人教版九年級數(shù)學上冊《圓的有關性質（第3課時）》示范教學設計

圓的有關性質（第3課時）教學目標1．了解圓心角的概念及圓的旋轉不變性，體會圓的對稱美．2．掌握弧、弦、圓心角之間的關系定理，并能靈活運用定理及其推論解決有關的證明與計算問題．3．通過操作、觀察、實驗的方法發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)探究問題、解決問題的能力；通過分析、推理、歸納等活動，發(fā)展空間直觀想象、邏輯推理及概括問題的能力．教學重點探索同圓或等圓中，弧、弦、圓心角之間的關系，并利用其解決問題．教學難點在同圓或等圓中，弧、弦、圓心角之間的關系定理的證明；使用定理時，弧、弦、圓心角之間的關系的靈活轉換．教學準備準備直尺、圓規(guī)和剪刀．教學過程知識回顧1．能夠重合的兩個圓叫做等圓，在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等?。?．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸．3．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。?．垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．5．把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．【師生活動】學生獨立思考后回答，教師給出答案，并展示中心對稱圖形的例子．【設計意圖】帶領學生復習圓的相關概念、圓的軸對稱性和中心對稱圖形的概念，鞏固基礎，為本節(jié)課研究圓的旋轉不變性和弧、弦、圓心角之間的關系做好準備．新知探究一、探究學習【問題】剪一個圓形紙片，把它繞圓心旋轉180°，所得的圖形與原圖形重合嗎？由此你能得到什么結論？【師生活動】學生先自己操作，教師進行演示，然后小組討論，得出結論．【答案】把圓繞圓心旋轉180°，所得的圖形與原圖形重合．圓是中心對稱圖形，圓心就是它的對稱中心．【思考】把圓繞圓心旋轉任意一個角度后，還能和原來的圖形重合嗎？【師生活動】教師進行演示，學生根據動畫獨立思考，得出結論：把圓繞圓心旋轉任意一個角度，所得的圖形都與原圖形重合．【新知】圓的旋轉對稱性：圓具有旋轉不變性，它繞圓心旋轉任意一個角度都能與它本身重合，因此圓也是中心對稱圖形，圓心是對稱中心．【設計意圖】讓學生探索圓的旋轉對稱性，知道圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心，體會圓的對稱美．【新知】頂點在圓心的角叫做圓心角．如圖，∠AOB為⊙O的圓心角．圓心角∠AOB所對的弦為AB，所對的弧為．【練習】判斷下列各圖中的角是不是圓心角．【師生活動】學生獨立思考后回答．【設計意圖】先給出圓心角的概念，再通過練習進行鞏固．【問題】如圖，在⊙O中，當圓心角∠AOB＝∠A′OB′時，它們所對的和、弦AB和A′B′相等嗎？為什么？【師生活動】教師展示旋轉的過程，學生根據動畫得出結論：＝，AB＝A′B′．教師提示：要證明弧相等，目前僅有兩種方法：（1）根據定義，證明弧重合；（2）利用垂徑定理．學生分析已知條件，選擇合適的方法進行證明．【答案】證明：將∠AOB連同、弦AB繞圓心O旋轉，使射線OA與OA′重合．∵∠AOB＝∠A′OB′，∴射線OB與OB′重合．又OA＝OA′，OB＝OB′，∴點A與A′重合，點B與B′重合．因此與重合，AB與A′B′重合，即＝，AB＝A′B′．【思考】在等圓中，如果∠AOB＝∠A′O′B′，你發(fā)現(xiàn)的相等關系是否依然成立？【師生活動】教師進行演示，學生根據動畫獨立思考，得出答案：＝，AB＝A′B′依然成立．【思考】結合下面的動圖，你能將你的發(fā)現(xiàn)歸納成一般結論嗎？【師生活動】學生小組討論，教師進行總結．【新知】在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．符號語言：∵∠AOB＝∠A′OB′，∴，AB＝A′B′．【設計意圖】借助動圖和動畫，讓學生在觀察討論的過程中探索出弧、弦、圓心角之間的關系定理，加深學生對定理的理解，為學習定理的推論做好準備．【問題】定理：在同圓或等圓中，如果圓心角相等，那么圓心角所對的弧相等；圓心角所對的弦相等．把題設中“圓心角相等”與兩個結論中的任意一個交換，得到兩個新命題，你能驗證這兩個命題的真假嗎？【師生活動】學生先自己思考，然后小組討論交流，得出答案．【答案】命題1：在同圓或等圓中，如果弧相等，那么弧所對的圓心角相等，弧所對的弦相等．如圖，在⊙O中，＝，它們所對的圓心角分別為∠AOB和∠A′OB′，所對的弦分別為AB和A′B′．經過旋轉驗證可得：∠AOB＝∠A′OB′，AB＝A′B′．命題2：在同圓或等圓中，如果弦相等，那么弦所對的圓心角相等，弦所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等．如圖，在⊙O中，AB＝A′B′，它們所對的圓心角分別為∠AOB和∠A′OB′，所對的弧分別為和．證明：∵AB＝A′B′，OA＝OA′，OB＝OB′，∴△AOB≌△A′OB′（SSS）．∴∠AOB＝∠A′OB′．∴＝（在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等）．【新知】推論1：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等．符號語言：∵＝，∴∠AOB＝∠A′OB′，AB＝A′B′．推論2：在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等．符號語言：∵AB＝A′B′，∴，，∠AOB＝∠A′OB′．【設計意圖】讓學生通過分析、推理、歸納等活動，得出定理的推論，引導學生區(qū)分定理及其推論的題設和結論，發(fā)展學生的邏輯推理及概括問題的能力．【思考】同圓或等圓中兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中如果有一組量相等，則它們所對應的其余各組量有什么關系？【師生活動】學生小組討論得出答案：其余各組量都相等．【歸納】在同圓或等圓中，弧、弦和圓心角“知一推二”，即知道其中的一組相等，其余兩組均相等．【練習】如圖，在兩圓中，當圓心角∠AOB＝∠A′OB′時，它們所對的和、弦AB和A′B′相等嗎？【師生活動】學生獨立觀察、思考得出答案：和、弦AB和A′B′不相等．【歸納】在應用弧、弦、圓心角之間的關系定理及其推論解決問題時，一定要注意“在同圓或等圓中”這個前提條件，否則結論不一定成立．【設計意圖】通過練習對弧、弦、圓心角之間的關系定理及其推論進行鞏固．二、典例精講【例1】如圖，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°．求證：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．【師生活動】學生獨立完成解答，教師給予指導．【答案】證明：∵＝，∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．又∠ACB＝60°，∴△ABC是等邊三角形．∴AB＝BC＝CA．∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．【歸納】在同圓或等圓中，當證明等弦、等角的問題時，除利用三角形全等及其他相關的性質外，一定要善于利用弧、弦、圓心角三者的相關定理來完成．【例2】如圖，AB與DE是⊙O的兩條直徑，C是⊙O上一點，AC∥DE．求證：＝．【師生活動】學生獨立完成，教師出示答案．【答案】證明：如圖，連接OC．∵AC∥DE，∴∠AOD＝∠OAC，∠COE＝∠OCA．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∴∠AOD＝∠COE．∴＝．【歸納】在同圓或等圓中，證明等弧的問題目前有三種途徑，一是由垂徑定理得到等弧，二是證明弧所對的圓心角相等，三是證明弧所對的弦相等