2025屆廣東省東莞市北京師范大學(xué)石竹附屬中學(xué)協(xié)作體高三下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

2025屆廣東省東莞市北京師范大學(xué)石竹附屬中學(xué)協(xié)作體高三下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．3 C． D．42．設(shè)全集，集合，，則集合（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，則（）A． B．1 C．-1 D．04．費(fèi)馬素?cái)?shù)是法國大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的,形如的素?cái)?shù)(如：)為費(fèi)馬索數(shù),在不超過30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是()A． B． C． D．5．在四面體中，為正三角形，邊長為6，，，，則四面體的體積為（）A． B． C．24 D．6．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則8．已知集合，則集合（）A． B． C． D．9．設(shè)一個(gè)正三棱柱，每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面的某頂點(diǎn)出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個(gè)頂點(diǎn)，算一次爬行，若它選擇三個(gè)方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行10次，仍然在上底面的概率為，則為（）A． B．C． D．10．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．11．已知與函數(shù)和都相切，則不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的面積為（）A． B． C． D．12．若集合，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的二項(xiàng)展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則該二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于_____.14．從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區(qū)服務(wù)，每天安排一人，每人只參加一天.若要求甲、乙兩人至少選一人參加，且當(dāng)甲、乙兩人都參加時(shí)，他們參加社區(qū)服務(wù)的日期不相鄰，那么不同的安排種數(shù)為______________.(用數(shù)字作答)15．如圖，在三棱錐中，平面，，已知，，則當(dāng)最大時(shí)，三棱錐的體積為__________．16．在一次醫(yī)療救助活動(dòng)中，需要從A醫(yī)院某科室的6名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別抽調(diào)3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，且男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師必須參加，則不同的選派案共有________種.(用數(shù)字作答)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線的極坐標(biāo)方程為：，曲線的參數(shù)方程為其中，為參數(shù)，為常數(shù)．（1）寫出與的直角坐標(biāo)方程；（2）在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，與有交點(diǎn)．18．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若數(shù)列的前項(xiàng)和，，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時(shí)期，我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號(hào)，鼓勵(lì)學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績與線上學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，對(duì)高三年級(jí)隨機(jī)選取45名學(xué)生進(jìn)行跟蹤問卷，其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間不少于5小時(shí)的有19人，余下的人中，在檢測(cè)考試中數(shù)學(xué)平均成績不足120分的占，統(tǒng)計(jì)成績后得到如下列聯(lián)表：分?jǐn)?shù)不少于120分分?jǐn)?shù)不足120分合計(jì)線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)419線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)合計(jì)45（1）請(qǐng)完成上面列聯(lián)表；并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”；（2）①按照分層抽樣的方法，在上述樣本中從分?jǐn)?shù)不少于120分和分?jǐn)?shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生，設(shè)抽到不足120分且每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)的人數(shù)是，求的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；②若將頻率視為概率，從全校高三該次檢測(cè)數(shù)學(xué)成績不少于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人，求這些人中每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)的人數(shù)的期望和方差.（下面的臨界值表供參考）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式其中）20．（12分）已知拋物線Γ：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P是拋物線Γ上一點(diǎn)，且在第一象限，滿足（2，2）（1）求拋物線Γ的方程；（2）已知經(jīng)過點(diǎn)A（3，﹣2）的直線交拋物線Γ于M，N兩點(diǎn)，經(jīng)過定點(diǎn)B（3，﹣6）和M的直線與拋物線Γ交于另一點(diǎn)L，問直線NL是否恒過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，否則說明理由．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足bcosA﹣asinB＝1．（1）求A；（2）已知a＝2，B＝，求△ABC的面積．22．（10分）設(shè)函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+|x|（a＞0）．（1）若不等式f（x）﹣|x|≥4x的解集為{x|x≤1}，求實(shí)數(shù)a的值；（2）證明：f（x）．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，該幾何體為由一個(gè)三棱柱體，切去一個(gè)三棱錐體，由柱體、椎體的體積公式進(jìn)一步求出幾何體的體積.【詳解】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為由一個(gè)三棱柱體，切去一個(gè)三棱錐體，如圖所示：故：.故選：C.本題考查了由三視圖求幾何體的體積、需熟記柱體、椎體的體積公式，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.2．C【解析】∵集合，，∴點(diǎn)睛：本題是道易錯(cuò)題，看清所問問題求并集而不是交集.3．A【解析】

由函數(shù)，求得，進(jìn)而求得的值，得到答案.【詳解】由題意函數(shù)，則，所以，故選A.本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題，其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4．B【解析】

基本事件總數(shù)，能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和只有，，，共有個(gè)，根據(jù)古典概型求出概率．【詳解】在不超過的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù)，基本事件總數(shù)能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的只有，，，共有個(gè)則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是本題正確選項(xiàng)：本題考查概率的求法，考查列舉法解決古典概型問題，是基礎(chǔ)題．5．A【解析】

推導(dǎo)出，分別取的中點(diǎn),連結(jié)，則，推導(dǎo)出，從而，進(jìn)而四面體的體積為，由此能求出結(jié)果.【詳解】解：在四面體中，為等邊三角形，邊長為6，，，，，，分別取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，且，，，，平面，平面，，四面體的體積為：.故答案為：.本題考查四面體體積的求法，考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.6．B【解析】

對(duì)分類討論，代入解析式求出，解不等式，即可求解.【詳解】函數(shù)，由得或解得.故選:B.本題考查利用分段函數(shù)性質(zhì)解不等式，屬于基礎(chǔ)題.7．D【解析】試題分析：，,故選D.考點(diǎn)：點(diǎn)線面的位置關(guān)系.8．D【解析】

弄清集合B的含義，它的元素x來自于集合A，且也是集合A的元素.【詳解】因，所以，故，又，，則，故集合.故選：D.本題考查集合的定義，涉及到解絕對(duì)值不等式，是一道基礎(chǔ)題.9．D【解析】

由題意，設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來，其概率是，兩種事件又是互斥的,可得，根據(jù)求數(shù)列的通項(xiàng)知識(shí)可得選項(xiàng).【詳解】由題意，設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來，其概率是，兩種事件又是互斥的,∴，即，∴，∴數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，而，所以，∴當(dāng)時(shí)，，故選：D.本題考查幾何體中的概率問題，關(guān)鍵在于運(yùn)用遞推的知識(shí)，得出相鄰的項(xiàng)的關(guān)系，這是常用的方法，屬于難度題.10．C【解析】

根據(jù)直線與圓相交，可求出k的取值范圍，根據(jù)幾何概型可求出相交的概率.【詳解】因?yàn)閳A心，半徑，直線與圓相交，所以，解得所以相交的概率,故選C.本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，幾何概型，屬于中檔題.11．B【解析】

根據(jù)直線與和都相切，求得的值，由此畫出不等式組所表示的平面區(qū)域以及圓，由此求得正確選項(xiàng).【詳解】.設(shè)直線與相切于點(diǎn)，斜率為，所以切線方程為，化簡得①.令，解得，，所以切線方程為，化簡得②.由①②對(duì)比系數(shù)得，化簡得③.構(gòu)造函數(shù)，，所以在上遞減，在上遞增，所以在處取得極小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切線方程為.即.不等式組即，畫出其對(duì)應(yīng)的區(qū)域如下圖所示.圓可化為，圓心為.而方程組的解也是.畫出圖像如下圖所示，不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的部分如下圖陰影部分所示.直線的斜率為，直線的斜率為.所以，所以，而圓的半徑為，所以陰影部分的面積是.故選：B本小題主要考查根據(jù)公共切線求參數(shù)，考查不等式組表示區(qū)域的畫法，考查圓的方程，考查兩條直線夾角的計(jì)算，考查扇形面積公式，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查分析思考與解決問題的能力，屬于難題.12．A【解析】

用轉(zhuǎn)化的思想求出中不等式的解集，再利用并集的定義求解即可．【詳解】解：由集合，解得，則故選：．本題考查了并集及其運(yùn)算，分式不等式的解法，熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1【解析】

由題意可得，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得二項(xiàng)展開式常數(shù)項(xiàng)的值．【詳解】的二項(xiàng)展開式的中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，，通項(xiàng)公式為，令，求得，可得二項(xiàng)展開式常數(shù)項(xiàng)等于，故答案為1．本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．5040.【解析】分兩類，一類是甲乙都參加，另一類是甲乙中選一人，方法數(shù)為。填5040.利用排列組合計(jì)數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步，分類時(shí)要注意不重不漏.在本題中，甲與乙是兩個(gè)特殊元素，對(duì)于特殊元素“優(yōu)先法”，所以有了分類。本題還涉及不相鄰問題，采用“插空法”。15．4【解析】設(shè)，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.,故答案為416．【解析】

首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師，由題意利用排列組合公式即可確定不同的選派案方法種數(shù).【詳解】首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師，然后從名男醫(yī)生、名女醫(yī)生中分別抽調(diào)2名男醫(yī)生、名女醫(yī)生，故選派的方法為：.故答案為．解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1），．（2）【解析】

（1）利用，代入可求；消參可得直角坐標(biāo)方程.（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，與有交點(diǎn)，可得，解不等式即可求解.【詳解】（1）（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程得：與有交點(diǎn)，即本題考查了極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、直線與圓的位置關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題.18．(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)證明見解析.【解析】試題分析：將，求出切線方程求導(dǎo)后討論當(dāng)時(shí)和時(shí)的單調(diào)性證明，求出實(shí)數(shù)的取值范圍先求出、的通項(xiàng)公式，利用當(dāng)時(shí)，得，下面證明：解析：（Ⅰ）因?yàn)?，所以，，切點(diǎn)為.由，所以，所以曲線在處的切線方程為，即（Ⅱ）由，令，則（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)）.故在上為增函數(shù).①當(dāng)時(shí)，,故在上為增函數(shù)，所以恒成立，故符合題意；②當(dāng)時(shí)，由于，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，必存在，使得，由于在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，,故在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，,故在上不恒成立，所以不符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為（III）證明：由由（Ⅱ）知當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，故，故.下面證明：因?yàn)槎?，所以，，即：點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出參數(shù)及證明不等式成立，借助第二問的證明過程，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性證明數(shù)列的不等式，在求解的過程中還要求出數(shù)列的和，計(jì)算較為復(fù)雜，本題屬于難題．19．（1）填表見解析；有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”（2）①詳見解析②期望；方差【解析】

（1）完成列聯(lián)表，代入數(shù)據(jù)即可判斷；（2）利用分層抽樣可得的取值，進(jìn)而得到概率，列出分布列；根據(jù)分析知，計(jì)算出期望與方差.【詳解】（1）分?jǐn)?shù)不少于120分分?jǐn)?shù)不足120分合計(jì)線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)15419線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)101626合計(jì)252045有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”.（2）①由分層抽樣知，需要從不足120分的學(xué)生中抽取人，的可能取值為0，1，2，3，4，，，，，所以，的分布列：②從全校不少于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，此人每周上線時(shí)間不少于5小時(shí)的概率為，設(shè)從全校不少于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人，這些人中每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)的人數(shù)為，則，故，.本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差的計(jì)算問題，屬于基礎(chǔ)題.20．（1）y2＝4x；；（2）直線NL恒過定點(diǎn)（﹣3，0），理由見解析.【解析】

（1）根據(jù)拋物線的方程，求得焦點(diǎn)F（，0），利用（2，2），表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，再代入拋物線方程求解.（2）設(shè)M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），表示出MN的方程y和ML的方程y，因?yàn)锳（3，﹣2），B（3，﹣6）在這兩條直線上，分別代入兩直線的方程可得y1y2＝12，然后表示直線NL的方程為：y﹣y1（x），代入化簡求解.【詳解】（1）由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F（，0），滿足（2，2）的P的坐標(biāo)為（2，2），P在拋物線上，所以（2）2＝2p（2），即p2+4p﹣12＝0，p＞0，解得p＝2，所以拋物線的方程為：y2＝4x；（2）設(shè)M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），則y12＝4x1，y22＝4x2，直線MN的斜率kMN，則直線MN的方程為：y﹣y0（x），即y①，同理可得直線ML的方程整理可得y②，將A（3，﹣2），B（3，﹣6）分別代入①，②的方程可得，消y0可得y1y2＝12，易知直線kNL，則直線NL的方程為：y﹣y1（x），即yx，故yx，所以y（x+3），因此直線NL恒過定點(diǎn)（﹣3，0）．本題主要考查了拋物線的方程及直線與拋物線的位置