1.1.3直線的方程（第3課時(shí)直線方程的一般式點(diǎn)法式）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

1.3直線的方程第3課時(shí)直線方程的一般式、點(diǎn)法式第一章直線與圓北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解直線方程的一般式的形式特征,理解直線方程的一般式與二元一次方程的關(guān)系.2.能正確地進(jìn)行直線方程的一般式與特殊形式的方程的轉(zhuǎn)化.3.能運(yùn)用直線方程的一般式解決有關(guān)問題.4.了解直線方程的點(diǎn)法式,會(huì)利用方向向量推導(dǎo)出直線的一般方程.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)1

直線方程的一般式1.定義在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于任何一條直線,都有一個(gè)表示這條直線的關(guān)于x,y的

;任何關(guān)于x,y的二元一次方程都表示

.方程

稱為直線方程的一般式.

結(jié)構(gòu)特征:①方程是關(guān)于x,y的二元一次方程.②方程中等號(hào)的左側(cè)自左向右一般按x,y,常數(shù)的先后順序排列.③x的系數(shù)一般不為分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù).二元一次方程

一條直線

Ax+By+C=0(其中A,B不全為0)2.直線方程的一般式與其他形式的互化

思考辨析在方程Ax+By+C=0中,A,B,C滿足什么條件時(shí),(1)方程表示直線?(2)方程表示過原點(diǎn)的直線?提示

(1)A,B不全為0.(2)A,B不全為0,C為0.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)在平面上任何直線的方程都能表示為一般式.(

)(2)在平面上任何一條直線的方程的一般式都能與直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式互化.(

)(3)對(duì)于二元一次方程Ax+By+C=0,當(dāng)A=0,B≠0時(shí),方程表示斜率不存在的直線.(

)√××××2.[人教A版教材習(xí)題]根據(jù)下列條件,寫出直線的方程,并把它化為一般式.(1)經(jīng)過點(diǎn)A(8,-2),斜率是-;(2)經(jīng)過點(diǎn)B(4,2),平行于x軸;(3)經(jīng)過點(diǎn)P1(3,-2),P2(5,-4);(4)在x軸、y軸上的截距分別是,-3.解

(1)y+2=-(x-8),一般式為x+2y-4=0.(2)y-2=0.3.[人教B版教材例題]已知直線l的一般式方程為2x-3y+6=0,求直線l的斜率以及在x軸和y軸上的截距.在方程中令y=0,可得x=-3,因此l在x軸上的截距為-3.知識(shí)點(diǎn)2

直線方程的點(diǎn)法式1.法向量與直線的方向向量

的向量稱為直線的法向量,直線的法向量和方向向量都反映了直線的方向.若直線l經(jīng)過點(diǎn)P,且一個(gè)法向量為n,則直線l上不同于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)M都滿足

.反之,滿足n·=0的任意一點(diǎn)M一定在直線l上.

垂直

2.直線方程的點(diǎn)法式在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(x0,y0),且它的一個(gè)法向量為n=(A,B),直線l上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),則方程

稱為直線方程的點(diǎn)法式.

名師點(diǎn)睛確定直線方程的點(diǎn)法式需要知道直線的法向量和一個(gè)確定的點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)可以是直線上任意一點(diǎn);如果已知直線上兩點(diǎn)也可以用點(diǎn)法式確定直線的方程,首先求出直線的方向向量,然后求出直線的法向量代入點(diǎn)法式即可.A(x-x0)+B(y-y0)=0自主診斷1.[人教B版教材習(xí)題](1)如果直線l過點(diǎn)P(-1,-2),且直線l的方向向量為a=(1,-2),求直線l的方程;(2)如果直線l過點(diǎn)P(x0,y0),且直線l的方向向量為a=(u,v),求直線l的方程.解

(1)k=-2,∴l(xiāng):y+2=-2(x+1),即l:y=-2x-4.2.[人教B版教材習(xí)題](1)如果直線l過點(diǎn)P(1,3),且直線l的法向量為a=(-3,1),求直線l的方程;(2)如果直線l過點(diǎn)P(x0,y0),且直線l的法向量為a=(u,v),求直線l的方程.解

(1)k=3,∴l(xiāng):y-3=3(x-1),即l:y=3x.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一直線方程的一般式【例1】

(1)根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程,并化為一般式.①斜率是,且經(jīng)過點(diǎn)A(5,3);②經(jīng)過點(diǎn)A(-1,5),B(2,-1)兩點(diǎn).★(2)求適合下列條件的直線的方程的一般式:①經(jīng)過點(diǎn)A(2,-3),并且其傾斜角等于直線x-y+1=0的傾斜角的2倍的直線方程;②求經(jīng)過點(diǎn)A(-2,2)并且和兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是1的直線方程.規(guī)律方法

1.2.當(dāng)求直線方程時(shí),設(shè)一般式有時(shí)并不簡單,常用的還是根據(jù)給定條件選擇四種特殊形式之一求方程,然后再轉(zhuǎn)化為一般式.變式訓(xùn)練1(1)直線2x-y-2=0繞它與y軸的交點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°所得的直線方程是(

)A.x-2y+4=0 B.x+2y-4=0C.x-2y-4=0 D.x+2y+4=0D★(2)[2024浙江杭州模擬]數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上,這條直線稱之為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)A(0,0),B(0,2),C(-6,0),則其歐拉線方程的一般式為(

)A.3x+y=1 B.3x-y=1C.x+3y=0 D.x-3y=0C探究點(diǎn)二直線方程的點(diǎn)法式【例2】

已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(3,2),而且v=(3,-4)是直線l的一個(gè)法向量,求直線l方程的一般式.變式探究將本例中的“v=(3,-4)是直線l的一個(gè)法向量”改為“v=(3,-4)是直線l的一個(gè)方向向量”,求直線方程的一般式.解

設(shè)直線的法向量為n=(a,b),則n·v=3a-4b=0,令a=4,得b=3,∴n=(4,3).∴直線方程的點(diǎn)法式為4(x-3)+3(y-2)=0,化簡,得直線的一般式為4x+3y-18=0.變式訓(xùn)練2已知P是直線l上一點(diǎn),且v是直線l的一個(gè)法向量,根據(jù)下列條件分別求直線l的方程.(1)P(1,2),v=(3,-4);(2)P(-1,2),v=(3,4).解

(1)∵直線l過點(diǎn)P(1,2),其法向量是v=(3,-4),∴直線l的方程是3(x-1)+(-4)(y-2)=0,整理,得3x-4y+5=0.(2)∵直線l過點(diǎn)P(-1,2),其法向量是v=(3,4),∴直線l的方程是3(x+1)+4(y-2)=0,整理,得3x+4y-5=0.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1234567891011121314151617A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1819201.[探究點(diǎn)一]過點(diǎn)(2,1),斜率k=-2的直線方程為(

)A.x-1=-2(y-2) B.2x+y-1=0C.y-2=-2(x-1) D.2x+y-5=0D解析

根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式可得,y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.12345678910111213141516171819202.

[探究點(diǎn)一、二]已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(-1,4),且它的一個(gè)方向向量為n=(-2,4),則(

)D.直線l的一般式方程為x+2y-7=0C解析

因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為n=(-2,4),所以直線l的斜率k==-2.因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)(-1,4),所以直線l的點(diǎn)斜式方程為y-4=-2(x+1),斜截式方程為y=-2x+2,截距式方程為x+=1,一般式方程為2x+y-2=0.123456789101112131415161718192012345678910111213141516171819203.[探究點(diǎn)一]點(diǎn)M(x0,y0)是直線Ax+By+C=0上的點(diǎn),則直線方程可表示為(

)A.A(x-x0)+B(y-y0)=0B.A(x-x0)-B(y-y0)=0C.B(x-x0)+A(y-y0)=0D.B(x-x0)-A(y-y0)=0A12345678910111213141516171819204.[探究點(diǎn)二]若直線l的一個(gè)方向向量是n=(,1),則直線l的傾斜角是(

)A1234567891011121314151617181920A12345678910111213141516171819206.

[探究點(diǎn)二]寫出直線l:2x-y-1=0的一個(gè)法向量a=

.

(2,-1)(答案不唯一)12345678910111213141516171819207.

[探究點(diǎn)一]已知直線(a+2)x+(a2-2a-3)y-2a=0在x軸上的截距為3,則該直線在y軸上的截距為

.

12345678910111213141516171819208.

[探究點(diǎn)一]若直線mx-y+(2m+1)=0恒過定點(diǎn),則此定點(diǎn)是

.

(-2,1)

12345678910111213141516171819209.

[探究點(diǎn)一]在y軸上的截距為-6,且傾斜角為45°的直線的一般式方程為

.

x-y-6=0123456789101112131415161718192010.

[探究點(diǎn)一]根據(jù)下列條件分別寫出直線方程,并化成一般式:(1)斜率是,經(jīng)過點(diǎn)A(8,-2);(2)經(jīng)過點(diǎn)B(-2,0),且與x軸垂直;(3)斜率為-4,在y軸上的截距為7;(4)經(jīng)過點(diǎn)A(-1,8),B(4,-2).(2)直線方程為x=-2,即x+2=0.(3)由斜截式,得y=-4x+7,化成一般式為4x+y-7=0.123456789101112131415161718192011.[探究點(diǎn)一]設(shè)直線l的方程為(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求l的方程;(2)若l不經(jīng)過第二象限,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

(1)當(dāng)直線l過原點(diǎn)時(shí),直線l在x軸和y軸上的截距都為零,顯然相等,所以a=2,方程為3x+y=0.當(dāng)直線l不過原點(diǎn)時(shí),由截距存在且均不為0,得解得a=0,所以直線l的方程為x+y+2=0.綜上所述,所求直線l的方程為3x+y=0或x+y+2=0.1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192012.已知兩直線的方程分別為l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它們在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,則(

)A.b>0,d<0,a<c

B.b>0,d<0,a>cC.b<0,d>0,a>c

D.b<0,d>0,a<cCB級(jí)關(guān)鍵能力提升練12345678910111213141516171819201234567891011121314151617181920D123456789101112131415161718192014.

已知直線l:(2m+1)x+(m+1)y+m=0經(jīng)過定點(diǎn)P,直線l'經(jīng)過點(diǎn)P,且l'的方向向量a=(3,2),則直線l'的方程為(

)A.2x-3y+5=0 B.2x-3y-5=0C.3x-2y+5=0 D.3x-2y-5=0A123456789101112131415161718192015.直線x+(a2+1)y+1=0的傾斜角的取值范圍是(

)D123456789101112131415161718192016.(多選題)若直線l:ax+y-2-a=0在x軸和y軸上的截距相等,則直線l的斜率為(

)A.1 B.-1 C.-2 D.2BD123456789101112131415161718192017.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(0,2),B(-2,0),C(1,0),分別以AB,AC為邊向外作正方形ABEF與ACGH,則直線FH方程的一般式為

.

x+4y-14=0

1234567891011121314151617181920解析

過點(diǎn)H,F分別作y軸的垂線,垂足分別為M,N(圖略).∵四邊形ACGH為正方形,∴Rt△AMH≌Rt△COA,∴AM=OC=1,MH=OA=2,∴OM=OA+AM=3,∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為(2,3),同理得到F(-2,4),∴直線FH的方程123456789101112131415161718192018.已知直線a1x+b1y+1=0和直線a2x+b2y+1=0都過點(diǎn)A(2,1),則過點(diǎn)P1(a1,b1)和點(diǎn)P2(a2,b2)的直線方程是

.

2x+y+1=0解析

∵點(diǎn)A(2,1)在直線a1x+b1y+1=0上,∴2a1+b