人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《二次函數(shù)與一元二次方程》示范教學(xué)課件

二次函數(shù)與一元二次方程

1．關(guān)于x

的一元一次方程kx＋b＝0

的解為x＝1，則當(dāng)x＝___時(shí)，一次函數(shù)y＝kx＋b

的函數(shù)值為0．1

2．一次函數(shù)

y＝kx＋b

的圖象如圖，則關(guān)于x

的一元一次方程kx＋b＝0

的解為_(kāi)____________．x＝2Oy132xy＝kx＋b

1

3．一次函數(shù)與一元一次方程之間的關(guān)系．一次函數(shù)與一元一次方程

數(shù)：在函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)中，當(dāng)y＝0

時(shí)，x

的值一元一次方程ax＋b＝0

的解

形：函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)的圖象與x

軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)一元一次方程ax＋b＝0

的解問(wèn)題如圖，以40

m/s

的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時(shí)，小球的飛行路線是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系h＝20t－5t2．考慮以下問(wèn)題：（1）小球的飛行高度能否達(dá)到15

m？如果能，需要飛行多少時(shí)間？（2）小球的飛行高度能否達(dá)到20

m？如果能，需要飛行多少時(shí)間？（3）小球的飛行高度能否達(dá)到20.5

m？為什么？（4）小球從飛出到落地要用多少時(shí)間？

分析：由于小球的飛行高度h

與飛行時(shí)間t

有函數(shù)關(guān)系h＝20t－5t2，所以可以將問(wèn)題中h

的值代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于t

的一元二次方程．如果方程有合乎實(shí)際的解，則說(shuō)明小球的飛行高度可以達(dá)到問(wèn)題中h

的值；否則，說(shuō)明小球的飛行高度不能達(dá)到問(wèn)題中h

的值．（1）小球的飛行高度能否達(dá)到15

m？如果能，需要飛行多少秒？當(dāng)小球飛行1

s

和3

s

時(shí)，它的飛行高度為15

m．解：（1）解方程15＝20t－5t2，t2－4t＋3＝0，t1＝1，t2＝3．（1）小球的飛行高度能否達(dá)到15

m？如果能，需要飛行多少秒？你能結(jié)合上圖指出為什么在兩個(gè)時(shí)刻，小球的高度為15

m

嗎？Oht132415（2）小球的飛行高度能否達(dá)到20

m？如果能，需要飛行多少秒？當(dāng)小球飛行2

s

時(shí)，它的飛行高度為20

m．解：（2）解方程20＝20t－5t2，t2－4t＋4＝0，t1＝t2＝2．1324Oht20（2）小球的飛行高度能否達(dá)到20

m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？你能結(jié)合上圖指出為什么只在一個(gè)時(shí)刻，小球的高度為20

m

嗎？（3）小球的飛行高度能否達(dá)到20.5

m？為什么？因?yàn)?－4)2－4×4.1＜0，所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根．這就是說(shuō)，小球的飛行高度達(dá)不到20.5

m．解：（3）解方程20.5＝20t－5t2，t2－4t＋4.1＝0．（4）小球從飛出到落地要用多少秒？解：（4）小球飛出時(shí)和落地時(shí)的高度都為0

m，解方程

0＝20t－5t2，

t2－4t＝0，t1＝0，t2＝4．1324Oht當(dāng)小球飛行0

s

和4

s

時(shí)，它的高度為0

m，這表明小球從飛出到落地要用4

s．從圖來(lái)看，0

s

時(shí)小球從地面飛出，4

s

時(shí)小球落回地面．（4）小球從飛出到落地要用多少時(shí)間？1324Oht歸納從上面可以看出，二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系密切．例如，已知二次函數(shù)y＝－x2＋4x

的值為3，求自變量x

的值，可以看作解一元二次方程－x2＋4x＝3(即x2－4x＋3＝0)．反過(guò)來(lái)，解方程－x2＋4x＋3＝0又可以看作已知二次函數(shù)y＝－x2＋4x＋3的值為0，求自變量x

的值．思考下列二次函數(shù)的圖象與x

軸有公共點(diǎn)嗎？如果有，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是多少？當(dāng)x

取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)值是多少？由此，你能得出相應(yīng)的一元二次方程的根嗎？（1）y＝x2＋x－2；（2）y＝x2－6x＋9；（3）y＝x2－x＋1．

在同一直角坐標(biāo)系中，畫出這些函數(shù)的圖象（如圖）．拋物線y＝x2＋x－2與x

軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)是－2，1．當(dāng)x

取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)值是0．由此得出方程x2＋x－2＝0

的根是－2，1．

在同一直角坐標(biāo)系中，畫出這些函數(shù)的圖象（如圖）．拋物線y＝x2－6x＋9與x

軸有一個(gè)公共點(diǎn)，這點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3．當(dāng)x＝3

時(shí)，函數(shù)值是0．由此得出方程x2－6x＋9＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根3．

在同一直角坐標(biāo)系中，畫出這些函數(shù)的圖象（如圖）．拋物線y＝x2－x＋1與x

軸沒(méi)有公共點(diǎn)．由此可知，方程x2－x＋1＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根．反過(guò)來(lái)，由一元二次方程的根的情況，也可以確定相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x

軸的位置關(guān)系．觀看動(dòng)圖，思考二次函數(shù)圖象與

x軸的公共點(diǎn)與一元二次方程根之間的關(guān)系．觀看動(dòng)圖，思考二次函數(shù)圖象與

x軸的公共點(diǎn)與一元二次方程根之間的關(guān)系．歸納一般地，從二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c

的圖象可得如下結(jié)論．（1）如果拋物線y＝ax2＋bx十c

與x

軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0，那么當(dāng)x＝x0時(shí)，函數(shù)值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0

的一個(gè)根．歸納一般地，從二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c

的圖象可得如下結(jié)論．（2）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c

的圖象與x

軸的位置關(guān)系有三種：沒(méi)有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)．這對(duì)應(yīng)著一元二次方程ax2＋bx＋c＝0

的根的三種情況：沒(méi)有實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．

例利用函數(shù)圖象求方程x2－2x－2＝0的實(shí)數(shù)根（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．解：方法1：畫出函數(shù)y＝x2－2x－2的圖象（如圖），它與x

軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)大約是－0.7，2.7．所以方程x2－2x－2＝0

的實(shí)數(shù)根為x1≈－0.7，x2≈2.7．方法2：我們還可以通過(guò)不斷縮小根所在的范圍估計(jì)一元二次方程的根．當(dāng)自變量x＝2

時(shí)，y＜0，當(dāng)自變量x＝3

時(shí)，y＞0，即方程x2－2x－2＝0

在2，3

之間有根．取2，3

的平均數(shù)2.5，當(dāng)自變量x＝2.5時(shí)，y＜0，即方程x2－2x－2＝0

在2.5，3

之間有根．取2.5，3

的平均數(shù)2.75，當(dāng)自變量

x＝2.75時(shí)，y＞0，即方程x2－2x－2＝0

在2.5，2.75

之間有根．取2.5，2.75的平均數(shù)2.625，當(dāng)自變量x＝2.625時(shí)，y＜0，即方程x2－2x－2＝0

在2.625，2.75

之間有根．重復(fù)上述步驟，我們逐步得到：這個(gè)根在2.687

5，2.75

之間……可以看到：根所在的范圍越來(lái)越小，根所在范圍的兩端的值越來(lái)越接近根的值，因而可以作為根的近似值．當(dāng)要求根的近似值與根的準(zhǔn)確值的差的絕對(duì)值小于0.1

時(shí)，由于|2.687

5－2.75|＝0.062

5＜0.1，我們可以將2.687

5

作為根的近似值．你能用這種方法得出方程x2－2x－2＝0

的另一個(gè)根的近似值嗎（要求根的近似值與根的準(zhǔn)確值的差的絕對(duì)值小于0.1）？當(dāng)自變量x＝－1

時(shí)，y＞0，當(dāng)自變量x＝0

時(shí)，y＜0，即方程x2－2x－2＝0

在－1，0

之間有根．?。?，0

的平均數(shù)－0.5，當(dāng)自變量x＝－0.5時(shí)，y＜0，即方程x2－2x－2＝0

在－0.5，－1

之間有根．通過(guò)取平均數(shù)的方法不斷縮小根所在的范圍．由于|－0.75－(－0.687

5)|＝0.062

5＜0.1，我們可以將－0.6875

作為另一個(gè)根的近似值．利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根的步驟：（1）畫出函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象；（2）確定拋物線