山東省菏澤市2025屆高三數(shù)學上學期期中試題A含解析

PAGE24-山東省菏澤市2025屆高三數(shù)學上學期期中試題（A）（含解析）第I卷選擇題一、單項選擇題1.已知集合，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用一元二次不等式與指數(shù)不等式的解法求出集合，，然后進行交集的運算即可．【詳解】，，．故選：．2.已知為虛數(shù)單位，若是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】先化簡復數(shù)，再依據(jù)復數(shù)是純虛數(shù)即可列式求解.【詳解】，又是純虛數(shù)，，解得.故選：C.3.在中，角、所對的邊長分別為、，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】由結(jié)合正弦定理求得，進而推斷可得出結(jié)論.【詳解】若，由正弦定理可得，所以，，即，，，可得，所以，，.由可知，.因此，“”是“”的充要條件.故選：C.【點睛】方法點睛：推斷充分條件和必要條件，一般有以下幾種方法：（1）定義法；（2）集合法；（3）轉(zhuǎn)化法.4.假如向量，的夾角為，我們就稱為向量與的“向量積”，還是一個向量，它的長度為，假如，，，則（）A. B.8 C.16 D.20【答案】C【解析】【分析】利用平面對量數(shù)量定義求出夾角的余弦值，進而可得其正弦值，再依據(jù)向量積的定義可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：依據(jù)平面對量數(shù)量積的定義求出夾角的余弦值,進而求出其正弦值是解題關(guān)鍵.5.中國的5G技術(shù)領先世界，5G技術(shù)的數(shù)學原理之一便是聞名的香農(nóng)公式：，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率取決于信道帶寬、信道內(nèi)信號的平均功率、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽視不計，依據(jù)香農(nóng)公式，若不變更帶寬，而將信噪比從1000提升至5000，則大約增加了（）附：A.20% B.23% C.28% D.50%【答案】B【解析】【分析】由題意可得的增加比率為，再由對數(shù)的運算性質(zhì)求解．【詳解】將信噪比從1000提升至5000時，增加比率為．故選：．6.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則此函數(shù)可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)圖象可得是奇函數(shù)，且當從右趨近于0時，，依次推斷每個函數(shù)即可得出.【詳解】由函數(shù)圖象可得是奇函數(shù)，且當從右趨近于0時，，對于A，當從右趨近于0時，，，故，不符合題意，故A錯誤；對于B，，是偶函數(shù)，不符合題意，故B錯誤；對于C，，是偶函數(shù)，不符合題意，故C錯誤；對于D，，是奇函數(shù)，當從右趨近于0時，，，，符合題意，故D正確.故選：D.【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，推斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，推斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，推斷圖象的變更趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，推斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，解除不合要求的圖象.7.已知數(shù)列為等差數(shù)列，首項為2，公差為3，數(shù)列為等比數(shù)列，首項為2，公比為2，設，為數(shù)列的前項和，則當時，的最大值是（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】A【解析】【分析】由已知分別寫出等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，求得數(shù)列的通項公式，利用數(shù)列的分組求和法可得數(shù)列的前項和，驗證得答案．【詳解】解：由題意得：，，，………，當時，；當時，，的最大值為.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項公式，利用分組求和求出數(shù)列的前項和.8.已知函數(shù)（且），若有最小值，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)有最小值可得出函數(shù)的單調(diào)性，然后對函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性進行分類探討，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由于函數(shù)有最小值，則函數(shù)在區(qū)間上不為增函數(shù)，可得.當時，，，此時函數(shù)無最小值；當時，即當時，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，①若函數(shù)在上為增函數(shù)，則，且有，即，解得，此時；②若函數(shù)在上為減函數(shù)，則，且，所以，，即，解得，此時.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用分段函數(shù)的最值求參數(shù)，解題時要依據(jù)題意分析出兩支函數(shù)在各自定義域上的單調(diào)性，并分析出間斷點處函數(shù)值的大小關(guān)系，本題易錯的地方在于忽視函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，忽視這一條件的分析，進而導致求解出錯.二、多項選擇題9.若正實數(shù)，滿意，則下列選項中正確的是（）A.有最大值 B.有最小值C.有最小值4 D.有最小值【答案】C【解析】【分析】由基本不等式知，結(jié)合特別值法即可推斷選項的正誤.【詳解】當且僅當時等號成立，即，故A錯誤；B中，若，有，即最小值不為，錯誤；C中，，正確；D中，若，有，即最小值不，錯誤；故選：C10.如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線與是平行直線 B.直線與是異面直線C.直線與所成的角為60° D.平面截正方體所得的截面面積為【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)異面直線的定義干脆推斷AB選項，依據(jù)，轉(zhuǎn)化求異面直線所成的角，利用確定平面的依據(jù)，作出平面截正方體所得的截面，并求面積.【詳解】A.直線與是異面直線，故A不正確；B.直線與是異面直線，故B正確；C.由條件可知，所以異面直線與所成的角為，是等邊三角形，所以，故C正確；D.如圖，延長，并分別與和交于，連結(jié)交于點，連結(jié)，則四邊形即為平面截正方體所得的截面，由對稱性可知，四邊形是等腰梯形，，，則梯形的高是，所以梯形的面積，故D正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查以正方體為載體，推斷異面直線，截面問題，本題關(guān)鍵選項是D，首先要作出平面與正方體的截面，即關(guān)鍵作出平面.11.高斯是德國聞名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，，則下列敘述正確的是（）A.是偶函數(shù) B.在上是增函數(shù)C.的值域是 D.的值域是【答案】B【解析】【分析】計算得出推斷選項A不正確；通過分別常數(shù)結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性，可得出在R上是增函數(shù)，推斷選項B正確；由的范圍，利用不等式的關(guān)系，可求出，進而推斷選項CD不正確，即可求得結(jié)果.【詳解】對于A，依據(jù)題意知，.∵，，，∴函數(shù)不是偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，在上是增函數(shù)，則在上是減函數(shù)，則在上是增函數(shù)，故B正確；對于C，，，，即的值域是，故C錯誤；對于D，的值域是，則的值域是，故D錯誤.故選：B.【點睛】本題要留意對函數(shù)的新定義的理解，探討函數(shù)的單調(diào)性和值域常用分別常數(shù)，屬于較難題.12.已知函數(shù)滿意，且在上有最大值，無最小值，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.若，則C.的最小正周期為4 D.在上的零點個數(shù)最少為1010個【答案】AC【解析】【分析】解：對A，依據(jù)正弦函數(shù)圖象的對稱性可推斷；對B，令代入，以及，即可求出，進而求得；對C，依據(jù)，即可求出最小正周期；對D，由可得函數(shù)在區(qū)間上的長度恰好為個周期，令，即可推斷．【詳解】解：對A，的區(qū)間中點為，依據(jù)正弦曲線的對稱性知，故A正確；對B，若，則，在上有最大值，無最小值，，則，，故B錯誤；對C，，又在上有最大值，無最小值，，(其中)，解得：，，故C正確；對D，當時，區(qū)間長度恰好為個周期，當時，即時，在開區(qū)間上零點個數(shù)至多為個零點，故D錯誤.故選AC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對關(guān)于三角函數(shù)命題的真假問題，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用特別值法以及三角函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．第II卷非選擇題三、填空題13.已知角的終邊經(jīng)過點，則的值等于______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)定義求出、的值，由此可求得的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，，因此，.故答案為：.14.已知曲線的一條切線的斜率為，則該切線的方程為______.【答案】【解析】【分析】設出切點坐標，利用函數(shù)在切點處的斜率為即可求出切點，進而求出切線方程.【詳解】設切點為，，，解得（舍去）或，，故切線方程為，即.故答案為：.15.已知定義在上的奇函數(shù)滿意，且當時，，若，則實數(shù)______.【答案】1【解析】【分析】由抽象形式的變形得到函數(shù)的周期為6，并依據(jù)條件求出，最終代入函數(shù)解析式求.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)的周期為6，，即，，而，解得：.故答案為：1【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是依據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，有，結(jié)合條件，得到函數(shù)的周期為6.16.如圖，正四面體的棱長為，點、分別是棱、的中點，則該正四面體的內(nèi)切球半徑為______；平面截該內(nèi)切球所得截面的面積為______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】計算出正四面體的體積以及表面積，可求得該正四面體的內(nèi)切球半徑為，找出球心的位置，計算出球心到截面的距離，利用勾股定理可求得平面截該內(nèi)切球所得截面圓的半徑為，進而可求得截面圓的面積.【詳解】如下圖所示：設點在底面內(nèi)的射影為點，則正四面體的球心在上，等邊的外接圓半徑為，所以，，所以，正四面體的體積為，正四面體的表面積為，設該正四面體的內(nèi)切球半徑為，則，可得，設，連接，連接并延長交于點，則為的中點，連接，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，平面，平面，，為的中點，且為等邊三角形，所以，，、分別是棱、的中點，則，，，平面，平面，，，，平面，為的一條中位線，且，則為的中點，所以，，，平面，平面，，，，由，可得，易知，平面截正四面體內(nèi)切球的截面為圓，且該圓的半徑為，因此，截面圓的面積為.故答案為：；.【點睛】結(jié)論點睛：表面積為，體積為的棱錐的內(nèi)切球的半徑為.四、解答題17.已知，，分別為的三個內(nèi)角，，的對邊，.（1）求；（2）若，的面積為，求.【答案】（1）；（2）8.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡已知等式可得，由余弦定理可得，結(jié)合范圍，可求的值．（2）由已知利用三角形的面積公式可求的值，進而利用余弦定理可求的值．【詳解】（1）由，依據(jù)正弦定理可得，即，由余弦定理，得，由于，所以.（2）因為的面積為，所以，即，因為，所以，所以【點睛】方法點睛：解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應留意用哪一個定理更便利、簡捷．假如式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；假如遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.18.新冠肺炎疫情發(fā)生以后，口罩供不應求，某口罩廠日夜加班生產(chǎn)，為抗擊疫情做貢獻.生產(chǎn)口罩的固定成本為萬元，每生產(chǎn)萬箱，需另投入成本萬元，當產(chǎn)量不足萬箱時，；當產(chǎn)量不小于萬箱時，，若每箱口罩售價元，通過市場分析，該口罩廠生產(chǎn)的口罩可以全部銷售完.（1）求口罩銷售利潤（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（萬箱）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當產(chǎn)量為多少萬箱時，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中所獲得利潤最大？【答案】（1）；（2）萬箱.【解析】【分析】（1）分和兩種狀況分析，利用利潤等于銷售收入減去成本可得出口罩銷售利潤（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（萬箱）的函數(shù)關(guān)系式；（2）分和兩種狀況分析，利用二次函數(shù)和基本不等式求出口罩銷售利潤的最大值及其對應的值，綜合可得出結(jié)論.【詳解】（1）當時，；當時，.所以，；（2）當時，，當時，取得最大值，最大值為萬元；當時，，當且僅當時，即時，取得最大值，最大值為萬元.綜上，當產(chǎn)量為萬箱時，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中獲得利潤最大，最大利潤為萬元.【點睛】思路點睛：解函數(shù)應用題的一般程序：第一步：審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；其次步：建?！獙⑽淖终Z言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言，用數(shù)學學問建立相應的數(shù)學模型；第三步：求?！蠼鈹?shù)學模型，得到數(shù)學結(jié)論；第四步：還原——將用數(shù)學方法得到的結(jié)論還原為實際問題的意義；第五步：反思回顧——對于數(shù)學模型得到的數(shù)學結(jié)果，必需驗證這個數(shù)學解對實際問題的合理性．19.等比數(shù)列中，，，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且，，中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列其次列第三列第一行2310其次行9414第三行81827（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記為數(shù)列在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前100項的和.【答案】（1）；（2）284.【解析】【分析】（1）由題可得等比數(shù)列的首項為3，公比為3，即可得出通項公式；（2）依據(jù)題意得出當時，，再分組求和即可求出.【詳解】（1）由題意結(jié)合表中數(shù)據(jù)可得，，，所以等比數(shù)列的首項為3，公比為3，所以的通項公式為；（2）由題設及（1）知，且當時，.所以.【點睛】解題關(guān)鍵：由題得出，且當時，是解題的關(guān)鍵，再利用分組求和即可.20.已知函數(shù)只能同時滿意下列三個條件中的兩個：①圖象上一個最低點為；②函數(shù)的圖象可由的圖象平移得到；③若對隨意，恒成立，且的最小值為.（1）請寫出這兩個條件序號，并求出的解析式；（2）求方程在區(qū)間上全部解的和.【答案】（1）①③，；（2）.【解析】【分析】（1）由題意分析出①②沖突，可知③滿意題意，由③可得出函數(shù)的最小正周期為，可求得，可說明②不符合條件，進而可知符號題意的條件序號為①③，可得出，由此可得出函數(shù)的解析式；（2）由可得，解得或，再由可求得結(jié)果.【詳解】（1）函數(shù)滿意的條件為①③；理由如下：由題意可知條件①②相互沖突，故③為函數(shù)滿意的條件之一，由③可知，函數(shù)的最小正周期為，所以，故②不合題意，所以函數(shù)滿意的條件為①③；由①可知，所以（2）因為，所以，所以或，所以或又因為，所以的取值為、、、、，所以方程在區(qū)間上全部的解的和為.【點睛】方法點睛：依據(jù)三角函數(shù)的基本性質(zhì)求函數(shù)解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函數(shù)的最小正周期，進而得出；（3）取特別點代入函數(shù)可求得的值.21.如圖，點是以為直徑的圓上的動點（異于，），已知，，四邊形為矩形，平面平面.設平面與平面的交線為.

（1）證明：平面；（2）當三棱錐的體積最大時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先利用已知條件證明平面，再利用線面平行的性質(zhì)定理證明，即證平面；（2）先利用基本不等式探究時三棱錐體積最大，再建立以為坐標原點的空間直角坐標系（如圖），計算平面與平面的法向量所成的夾角的余弦值，其肯定值計算對應平面的銳二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：因為四邊形為矩形，所以，因為是以為直徑的圓上的圓周角，所以，因，，平面，所以平面