2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)中的平移變換復(fù)習(xí)講義

二次函數(shù)中的平移變換復(fù)習(xí)講義

解題要點(diǎn)剖析

在平面直角坐標(biāo)系中，我們可以對(duì)拋物線實(shí)施平移變換.拋物線在平移變換中，開口大小和開口方向未

變，只是位置發(fā)生改變.解與此相關(guān)問題的關(guān)鍵是：確定平移變換前后的頂點(diǎn)坐標(biāo).

考題解析

例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線G：yx2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(2,—3),且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為

B(3,0).

(1)求拋物線J的表達(dá)式.

(2)D是拋物線J與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,0),其中爪>0,A2DE的面積為21/4

①求m的值；

②將拋物線I向上平移n個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線c2,若當(dāng)0<x<m時(shí)，拋物線上與x軸只有一個(gè)公

共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求n的取值范圍.

思路分析⑴拋物線^x2+bx+c表達(dá)式中有兩個(gè)系數(shù)需要確定取值，同時(shí)又明確指出了拋物線

經(jīng)過的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入坐標(biāo)，兩個(gè)未知數(shù)和兩個(gè)方程，聯(lián)立方程組即可求解.

(2)①根據(jù)已知條件求得線段長(zhǎng)，并結(jié)合線段長(zhǎng)通過面積公式建立等量關(guān)系式，求解參數(shù)取值.

②當(dāng)拋物線J向上平移n個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到拋物線C2,需要注意的是，題目明確指出：“若當(dāng)

OWxWm時(shí)，拋物線C2與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)”，因此，只需要分析拋物線C2與線段OE的交點(diǎn)情況即可.為

此，需要分析臨界情況或者極端情況.本題的臨界情況是C2過線段OE的兩個(gè)端點(diǎn)，以及C2與線段OE相切,

如圖17-2所示.因此，分別代入點(diǎn)E、點(diǎn)O的坐標(biāo)，可得n的取值范圍.需要注意的是，當(dāng)c2經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，

與線段OE只有一個(gè)公共點(diǎn)，而當(dāng)C2經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，與線段OE有兩個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)拋物線C2與線段OE相切時(shí),

此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),根據(jù)頂點(diǎn)式可求得n的值.

規(guī)范解答(1)因?yàn)閽佄锞€c1:y=/+以+c經(jīng)過點(diǎn).2(2,-3),且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B(3,0),所以

產(chǎn)；2”：=13,解方程組，得已二7,所以拋物線J的表達(dá)式為y=乂2_2x—3.

⑵①如圖17-1所示，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F.

因?yàn)閥=f一2x-3=(x-1)2-4,所以拋物線J的對(duì)稱軸為直線x=l.由對(duì)稱性得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-

1,0).

因?yàn)辄c(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,0),且m>0,

所以SADE=|DE-XF=|DE-3=*解得DE=

所以m=OE=DE-OD=*

圖17-1

2

②根據(jù)題意，設(shè)拋物線c2的表達(dá)式為y=(x-l)-4+n.

y

情況一：如圖17-2所示，當(dāng)拋物線C2經(jīng)過點(diǎn)E(|，0)時(shí)，得(|一1)2-4+x\\\",

n=0，解得n=J////.

/"EBx

當(dāng)拋物線C2經(jīng)過原點(diǎn)O時(shí)，得\「'’77

(-1)2-4+n=0解得n=3.\1/

因?yàn)楫?dāng)0Wx4時(shí)，拋物線G與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，\\V

所以結(jié)合圖象知，當(dāng):Wn<3時(shí)，符合題意.圖17-2

情況二：如圖17-2所示，當(dāng)n=4時(shí)，拋物線C2的表達(dá)式為y=(x-1產(chǎn)它與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)(1,

0),符合題意.

綜上所述，n的取值范圍:<n<3或n=4.

解后反思解拋物線的局部交點(diǎn)問題時(shí)，要注意通過分析圖形端點(diǎn)的特殊情形獲取解題思路.本題中，拋

物線經(jīng)過線段OE的左、右端點(diǎn)以及與線段OE相切是三種不同的臨界狀態(tài)，分析這三種臨界狀態(tài)即可求

得n滿足的取值條件.

例2已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+(3m+l)x+3=0.

(1)求證：該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)如果拋物線y=mx2+(3m+l)x+3與x軸交于A,B兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),且m為正

整數(shù)，求此拋物線的表達(dá)式；

(3)在⑵的條件下，拋物線y=mx2+(3m+1)%+3與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D,設(shè)此

拋物線在-3W比W之間的部分為圖象G,如果圖象G向右平移n(n>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后與直線CD有公共

點(diǎn)，求n的取值范圍.

思路分析⑴判別方程根的情況，只需計(jì)算△=〃-4ac,以此判別.

⑵拋物線與x軸交于A,B兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)，且m為正整數(shù)，則令y=0,通過解一元二次方程求出叼=

-3,久2=-根據(jù)m的取值進(jìn)行分析，可得m=l.

(3)如圖17-3,17-4所示，分別作出平移過程中的兩個(gè)臨界位置，并將臨界位置的點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求

得n的取值范圍.

規(guī)范解題(1)證明:因?yàn)?=(3m+l)2-4xnix3=(3m-l)2>0,所以原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

2

⑵令y=0,那么mx+(3m+l)x+3=0.解得%]=-3,x2=

因?yàn)閽佄锞€與x軸交于兩個(gè)不同的整數(shù)點(diǎn)，且m為正整數(shù)，所以m=l.

所以拋物線的表達(dá)式為y=%2+4%+3.

(3)因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí),y=3,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3).

當(dāng)y=0時(shí),%!=-3,久2=-L因?yàn)辄c(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為((-3,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,0).因

為點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,0).

設(shè)直線CD的表達(dá)式為y=kx+b廁｛"葭°,解得｛]；住

所以直線CD的表達(dá)式為y=-3x+3.

又因?yàn)楫?dāng)％=-次寸:y=(―，)+4x(-，)+3=今

所以設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-汽).

平移后點(diǎn)A和點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A?3+n,0)和E'(-|+若)

當(dāng)直線y=-3x+3過點(diǎn)4(-3+w0)時(shí),-3(-3+n)+3=0,解得n=4.

當(dāng)直線y=-3x+3過點(diǎn)(-之+71，0時(shí),一3(-1+n)+3=*解得n=||

所以n的取值范圍是

解后反思拋物線局部左右平移之后與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題是代數(shù)綜合題考查的重要類型.要注意拋物線

左右平移和上下平移在具體分析時(shí)的區(qū)別與聯(lián)系.

例3如圖17-5所示,已知點(diǎn)A(-4,8)和點(diǎn)B(2,n)在拋物線y=ax2±.

⑴求a的值及點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點(diǎn)Q,使得

AQ+QB最短,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

⑵平移拋物線.y=a/,記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B：點(diǎn)

C(—2,0)和點(diǎn)D(—4,0)是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn).

①當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí)，A'C+最短，求此時(shí)拋物線的表達(dá)

圖17-5

式.

②當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí)，是否存在某個(gè)位置，使四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短?若存在，求出此時(shí)

拋物線的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說明理由.

思路分析⑵①由⑴求得了x軸上的點(diǎn)Q，使得AQ+QB最短，拋物線y=af平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

",點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B1,因?yàn)锳'C+最短，所以點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C,點(diǎn)Q與點(diǎn)C之間的距離即為平

移距離，這樣就可以求出平移后的拋物線的表達(dá)式.

②左右平移拋物線y=a/,因?yàn)榫€段A，B和CD的長(zhǎng)是定值，所以要使四邊形A'B'CD的周長(zhǎng)最短，只

要使4D+CB，最短.

規(guī)范解答⑴將點(diǎn)A(-4.8)的坐標(biāo)代入y=a/,解得a=

將點(diǎn)B(2,n)的坐標(biāo)代入y=求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,2).

則點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,—2).

所以直線AP的表達(dá)式是y=-1久+奉

令y=0,得x=芻即所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)是G0).

(2)①CQ=|—2-白=(故將拋物線y=1/向左平移當(dāng)個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，AA'C+CB，最短，此時(shí)拋

物線的表達(dá)式為y=+

②如圖17-6所示，由CD=2,將點(diǎn)B向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,即得點(diǎn)BI(0,2).“T

點(diǎn)Bi關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Pi(0,一2),連接力Pi,交x軸于點(diǎn)Di.

延長(zhǎng)BBi至點(diǎn)B；使BB=DC過點(diǎn)A作AA'\\BB'.

此時(shí)4。+CB'=ADr+=APi,四邊形A'B'CD的周長(zhǎng)最短.

易得直線AP】的表達(dá)式為y=-|x-2,則點(diǎn)Di的坐標(biāo)為(-［，()).

..?皿=”BB，=2+2

即將拋物線向左平移/個(gè)單位長(zhǎng)度，使四邊形AECD的周長(zhǎng)最短.

故將拋物線向左平移時(shí)，存在某個(gè)位置，使四邊形A'B'CD的周長(zhǎng)最短，此時(shí)拋物線的解析式為y=

l(x+T)-

解后反思“軸對(duì)稱最值”模式備受中考命題者重視，往往融入壓軸題中成為一個(gè)“把關(guān)點(diǎn)”另外，“軸對(duì)

稱最值”模式有著豐富的變式，透過現(xiàn)象看本質(zhì)是很關(guān)鍵的.

例4已知拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)為P,與y軸交于點(diǎn)A,與直線OP交于點(diǎn)B.

(1)如圖17-7所示，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,6),試確定拋物線的表達(dá)式.

⑵在⑴的條件下，若點(diǎn)M是直線AB下方拋物線上的一點(diǎn)，且SABM=3,,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

(3)如圖17-8所示，點(diǎn)P.在第一象限，且PA=PO.若過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D,將拋物線y=Y+

bx+c平移，平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)D,該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,請(qǐng)?zhí)骄克倪呅蜲ABC

的形狀，并說明理由.

思路分析⑴由頂點(diǎn)橫坐標(biāo)與點(diǎn)B的坐標(biāo)可求出拋物線的表達(dá)式.

(2)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)求出之后可以求出直線AB的表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(久，%2-2%+3),根據(jù)

SABM=3,可以構(gòu)造關(guān)于x的方程，從而求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

(3)利用PA=PO,過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D,可得PD=］利用拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為?可以得到

b與c的關(guān)系式.平移前后的拋物線形狀和開口方向都不發(fā)生改變，只是位置發(fā)生了改變，這樣可以得到含

有參數(shù)b的平移后的拋物線表達(dá)式，以及含有參數(shù)b的直線AP的表達(dá)式.這樣可以求出含有參數(shù)b的點(diǎn)A、

點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而判斷四邊形OABC的形狀.

規(guī)范解答⑴依題意，-聶=1,解得b=-2.

將b------2及點(diǎn)B(3,6)的坐標(biāo)代入y^x2+bx+c,得

6=32—2x3+c.

解得c=3.

所以拋物線的表達(dá)式為y=產(chǎn)一2尤+3.

(2)拋物線y=/—2*+3與y軸交于點(diǎn)A,

所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3).

又因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,6),

可得直線AB的表達(dá)式為y=x+3.

設(shè)直線AB下方拋物線上的點(diǎn)M坐標(biāo)為3%2-2%+3).

如圖17-9所示，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)N,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x,x+3).

，?SABM=SAMN+SBMN=-MN-\xB—xA\=3.

|+3—(%2-2%+3)]X3=3.

解得％1=1,%2=2.

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2)或(2,3).

⑶如圖17-10所示，由PA=POQA=c，可得PD=(.

v拋物線y=x2+bx+C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

.4c-b2_c

----=—.

42

整理，得C="2.

所以拋物線的表達(dá)式為y=x2+bx+l爐，各點(diǎn)坐標(biāo)為4（0,”2）,p（_沙於2）,D（—沙0）.

可得直線OP的表達(dá)式為y=-\bx.

點(diǎn)B是拋物線y=x2+bx+^塊與直線y=-1bx的交點(diǎn)，

—^bx=x2+bx+］解得=—b,X2=—*

可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-修2）.

由平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A,可設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為y^x2+mx+h2.

將點(diǎn)D（-沙0）的坐標(biāo)代入y=x24-mx+1爐,得m=|d.

所以平移后的拋物線的表達(dá)式為y=/+1入+那.

22

令y=0,即x+j/>x+|b=0.解得x1=—b,x2=—1/）.

依題意，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-b,0）.

1r

BC=-b2.

2

BC=OA.

又：BC〃OA,

四邊形OABC是平行四邊形.

又：NAOC=90。,

四邊形OABC是矩形.

解后反思解答第（3）問的關(guān)鍵：一是利用已知條件求出b與c的關(guān)系式，從而將c用b表示；二是抓住

平移前后拋物線的形狀和開口方向都不發(fā)生改變，只是位置發(fā)生了改變，這樣可以得到含有參數(shù)b的平移

后的拋物線的表達(dá)式.

模擬訓(xùn)練

1.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線q:y=|x2+6x+2的頂點(diǎn)為M,與y軸相交于

點(diǎn)N,先將拋物線ci沿x軸翻折，再向右平移p個(gè)單位長(zhǎng)度后得到拋物線C2.