2024屆東北三省三校高三第三次聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試題+答案

哈師大附中2024年高三第三次模擬考試

數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上,寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題:本大題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.集合4滿足MCI11,2,3,4}=|1,2|,4U13,4,5}=[1,2,3,4,5|,則4的個數(shù)是

A.1B.2C.3D.4

2.命題“V%c(0，W)，sin*+cos%>1”的否定是

A.3%e(0,j,sinA；4-cos%1B.3xeI0,j,sinx+cos%>1

C.三力空(0,個),sin%+cos%〉1D.三％0(0,女)，sin%+cos%01

3.3男3女站成一排拍照，左右兩端的恰好是一男一女,則不同的排法種數(shù)為

A.240B.720C.432D.216

2

4.已知K是橢圓c：1-+/=l的左焦點，直線4=1與。交于4、8兩點，則△尸周長為

A.笈B.AC.2/2D.4/2

5.已知△4BC的內(nèi)角的對邊分別為a,6,c,且a二耳，BC邊上中線AD長為1,則be最大

值為

AL7

A-4B.~C.73D.酒

6.已知函數(shù)/(%)=(x-l)3+sin(*-l)+5,則不等式/(2%+1)+/(1的解集為

A.[0,+8)B.[1,+00)c.[2,+oo)D.[3,+oo)

[;）=logW，

7.已知2。=logia,)則下面正確的是

A.a>bB.a<C.b>D.|a—6|<---

數(shù)學(xué)試卷第1頁（共4頁）

8.復(fù)數(shù)z=a+〃(a,6wR,i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點為Z,設(shè)r=IOZI,J是以％軸的非負半

軸為始邊，以0Z所在的射線為終邊的角，則z=a+歷=r(coS0+isin。)，把r(cos"isin。)叫做復(fù)

數(shù)a+尻的三角形式，利用復(fù)數(shù)的三角形式可以進行復(fù)數(shù)的指數(shù)運算，[r(cos6+isin。)]"=r"

(cosnO+isinn。)(九eN*),例如：(+=「os空+isin?)=COS2TT+isin2iT=1,

4

(1+i)4=(招卜os￡+isin)=4(COSTT+isinir)=-4,復(fù)數(shù)z滿足:z'=1+i,則z可能取值為

A.及(cos—+isin—jB.J2卜os-+isin—j

C.顯(cos7+isin竽)D./(cos+isin

二、多項選擇題:本大題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是

A.數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖的縱坐標為頻率

B.已知樣本數(shù)據(jù)孫/2,…的平均數(shù)為旦則數(shù)據(jù)祈，盯，…，4*與原數(shù)據(jù)的極差、平均數(shù)都

相同

C.若4、5兩組成對數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為心=0.97,r?=-0.99,則A組數(shù)據(jù)比B組數(shù)據(jù)的

線性相關(guān)性強

D.已知y關(guān)于光的回歸直線方程為y=0.3-0.lx,則樣本點(2,-3)的殘差為-1.9

10.正方體ABCD-4%G3中,M、N分別為面對角線AD,與8。上的點,MNJL4R,MNLBD,則

下面結(jié)論正確的是

A.MN//平面B.直線MN與直線CG所成角的正切值為反

C.M7V1AB,D.直線MN_L平面MG

11.已知函數(shù)/(%)=sin(s+3)(。＞0,卬則下列結(jié)論正確的是

A.若3=2,平=半，則/(④)在(-?-，)上遞增

B.若/(%)為奇函數(shù)，則e=0

C.若3=y,%=-半是/(%)的極值點，則/-yj=-1

D,若％=年和％=K都是/(%)的零點,/(%)在傳，用上具有單調(diào)性，則①的取值集合為信,3}

三、填空題:本大題共3小題,每小題5分，共15分.

12.在等比數(shù)列|4}中,的=2,Q”=8,則的=.

13.點加(%y)為圓/+/一I。％+16=。上的動點，則上的取值范圍為.

%

14.正三棱柱4BC-4與G內(nèi)切球(球與上下底面和側(cè)面都相切)的半徑是3,E為棱上一點,

若二面角E-BC-4為30。,則平面8CE截內(nèi)切球所得截面面積為.

數(shù)學(xué)試卷第2頁(共4頁)

四、解答題:本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.（13分）已知函數(shù)/（%）

（I）求/（%）在處的切線；

（n）比較In篝與-焉的大小并說明理由.

I*I\JrI/

16.（15分）已知數(shù)列|aj的前n項和為S?,S?=3a,,-2"（。wN*）.

（I）求證:數(shù)列I%-2"|是等比數(shù)列；

（口）設(shè)b“=4+入?2"-（A+l）?（若泌」是遞增數(shù)歹九求實數(shù)A的范圍.

17.（15分）甲、乙兩人準備進行臺球比賽，比賽規(guī)定:一局中贏球的一方作為下一局的開球方.若甲

開球，則本局甲贏的概率為年7，若乙開球，則本局甲贏的概率為市1，每局比賽的結(jié)果相互獨立，且

沒有平局，經(jīng)抽簽決定，第1局由甲開球.

（I）求第3局甲開球的概率；

（n）設(shè)前4局中，甲開的次數(shù)為x,求x的分布列及期望.

數(shù)學(xué)試卷第3頁（共4頁）

18.(17分)如圖：四棱柱與G，底面4BC0為等腰梯形=1,48=3,40=

BC=2,BE=2EA.

(I)求證:，E〃平面0gG；

(II)若40。4為菱形，444)=60。,平面40，4_]_平面48。0.

(i)求平面。與G和平面OCG夾角的余弦;

(ii)求點4到平面的距離.

AE

19.(17分)如圖拋物線。：)，2=%,過時(2,1)有兩條直線與拋物線交于4潭4與拋物線交

于D,E,

(I)若4斜率為1,求MBI；

(U)是否存在拋物線。上定點M使得誦?同=0,若存在，求出N點坐標并證明，若不存在,

請說明理由；

(HI)直線y=會與直線AD,BE相交于P,Q兩點,證明:M為PQ中點.

數(shù)學(xué)試卷第4頁(共4頁)

哈師大附中2024年高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)

參考答案

單項選擇題

1-4BACD5-8AADD

二.多項選擇題

9.BD10.BCD11.BCD

三.填空題

12.413.[——14.——兀

442

四.解答題

r2+11

15.解：(I)=-~~-T，(龍〉0),/(1)=-,/(1)=0

x(x+l)2

/(X)在(1,7(1))處的切線方程為y—O=g(x—1),即y=—g

6'

Y2+1

(IDf\x)=———(x〉O),在(0,+oo)上單調(diào)遞增9'

x(x+l)

X/(1)=O,xe(O,l)H\[/(x)<0

即Inx<———在xe(0,1)上恒成立ir

x+1

20231

20232024—1

In<

20242023?4047

------+1

2024

即13'

20244047

n+1

16.解：(I)Sn=3an-2",Sn+l=3an+l-2,兩式相戒得：2an+l=3an+2"

3

+1

2(??+1-2")=3(4—2"),即an+l-=Q&—2")

S]=—21,q=1

n

.-.^-2'=-1^0,:.an-2^0

"+1..?{4-2"}是以-1為首項，彳為公比的等比數(shù)列

〃“一222

3

（II）由（I）可知?！耙?"=（—：!）?…”一《嚴

3

(1+2)2--(2+2)(-)"-1

3

+1

^+1=(1+2)2"-(2+2)(-/

也｝是遞增數(shù)列，.??%>bn對V"eN*恒成立

33

?“山一"寸〉…)2"+嗎嚴

3

即.?.3(1+2)>()+2)(—)"10'

4

(1)當彳+2<0時，即2<-2時

笠，<(1)",(1r>0,且.if+8,(，-0,故哭

—2<2<—1(舍)12,

(2)當;1+2=0時，即彳=一2時

—3〉0矛盾，2=-2(舍)13'

(3)當彳+2〉0時，即％>—2時

3(1+2)3333

2+2卬

22

X〉—,滿足2>—2,故X〉—15,

33

17.解：(I)設(shè)第，局甲勝為事件4,則第，局乙勝為事件4,其中，=1,2,3,.

則”第3局甲開球”=4

p(4)=P(A4)+P(A&)=P(A)P(4|A)+P(*)P(4|A)4'

「⑷/

Z+LL26'

-33339

(II)依題X=l,2,3,47

---------1224

P(X=I)=P(A4A)=----=-

------.............——---------2121111217

P(X=2)=P(24iA2A3)+P(24iA2A3)+P(24iA2A3)=—

DDDDDDJJJ乙/

—————2212111128

p(x=3)=p(A44)+m4A)+mA4)=-~~+-~~+-~~=—

DDDDDDDDD乙/

9922

P(X=4)=P(A4A)=-.-.r-

X的分布列為

X1234

P4788

27272727

￡(X)=1X±+2X±+3XA+4XA=21…15'

2727272827

18.解：（I）在棱Z8上取點/，使4F=2FB,連接。尸,尸耳

由已知DC/IFB,DC=FB,

，四邊形8C￡＞尸為平行四邊形，.?.OE//5C

又?：BCUB\G，：.DF//B\G，即。,E,g，G四點共面

連接FC1，由已知EF//DC,EF=DC,?；DC//D[C[,DC=D[C[

:.EFUDiCi，EF=DiC[

四邊形為平行四邊形，，D[E///G…6'

,/D]E<Z平面DFBG,尸Gu平面DFB]CX

：.D]E//平面DFBiG，即。e//平面DBG…7'

（II）在菱形中，/4義。=60,取44中點G,連接。G,則。GL4D

又平面4DA4,平面43CD,.?.DG,平面48CD…8'

在等腰梯形/BCD中，DE1DC,DE=y[i

VDE,DC,DG兩兩互相垂直，

以。為原點DE,DC,DG所在直線分別為x,八2軸，建立空間直角坐標系

0(0,0,0),次代,一1,0),5(5/3,2,0),C(0,1,0),G(0,0,5/3)…10'

M=(后1,0),加=(0,1,0)

設(shè)〃=（x,y,z）為平面DBG的一個法向量

n-DC.=-x+—y+V3z=0一廠

則｛_22J得〃=(1,—JJ,2)

n.G4=6x+y=0

設(shè)加=(x,y,z)為平面。CG的一個法向量

則j122，得加=(2,0,1)…12'

m-DC=y=0

設(shè)平面。與G與平面。CG夾角為e

則cos6=cos〈7n/〉二產(chǎn)廠小

\m\-\n\~~5~

平面DBG與平面OCG夾角余弦值為半

…14'

(u)...西=麗+互=0)

-+—+2-73R/7

??點4到平面期G的距離為野=

2r3+4=—…17'

19.解：(I)依題直線48方程為y=x-l，代入/=x

Wy2-y-l=0>A=(-l)2-4(-l)=5>0

設(shè)4(再,%),3傳％)，

則%+%=1,“%=一1…2'

2

.-.\AB\=yJl+l\yr-y2\=y/10…4'

(II)設(shè)如：x二in(y-1)+2代入y2=x

得J?—77/+7〃-2=0，?一6'

設(shè)N（產(chǎn),/），幺（再,外）,5（工2，%）

%+%=""1%=根-28'

NB=(y：一/)(%2_〃)+(%_“(%_。=010,

即以%+/(%+%)+〃+1=0

加一2+〃72+/+1=0即?+1)W+(?2-1)=0

.」=—1，即N(l,—1)12'

(IID設(shè)A(a2,a),B&,b