，由三角形的中位線定理以及平行四邊形的判定和性質解答即可．【詳解】（1）解：四邊形為平行四邊形，，，，，；（2）證明：四邊形為平行四邊形，，，，，，是的中位線，，，為的中點，，，，，，四邊形為平行四邊形；（3）如圖，連接，，，，，，，，，四邊形為平行四邊形，，，，，，．一、單選題1．（2024·陜西咸陽·一模）如圖，點D，E分別是，的中點，的平分線交于點F，，，則的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查的是三角形中位線定理，平行線的性質，等角對等邊，掌握三角形中位線平行于第三邊，且等于第三邊是解題關鍵．首先利用中點定義和中位線定理得到，,利用平行線的性質和角平分線的定義得到，推出，根據(jù)可得的長．【詳解】點、分別是邊、的中點，，，，，，平分，，，，，故選：B．2．（23-24八年級下·重慶巴南·階段練習）如圖，在平行四邊形中，對角線和交于O點，點E是的中點，若，，，則的周長是（

）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】D【分析】本題考查了平行四邊形的性質，三角形中位線定理．由平行四邊形的性質求得，利用三角形中位線定理求得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵平行四邊形中，對角線和交于O點，∴，∵點E是的中點，∴，，∴的周長是，故選：D．3．（23-24八年級下·廣東江門·階段練習）中，E是的中點，平分，于點D，若，，則（

）

A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，三角形中位線定理，延長交于F，證明，得到，結合中位線定理，得到，代入計算即可．．【詳解】解：如圖，延長交于F，

∵平分，∴，∵，∴，在和中，∵，∴∴，∵E是的中點，，∴是的中位線，∴．∵，，∴．故選：B．4．（2024八年級下·全國·專題練習）如圖，、是的中線，P、Q分別是、的中點，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了全等三角形，三角形中位線．熟練掌握掌握三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質，是解答此題的關鍵．連接，連接并延長交于點F，利用是中位線，推出，再用是中位線，，即可求得答案．【詳解】連接，連接并延長交于點F，∵、是的中線，∴，，∴，，∴，在與中，，∴，∴，，∴，∵Q是的中點，∴，∴，∴．故選：A．5．（2024·山東菏澤·一模）如圖，稱為第1個三角形，它的周長是1，以它的三邊中點為頂點組成第2個三角形，再以第2個三角形的三邊中點為頂點組成第3個三角形，以此類推，則第2024個三角形的周長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了中位線定理；熟練掌握三角形中位線定理，找出每一個新的三角形周長是上一個三角形周長的是解決問題的關鍵．【詳解】解：周長為1，∵每條中位線均為其對邊的長度的，∴第2個三角形對應周長為；第3個三角形對應的周長為；第4個三角形對應的周長為；…以此類推，第n個三角形對應的周長為；∴第2024個三角形對應的周長為，即，故選：B．二、填空題6．（2024·湖南衡陽·一模）如圖，在中，點D、E分別是的中點，若，則．

【答案】6【分析】由點D、E分別是的中點，得到是的中位線，進而得到，即可求解，本題考查了三角形中位線的判定與性質，解題的關鍵是：熟練掌握三角形的中位線．【詳解】解：∵點D、E分別是的中點，∴，∴，故答案為：6．7．（2024八年級下·江蘇·專題練習）如圖，在中，點、分別是、的中點，連接，若，，，則的周長是．【答案】24【分析】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．根據(jù)三角形中位線定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【詳解】解：點、分別是、的中點，，，是的中點，，，在中，，的周長，故答案為：24．8．（2024·甘肅隴南·一模）如圖，在平行四邊形中，，E為上一動點，M，N分別為的中點，則的長為．

【答案】9【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質和三角形中位線定理．首先由平行四邊形的對邊相等的性質求得；然后利用三角形中位線定理求得．【詳解】解：如圖，在平行四邊形中，．，分別為，的中點，是的中位線，∴．故答案為：9．9．（2024八年級下·全國·專題練習）如圖，在中，，，點H，G分別是邊上的動點，連接，點E為的中點，點F為的中點，連接，則的最大值與最小值的差為．【答案】【分析】本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，垂線段最短，三角形中位線定理．連接利用三角形中位線定理是關鍵．連接，過A作于M；由題意得，則可求得的長，從而由勾股定理求得；由三角形中位線定理得，當G與C重合時，最長；當G與M重合時，最短，從而可求得的最大值與最小值的差．【詳解】解：如圖，連接，過A作于M；則；∵四邊形是平行四邊形，且，∴，∴；∴；∵，∴，∴，由勾股定理得：，∴，由勾股定理得；∵點為的中點，點為的中點，∴；當G與C重合時，最長且為，此時；當G與M重合時，最短且為，此時；∴的最大值與最小值的差為．故答案為：．10．（2023·貴州貴陽·模擬預測）如圖，在△ABC中，，，．在平面內(nèi)將平移得到，其中點A和點B的對應點分別為點D和點E．若點P，Q分別是AC，DE的中點，則的最大值是．【答案】【分析】本題考查平移的性質，三角形三邊的關系，等腰直角三角形，三角形中位線定理．作于，取中點，連接，，由等腰直角三角形的性質得到，求出，由勾股定理求出，由三角形中位線定理求出，由平移的性質得到，由三角形的三邊關系得到，即可求出的最大值是．【詳解】解：作于，取中點，連接，，，是等腰直角三角形，，，，，、分別是、中點，是的中位線，，由平移的性質得到，，的最大值是．故答案為：．三、解答題11．（2024八年級下·全國·專題練習）如圖，中，，，平分，，延長交于點，是的中點，求的長．【答案】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質以及三角形的中位線定理．根據(jù)平分，，運用易證明．根據(jù)全等三角形的性質，得，，從而在中，根據(jù)三角形的中位線定理就可求解．【詳解】解：，，又平分，，在和中，，，，，，又是的中點，，是的中位線，．12．（23-24八年級下·江蘇鹽城·期中）如圖1，A、B兩地被建筑物阻隔，為測量A、B兩地的距離，在地面上選一點C，連接，分別取，的中點D、E．(1)測得的長為，則A、B兩地的距離為_______．(2)如圖2，在四邊形中，，點E、F分別是和的中點，求的長【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是三角形中位線定理的含義，全等三角形的判定與性質，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．（1）證明為的中位線，利用三角形的中位線的性質可得答案；（2）如圖，取的中點，連接，連接，并延長交于，證明，可得，證明三點共線，再利用三角形的中位線的性質可得答案．【詳解】（1）解：∵，的中點為D、E．∴為的中位線，∴，∵，∴；（2）如圖，取的中點，連接，連接，并延長交于，∵點E是的中點，∴，∵，∴，，∴，∴，∵為的中點，∴，∵，∴，∵點H、F分別是和的中點，，∴，，∴三點共線，∵點H、E分別是和的中點，，∴，∴．13．（23-24八年級下·福建莆田·階段練習）如圖，，，，分別是，，，的中點．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，，求四邊形的周長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定，勾股定理：（1）由三角形中位線定理證明，即可證明四邊形是平行四邊形；（2）先利用勾股定理得到，再由三角形中位線定理得到，，由此根據(jù)四邊形周長計算公式求解即可．【詳解】（1）證明：∵，分別是，的中點，∴是的中位線，∴，同理可得，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：如圖所示，連接，∵，∴，∵，，∴；同理可得，∵，∴四邊形的周長．14．（23-24八年級下·遼寧鞍山·階段練習）如圖，在中，，于點D，點E在邊上，且，分別交于點E、F．

(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖1，若，試判斷與的數(shù)量關系，并說明理由．(3)如圖2，若，求證：．【答案】(1)7(2)，理由見解析(3)見解析【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質得，由勾股定理計算可得的長，由等腰直角三角形性質得，最后由線段的差可得結論；（2）取的中點G，連接，利用等腰三角形三線合一，得到點為中點，由三角形中位線定理得到，進而得到，，易證，即可得出結論；（3）在上取點，使得，連接、，證明，由全等三角形的性質得出，，證出，由勾股定理可得出結論．【詳解】（1）解：，，，，，中，，，中，，是等腰直角三角形，，；（2），理由如下：證明：取的中點G，連接，

，，，點為中點，點G是的中點，是的中位線，，，，，，在和中，，，；（3）證明：在上取點，使得，連接、，

，，，，，在和中，，，，，，，；∵，，，中，由勾股定理得：，．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了勾股定理，全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，等腰直角三角形的性質和判定，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．15．（2024·河南周口·一模）如圖1，在中，點，分別在邊，上，，連接，點分別為的中點．(1)觀察猜想圖1中，線段與的數(shù)量關系是，的度數(shù)為；(2)探究證明把繞點逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理；(3)拓展延伸把繞點在平面內(nèi)自由旋轉，若，請直接寫出面積的最大值．【答案】(1)，(或60)；(2)是等邊三角形．.理由見解析；(3)【分析】（1）利用三角形的中位線得出，，進而判斷出，即可得出結論，再利用三角形的中位線得出、得出、，由三角形內(nèi)角和定理得到，最后即可得出結論；（2）先判斷出，得出，同（1）的方法得出，，，，即可得出，同（1）的方法得到，即可得出結論；（3）先判斷出最大時，的面積最大，而最大是，