數(shù)林外傳系列美好的曲線=150P（待校對(duì)）

千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯數(shù)林外傳系列跟大學(xué)名師學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)美好的曲線(C)肖果能編著中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社意義就是切線的斜率;而曲線作為函數(shù)的圖像是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)不可或缺的幾何工具.學(xué)習(xí)曲線的知識(shí)可以協(xié)助學(xué)生順利地從初等數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)人高等數(shù)學(xué),使進(jìn)人大學(xué)的學(xué)生很快適應(yīng)大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).(四)目前似乎很少見(jiàn)到屬于國(guó)內(nèi)作者的廣泛而系統(tǒng)地論述曲線的普及性的讀物,作者覺(jué)得應(yīng)該有一些這樣的讀物,故不揣淺陋,將自己持久以來(lái)對(duì)于曲線的學(xué)習(xí)和思量的所得收拾成章奉獻(xiàn)于讀者,希翼對(duì)讀者有切實(shí)的協(xié)助,亦期起到“拋磚引玉”的作用.拙作是一本普及性的讀物.作者認(rèn)為這類(lèi)讀物應(yīng)該著眼于培養(yǎng)興趣,擴(kuò)大知識(shí)面,提高能力,增進(jìn)修養(yǎng),抽作亦秉承這樣的宗旨.全書(shū)分3章:第1章首先研究曲線的意義,給出多種主意產(chǎn)生曲線,從而多角度多方面地認(rèn)識(shí)和理解曲線,然后研究曲線的表示及研究曲線的幾類(lèi)基本主意;第2章是曲線名題賞析,研究關(guān)于曲線及其應(yīng)用的一些典型的例子,進(jìn)一步揭示相關(guān)的曲線的性質(zhì);第3章研究曲線族及其包絡(luò).閱讀拙作只需具備中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ),只要認(rèn)識(shí)幾何、代數(shù)及微積分的初步知識(shí)(這些知識(shí)高中生都已經(jīng)具備)就可以順利地閱讀本書(shū),本書(shū)相宜于中學(xué)及大學(xué)低年級(jí)學(xué)生、中學(xué)教師和數(shù)學(xué)興趣者.本書(shū)內(nèi)容是系統(tǒng)的,但其各部分相對(duì)自立,讀者可以隨意選讀自己感興趣的章節(jié).美哉曲線!在我們感嘆曲線世界的美好時(shí),愿拙作能伴你在這個(gè)美好的世界里徜徉,輾轉(zhuǎn),流連,目錄曲線之美美哉曲線(代序)(i)1形形色色的曲線(1)1.1曲線的意義(1)1.2曲線的表示(26)1.3研究曲線的主意(47)1.4關(guān)于曲線應(yīng)用的幾個(gè)容易例子(62)2曲線名題賞析(72)2.1拋物線與安全域(72)2.2雙曲線與可聽(tīng)域(81)2.3阿波羅圓與平面追及問(wèn)題(85)2.4橢圓與行(衛(wèi))星軌道(100)2.5三次拋物線與三次函數(shù)(106)2.6對(duì)數(shù)螺線與一個(gè)數(shù)學(xué)趣題(118)2.7擺線與最速下降問(wèn)題(120)2.8一個(gè)悖論的揭秘(126)3曲線族及其包絡(luò)(133)3.1曲線族及其表示(133)3.2曲線族的包絡(luò)(138)3.3求曲線族的包絡(luò)(141)附錄什么是曲線(146)后記(149)1形形色色的曲線曲線是一類(lèi)幾何圖形.本書(shū)只研究平面曲線(簡(jiǎn)稱(chēng)曲線,其中包括直線),其本質(zhì)是一類(lèi)平面點(diǎn)集.首先我們研究產(chǎn)生曲線的各種主意,實(shí)際上是從不同的方面揭示“曲線”這個(gè)概念的意義;第二給出曲線的各種表示法;然后研究研究曲線的幾類(lèi)最重要的主意:綜合法(幾何主意)、代數(shù)法(坐標(biāo)主意)和分析法(微積分法).1.1曲線的意義在日常生活和數(shù)學(xué)中,我們看到過(guò)和學(xué)習(xí)過(guò)許許多多的曲線.這些曲線是由各種各樣的主意產(chǎn)生(或生成)的,這些主意從不同的角度界定了曲線這個(gè)概念的意義,豐盛了這個(gè)概念的“外延”.1.1.1作為點(diǎn)的軌跡的曲線在初等幾何和解析幾何中,我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)圓、橢圓、拋物線、雙曲線,它們都是作為具有某種幾何性質(zhì)的點(diǎn)的軌跡來(lái)定義的.對(duì)這樣定義的曲線有以下兩個(gè)最基本的要求.(1)純粹性:曲線上的點(diǎn)都具有所要求的性質(zhì);(2)完備性:具有所要求的性質(zhì)的點(diǎn)都在曲線上.用點(diǎn)的軌跡決定曲線是一種常見(jiàn)的初等主意,我們?cè)谥袑W(xué)數(shù)學(xué)中就已經(jīng)認(rèn)識(shí)這種主意.要指出的是,同樣的曲線可以有不同的定義主意(例如,拋物線還可以定義為二次函數(shù)的圖像,拋出的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道,或截平面平行于圓雉的一條母線時(shí)與圓雉相截的截線等);也可以用不同的性質(zhì)決定為點(diǎn)的軌跡(例如,圓可以定義為“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡”,也可以用下面例1的方式?jīng)Q定).例1求“到兩定點(diǎn)的距離之比等于定值(不等于1)的點(diǎn)的軌跡”.解如圖1.1.1所示,設(shè)兩定點(diǎn)為P,E且ρ,σ為給定的正數(shù),不妨設(shè)ρ>σM(1)以E為原點(diǎn),直線PE為縱軸建立直角坐標(biāo)系,記點(diǎn)P的坐標(biāo)為P0圖1.1.1設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為Mx,M由式(1)得ρ兩邊平方并收拾,得x(2)由解析幾何,式(2)表示以O(shè)0,σ2bρ在式(2)中取x=0A它們恰分離是依式(1)中的定比分線段PE的外分點(diǎn)和內(nèi)分點(diǎn),而線段AB的中點(diǎn)恰為圓心,即AB為圓的直徑.于是我們得到:“到兩定點(diǎn)的距離之比等于定值(不等于1)的點(diǎn)的軌跡是以依此定比劃分銜接這兩點(diǎn)的線段的外分點(diǎn)和內(nèi)分點(diǎn)的連線為直徑的圓.”例1中的圓稱(chēng)為阿波羅圓,它由定點(diǎn)P,E及定值ρ,σ決定.我們用AP,E表示對(duì)應(yīng)于點(diǎn)阿波羅圓在實(shí)際問(wèn)題中是存心義的.假設(shè)炮口在點(diǎn)P的榴彈炮發(fā)射炮彈時(shí),處在點(diǎn)E的坦克正以速度σ沿直線EQ全速前進(jìn),炮彈的速度為ρ.倘若榴彈炮瞄準(zhǔn)E點(diǎn)發(fā)射,則當(dāng)炮彈到達(dá)E時(shí),坦克早已離開(kāi)E,所以不能擊中坦克.要想擊中坦克,瞄及時(shí)必須有一定的“提前量”.設(shè)炮彈在直線EQ上的M點(diǎn)擊中坦克,則炮彈與坦克同時(shí)到達(dá)MM故點(diǎn)M在由定點(diǎn)P,E及定值ρ,σ決定的阿波羅圓上,即M恰是直線EQ與此阿波羅圓的交點(diǎn),炮彈應(yīng)瞄準(zhǔn)M點(diǎn)才干擊中坦克.所以,我們可以利用阿波羅圓決定1.1.2作為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道的曲線曲線也可以理解為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道,拋物線就是這樣產(chǎn)生的:從地面上拋出一質(zhì)點(diǎn)并考察質(zhì)點(diǎn)在重力作用下(不計(jì)空氣阻力)的運(yùn)動(dòng),質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道即為拋物線.例2求斜拋物體的軌道方程.設(shè)質(zhì)點(diǎn)以初速v拋出,v在水平方向和堅(jiān)直方向的分量分離記為v1和v2,如圖1.1.2所示.因?yàn)椴挥?jì)空氣阻力,質(zhì)點(diǎn)在水平方向作勻速直線運(yùn)動(dòng);在重力的作用下,質(zhì)點(diǎn)在堅(jiān)直方向作勻加速直線運(yùn)動(dòng),其加速度為g(重力加速度).若從質(zhì)點(diǎn)拋出時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí),則在時(shí)刻t,質(zhì)點(diǎn)的水平速度保持為vv(3)走過(guò)的水平路程x及在堅(jiān)直方向達(dá)到的高度y分離為xy(4)圖1.1.2倘若以拋射點(diǎn)為原點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)的水平線和堅(jiān)直線為坐標(biāo)軸,則式(4)就是作為運(yùn)動(dòng)軌道的拋物線的參數(shù)方程.從式(4)中消去t,得拋物線的方程y(5)式(5)是關(guān)于x的二次函數(shù).質(zhì)點(diǎn)到達(dá)最大高度時(shí)v2t=0,由式(3)可知質(zhì)點(diǎn)到達(dá)最大高度的時(shí)刻為t=v2g,此后質(zhì)點(diǎn)開(kāi)始下落,于時(shí)刻s(6)注重到v2=s則可知當(dāng)v1=v2時(shí)s取極大值,即當(dāng)拋射角為旋輪線也是作為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道的一個(gè)典型的例子,它是由“旋輪”(車(chē)輪旋轉(zhuǎn))產(chǎn)生的,我們將其抽象為下面的數(shù)學(xué)定義:一個(gè)圓在一條直線上無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng),圓周上一個(gè)定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道稱(chēng)為旋輪線(亦稱(chēng)擺線).例3建立直角坐標(biāo)系并求旋輪線的方程.解如圖1.1.3所示,設(shè)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)圓與直線相切于點(diǎn)O,以點(diǎn)O為原點(diǎn)、定直線為橫軸建立直角坐標(biāo)系.考察圓上的點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌道.設(shè)圓的半徑為a,當(dāng)點(diǎn)O由原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí),圓心的位置記為點(diǎn)C,圓與橫軸的切點(diǎn)記為點(diǎn)B,而∠ACO故A點(diǎn)的坐標(biāo)x,yx(7)y這就是旋輪線的方程.圖1.1.3旋輪線也稱(chēng)為(圓)擺線,它在工程問(wèn)題和物理問(wèn)題中都有應(yīng)用,在下一章中我們將看到旋輪線恰是物理學(xué)中的“最速下降問(wèn)題”的解,所以它又稱(chēng)為“最速降線”.倘若將圓滾動(dòng)所沿的直線改為一個(gè)定圓,則當(dāng)動(dòng)圓在定圓外(內(nèi))沿圓周無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí),圓周上一個(gè)定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道稱(chēng)為外(內(nèi))擺線(圖1.1.4).圖1.1.41.1.3作為函數(shù)圖像的曲線函數(shù)的圖像就是在已經(jīng)建立的直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)滿意函數(shù)關(guān)系的點(diǎn)的軌跡.由函數(shù)的圖像可以產(chǎn)生許許多多的曲線,這時(shí),函數(shù)表達(dá)式就是曲線的方程.在中學(xué)代數(shù)中我們知道二次函數(shù)的圖像是拋物線(如圖1.1.5所示),所以拋物線的普通方程是y(8)函數(shù)的本質(zhì)屬性是“單值性”:對(duì)于自變量的每一個(gè)值,有唯一的函數(shù)值與其對(duì)應(yīng).因而,在選定的坐標(biāo)系中,每一條與縱軸平行的直線和作為圖像的曲線最多惟獨(dú)一個(gè)交點(diǎn).圖1.1.5上面我們已多次提到拋物線:它是一類(lèi)點(diǎn)的軌跡,又是運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的軌道,還是二次函數(shù)的圖像,其實(shí)這三者都可以統(tǒng)一為二次函數(shù)的圖像.事實(shí)上,前面的式(5)已經(jīng)為二次函數(shù);而在解析幾何中我們已經(jīng)在適當(dāng)選定的坐標(biāo)系中建立了作為一類(lèi)軌跡的拋物線的方程為y交換x與y(即將坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)90°y(9)式(9)具有式(8)的形式.作為函數(shù)圖像的曲線有現(xiàn)成的方程(即函數(shù)關(guān)系式),我們可以根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì).下面的例4給出了拋物線的一個(gè)有趣的性質(zhì).我們知道,同心圓是位似形,因而所有的圓都相似.有趣的是,對(duì)于拋物線我們有類(lèi)似的結(jié)論.例4證實(shí):所有的拋物線都相似.證實(shí)用配主意將拋物線的方程(8)化為y作變量代換(即將坐標(biāo)原點(diǎn)移到拋物線的頂點(diǎn)),有XY則拋物線的方程化為Y由此可見(jiàn),若不計(jì)位置,則拋物線的形狀由系數(shù)a決定.取頂點(diǎn)都在原點(diǎn)的兩條拋物線:p設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線l:Y=kXk≠0與這兩條拋物線分離相交于點(diǎn)MX故O與k無(wú)關(guān),因而p1,p2是位似形(位似系數(shù)為a2a圖1.1.6類(lèi)似于二次函數(shù)及其圖像拋物線,用三次函數(shù)的圖像可以定義三次拋物線,在第2章中我們將用坐標(biāo)主意研究三次函數(shù)及三次拋物線的性質(zhì).1.1.4作為平面截曲面的截痕的曲線兩個(gè)平面相交,交線是直線;用平面截球面,截線是圓;當(dāng)平面垂直于圓柱或圓雉的軸時(shí),截線也是圓.可見(jiàn)平面曲線可以是用平面截曲面產(chǎn)生的截線.這方面最聞名的例子就是圓雉曲線:作為軌跡,橢圓、拋物線、雙曲線有不同的定義;但作為截線,它們都可以由平面截圓雉面而得到(只是平面與圓雉面的相對(duì)位置有所不同),因而統(tǒng)稱(chēng)為“圓雉曲線”.例5用平面截圓雉面產(chǎn)生圓雉曲線.(1)圓雉面.如圖1.1.7所示,在三維空間取一水平面Q及其上的一個(gè)圓周c,過(guò)圓心作Q的垂線h并在其上取一點(diǎn)O,P是圓c上的一點(diǎn),作直線OP.現(xiàn)固定點(diǎn)O,讓點(diǎn)P沿圓周c運(yùn)動(dòng)一周,直線OP掃過(guò)的曲面稱(chēng)為圓雉面.點(diǎn)O稱(chēng)為圓雉面的頂點(diǎn),圖1.1.7點(diǎn)O將圓雉面分成上下兩部分,分離稱(chēng)為圓雉面的上部和下部.直線h稱(chēng)為圓雉面的中軸,過(guò)h的平面稱(chēng)為圓雉面的中軸面.一個(gè)球,倘若它與圓雉面的每一條母線都相切,則稱(chēng)其內(nèi)切于圓雉面.顯然與圓雉面相切的球只含于圓雉面的上部或下部,而所有切點(diǎn)的軌跡是圓雉面上的一個(gè)圓.(2)橢圓.如圖1.1.8所示,過(guò)圓雉面的頂點(diǎn)O作平面P′,除點(diǎn)O外P′與圓雉面無(wú)其他公共點(diǎn).平面P與P考察圓雉面的任一軸截面,線段AB是平面P與軸截面的交線,A,B在圓雉面上.點(diǎn)I,I′分離是△OAB的內(nèi)心與旁心,相應(yīng)的內(nèi)切圓與旁切圓切AB于點(diǎn)F和F′.現(xiàn)將平面P及P上的兩點(diǎn)A,B圖1.1.8設(shè)M為截線e上的任一點(diǎn),圓雉的母線OM分離交圓c,c′于點(diǎn)C,C′,則MF,MC與球I相切,MM因而M因?yàn)镃C′是圓雉面的母線被定圓c,c′截得的定長(zhǎng)線段,因此點(diǎn)M到點(diǎn)F,(3)雙曲線.如圖1.1.9所示,過(guò)圓雉面的頂點(diǎn)O作與圓雉相交的平面P′,平面P與P′平行且與圓雉面上、下兩部分分離相截于曲線h,h′兩支,球I,I′與圓雉面及平面P相切,其中與圓雉面的切點(diǎn)的軌跡為圓c,c圖1.1.9設(shè)M為截線上的任一點(diǎn),不妨設(shè)點(diǎn)M在h上.圓雉的母線OM分離交圓c,c′于點(diǎn)C,C′,則MF,MC與球M因而M因?yàn)镃C′是圓雉面的母線被定圓c,c′截得的定長(zhǎng)線段,因此點(diǎn)M到F,如圖1.1.10所示,過(guò)圓雉的一條母線l′作平面P′與圓雉面相切,平面P平行于平面P′截圓雉面于截線p,作球內(nèi)切于圓雉面且切平面P于點(diǎn)F,球與圓雉面的切點(diǎn)的軌跡為圓c,c所在的平面記為Q,平面Q與平面P,P圖1.1.10圓雉的中軸線h垂直于平面Q,a′在Q內(nèi),故h⊥a′;a′與圓c相切于點(diǎn)E′,故a′又垂直于圓c的過(guò)切點(diǎn)E′的半徑,由三垂線定理,可知a′⊥l′.在截線p上任取一點(diǎn)M,銜接MF;設(shè)圓雉的母線OM作直線E′N(xiāo)′經(jīng)過(guò)點(diǎn)N,則E′N(xiāo)′與a都在平面Q上,記E′N(xiāo)′與a的交點(diǎn)為E.E在a上,故E在平面P上;又M,E′分離在平面P,P′上,故由M,E,E′決定的平面與平行平面P和P′分離截于直線MEM′和l易知△OE′N(xiāo)為等腰三角形,故∠故MN=ME;又已經(jīng)證實(shí)MF=MN,因而MF=ME,即點(diǎn)M到點(diǎn)1.1.5由實(shí)際問(wèn)題產(chǎn)生的曲線現(xiàn)實(shí)生活中我們常常看到各種曲線,有許多曲線是由實(shí)際問(wèn)題產(chǎn)生的,懸鏈線就是其中的一例:取一無(wú)伸縮性且屈曲自由的均勻細(xì)線,將其兩端系在同一水平線上的A,B例6試求懸鏈線的方程.解設(shè)細(xì)線自由下垂,最低點(diǎn)為C,取通過(guò)點(diǎn)C的水平線和鉛直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系.顯然,懸鏈線關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng).如圖1.1.11所示,在弧ACB上任取一點(diǎn)Px,y(1)重力G:其方向垂直向下,其大小等于CP這段細(xì)線的重量.若細(xì)線的線密度為r,而CP弧長(zhǎng)為s,則G(2)張力T:它是BP這段細(xì)線對(duì)于CP的作用,其方向在過(guò)點(diǎn)P的切線方向,切線與橫軸正向的夾角記為φ(3)張力H:它是AC這段細(xì)線對(duì)于CP的作用,其方向在過(guò)點(diǎn)C的切線方向.因?yàn)镃是最低點(diǎn),而曲線是圖1.1.11在平衡狀態(tài)下,這三個(gè)力應(yīng)組成力的三角形,這是一個(gè)直角三角形,故T又由G=rs,故tanφ=rsH,若記ad代人即得d此即d這是關(guān)于s的微分方程.分離變量得d兩邊分離積分得∫==又∫故得arcsh但當(dāng)x=0時(shí)s=0,故得arcsh由此得s但sa=d積分得y而當(dāng)x=0時(shí)yy這就是懸鏈線對(duì)于所挑選的坐標(biāo)系的方程.倘若我們將橫軸向下平移一段距離a,則懸鏈線的方程取更容易的形式y(tǒng)1.1.6由特定性質(zhì)決定的曲線我們知道圓的一項(xiàng)重要性質(zhì):圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.若以圓心為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系,則“過(guò)切點(diǎn)的半徑”就是切點(diǎn)的向徑.因而圓上隨意一點(diǎn)的向徑與過(guò)這點(diǎn)的切線垂直.事實(shí)上,這個(gè)性質(zhì)是圓的特征性質(zhì),圓作為曲線即由這個(gè)性質(zhì)決定.例7求證:曲線C是圓,當(dāng)且僅當(dāng)存在一點(diǎn)O,使曲線上每點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)O的向徑(即點(diǎn)O到這點(diǎn)的有向線段)與過(guò)這點(diǎn)的切線垂直.證實(shí)須要性顯然.我們用微積分主意給出充足性的一個(gè)十分容易的證實(shí):如圖1.1.12所示,以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,設(shè)曲線的方程為y=yx,M是曲線上的一點(diǎn),向徑OM與橫軸的夾角為α,過(guò)點(diǎn)M由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得d故得x積分得x這是圓心在原點(diǎn)的圓的方程.圖1.1.12與圓類(lèi)似,有些曲線具有某種特定的性質(zhì),曲線本身即由這種性質(zhì)決定.等角螺線、最速降線(擺線)就是這樣的曲線.倘若曲線上的每一點(diǎn)對(duì)于某定點(diǎn)的向徑與過(guò)這點(diǎn)的切線所夾的角為定角(但不等于直角,否則此曲線為圓),那么,稱(chēng)這樣的曲線為等角螺線.換言之,等角螺線是由“向徑與切線成定角(不為直角)”這種特性決定的.固然,我們應(yīng)該證實(shí)等角螺線的存在性,為此,只需建立等角螺線的方程.例8求等角螺線的方程.如圖1.1.13所示,設(shè)在直角坐標(biāo)系中曲線的方程為y=fx,Mx,y為曲線上的一點(diǎn),OM的斜率為k1=yx,與橫軸的夾角為α1;曲線上過(guò)點(diǎn)M的切線TM與橫軸的夾角為α2tan=(10)圖1.1.13此式亦可轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo),令xy則有yd代人式(10)并化簡(jiǎn),可得tan(11)對(duì)于等角螺線,其上每點(diǎn)的向徑與該點(diǎn)處的切線的夾角α為定角(不為直角),則角的正切tanα為常數(shù),記為ar故r積分得ln由此得等角螺線的極坐標(biāo)方程為r由特征性質(zhì)決定曲線的另一個(gè)聞名的例子是最速降線.設(shè)A,B是同一鉛直平面上不同高度的兩點(diǎn),“質(zhì)點(diǎn)在重力的作用下沿通過(guò)A,B的光潔曲線從A到B,并且要求所歷時(shí)光最短”,由這個(gè)性質(zhì)決定的曲線稱(chēng)為最速降線.直覺(jué)上可能認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)沿線段AB從A滑動(dòng)至B所需時(shí)光最短,而實(shí)際上質(zhì)點(diǎn)沿通過(guò)A,B的擺線從A到B1.1.7作為區(qū)域邊界或分界線的曲線曲線可以作為平面區(qū)域的邊界或相鄰的兩個(gè)平面區(qū)域的分界線.例9如圖1.1.14所示,假設(shè)要在半徑為R的大圓管上垂直地接上一個(gè)半徑為r的小圓管,我們可以先在大圓管上用半徑為r的鉆頭鉆一個(gè)孔,然后把小管接上.但倘若我們直接用白鐵皮制作這個(gè)裝置,那么在做大管時(shí),可以先在鐵皮上挖出一個(gè)孔,使做成大管后這個(gè)孔剛好可以接上小管.這就需要知道鉆了孔的大管在展開(kāi)成平面后孔的邊緣形成的封閉曲線.試求這條曲線.解如圖1.1.15所示,大管是一個(gè)圓柱面,圓柱的中軸線為a.在圓柱面上取一點(diǎn)O,作OP⊥a于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P且與a垂直的平面π截圓柱面,截口是半徑為R的圓周c1.鉆頭沿OP的方向在圓柱面上鉆一孔,孔的邊緣在圓柱面上,是一條空間曲線,M′是孔的邊緣上的一點(diǎn),AM′B是孔的邊緣上的一段,作M′N(xiāo)′//a交圓c1于點(diǎn)N′,則圖1.1.14圖1.1.15過(guò)點(diǎn)M′作平面垂直于OP,則孔的邊緣在此平面上的正投影是半徑為r的圓c2,c2的圓心Q在線段OP上,而M′在c2上.連半徑QM′.因?yàn)镺P⊥圓面c2,故OP⊥QM′;而M′N(xiāo)′⊥π,故OP」M′N(xiāo)′,由此可知,OP⊥M以圓c1的過(guò)點(diǎn)O的切線為橫軸、圓柱的過(guò)點(diǎn)O的母線為縱軸建立直角坐標(biāo)系,將圓柱面沿與孔的邊緣不相交的母線剪開(kāi)并展開(kāi)在坐標(biāo)平面上,這時(shí),圓周c1恰好落在橫軸上.展開(kāi)后孔的邊緣為坐標(biāo)面上的一條封閉曲線,顯然,坐標(biāo)軸為其兩條互相垂直的對(duì)稱(chēng)軸,而原點(diǎn)O為曲線的對(duì)稱(chēng)設(shè)點(diǎn)M′展開(kāi)后為曲線上的點(diǎn)Mx,y,作MNxy由此得θ=xR圖1.1.16有了曲線的方程,則在下料時(shí)用描點(diǎn)的主意畫(huà)出孔的邊緣,這樣,在加工焊接后我們已經(jīng)預(yù)先留出了孔的位置.在下章中我們還將看到曲線作為平面區(qū)域的邊界或不同平面區(qū)域分界線的其他一些有趣的例子(如安全拋物線、可聽(tīng)域的邊界線).1.1.8由已知曲線衍生的曲線由已知曲線通過(guò)變換與操作可以產(chǎn)生新的曲線.1.由圓通過(guò)壓縮變換產(chǎn)生橢圓我們已知橢圓的定義與方程,并且橢圓是平面截圓雉面的一種截線.我們即將看到,橢圓還可以由圓經(jīng)過(guò)壓縮變換而得到.設(shè)l是定直線,k是正的實(shí)常數(shù).對(duì)于平面上的任一點(diǎn)P,作PQ⊥l,點(diǎn)Q是垂足.在射線QP上決定一點(diǎn)P把點(diǎn)P變成P′的變換稱(chēng)為“向著直線l的壓縮變換”,l稱(chēng)為變換的軸,k如圖1.1.17所示,設(shè)C是半徑為a的圓,C的方程為x圖1.1.17我們以橫軸為軸,k=bxy則圓C變?yōu)閤這是長(zhǎng)軸為a,短軸為b的橢圓方程,故圓C經(jīng)此壓縮變換變?yōu)闄E圓.2.圓的漸開(kāi)線設(shè)想在一個(gè)單位圓上依順時(shí)針?lè)较蚶p繞著一根無(wú)限長(zhǎng)的細(xì)線,記圓心為O,細(xì)線的端點(diǎn)為A.現(xiàn)將圓固定,以O(shè)為原點(diǎn),OA為橫軸建立直角坐標(biāo)系,從點(diǎn)A開(kāi)始將細(xì)線拉直且依逆時(shí)針?lè)较驈膱A上漸次展開(kāi),則端點(diǎn)A解如圖1.1.18所示,設(shè)細(xì)線在圓周上的一段弧AB展開(kāi)成為線段MB,M是A到達(dá)的位置,則線段MB與弧AB長(zhǎng)度相等,且與圓周相切于點(diǎn)B.設(shè)弧AB的弧度為t,則弧長(zhǎng)也為t,因而線段設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為Mx,x=y=于是,圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程為xy圖1.1.18容易知道,倘若將一條直線與一個(gè)定圓相切,然后將此直線在圓上無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng),那么,直線上的每一點(diǎn)都畫(huà)出圓的漸開(kāi)線.圓的漸開(kāi)線在實(shí)際問(wèn)題中也得到應(yīng)用,例如,為了減少摩擦,人們將齒輪的齒廓設(shè)計(jì)成圓的漸開(kāi)線的形狀.普通地,取一條已知曲線作為“母線”,利用母線舉行某種操作以衍生新的曲線,蔓葉線及蚌線與心臟線就是這樣生成的,我們將在第1.2節(jié)中研究.上面我們給出了產(chǎn)生(或決定)曲線的幾種主意.應(yīng)該指出,這種種主意所產(chǎn)生的都是詳細(xì)的曲線.它們從不同的方面擴(kuò)大“曲線”這個(gè)概念的“外延”,但都不曾給出曲線的定義.普通地回答“什么是曲線”的問(wèn)題或給出曲線的定義不是本書(shū)的目的,對(duì)此,我們只在附錄中作簡(jiǎn)要的說(shuō)明.1.2曲線的表示曲線有三種常用的表示法:特征性質(zhì)表示、方程表示、復(fù)數(shù)表示.其中,曲線的方程有三種基本類(lèi)型:直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程.1.2.1用特征性質(zhì)表示曲線用特征性質(zhì)表示曲線有兩種類(lèi)型:(1)用曲線上的點(diǎn)的特征性質(zhì)表示,即將曲線表示為具有某種性質(zhì)的點(diǎn)的軌跡,如圓、橢圓、拋物線、雙曲線等都是這樣決定的;（2）用曲線本身的特征性質(zhì)表示,如等角螺線、最速降線等.這些都已經(jīng)在前面研究過(guò).應(yīng)該指出的是,同一類(lèi)曲線可以兼有這兩種表示,例如,圓既可以用其點(diǎn)的特性定義為“到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡”;也可以由其本身的特性“曲線上每點(diǎn)的向徑與過(guò)這點(diǎn)的切線垂直”確定;下節(jié)還將證實(shí)“在周長(zhǎng)一定的所有平面封閉曲線中所圍面積最大的曲線必然是圓”,所以圓也就由其本身的這一極值特性而決定.用特征性質(zhì)表示曲線,一方面為用綜合法研究曲線提供了基礎(chǔ);同時(shí),從特征性質(zhì)出發(fā),引人坐標(biāo)系以建立曲線方程,又為用代數(shù)主意研究曲線開(kāi)啟了途徑.1.2.2用直角坐標(biāo)方程表示曲線在學(xué)習(xí)函數(shù)及解析幾何時(shí)我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)用直角坐標(biāo)方程表示曲線.應(yīng)該指出的是,曲線方程并不都是函數(shù)方程,例如,圓的方程x2+y2y則此式實(shí)質(zhì)上是兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式的合寫(xiě).例1蔓葉線.前面我們研究過(guò)有些曲線可由已知曲線經(jīng)變換或操作而生成,蔓葉線就是這樣的一類(lèi)曲線.我們研究?jī)煞N蔓葉線并用直角坐標(biāo)方程表示.1.母線為圓的蔓葉線如圖1.2.1所示,以點(diǎn)C為圓心作半徑為a的圓,OA是圓的一條直徑,l是過(guò)點(diǎn)A的切線.對(duì)l上的一點(diǎn)B,設(shè)線段OB交圓于點(diǎn)D,在OB上取點(diǎn)P,使OP=DB.當(dāng)點(diǎn)B在l上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P描畫(huà)的曲線稱(chēng)為以圓C為母線的蔓葉線.直觀地說(shuō),蔓葉線上的點(diǎn)P使線段OP恰等于射線O(1)圖1.2.1我們用直角坐標(biāo)方程表示蔓葉線.以O(shè)為原點(diǎn),直線OA為橫軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為Px,y,且記OOO可得x=但tanθ=x化簡(jiǎn)即得以圓C為母線的蔓葉線的方程y2.母線為矩形的蔓葉線如圖1.2.2所示,取矩形ABCD,其邊長(zhǎng)為AB=2a,BC=2b.點(diǎn)O為AD的中點(diǎn),直線l通過(guò)BC.對(duì)于l上的點(diǎn)M,作OM交矩形的一邊于點(diǎn)N,在OM上截取OPO(2)為了得到此蔓葉線的直角坐標(biāo)方程表示,我們以O(shè)為原點(diǎn),直線AD為縱軸建立直角坐標(biāo)系,BC交橫軸于點(diǎn)E,則OE圖1.2.2設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為Px,y.作PQ//y軸交x軸于點(diǎn)Q△故P(3)又OP=△因而MM代人式(3),得y化簡(jiǎn)即得以矩形ABCy例2給定線段BC=a∠的點(diǎn)A的軌跡.解所求軌跡是一條曲線,我們用直角坐標(biāo)方程表示這條曲線.如圖1.2.3所示,以B為原點(diǎn),BC為橫軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)Ax,y是曲線上的一點(diǎn),作AD⊥B圖1.2.3記BC=a,則顯然x≥a2.記θxy由此得tanθ=y=即2故得曲線方程3倘若用配主意將方程化為x則可見(jiàn)這是一條雙曲線的右支.1.2.3用極坐標(biāo)方程表示曲線1.蚌線與心臟線設(shè)l為定直線,a為定長(zhǎng)線段.在l的一側(cè)取定點(diǎn)O,對(duì)l上的點(diǎn)M,銜接OM并延伸OM至點(diǎn)P,使MP=a.當(dāng)點(diǎn)M在l圖1.2.4我們建立蛙線的極坐標(biāo)方程.取O為極點(diǎn),與l垂直的直線OX為極軸,建立極坐標(biāo)系.設(shè)OX交l于點(diǎn)K,則OK為定長(zhǎng),記∠則Or故得蚌線方程為r按照蚌線的定義,我們可以設(shè)計(jì)如圖1.2.5所示的描畫(huà)參數(shù)為m和a的蚌線的工具,它由一條帶筆尖C的直尺和一條丁字尺組成,直尺和丁字尺的長(zhǎng)臂上各開(kāi)一條槽,丁字尺上固定滑輪A,直尺上固定滑輪B,且A,B均可以在槽中自由滑動(dòng),這時(shí),筆尖C畫(huà)出參數(shù)為m和a的蚌線.我們不妨將這個(gè)畫(huà)蚌線的工具就叫作“蚌線規(guī)”,為了畫(huà)出不同的蚌線,可以將它設(shè)計(jì)成筆尖C的位置即BC考察蛙線的方程,我們看到其右邊的第一項(xiàng)r=mcosθ是與極點(diǎn)相距m且與極軸垂直的直線l的方程,而第二項(xiàng)為常數(shù)a,囫圇方程表示將直線l上每點(diǎn)的向徑延伸定長(zhǎng)a,這正巧就是蚌線的定義.倘若我們用其他曲線代替直線l,則用生成蚌線的主意可以得到許多曲線.例如,用圓心在極軸上,通過(guò)極點(diǎn)而直徑為a的圓c代替直線l,若把c上每一點(diǎn)的向徑都沿向徑的方向延伸定長(zhǎng)a,則得到的曲線其形如心臟,故稱(chēng)為心臟線,如圖1.2.6所示.易知c的極坐標(biāo)方程為r圖1.2.5圖1.2.62.圓雉曲線的統(tǒng)一定義與方程我們已經(jīng)知道,用點(diǎn)的軌跡分離定義的橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱(chēng)為圓雉曲線,這是因?yàn)樗鼈兌际瞧矫娼貓A雉面的截線.而利用極坐標(biāo),我們可進(jìn)而得到圓雉曲線的統(tǒng)一的定義與方程.“到定點(diǎn)F與定直線l的距離之比等于定值e的點(diǎn)的軌跡”稱(chēng)為圓雉曲線,e稱(chēng)為圓雉曲線的離心率.如圖1.2.7所示,作FG⊥l于點(diǎn)G,記FG=p.以定點(diǎn)F為極點(diǎn),以FG設(shè)Mr,θ是圓雉曲線上的任一點(diǎn),作MN⊥lM即r由此得r(4)這是圓雉曲線的極坐標(biāo)方程.圖1.2.7(1)當(dāng)e=1時(shí),如圖1.2.8所示,以FG的中點(diǎn)O為原點(diǎn),極軸為橫軸建立直角坐標(biāo)系,則對(duì)于點(diǎn)Mr,θxy因而x由圓雉曲線的極坐標(biāo)方程可知r用坐標(biāo)變換關(guān)系式代人,得r兩邊平方消去r并化簡(jiǎn),得y這是拋物線的方程,故e=1圖1.2.8(2)當(dāng)0<e<1時(shí),如圖1.2.9所示,取FG的內(nèi)分點(diǎn)A,使AF:AG=e;取AF的外分點(diǎn)O,使OF:Ap以O(shè)為原點(diǎn),橫軸與極軸重合,建立直角坐標(biāo)系,則對(duì)于Mr,θ在此直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)xy因而x由圓雉曲線的極坐標(biāo)方程可知r故a圖1.2.9用p的表達(dá)式及坐標(biāo)變換關(guān)系式代人,得a兩邊平方消去r并化簡(jiǎn),得a令a2?x這是橢圓的方程,故0<e<1時(shí)的圓雉曲線為橢圓.(3)當(dāng)e>1時(shí),如圖1.2.10所示,取FG的內(nèi)分點(diǎn)A,使AF:AG=e;取AF的外分點(diǎn)O,使Ap圖1.2.10以O(shè)為原點(diǎn),橫軸與極軸重合,建立直角坐標(biāo)系,則對(duì)于Mr,θ在此直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)xy因而x由圓雉曲線的極坐標(biāo)方程可知r故a用p的表達(dá)式及坐標(biāo)變換關(guān)系式代人并化簡(jiǎn),得c令c2?x這是雙曲線的方程,故e>1由上面的研究可知,我們給出的圓雉曲線的定義是拋物線、橢圓、雙曲線的統(tǒng)一定義,而在極坐標(biāo)系中給出的方程(4)是它們的統(tǒng)一方程.1.2.4用參數(shù)方程表示曲線在建立直角坐標(biāo)系或極坐標(biāo)系以后,所謂用方程表示曲線,就是指出曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)x,y或r,θ所應(yīng)滿意的關(guān)系.往往碰到這樣的情況:要直接找出點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系十分艱難,或者這種關(guān)系表示起來(lái)十分復(fù)雜,這時(shí),我們就設(shè)法通過(guò)“中介”以建立坐標(biāo)之間的間接關(guān)系.通常用“參數(shù)”來(lái)作為中介:把兩個(gè)坐標(biāo)(x,y或r,θ)在解析幾何課程中我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)常見(jiàn)的一些曲線在直角坐標(biāo)系或/和極坐標(biāo)系中的參數(shù)方程表示.我們考察一個(gè)實(shí)際問(wèn)題:已知射線OX,在其上的點(diǎn)M0處有一只螞蟻,OM0=r0.設(shè)射線從OX開(kāi)始以角速度φ繞點(diǎn)O勻速旋轉(zhuǎn),同時(shí)螞蟻則從點(diǎn)解以O(shè)為極點(diǎn),OX為極軸建立極坐標(biāo)系.記時(shí)刻t螞蟻所到達(dá)的位置為Mrr此式是等速螺線在極坐標(biāo)系中的參數(shù)方程.消去t,并記α=vr圖1.2.11等速螺線是一條往復(fù)地環(huán)抱極點(diǎn)的環(huán)形曲線;過(guò)極點(diǎn)的每一條射線與等速螺線相交的交點(diǎn)勻稱(chēng)地分布在射線上.倘若考察一個(gè)固定的交點(diǎn),那么,當(dāng)射線勻速地繞極點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),這個(gè)交點(diǎn)將勻速地沿射線運(yùn)動(dòng).應(yīng)用這個(gè)原理,我們可以設(shè)計(jì)一種利用凸輪化轉(zhuǎn)動(dòng)為平動(dòng)的裝置.1.2.5用含復(fù)變數(shù)的方程表示曲線復(fù)數(shù)表示復(fù)平面上的點(diǎn),故可用復(fù)變方程表示曲線:它是滿意方程的所有復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)的集合(軌跡).1.用含復(fù)數(shù)表示點(diǎn)在平面上建立直角坐標(biāo)系,以橫軸作實(shí)軸,縱軸為虛軸,復(fù)數(shù)z=x+yi用點(diǎn)Zx,y表示,x,y分離稱(chēng)為用復(fù)數(shù)表示點(diǎn),則復(fù)數(shù)z=x+yi的模z表示原點(diǎn)Oz兩點(diǎn)Z1,Z2之間的距離為Z1Z2=z1下面是一道常見(jiàn)的例題,我們給出一個(gè)新奇而容易的解法.例3已知:復(fù)數(shù)z1,zz求證:對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z1,證實(shí)只要證實(shí)這四點(diǎn)中隨意兩點(diǎn)的連線的長(zhǎng)等于其余兩點(diǎn)的連線的長(zhǎng),則四邊形的對(duì)邊相等,因而為平行四邊形;對(duì)角線也相等,因而為矩形.由z1+z即z=但z1=z于是有z=即z故得ZiZ2.用復(fù)變數(shù)方程(或含復(fù)變數(shù)的不等式)表示曲線(或平面區(qū)域)以點(diǎn)Z0為圓心,半徑為Rz復(fù)數(shù)方程Rez=a表示通過(guò)點(diǎn)a,0且與縱軸平行的直線,Imz=以Z0為圓心,半徑分離為R,r不等式a≤Imz≤b表示過(guò)點(diǎn)a,0,b,3.復(fù)變函數(shù)表示平面上的點(diǎn)的變換以復(fù)數(shù)為自變量的函數(shù)稱(chēng)為復(fù)變函數(shù).函數(shù)w=fz把復(fù)平面上的點(diǎn)Z變換為點(diǎn)W,因而把平面上的曲線或區(qū)域變換為新的曲線或區(qū)域.倘若把Z,W分離看成Z平面和W平面上的點(diǎn),則函數(shù)w=fz可看成例4Z0≠0為復(fù)平面上的定點(diǎn),Z1為動(dòng)點(diǎn),其軌跡方程為z1?z0=z解將z1=?1z?兩邊同乘以?zzz故所求軌跡為以?1z0為圓心,例5已知l為銜接復(fù)平面上2和2i兩點(diǎn)的直線,函數(shù)w=z2是Z平面到W平面的映射,如圖1.2.12所示,求l在此映射下在圖1.2.12解令w=uu展開(kāi)得u由已知條件可知l的直角坐標(biāo)方程為x+yu=由此解得v故函數(shù)w=z2把直線1.2.6曲線的作圖我們以橢圓的畫(huà)法為例,說(shuō)明曲線作圖的一些常用的主意.主意1:釘繩法.按照橢圓的定義,在平面上釘兩個(gè)釘子作為焦點(diǎn)F1,F2,其間的距離為2c;再用一根長(zhǎng)度為2a+ca>c的繩子結(jié)成一環(huán),套在釘好的釘子上.用一支筆M將繩子時(shí)刻繃緊,形成以F1F2為底的三角形MF1F2(圖1.2.13),則無(wú)論M的位置如何變化,M到F1,F2的距離之和恒為定值2x主意2:橢圓規(guī)法.橢圓規(guī)由一個(gè)十字形的槽和一根畫(huà)桿組成.堅(jiān)槽內(nèi)嵌有滑輪A,可以在槽內(nèi)上下滑動(dòng);橫槽內(nèi)嵌有滑輪B,可以在槽內(nèi)左右滑動(dòng).畫(huà)桿的長(zhǎng)度可以自由調(diào)節(jié),其一端鉸接在滑輪A上,另一端帶一支畫(huà)筆M,滑輪B可以鉸接在畫(huà)桿中間的隨意位置(圖1.2.14).圖1.2.13圖1.2.14倘若要畫(huà)出長(zhǎng)半軸為a,短半軸為b的橢圓,則將畫(huà)桿長(zhǎng)調(diào)節(jié)為MA=a,而滑輪B鉸接在畫(huà)桿上,使MB=b.讓滑輪A,橢圓規(guī)的原理十分容易:以十字形槽的中央O為原點(diǎn),兩中軸線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系,記筆尖所在的點(diǎn)的坐標(biāo)為Mx,y,xy這恰是橢圓的參數(shù)方程,當(dāng)θ從0變到2π時(shí),點(diǎn)M描畫(huà)囫圇主意3:描點(diǎn)法.利用橢圓的性質(zhì)描出橢圓上的充足多的點(diǎn),然后依次連線,就可以畫(huà)出橢圓.因?yàn)闄E圓既軸對(duì)稱(chēng),又中央對(duì)稱(chēng),所以我們可以只描點(diǎn)畫(huà)出橢圓的一半或四分之一,然后利用對(duì)稱(chēng)性畫(huà)出囫圇橢圓.這里推薦兩種描點(diǎn)的主意.(1)倘若要畫(huà)出長(zhǎng)半軸為a,短半軸為b的橢圓,我們?nèi)∫粋€(gè)長(zhǎng)為2a,寬為2b的矩形ABCD.如圖1.2.15所示,將矩形的邊BC,CD,DA均n等分,則折線BCDA被分成3n段,從B到A將各分點(diǎn)依次編號(hào)為0,1,?,n;n+1,?,2圖1.2.15為了證實(shí)這個(gè)作法的合理性,我們注重到所描出的點(diǎn)是左右對(duì)稱(chēng)地分布的,故只需證實(shí)在矩形右邊的一半中描出的點(diǎn)在所要畫(huà)的橢圓上.以A為原點(diǎn),AB,AD為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系.易見(jiàn)A,B的坐標(biāo)分離為A0,0,B2a,0;分點(diǎn)yy這兩直線的交點(diǎn)Mi0≤i≤n應(yīng)同時(shí)滿意這兩個(gè)方程.將這兩個(gè)方程相乘消去nx(2)倘若要畫(huà)出長(zhǎng)半軸為a,短半軸為b的橢圓,我們建立直角坐標(biāo)系.如圖1.2.16所示,以原點(diǎn)O為圓心作半徑分離為a,b的兩個(gè)同心圓,作大圓的半徑OA交小圓于點(diǎn)B.過(guò)點(diǎn)A,B分離作橫軸、縱軸的垂線相交于點(diǎn)M.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為Mxxy圖1.2.16這恰是橢圓的參數(shù)方程,點(diǎn)M在要求作的橢圓上.用這樣的主意在第一象限描出充足多的點(diǎn)并依次連線,即得到橢圓在第一象限中的弧,然后按照對(duì)稱(chēng)性即可畫(huà)出囫圇橢圓.1.3研究曲線的主意在上面向曲線的研究中我們應(yīng)用了各種各樣的主意,歸納起來(lái)可以看到,研究曲線有三類(lèi)重要的主意:綜合法、代數(shù)法、分析法.本節(jié)我們進(jìn)一步概述這些主意并相應(yīng)地考察運(yùn)用這些主意的幾個(gè)典型的例子.1.3.1綜合法:幾何主意囫圇初等幾何都是用綜合法研究幾何圖形,其中包括直線與圓.在研究用平面截圓雉面而得到三類(lèi)圓雉曲線時(shí)我們所用的也是綜合法.所以綜合法是我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)的一種初等主意.綜合法因?yàn)槌醯?所以在數(shù)學(xué)中是其他主意的基礎(chǔ);同時(shí),用綜合法也能得到許多深刻的結(jié)果.前面我們用坐標(biāo)主意建立了作為“到兩定點(diǎn)的距離之比等于定值的點(diǎn)的軌跡”的阿波羅圓的方程,這個(gè)軌跡是圓是我們通過(guò)計(jì)算“算”出來(lái)的;下面我們將用綜合法“推”出這個(gè)軌跡是圓.我們將發(fā)現(xiàn):“推”比“算”更能反映事情的本質(zhì).例1證實(shí):到兩定點(diǎn)的距離之比等于定值(不為1)的點(diǎn)的軌跡是圓.證實(shí)設(shè)兩定點(diǎn)為A,B,ρ,σ為給定的正數(shù),不妨設(shè)ρ>σ.設(shè)設(shè)點(diǎn)M和N分離按定比M內(nèi)分和外分線段AB,銜接PMPP及“三角形內(nèi)角(外角)平分線”定理(三角形一個(gè)內(nèi)角(外角)的平分線內(nèi)分(外分)對(duì)邊所得的兩條線段與這個(gè)角的兩鄰邊成比例;其逆亦真),可知PM,PN分離為△PAB在頂點(diǎn)P處的內(nèi)角和外角的平分線,因而PM⊥PN,即點(diǎn)P在線段圖1.3.1下面我們證實(shí)圓的一項(xiàng)重要的極值特性,這是用綜合法研究曲線的一個(gè)聞名的例子,證實(shí)的主意屬于近世幾何學(xué)家施泰納.例2在周長(zhǎng)一定的所有平面封閉曲線中,所圍面積最大的曲線必然是圓周.證實(shí)分以下三步:(1)周長(zhǎng)固定的封閉曲線所圍成的圖形中,面積最大的必然是凸圖形.一個(gè)圖形是凸的,則其周界上隨意兩點(diǎn)的銜接線段徹低落在圖形的內(nèi)部.倘若Φ不是凸圖形,則存在兩點(diǎn)的連線不徹低落在Φ的內(nèi)部,其上必有一段線段除端點(diǎn)落在Φ的邊界而外徹低落在Φ的外部,記為AC.我們以AC為對(duì)稱(chēng)軸將ABC反射為AB*C(圖1.3.2),則ABC與AB*C長(zhǎng)度相等,因而以AB*C代替ABC所得到的圖形Φ*與圖形Φ有相同的周長(zhǎng),但Φ*圖1.3.2(2)倘若周長(zhǎng)固定的封閉曲線所圍成的圖形Φ具有最大面積,則任一平分Φ的周長(zhǎng)的弦必平分Φ的面積.由(1),Φ是凸圖形,故Φ的弦必落在Φ的內(nèi)部.如圖1.3.3所示,設(shè)平分Φ的周長(zhǎng)的弦AB分Φ為ACB和ADB兩部分.若這兩部分面積不相等,不妨設(shè)ADB的面積較大.我們以AB為對(duì)稱(chēng)軸將ADB反射到AB的另一側(cè)得到AD*B,D*是D的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),且以AD*B代替ACB得到圖形Φ*(3)現(xiàn)考察(2)中的圖形Φ*,它是以直線AB為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形.銜接AD,ADA由AD和AD圍成的圖形I與由AD*和AD*圍成的圖形II全等;由BD和BD圍成的圖形II與由BD圖1.3.3倘若∠ADB不為直角,則我們以與線段AD,BD等長(zhǎng)的線段AD、BD為直角邊作直角三角形△>=故四邊形ADBD*的面積>2△=又由AB我們可將圖形I,II,IV,II分離拼在四邊形ADBD*的外部而得到圖形Φ,圖1.3.4于是我們證得,當(dāng)Φ具有最大面積時(shí),曲線上的任一點(diǎn)D對(duì)AB所張的角是直角,即點(diǎn)D在以AB為直徑的圓周上,故Φ仔細(xì)的讀者興許已經(jīng)注重到,施泰納的上述證實(shí)關(guān)鍵在于平分Φ的周長(zhǎng)的弦的存在性,對(duì)此我們不作深人研究.圓的這個(gè)極值特性容易用高等數(shù)學(xué)中的“變分法”證實(shí),是變分法的典型例子.事實(shí)上,對(duì)圓的這個(gè)性質(zhì)的研究直接推進(jìn)了變分法的產(chǎn)生和發(fā)展.1.3.2代數(shù)法:坐標(biāo)主意笛卡兒發(fā)現(xiàn)的坐標(biāo)法把數(shù)學(xué)中研究的“數(shù)”與“形”交流和結(jié)合起來(lái),對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展所起的作用是不可預(yù)計(jì)的.囫圇解析幾何就是用坐標(biāo)法研究曲線,在解析幾何中我們已經(jīng)深深地體味到數(shù)形結(jié)合的思想及代數(shù)主意的優(yōu)越性.我們都知道,過(guò)圓外一點(diǎn)可以作圓的兩條切線.倘若以圓的兩條互相垂直的半徑為一個(gè)正方形的一組鄰邊作正方形,則過(guò)此正方形在圓外的頂點(diǎn)所作圓的兩條切線互相垂直,而這個(gè)頂點(diǎn)與圓心的距離恰為圓的半徑的2倍.容易證實(shí):倘若過(guò)一點(diǎn)作已知圓的兩條切線互相垂直,那么,這樣的點(diǎn)的軌跡是圓心在已知圓的圓心,半徑為已知圓半徑的2倍的一個(gè)同心圓.例3已知過(guò)一點(diǎn)P作給定的拋物線y=x解設(shè)切點(diǎn)為x1,x12,x2,x22,如圖1.3.5所示.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,過(guò)這兩點(diǎn)的切線的斜率分離為2x1ll圖1.3.5于是xx故x1,z的解,由韋達(dá)定理,有x(1)但兩條切線互相垂直,故2(2)比較式(1)和式(2)可得y(3)式(3)為所求的軌跡方程,它是平行于x軸的一條直線,恰是這條拋物線的準(zhǔn)線.下面的例4推廣了1.1.3節(jié)例4的結(jié)果,它給出了圓雉曲線作為一類(lèi)曲線的集合的整體性質(zhì).例4離心率相同的圓雉曲線相似,異常地,所有拋物線都相似.拋物線的離心率都等于1,我們已經(jīng)證實(shí)所有拋物線都相似.設(shè)橢圓e1,e2的離心率都等于e因而b故e1,b設(shè)這兩個(gè)橢圓的方程分離為x直線l:y=kx與e1,e2分離交于M1x但b1ax又x1,x2同號(hào),故O與k無(wú)關(guān),故e1與e2是以原點(diǎn)為位似中央,b圖1.3.6同樣的主意可證:離心率相等的雙曲線都相似.下面我們用坐標(biāo)主意證實(shí)關(guān)于圓雉曲線的光學(xué)性質(zhì)的聞名的結(jié)果.如圖1.3.7所示,設(shè)MN為平面鏡,光芒AO照耀到鏡面上的O點(diǎn)然后沿O∠圖1.3.7作AH⊥MN,垂足為點(diǎn)H;延伸AH與直線BO∠易知△AOA′為等腰三角形,OH垂直平分AA′,因而A′是A關(guān)于直線MN的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn),而反射線OB重合于A′O.這說(shuō)明:倘若通過(guò)點(diǎn)A的光芒照到鏡面MN上的O點(diǎn)而A′在直角坐標(biāo)系中,倘若點(diǎn)A的坐標(biāo)為Ax1,y1,AH⊥MN于點(diǎn)H,則H是A與其軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的連線AA′的中點(diǎn).記點(diǎn)Hx因而點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′x一條光芒照耀到一條曲線上的一點(diǎn)而被曲線反射,就是在曲線的這點(diǎn)放置一面鏡子與曲線相切,光芒依反射定律被鏡子反射.(1)倘若將光源置于拋物線的一個(gè)焦點(diǎn)上,則光芒經(jīng)拋物線反射后成為平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的一束平行光芒.證實(shí)在直角坐標(biāo)系中,設(shè)拋物線的方程為x2=2py,則其焦點(diǎn)為F0,p2,準(zhǔn)線為l:y=?p2.設(shè)Ma,b(其中y圖1.3.8即y(4)在拋物線的焦點(diǎn)的光源射向這點(diǎn)的光芒將由拋物線反射,根據(jù)反射定律,人射角應(yīng)等于反射角.作焦點(diǎn)F關(guān)于切線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Ns,t,直線NN′∠故反射線應(yīng)重合于MN′我們求點(diǎn)Ns,t的坐標(biāo).因?yàn)榻裹c(diǎn)F與點(diǎn)Ns,ty(5)聯(lián)立式(4)與式(5),可求得x=a2,這是直線FN與切線PQ的交點(diǎn)G的橫坐標(biāo).但G是線段FN的中點(diǎn),故點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為s=2×a2?0=a所以,從焦點(diǎn)F發(fā)出的所有光芒經(jīng)拋物線反射后成為平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的一束平行光芒.若將拋物線繞其對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)一周,則形成一個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物面.人們將拋物面做成反光面,并且在焦點(diǎn)處放置強(qiáng)光源,就可以得到能夠照耀很遠(yuǎn)的強(qiáng)平行光束,這就是探照燈.從上述證實(shí)可以看出,點(diǎn)N是焦點(diǎn)F關(guān)于直線PQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),故MF=MN;又MN平行于縱軸,故M推論拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于拋物線的隨意一條切線的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在拋物線的準(zhǔn)線上.(2)倘若將光源置于雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)上,則光芒經(jīng)雙曲線反射后,就像是從雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射出來(lái)的一樣.用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述這個(gè)性質(zhì)就是:從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光芒直射到雙曲線上的一點(diǎn)并且被雙曲線反射,則反射線的反向延伸線必過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).證實(shí)如圖1.3.9所示,設(shè)雙曲線的方程為x即b圖1.3.9其焦點(diǎn)為F1cyd設(shè)Ms,tb在這點(diǎn)的切線MT的斜率為k=b2sa2t,又射線F1M,F2M的斜率分別為k1=ts?c,k2=ts+ctan將k,ktan==同樣可得tan故有tan從而α1=α2.但射線F1M為人射線,故射線F2M重合于反射線,即反射線恰通過(guò)F用盡全類(lèi)似的主意可以證實(shí)橢圓的光學(xué)性質(zhì):(3)倘若將光源置于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上,則光芒經(jīng)橢圓反射后,都通過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn).1.3.3分析法:微積分法牛頓、萊布尼茨發(fā)現(xiàn)的微積分是數(shù)學(xué)史上最偉大的成就之一,它為研究數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)世界提供了強(qiáng)有力的工具,微積分法理所當(dāng)然地成為研究曲線的一種重要的主意.前面關(guān)于用切線的性質(zhì)(切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的向徑)可以決定圓就是用這種主意證實(shí)的.可以看到,這個(gè)證實(shí)極其容易,是其他主意不能比擬和難以做到的.等角螺線、懸鏈線的方程也是用微積分主意求得的.在第2章我們還將用微分法解決最速降線的問(wèn)題.下面我們?cè)倥e一個(gè)用微積分法求曲線方程的例子.例5用微積分法求擺線方程.設(shè)圓O在一條直線上無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng),取運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)圓與直線相切的切點(diǎn)P為原點(diǎn),這條直線為橫軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)圓的半徑為1,則圓的周長(zhǎng)為2π;設(shè)圓繞圓心旋轉(zhuǎn)的角速度為1,則在時(shí)刻t,此圓旋轉(zhuǎn)的弧度為t,其轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)為t這時(shí),圓周上的點(diǎn)同時(shí)參加了兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng):(1)在圓心的帶動(dòng)下沿直線平動(dòng),速度為1,方向沿橫軸正向;(2)繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng),角速度為1,但圓的半徑為1,故轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度為1,線速度沿圓在該點(diǎn)的切線方向.從圖1.3.10中可以看出,在時(shí)刻t,圓旋轉(zhuǎn)(即滾動(dòng))角t,圓心前進(jìn)到O′,而圓與直線相切于點(diǎn)H,原切點(diǎn)P到達(dá)圓O′上的點(diǎn)P∠轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度沿圓O′上過(guò)點(diǎn)P′的切線的方向.從圖1.3.10中可以看出此線速度與橫軸正向的夾角為πvv于是點(diǎn)P′d(6)d圖1.3.10式(6)即為點(diǎn)P的軌道(擺線)的微分方程,積分得xy當(dāng)t=0時(shí),P′在原點(diǎn),故C我們求得擺線的方程為xy與前面的結(jié)果一致.對(duì)于曲線,我們應(yīng)該協(xié)助普通曲線自身的性質(zhì):如曲線的長(zhǎng)度、曲線彎曲的程度(曲率)、曲線彎曲的方向及其變化(高低性與拐點(diǎn))等.這些都需要用微積分的概念和語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà),用微積分的主意舉行研究.在中學(xué)階段我們僅限于微積分初步,要將微積分用于曲線的研究,我們還需要進(jìn)一步的學(xué)習(xí).1.4關(guān)于曲線應(yīng)用的幾個(gè)容易例子曲線的應(yīng)用是廣泛的,本節(jié)僅研究曲線在幾何、計(jì)算及實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用的幾個(gè)容易的例子.1.4.1曲線在幾何中的應(yīng)用曲線本身就是幾何圖形,對(duì)曲線的研究豐盛了幾何學(xué)的內(nèi)容.作為例子,我們研究利用曲線三等分已知角.我們已經(jīng)知道,倘若只用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺,則三等分角是聞名的幾何作圖不能問(wèn)題.有趣的是,利用蚌線或等軸雙曲線,我們可以完成三等分角的作圖.例1利用曲線三等分已知角.主意1:利用蚌線.已知:∠PO求作:13∠作法:(1)取蛙線規(guī)(見(jiàn)圖1.2.5),使點(diǎn)A重合于角的頂點(diǎn)O,丁字尺上的槽的中軸線l垂直于∠POQ的邊OQ且交OP于點(diǎn)B,調(diào)節(jié)筆尖C的位置,使BC(2)過(guò)點(diǎn)B作BN//OQ交蚌線b(3)作射線ON,則∠N圖1.4.1證實(shí)如圖1.4.1所示,設(shè)ON交l于點(diǎn)L,取LN的中點(diǎn)M,連BM,則BM為直角三角形LBN∠又點(diǎn)N在蛙線b上,故LN=O故∠又BN//OQ∠由此得到∠主意2:利用等軸雙曲線.已知:∠AO求作:13∠作法:(1)以點(diǎn)O為原點(diǎn),OB為橫軸建立直角坐標(biāo)系,且于第一象限中作等軸雙曲線y=1x的一支與OA(2)以點(diǎn)P為圓心,2OP為半徑作圓交此雙曲線于點(diǎn)R(3)以PR為一條對(duì)角線作矩形PQ(4)作射線OM,則∠M圖1.4.2證實(shí)因?yàn)辄c(diǎn)P,R都在雙曲線y=1x上,故設(shè)其坐標(biāo)分離為Pa,1a,Rb,1b,于是點(diǎn)Q,M的坐標(biāo)分離為Qa,1b,Mb,1a設(shè)G為矩形兩對(duì)角線PR,QM的交點(diǎn),則PG=GR=MG,又PR=2OP,故∠=由此即得∠MO從圖1.4.1與圖1.4.2的兩種作法的證實(shí)過(guò)程易見(jiàn)除所利用的曲線不同外,其核心原理是類(lèi)似的.而當(dāng)已知角為鈍角時(shí),可先將其平分為兩部分,這時(shí),每部分都是銳角,用上面的作法作出其三分之一,然后加倍,就得到已知角的三分之一.另一個(gè)聞名的幾何作圖不能問(wèn)題是倍立方體問(wèn)題:求作一個(gè)立方體,使其體積為已知立方體的2倍.若已知立方體的棱長(zhǎng)為a,則問(wèn)題歸結(jié)為求32a下面是利用圓雉曲線設(shè)計(jì)的解倍立方體問(wèn)題的主意:在a與2a之間插人兩個(gè)比例中項(xiàng)x,a則有x如圖1.4.3所示,這里有兩條拋物線和一條等軸雙曲線.容易求出這三條曲線有一個(gè)公共的交點(diǎn)M32圖1.4.31.4.2利用曲線舉行計(jì)算我們?cè)谥袑W(xué)教材中已經(jīng)學(xué)過(guò)圖像法解方程(組),其本質(zhì)就是利用曲線舉行計(jì)算.例如,二元一次方程組4的解就是直線l的交點(diǎn)M3,x的解就是拋物線y=x2?5x+6與橫軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或拋物線y=x2與直線y=5x?6的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).倘若我們能夠確切地繪制y=x2下面是利用蔓葉線設(shè)計(jì)的求正數(shù)的立方根主意.如圖1.4.4所示,取直徑為1的圓為母線作一條蔓葉線,其方程為y在縱軸上取OD=a,Ay圖1.4.4此直線與蔓葉線的交點(diǎn)P的縱、橫坐標(biāo)的立方之比為y故yx=3a,因而點(diǎn)P在直線y=3ax上,它就是直線OP.記OP與直線x由上面的推導(dǎo)我們得到利用蔓葉線開(kāi)立方的主意:(1)在縱軸上取點(diǎn)D0,(2)連AD交蔓葉線于點(diǎn)P(3)作直線OP交直線x=1于點(diǎn)B,則異常的,當(dāng)取OD=2時(shí),在計(jì)算機(jī)問(wèn)世之前,為解決數(shù)值計(jì)算問(wèn)題人們想盡了各種辦法,如算盤(pán)、手搖計(jì)算機(jī)、對(duì)數(shù)表、對(duì)數(shù)計(jì)算尺、諾謨圖等.其中諾謨圖就是按照詳細(xì)計(jì)算的需要利用曲線設(shè)計(jì)的各式各樣的算圖.有了電子計(jì)算機(jī)后,上面的這些計(jì)算工具都成為了歷史,只剩下數(shù)學(xué)主意本身的意義.1.4.3利用曲線解決實(shí)際問(wèn)題曲線在生產(chǎn)和生活的實(shí)際問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用,下面是機(jī)械設(shè)計(jì)的一個(gè)容易例子.在機(jī)械上我們常用凸輪及其從動(dòng)桿化轉(zhuǎn)動(dòng)為平動(dòng).凸輪的邊緣是封閉的光潔曲線,其中央是曲線內(nèi)部的一點(diǎn),凸輪可繞中央自由轉(zhuǎn)動(dòng).凸輪邊緣上的每一點(diǎn)與中央的銜接線段都稱(chēng)為半徑.以凸輪的中央為圓心、最小半徑為半徑的圓稱(chēng)為凸輪的基圓.從動(dòng)桿可沿某個(gè)方向(設(shè)為上下方向)自由滑動(dòng),從動(dòng)桿的桿尖與凸輪的邊緣接觸.當(dāng)凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),推進(jìn)從動(dòng)桿上下往復(fù)運(yùn)動(dòng).顯然,從動(dòng)桿運(yùn)動(dòng)的方式由凸輪邊緣的曲線(稱(chēng)為凸輪的輪廓線)的形狀決定.在實(shí)際問(wèn)題中總是按照需要確切設(shè)計(jì)輪廓線以控制從動(dòng)桿的運(yùn)動(dòng),我們考察幾個(gè)容易的情況.例2設(shè)計(jì)一個(gè)基圓半徑為60?mm(1)當(dāng)凸輪轉(zhuǎn)角θ自0增強(qiáng)至5π6時(shí),從動(dòng)桿勻速地升高60(2)當(dāng)凸輪轉(zhuǎn)角θ自5π6增強(qiáng)至7π6時(shí)(圖1.4.5),從動(dòng)桿勻速地下降圖1.4.5(3)當(dāng)凸輪轉(zhuǎn)角θ自7π6增強(qiáng)至2解以凸輪中央為原點(diǎn)、向上的方向?yàn)闃O軸方向建立極坐標(biāo)系.(1)當(dāng)0≤θr的形式.當(dāng)θ=0時(shí),r=60;當(dāng)θ=5r對(duì)應(yīng)的輪廓線為r(2)當(dāng)5π6≤θ≤7π6時(shí),從動(dòng)桿勻速下降,故凸輪的輪廓線也是等速螺線.當(dāng)θ=5π6時(shí),r(3)當(dāng)7π6r綜上所述,凸輪的輪廓線設(shè)計(jì)為r例3設(shè)計(jì)一個(gè)凸輪,其基圓的半徑為r0,凸輪以角速度ω(1)從動(dòng)桿作勻速往復(fù)運(yùn)動(dòng),速度的大小為v;(2)從動(dòng)桿作勻加速往復(fù)運(yùn)動(dòng),加速度的大小為a.解設(shè)t=0圖1.4.6A落在凸輪的基圓上,如圖1.4.6所示,建立極坐標(biāo)系.因?yàn)閺膭?dòng)桿作往復(fù)運(yùn)動(dòng),故在t=πω達(dá)到最高點(diǎn),然后返回,因而輪廓線為軸對(duì)稱(chēng)的封閉曲線.我們只需研究旋轉(zhuǎn)角從0到(1)考慮時(shí)刻t時(shí)A的位置及凸輪旋轉(zhuǎn)角θ,可知r消去t,得r這段輪廓線為等速螺線.(2)考慮時(shí)刻t時(shí)A的位置及凸輪旋轉(zhuǎn)角θ,可知r消去t,得r利用軸對(duì)稱(chēng)性,可以作出凸輪的囫圇輪廓線.2曲線名題賞析本章列舉關(guān)于曲線的一些聞名的數(shù)知識(shí)題或?qū)嶋H問(wèn)題,通過(guò)對(duì)這些名題的研究,我們可以看到曲線在數(shù)知識(shí)題及實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,在研究中我們還將進(jìn)一步給出所論曲線的一些較深人的性質(zhì).2.1拋物線與安全域2.1.1最大弦問(wèn)題在第1章1.1節(jié)中我們已經(jīng)得到從地面拋出的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道在選定的直角坐標(biāo)系中的方程y(1)其中v1,v2分離為質(zhì)點(diǎn)拋出時(shí)在水平方向和堅(jiān)直方向的速度分量,g為重力加速度.若質(zhì)點(diǎn)的初速度為v0,拋射角(v0v在時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置為xy(2)這就是以t為參數(shù)的運(yùn)動(dòng)軌道方程.于式(2)中消去t,可得y(3)當(dāng)v0固定而α圖2.1.1圖2.1.2當(dāng)質(zhì)點(diǎn)落到地面時(shí),y=0x它依賴(lài)于拋射角α,且當(dāng)α=πx(4)這是前面我們已經(jīng)得到的結(jié)論.式(4)可以看成拋物線族(3)在直線y=0上截得的最大弦,進(jìn)一步,試問(wèn):何時(shí)拋物線在直線y=hh≤v02sinx=(5)其中t1,t2分離是質(zhì)點(diǎn)升高及下降過(guò)程中先后兩次經(jīng)過(guò)高度h的時(shí)刻.由物理學(xué)可知,在時(shí)刻y(6)當(dāng)y=ht(7)而t1,t代人式(5)得x=如圖2.1.3所示,欲x2?z取極大.但v02v即拋射角為α(8)時(shí),z取極大值,因而拋物線在直線y=h上截得最大弦.異常地,若取h=0,則圖2.1.3反過(guò)來(lái),因?yàn)槲覀儽緛?lái)就已經(jīng)有了最大水平射程問(wèn)題的解,所以我們可以用它來(lái)給出普通的最大弦問(wèn)題的另一種解法.首先我們注重,由能量守恒定律,可知質(zhì)點(diǎn)通過(guò)直線y=h時(shí)的速度v1因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m為常數(shù),故vh為常數(shù)(即與拋射角α無(wú)關(guān)).根據(jù)最大水平射程問(wèn)題的解,只要質(zhì)點(diǎn)通過(guò)y=h時(shí)速度的方向與水平方向的夾角恰為α=π4v故得v(9)但由式(7)可得t代人式(9)得vvα我們重新得到式(8).2.1.2安全拋物線假設(shè)有一門(mén)高射炮,可以沿隨意角度發(fā)射炮彈,炮彈發(fā)射時(shí)的初速度為常數(shù)v0.倘若不計(jì)炮身的高度,不計(jì)空氣阻力,且視炮彈為質(zhì)點(diǎn),則炮彈運(yùn)行的所有可能的軌道就是拋物線族(3).在炮彈運(yùn)行的鉛直平面上被這些軌道彌漫的部分就是炮彈能夠達(dá)到的區(qū)域,在這個(gè)區(qū)域之內(nèi)的飛機(jī)有被炮彈擊中的危險(xiǎn),而在區(qū)域以外的平面部分飛機(jī)是安全的.我們即將證實(shí):作為這兩個(gè)部分的分界的曲線是一條拋物線,稱(chēng)為“安全拋物線”有許多求安全拋物線方程的主意:最大射程法、判別式法、包絡(luò)法.我們先研究前兩種主意,包絡(luò)法留待第3章研究.用最大射程法求安全拋物線的方程,可以設(shè)計(jì)不同的主意.主意1:給出過(guò)原點(diǎn)的直線族y=kx:k∈?∞,+∞,考察式(3)的拋物線族,其中發(fā)射角α∈?π2,π2主意2:給出平行于縱軸的直線族x=a:a∈?∞,+∞,考察式(3)的拋物線族,其中發(fā)射角α∈?π2,π22.1.3求安全拋物線的方程1.最大射程法(I)現(xiàn)在研究拋物線族在每條直線y=kx的最大射程(也就是截得的最大弦)l.由v故t圖2.1.4此時(shí)x=故當(dāng)sin2α?kcos2α取極大值時(shí),sin=令cosθ=11+kcos當(dāng)α=12θ+π2時(shí),l取極大值,即拋物線在直線xy當(dāng)k變化時(shí),這就是安全拋物線的參數(shù)方程;消去k得安全拋物線方程y(10)2.最大射程法(II)現(xiàn)在研究拋物線族在每條直線x=a圖2.1.5由式(3)可知,當(dāng)x=ay視y為tanαy則y有極大值y當(dāng)a變化時(shí),即得安全拋物線方程(10).3.判別式法上面我們用最大射程法求得安全拋物線的方程,順便也就得到了拋物線族在直線y上的最大射程及質(zhì)點(diǎn)在這些直線上所達(dá)到的最遠(yuǎn)或最高的點(diǎn)的坐標(biāo).這些工作固然是存心義的.但倘若我們只要求安全拋物線的方程,則用判別式法很快就能得到結(jié)果.將式(3)改寫(xiě)為g(11)設(shè)點(diǎn)Px,y為定點(diǎn),則P屬于危險(xiǎn)區(qū)域,當(dāng)且僅當(dāng)拋物線族中有一條拋物線通過(guò)P,亦即對(duì)此x,y,式(11)對(duì)于tanα有解,因而可以決定拋射角αx或?qū)懗蓎取等號(hào)即得危險(xiǎn)區(qū)域的邊界y這就是安全拋物線的方程,與式(10)一致.由此還可以看出,安全拋物線本身屬于危險(xiǎn)區(qū)域.有趣的是,倘若我們先用判別式法求出安全拋物線的方程(10),則我們可以求出它與隨意曲線的交點(diǎn),這交點(diǎn)就是質(zhì)點(diǎn)在曲線上所能達(dá)到的最遠(yuǎn)的點(diǎn).所以,反過(guò)來(lái),利用安全拋物線很容易解決許許多多的最大射程問(wèn)題.例1從地面以初速v0拋出一個(gè)質(zhì)點(diǎn),求質(zhì)點(diǎn)在一個(gè)高度為h解所求的點(diǎn)就是直線y=hyy得xy則點(diǎn)x,y在第3章中我們還將推薦用曲線族的包絡(luò)求安全拋物線的方程的主意.2.2雙曲線與可聽(tīng)域2.2.1問(wèn)題的提出與可聽(tīng)域一架超音速飛機(jī)在離地平面h的高度上從東向西勻速地沿水平直線翱翔,翱翔的速度為v.視飛機(jī)為一個(gè)質(zhì)點(diǎn),地面為平面,則飛機(jī)沿水平線翱翔時(shí)在地面上的正投影為地面上的一條直線l.飛機(jī)的發(fā)動(dòng)機(jī)不停地發(fā)出聲音以音速u(mài)u<v向四面?zhèn)鲹P(yáng),地面上可能聽(tīng)到飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)的聲音.設(shè)在某個(gè)決定的時(shí)刻,飛機(jī)在地面的投影為直線l上的點(diǎn)我們固定一個(gè)時(shí)刻T,這時(shí)飛機(jī)在地面的投影為直線l上的點(diǎn)O.設(shè)在時(shí)刻T之前的tt≥hu時(shí)刻(此時(shí)刻到時(shí)刻T的時(shí)量為t),飛機(jī)處于點(diǎn)B,B在l上的投影為點(diǎn)A,OA=vt.當(dāng)飛機(jī)到達(dá)O點(diǎn)上空時(shí),它在點(diǎn)B時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)發(fā)出的聲音彌漫了以B為中央,半徑為ut的一個(gè)球,如圖2.2.1所示.倘若ut≥h,則在點(diǎn)B發(fā)出的聲音可以到達(dá)地面,在地面上可以聽(tīng)到這個(gè)聲音的區(qū)域是一個(gè)圓面,即地平面截此球的截面.這個(gè)圓面的中央為l上的點(diǎn)A,半徑為u2t2?h2,記此圓面為在圖2.2.2上我們作出了幾個(gè)這樣的圓面,其中的虛線所圍住的區(qū)域是所有這些圓面所蓋住的部分,即虛線表示可聽(tīng)域的邊界.圖2.2.1圖2.2.22.2.2超音速汽車(chē)的可聽(tīng)域我們?nèi)=0當(dāng)h=0時(shí),圓面KA的半徑u2t2?h2=ut,我們的問(wèn)題成為:作以l上與點(diǎn)O的距離為OA=vt的點(diǎn)這個(gè)問(wèn)題不難解決.因?yàn)閠變化時(shí)圓心A與點(diǎn)O的距離OA=vt與KA的半徑ut成比例,所以所有的圓KA都是位似形,點(diǎn)O是其公共的位似中央.在這種情況下,可聽(tīng)域?yàn)閺狞c(diǎn)O作所有圓K圖2.2.3顯然,直線l是∠SOT的角平分線,若記sintan故特征角由u,v2.2.3超音速飛機(jī)的可聽(tīng)域現(xiàn)在我們回到本來(lái)的問(wèn)題:超音速飛機(jī)的可聽(tīng)域.如圖2.2.4所示,以O(shè)為原點(diǎn),直線l為橫軸建立直角坐標(biāo)系,點(diǎn)Mx,y屬于時(shí)刻T時(shí)的可聽(tīng)域,當(dāng)且僅當(dāng)存在t>0,使Mx,y屬于圓心在點(diǎn)A,半徑為x即v(1)所以Mx,y是否屬于可聽(tīng)域,歸結(jié)為這個(gè)關(guān)于t圖2.2.4引理已知a,c為正數(shù),則存在正數(shù)t>a的充要條件是:(1)b<0(2)判別式非負(fù),即b2?證實(shí)須要性.若b≥0,則a,b,c均為正數(shù),因而對(duì)隨意正數(shù)t,at2+a故當(dāng)條件(1)或(2)不成立時(shí),都不存在滿意引理中的不等式的正數(shù)t.充足性.由條件(2),方程a有兩個(gè)根.由a,c為正數(shù),條件(1)及韋達(dá)定理,可知兩根同號(hào)且其和為正,故兩根同為正數(shù),它們都應(yīng)用這個(gè)引理于不等式(1),則條件成為:(1)2vx>0,即(2)判別式非負(fù),即2將這個(gè)不等式的左邊展開(kāi),化簡(jiǎn)并除以正數(shù)4v2x令vuhx(2)注重v>u,故c=vuh綜合條件(1)和(2)可得:時(shí)刻T時(shí)的可聽(tīng)域?yàn)樵诳v軸右邊由不等式(2)決定的平面區(qū)域.這個(gè)區(qū)域的邊界為雙曲線x的右支.2.3阿波羅圓與平面追及問(wèn)題本節(jié)我們利用阿波羅圓解決一個(gè)有趣的博弈問(wèn)題一一平面追及問(wèn)題.我們只考察最容易的情形:一個(gè)追及者P和一個(gè)逃竄者E.因?yàn)樗摰氖且粋€(gè)抽象的數(shù)學(xué)模型,故P和E均視為平面上的幾何點(diǎn).2.3.1平面上的容易運(yùn)動(dòng)設(shè)A是平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在時(shí)刻t時(shí)點(diǎn)A的位置記為At,A0是A的初始位置.若從t=0開(kāi)始,將A順次通過(guò)的位置記錄下來(lái),則得到一條平面曲線,就是點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌道.在0～t這段時(shí)光內(nèi)A沿軌道走過(guò)的路程(即軌道上的弧A0At的長(zhǎng)度)記為StS則稱(chēng)A的運(yùn)動(dòng)為容易運(yùn)動(dòng),而v稱(chēng)為A的線速度:容易運(yùn)動(dòng)的線速度是一個(gè)常數(shù).今后我們只考慮沿有有限個(gè)頂點(diǎn)的折線的容易運(yùn)動(dòng),這就是說(shuō),在運(yùn)動(dòng)的進(jìn)程中,A只是有限次地改變運(yùn)動(dòng)方向,而速度的大小保持不變.設(shè)點(diǎn)A從初始位置A0出發(fā)以常線速度v以各種方式沿有有限個(gè)頂點(diǎn)的折線作容易運(yùn)動(dòng),t是一個(gè)固定的時(shí)刻,則在時(shí)刻t時(shí)點(diǎn)A能夠到達(dá)的所有可能位置組成的集合稱(chēng)為A在時(shí)刻t的可達(dá)域,記為Gt.今后約定以HO,R表示以O(shè)為圓心,R引理1Gt證實(shí)設(shè)M為平面上的點(diǎn).當(dāng)M在SA0,vt上時(shí),A從A0出發(fā)沿半徑A0M運(yùn)動(dòng),因?yàn)锳0M=vt,故A在時(shí)刻t到達(dá)M;當(dāng)M在圓周SA0,vt外時(shí)A0到M的最短的路程A0M>vt,故A在時(shí)刻t不能到達(dá)M;當(dāng)M在圓周SA0,vt的內(nèi)部時(shí),A有多種方式于時(shí)刻t到達(dá)M綜上所述,引理得證.顯然,HA0,vt也是A以常速v沿任何曲線作容易2.3.2平面追及問(wèn)題的提法圖2.3.1設(shè)P和E在平面上沿有有限個(gè)頂點(diǎn)的折線作容易運(yùn)動(dòng),其線速度分離為ρ和σ且ρ>σ.在t=0時(shí),P和E的初始位置為P0,E0且P0E0>0;而在時(shí)刻t時(shí)它們的位置為Pt,Et.若Pt,Et重合,則稱(chēng)在時(shí)刻t時(shí)P與E相遇或稱(chēng)P追上E.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的每個(gè)時(shí)刻,我們都假定E知道自己的位置,也知道P的位置;P知道自己的位置,也知道E的位置及E運(yùn)動(dòng)的方向,但P不能預(yù)先知道E將何時(shí)、以怎樣的方式改變運(yùn)動(dòng)的方向.設(shè)θ>0為實(shí)數(shù),若不論E如何運(yùn)動(dòng),P都有一種相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方式,使P不遲于時(shí)刻θ而追上E,則稱(chēng)θ為P保證追上E的時(shí)間;若E有一種運(yùn)動(dòng)方式,使不論P(yáng)如何運(yùn)動(dòng)E都不會(huì)在時(shí)刻θ之前被P追上,則稱(chēng)θ為E能保證不被P追上的時(shí)光.顯然,若θ是P能保證追上E的時(shí)光,則任何大于θ的數(shù)都是P能保證追上E的時(shí)光;若θ是E保證不被P追上的時(shí)光,則任何小于θ的數(shù)都是E保證不被P追上的時(shí)光.若θ不是P保證能追上E的時(shí)光,則E有一種主意使不論P(yáng)如何運(yùn)動(dòng)都不能在較θ更短的時(shí)光內(nèi)追上E,故θ是E的保證不被追上的時(shí)光;若θ不是E保證能不被追上的時(shí)光,則不論E如何運(yùn)動(dòng),P總有一種主意在不超過(guò)θ的時(shí)光內(nèi)追上E,故θ是P的保證能追上的時(shí)光.若θ是P保證追上E的時(shí)光,但任何的θ′<θ都是E保證不被P追上的時(shí)光,則稱(chēng)θ為最優(yōu)追及時(shí)光,這時(shí)P和E的相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方式分離稱(chēng)為最優(yōu)追及策略和最優(yōu)逃竄策略.值得注重的是,最優(yōu)追及時(shí)光是P保證追上E的時(shí)光的最小值,也是E保證不被P追上的時(shí)光的最大下界,這就是說(shuō),倘若E不按最優(yōu)逃竄策略運(yùn)動(dòng),則P就能在少于θ的時(shí)光內(nèi)追上E;最優(yōu)追及策略是一種應(yīng)對(duì)方式,它指出P如何按照關(guān)于E的運(yùn)動(dòng)的已知信息決定自己的運(yùn)動(dòng)方式,使不遲于最優(yōu)追及時(shí)光而追上E;而最優(yōu)逃竄策略則是E自行決定的一種運(yùn)動(dòng)方式,使不論P(yáng)如何運(yùn)動(dòng),在最優(yōu)追及時(shí)光之前E我們將在P和E沿平面上有有限個(gè)頂點(diǎn)的折線(其特例為射線)作容易運(yùn)動(dòng)的條件下,已知P和E的初始位置P0,E0P0E0=b>0及線速度ρ綜上所述,這個(gè)問(wèn)題的解答包含下面的三個(gè)方面:(1)最優(yōu)追及時(shí)光;(2)P的最優(yōu)追及策略;(3)E的最優(yōu)逃竄策略.2.3.3阿波羅圓的性質(zhì)在給出追及問(wèn)題的解之前,我們先結(jié)合追及研究阿波羅圓的一些重要的性質(zhì)并歸結(jié)為若干引理,以備引用.首先,易知直線PE與阿波羅圓的交點(diǎn)A引理2阿波羅點(diǎn)A是阿波羅圓上與E0證實(shí)如圖2.3.2所示,設(shè)M是阿波羅圓上異于A的任一點(diǎn),因?yàn)椤鱋1∠于是有∠故有E即A是阿波羅圓上與E0圖2.3.2按照第1章,選定坐標(biāo)系使點(diǎn)E0,P0的坐標(biāo)分離為E00x容易算出EPO