人教版九年級數(shù)學(xué)上冊《解一元二次方程（第5課時）》示范教學(xué)設(shè)計

解一元二次方程（第5課時）教學(xué)目標(biāo)1．靈活運用因式分解法(提公因式法、公式法)解一元二次方程．2．體會因式分解法對于解一元二次方程的簡便性．教學(xué)重點根據(jù)題目特點，分析并選擇合適的因式分解的方法解方程．教學(xué)難點因式分解法解一元二次方程的靈活應(yīng)用．教學(xué)過程新課導(dǎo)入根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果把一個物體從地面以10m/s的速度豎直上拋，那么經(jīng)過xs物體離地面的高度(單位：m)為：10x－4.9x2．【問題】根據(jù)上述規(guī)律，物體經(jīng)過多少秒落回地面(結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)？【師生活動】學(xué)生獨立思考，列出方程．【答案】若設(shè)物體經(jīng)過xs落回地面，這時它離地面的高度為0m，即10x－4.9x2＝0．【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生列出方程，為下面新課的學(xué)習(xí)作鋪墊．新知探究一、探究學(xué)習(xí)【問題】你能利用學(xué)過的方法，解方程10x－4.9x2＝0嗎？【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生觀察方程，并提示：可以用配方法和公式法解方程．【答案】解：①配方法：整理，得4.9x2－10x＝0．二次項系數(shù)化為1，得x2－x＝0．配方，得，，由此可得，x1＝0，x2＝≈2.04．②公式法：方程化為4.9x2－10x＝0．a(chǎn)＝4.9，b＝－10，c＝0．Δ＝b2－4ac＝(－10)2－4×4.9×0＝100＞0．方程有兩個不等的實數(shù)根即x1＝0，x2＝≈2.04．【設(shè)計意圖】通過讓學(xué)生借助已經(jīng)學(xué)過的方法解方程，既考查了學(xué)生對已學(xué)知識的掌握程度，同時也讓學(xué)生體會到計算的繁瑣，對后面新知識的探究產(chǎn)生興趣．【問題】觀察方程10x－4.9x2＝0的左右兩邊，有什么發(fā)現(xiàn)？【師生活動】學(xué)生獨立觀察方程，找到式子左右兩邊的特點，并回答：方程的左邊是一個二項式，且這個二項式可以進行因式分解，即10x－4.9x2＝x(10－4.9x)．方程的右邊是0，所以x(10－4.9x)＝0．【問題】在上面問題的基礎(chǔ)上，怎樣解方程x(10－4.9x)＝0？【師生活動】教師帶領(lǐng)學(xué)生回憶前面學(xué)過的知識：在實數(shù)范圍內(nèi)，如果兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；反之，如果兩個因式中任何一個為0，那么它們的積也等于0．即如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0．通過回顧舊識，引導(dǎo)學(xué)生找到解這個方程的思路．【答案】解：因為x(10－4.9x)＝0，所以x＝0或10－4.9x＝0．所以方程的兩個根是x1＝0，x2＝≈2.04．【新知】觀察解方程的過程，由方程10x－4.9x2＝0得到方程x＝0或10－4.9x＝0時，不是用開平方降次，而是先因式分解，使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現(xiàn)降次．這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法．因式分解法的理論依據(jù)：若兩個因式的積為0，則這兩個因式至少有一個為0．實質(zhì)：將一個一元二次方程降次，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．適合用因式分解法求解的一元二次方程的特點：方程一邊為0，另一邊易于分解成兩個一次因式乘積的形式．利用因式分解法解一元二次方程的常用方法（2）逆用平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2和完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2來分解因式．【設(shè)計意圖】通過尋找簡便方法解方程，引出因式分解法解一元二次方程的概念．二、典例精講【例1】解下列方程：（1）x(x－2)＋x－2＝0； （2）5x2－2x－＝x2－2x＋．【師生活動】學(xué)生獨立解題，教師巡視糾錯．【答案】解：（1）因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0．于是得x－2＝0，或x＋1＝0．x1＝2，x2＝－1．（2）移項、合并同類項，得4x2－1＝0．因式分解，得(2x＋1)(2x－1)＝0．于是得2x＋1＝0，或2x－1＝0，x1＝－，x2＝．【歸納】在用因式分解法解一元二次方程時，千萬不要急于把方程化成一般形式，要先觀察方程的特點，能提公因式進行因式分解的就提公因式進行因式分解．如本例中把x－2看作一個整體提公因式進行因式分解的方法比較簡單．【設(shè)計意圖】通過例1，考查學(xué)生對因式分解法解一元二次方程的掌握程度，同時讓學(xué)生能夠意識到使用因式分解可以簡化運算，提高運算效率．【問題】【師生活動】學(xué)生先獨立思考，再以小組為單位討論交流，對解題步驟進行歸納．【答案】第1步：移項，將方程的右邊化為0；第2步：將方程的左邊分解成兩個一次因式的積的形式；第3步：令每個因式等于0，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程；第4步：解這兩個一元一次方程，它們的解就是原一元二次方程的根．簡記為“一移二分三化四解”．【新知】兩種常見的用因式分解法求解的方程的解（1）解形如x2＋bx＝0的一元二次方程時，將方程的左邊運用提公因式法因式分解為x(x＋b)＝0，則x＝0或x＋b＝0，即x1＝0，x2＝－b．（2）解形如x2－a2＝0的一元二次方程時，將方程的左邊運用平方差公式因式分解為(x＋a)(x－a)＝0，則x＋a＝0或x－a＝0，即x1＝－a，x2＝a．【例2】用因式分解法解方程：x2＋2019x－2020＝0．【師生活動】教師帶領(lǐng)學(xué)生對所給方程進行觀察，找到解題思路：可以利用x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)進行因式分解．要設(shè)法找到兩個數(shù)p，q，使p＋q＝2019，pq＝－2020．【答案】解：原方程可化為(x－1)(x＋2020)＝0，于是得x－1＝0或x＋2020＝0，所以x1＝1，x2＝－2020．【歸納】利用因式分解法解x2＋(p＋q)x＋pq＝0型一元二次方程形如x2＋(p＋q)x＋pq＝0的一元二次方程可嘗試?yán)靡蚴椒纸夥ㄇ蠼猓M行因式分解時，必須保證常數(shù)項拆成的兩個因數(shù)的和為一次項系數(shù)，兩個因數(shù)的積為常數(shù)項，另外兩根的符號與拆成的兩因數(shù)的符號正好對應(yīng)相反．【設(shè)計意圖】設(shè)置本題，使學(xué)生掌握利用求根公式解決含有字母系數(shù)的一元二次方程的相關(guān)問