八年級數(shù)學下冊 講義（北師大版）第四章第02講 解題技巧專題：特殊的因式分解法(5類熱點題型講練)（解析版）

第02講解題技巧專題：特殊的因式分解法(5類熱點題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點一利用整體法提公因式因式分解】 1【考點二因式分解要徹底分解】 3【考點三十字相乘法因式分解】 6【考點四分組分解法因式分解】 12【考點五因式分解的應用】 15【考點一利用整體法提公因式因式分解】例題：（2024上·四川眉山·八年級統(tǒng)考期末）分解因式：．【答案】【分析】本題考查了公式法及提公因式法分解因式，熟練掌握分解因式的方法是關鍵．按照提公因式法分解法進行分解因式即可．【詳解】解：．故答案為：．【變式訓練】1．（2023上·湖南衡陽·八年級?？计谀┌咽阶臃纸庖蚴?，結果是【答案】【分析】此題考查了因式分解的方法，先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可，解題的關鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．【詳解】．故答案為：．2．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）因式分解：．【答案】【解析】略3．（2023上·陜西延安·八年級?？茧A段練習）因式分解：．【答案】【分析】用提公因式法進行因式分解即可，此題考查了因式分解，熟練掌握提公因式法因式分解是解題的關鍵．【詳解】解：4．（2023上·上海青浦·七年級?？计谥校┮蚴椒纸猓骸敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查的是因式分解，熟練的利用提公因式的方法分解因式是解本題的關鍵，本題先提取公因式，分解后再次提取公因式2，從而可得答案．【詳解】解：；5．（2023上·八年級課時練習）分解因式：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可；（2）利用提公因式法因式分解即可．【詳解】（1）．（2）．【點睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．【考點二因式分解要徹底分解】例題：（2023秋·遼寧沈陽·八年級?？计谀┮蚴椒纸?1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·全國·七年級專題練習）因式分解：．【答案】【分析】先利用完全平方公式和平方差公式化簡，再利用十字相乘進行因式分解即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查因式分解，熟練掌握完全平方公式和平方差公式以及十字相乘是解題的關鍵．2．（2023秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）因式分解(1)(2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）先提取公因式a，再根據(jù)平方差公式分解因式即可；（2）先提取公因式x，再根據(jù)完全平方公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題考查公因式和公式法分解因式，掌握完全平方公式和平方差公式是解題的關鍵．3．（2023春·四川成都·八年級成都市第二十中學校?？茧A段練習）分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）用提公因式法分解因式即可；（2）先提公因式，然后再利用平方差公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了因式分解，解題的關鍵是熟練掌握平方差公式．4．（2023秋·湖南永州·七年級統(tǒng)考期末）因式分解(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可；（2）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了提公因式與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．5．（2023秋·上海靜安·七年級新中初級中學?？计谀┮蚴椒纸猓?1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）直接提取公因式y(tǒng)，再利用完全平方公式分解因式得出答案；（2）直接利用平方差公式分解因式得出答案．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．6．（2023秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）分解因式．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）原式先提取公因式y(tǒng)，再運用完全平方公式進行因式分解即可；（2）先運用平方差公式分解，再提取公因式即可【詳解】（1）==（2）===【點睛】此題考查了提公因式法，公式法分解因式．解題的關鍵是注意因式分解的步驟：先提公因式，再利用公式法分解，注意分解要徹底．【考點三十字相乘法因式分解】例題：（2024上·北京東城·八年級統(tǒng)考期末）利用整式的乘法運算法則推導得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關系可得．通過觀察可把看作以x為未知數(shù)，a、b、c、d為常數(shù)的二次三項式，此種因式分解是把二次三項式的二項式系數(shù)與常數(shù)項分別進行適當?shù)姆纸鈦頊愐淮雾椀南禂?shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項式的二項式系數(shù)2與常數(shù)項12分別進行適當?shù)姆纸猓鐖D2，則．根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)用十字相乘法分解因式：；(2)用十字相乘法分解因式：；(3)結合本題知識，分解因式：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查多項式乘多項式，因式分解，解答的關鍵是對相應的知識的掌握與運用．（1）利用十字相乘法進行求解即可；（2）利用十字相乘法進行求解即可；（3）先分組，再利用十字相乘法進行求解即可．【詳解】（1）解：，；（2）解：，；（3）解：，．【變式訓練】1．（2023上·全國·八年級專題練習）十字相乘法分解因式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)【分析】本題主要考查十字法因式分解的應用：（1），從而運用十字相乘法可分解因式；（2），從而運用十字相乘法可分解因式；（3），從而運用十字相乘法可分解因式；（4），從而運用十字相乘法可分解因式；（5），從而運用十字相乘法可分解因式；（6），從而運用十字相乘法可分解因式；（7），從而運用十字相乘法可分解因式；（8），從而運用十字相乘法可分解因式；（9），從而運用十字相乘法可分解因式；（10），從而運用十字相乘法可分解因式；（11），從而運用十字相乘法可分解因式；（12），從而運用十字相乘法可分解因式【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）（8）；（9）；（10）；（11）（12）．2．（2023下·廣西北?！て吣昙壗y(tǒng)考期中）閱讀理解：用“十字相乘法”因式分解例如：求：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題干中解題過程，對二次項系數(shù)、常數(shù)項分別分解，交叉相乘再相加，湊成一次項系數(shù)即可求解；（2）根據(jù)題干中解題過程，對二次項系數(shù)、常數(shù)項分別分解，交叉相乘再相加，湊成一次項系數(shù)即可求解．【詳解】（1）解：如圖，∴（2）解：如圖，∴．【點睛】本題考查十字相乘法因式分解，掌握分解的步驟是解題的關鍵．3．（2022上·湖北恩施·八年級校考期中）閱讀與思考：我們知道，整式乘法計算：，反過來，即為因式分解．通過觀察發(fā)現(xiàn)：這個等式可以寫成，一般地，可以歸納為：，例如，分解因式：，請仔細閱讀以上內容并完成下面練習：分解因式：(1)(2)(3)【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)十字相乘法進行因式分解即可；（2）根據(jù)十字相乘法進行因式分解即可；（3）先提取公因式，然后利用十字相乘法進行因式分解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關鍵是掌握十字相乘法和提公因式法．4．（2023下·湖南岳陽·七年級統(tǒng)考期末）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如圖）．第一步：二次項；第二步：常數(shù)項，畫“十字圖”驗算“交叉相乘之和”；

第三步：發(fā)現(xiàn)第③個“交叉相乘之和”的結果等于一次項．即．像這樣，通過畫“十字圖”，把二次三項式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．運用結論：(1)將多項式進行因式分解，可以表示為_______________；(2)若可分解為兩個一次因式的積，請畫好“十字圖”，并求整數(shù)的所有可能值．【答案】(1)(2)圖見解析，，，，16【分析】（1）根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可；（2）根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可．【詳解】（1）解：，常數(shù)項，，，故答案為：；（2）解：，常數(shù)項，畫“十字圖”如下：

，，，16．【點睛】本題考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解題的關鍵．【考點四分組分解法因式分解】例題：（2023上·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）閱讀下列材料：數(shù)學研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如：“”，細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項可以提取公因式，后兩項也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，過程為．此種因式分解的方法叫做“分組分解法”，請在這種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：(1)因式分解：；(2)已知，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了因式分解的新方法，及其應用．(1)根據(jù)方法，適當分組分解即可．(2)先因式分解，后代入求值即可．【詳解】（1）．（2），又，故原式．【變式訓練】1．（2024上·山西長治·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并完成相應的任務.數(shù)學研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如“”，細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項可以提取公因式，后兩項也可以提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，其過程如下：.此種因式分解的方法叫做“分組分解法”.任務：(1)因式分解：(2)已知，，求的值.【答案】(1)(2)，8【分析】本題考查因式分解，掌握“分組分解法”是解題的關鍵．（1）仿照材料中的方法，前兩項為一組，后兩項為一組，利用“分組分解法”求解；（2）先利用“分組分解法”進行因式分解，再將，作為整體代入求值．【詳解】（1）解：，．（2）解：.將，代入，得：原式．2．（2023上·全國·八年級專題練習）閱讀下列文字與例題：將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法稱作分組分解．例如：以下兩個式子的分解因式的方法就稱為分組分解法．①；②試用上述方法分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題考查了分解因式分組分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．（1）原式前三項結合，后兩項結合，利用完全平方公式及提取公因式方法分解即可；（2）原式后三項提取，利用完全平方公式及平方差公式分解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式3．（2023上·全國·八年級專題練習）八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將因式分解．經過小組合作交流，得到了如下的解決方法：解法一：原式解法二：原式小明由此體會到，對項數(shù)較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法等方法達到因式分解的目的．這種方法可以稱為分組分解法．(溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止)請你也試一試利用分組分解法進行因式分解：(1)因式分解：；(2)因式分解：．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了分組分解法因式分解；（1）先分組，然后根據(jù)提公因式法與平方差公式因式分解即可求解；（2）先分組，然后根據(jù)提公因式法以及完全平方公式因式分解，即可求解．【詳解】（1）解：；（2）．【考點五因式分解的應用】例題：（2023下·四川達州·八年級統(tǒng)考期末）我們已經學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、添項拆項法、十字相乘法等等．①分組分解法：將一個多項式適當分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫作分組分解法．例如：②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三項式的分解因式．分解步驟：1．分解二次項，所得結果分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；2．分解常數(shù)項，所得結果分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項；4．觀察得出原二次三項式的兩個因式，并表示出分解結果．這種分解方法叫作十字相乘法．例如：

分析：

觀察得出：兩個因式分別為與解：原式③添項拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫作拆項法．例如：．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）______；②（十字相乘法）______；(2)已知：a、b、c為的三條邊，，判斷的形狀．【答案】(1)①；②(2)是直角三角形【分析】（1）①把原式分組成，然后提公因式法分解因式即可；②直接利用十字相乘法分解即可；（2）把原式進行因式分解得到，進而求出，再利用勾股定理的逆定理求解即可．【詳解】（1）解：①，故答案為：；②，故答案為：；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴是直角三角形．【點睛】本題考查因式分解的方法及其在幾何圖形問題中的應用，讀懂題中的分解方法并熟練掌握整式乘法公式是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2024上·山東東營·八年級統(tǒng)考期末）小強是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：，，2，，，，分別對應下列六個字：華、我、愛、美、游、中，現(xiàn)將因式分解，結果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（

）A．愛我中華 B．我游中華 C．中華美 D．我愛美【答案】A【分析】本題考查因式分解的應用，綜合利用提公因式法和公式法進行因式分解，即可求解．【詳解】解：，2，，，對應的漢字分別為：愛、我、中、華，呈現(xiàn)的密碼信息可能是“愛我中華”，故選A．2．（2024·全國·八年級競賽）已知，則的值（

）．A．一定是負數(shù) B．一定是正數(shù) C．一定不是正數(shù) D．不能確定【答案】B【分析】本題考查了整式的加減，完全平方公式．此題可直接用多項式M減去多項式N，然后化簡，最后把得出的結果與零比較確定的正負．【詳解】解：∵，∴．故選：B3．（2024上·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期末）在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產生的密碼記憶方便．原理是：如對于多項式，因式分解的結果是，若取，，則各個因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作為一個六位數(shù)的密碼．對于多項式，取，，用上述方法產生的密碼不可能是（

）A．528024 B．522824 C．248052 D．522480【答案】B【分析】本題主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，熟記公式結構是解題的關鍵．先提公因式，然后根據(jù)平方差公式因式分解，進而代入字母的值即可求解．【詳解】解：∵，∵，，則各個因式的值為，，，∴產生的密碼不可能是522824，故選：B．4．（2024上·河南商丘·八年級統(tǒng)考期末）［閱讀材料］將四項及四項以上的多項式進行因式分解，我們一般使用分組分解法．分組分解法有兩種分法：一是“”分組．二是“”分組．