安徽省淮北市部分學校2024-2025學年高二上學期開學考試數學試題（解析版）

淮北市部分學校2024學年秋季高二開學考試數學（北師大版）一、單選題（每題5分，共40分）1.如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，且，，則該平面圖形的高為（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據斜二測畫法即可直接求解.【詳解】由直觀圖可知在軸上，在軸上，原圖如圖所示，原圖中，在軸上，在軸上，，所以的長即為該平面圖形的高，且.故選：C2.一平面截某幾何體得一三棱臺，則該幾何體可能是（）A.三棱柱 B.三棱錐 C.四棱錐 D.圓錐【答案】B【解析】【分析】根據棱錐與棱臺的關系，結合選項可得答案【詳解】由棱錐的底面和平行于底面的一個截面間的部分，叫做棱臺所以用平行于三棱錐的底面平面截三棱錐，在底面和截面之間的幾何體為三棱臺．故選：B3.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導公式與兩角差的余弦公式即可求解.【詳解】.故選：A.4.已知為單位向量，且，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由求出，再利用向量的夾角公式可求得結果.【詳解】因為為單位向量，且，所以，得，所以，因為，所以.故選：C5已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】運用復數乘除法運算化簡.【詳解】.故選：A.6.已知是邊長為6的等邊三角形，點分別是上的點，滿足，連接交于點，求（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】方法一：根據三點共線的結論可得，結合數量積運算即可；方法二：作投影，結合數量積的幾何意義運算求解；方法三：建系，可得，結合數量積的坐標運算求解.【詳解】方法一：因為共線，設，即，則，解得，所以方法二：過點連接的中點，過點分別做邊的垂線，垂足分別是，易得，則在邊上的投影是，所以；方法三：以邊的中點為坐標原點，以邊為軸建立如圖所示直角坐標系，則，設，因為共線可得，解得，即，可得，所以.故選：A.7.如圖，四邊形中，，若，且，則面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】線段上取點E使得，結合已知可得，進而有，設，，再結合相關三角形面積、線段的數量關系得，進而得，即可求最大值.【詳解】線段上取點E使得，又，則，故，所以，則，設，則.由上易知，且，而，所以，則，結合及，且，由三角形內角性質，所以，綜上，.故選：C【點睛】關鍵點點睛：線段上取點E使得，利用向量加減、數乘整理題設條件為，進而得到相關三角形面積、線段的數量關系，結合及三角形面積公式求最值.8已知，且?7，則（）A. B. C.或 D.【答案】B【解析】【分析】根據??（）??，利用兩個向量的數量積公式和已知條件求得結果．【詳解】??（）??7﹣（2，1）?（3，﹣1）＝7﹣（6﹣1）＝2，故選：B．【點睛】本題主要考查平面向量基本定理，考查向量的坐標運算，屬于基礎題．二、多選題（每題6分，共18分；部分選對給部分分）9.下列命題中為假命題的是（）A.長方體是四棱柱，直四棱柱是長方體B.有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C.有兩個側面是矩形的四棱柱是直四棱柱D.正四棱柱是平行六面體【答案】ABC【解析】【分析】ABC均可以舉出反例，D選項是真命題.【詳解】對于選項A，當底面不是矩形的時候，直四棱柱非長方體，A錯誤；對于選項B，根據棱柱定義，顯然不成立，如圖，滿足要求，但不是棱柱，B錯誤；對于選項C，可以是兩對稱面是矩形的平行六面體，C錯誤；D選項，正四棱柱是平行六面體，D正確．故選：ABC．10.的內角，，的對邊分別為，，，且，，，則下列命題成立的是（）A. B.C.最大內角是最小內角的2倍 D.為直角三角形【答案】AD【解析】【分析】A中，由正弦定理可得A選項的真假；B，D中，由，，的三邊的關系，可得該三角形為直角三角形，判斷出B，D的真假；C中，由B選項分析，可得，而，判斷出C的真假．【詳解】解：A．由正弦定理可得，所以正確，符合題意；B，D中，因為，所以該三角形為直角三角形，，角的余弦值不能比，所以B不正確，D正確；C中，由B選項的分析，可得最大內角為，最小內角為A，因為與不相等，所以角不為，所以C不正確；故選：AD．11.設向量，，若，則x的取值可能是（）A. B.0 C.3 D.5【答案】AC【解析】【分析】利用向量平行的充要條件列出關于x的方程，解之即得x的值.【詳解】，，由，可得，解之得故選：AC三、填空題（每題5分，共15分）12.若復數為虛數單位為純虛數，則的值為__________.【答案】2【解析】【分析】根據純虛數的定義即可求解.【詳解】由是純虛數，有，解得.故答案為：13.若，則______.（用表示）【答案】【解析】【分析】由同角三角函數的關系得，進而根據結合齊次式求解即可.【詳解】由，得，則.故答案為：.14.趙爽是我國古代數學家，大約在公元222年，他為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間一個小正方形組成）.類比“趙爽弦圖”，可構造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設（，），若，則______.【答案】3【解析】【分析】因為大三角形是等邊三角形，所以可以通過建系的方法進行求解.【詳解】不妨設，則，如圖，由題可知.由，得，所以，所以，，.又，所以，所以，所以，即.所以，，，因為，所以，解得，所以.故答案為：3四、解答題（共77分）15.已知函數(1)求的最小正周期和單調遞減區(qū)間;(2)若在上恒成立,求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【詳解】(1)注意到,.于是,最小正周期.由，故的單調遞減區(qū)間為.(2)由,知，于是,當時,取得最大值,即.要使恒成立,只需，即.解得.故m的取值范圍是.16.已知函數f（x）＝sinxcosxcos2x+1（1）求f（x）的最小正周期和最大值，并寫出取得最大值時x的集合；（2）將f（x）的函數圖象向左平移φ（φ＞0）個單位后得到的函數g（x）是偶函數，求φ的最小值.【答案】（1）最小正周期為Tπ，f（x）取得最大值為2，此時x的集合為{x|x＝kπ，k∈Z}.（2）【解析】【分析】（1）由三角函數公式化簡可得f（x）＝sin（2x）+1，由此可得最小正周期及最大值，由當且僅當2x2kπ，k∈Z時，f（x）取得最大值，解出x的集合；（2）通過平移變換可得g（x）=sin（2x+2φ）+1，若函數g（x）是偶函數，運用三角函數的誘導公式，令，k∈Z即可，從而得到φ的最小值．【詳解】（1）f（x）＝sinxcosxcos2x+1sin2xcos2x+1＝sin（2x）+1，所以函數f（x）的最小正周期為Tπ，當且僅當2x2kπ，k∈Z時，f（x）取得最大值為2，此時x的集合為{x|x＝kπ，k∈Z}.（2）g（x）＝f（x+φ）＝sin（2x+2φ）+1，因為g（x）是偶函數，所以2φkπ，k∈Z，即φkπ，k∈Z，所以φ的最小值為.【點睛】本題主要考查了利用公式化簡三角函數，求三角函數的周期、最值、極值點和三角函數的圖像和性質等，需要特別注意集合的書寫規(guī)范，屬于基礎題.17.已知中，角的對邊分別為，.（1）是邊上的中線，，且，求的長度.（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理求出，對兩邊平方求出中，再由余弦定理可得答案；（2），根據為銳角三角形求出的范圍，再由的范圍可得答案.【小問1詳解】，由正弦定理得：，因為，所以，所以，因為，所以，解得，因為，所以，，又因為，所以，在中，由余弦定理可得：，所以，即；【小問2詳解】由題設，因為為銳角三角形，所以，從而，可得，所以，則面積的取值范圍是.18.如圖，為空間四邊形，點、分別是、的中點，點、分別在、上，且，．求證：（1）、、、四點共面；（2）、必相交且交點在直線上．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據中位線及等比分點可得平行，進而可證四點共面；（2）結合面面位置關系可得證.【小問1詳解】連接、，，由，分別為，中點，則，又，，則，，、、、四點共面.【小問2詳解】由，，易知，又，分別為，中點，即，，結合（1）的結論可知，四邊形是梯形，因此直線、不平行，設它們交點為，平面，同理平面，又平面平面，因此，即、必相交且交點在直線上．19.已知函數的定義域為R，現有兩種對變換的操作：變換：；變換：，其中為大于的常數．（1）設，，為做變換后的結果，解方程：；（2）設，為做變換后的結果，解不等式：；（3）設在上單調遞增，先做變換后得到，再做變換后得到；先做變換后得到，再做變換后得到．若恒成立，證明：函數在R上單調遞增．【答案】（1）2（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意，推導出函數的解析式，建立方程，由此能求出x．（2）由題意，推導出函數的解析式，建立不等式，分類討論去掉絕對值，結合二次函數的性質，可得答案．（3）由題意，分別推導出函數的解析式，建立方程，【小問1詳解】∵，，為做變換后的結果，，∴，解得．【